2024-2025学年高中数学课时分层作业1命题含解析新人教A版选修2-1

PAGE1-课时分层作业(一)命题(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin45°＝1C．x2＋2x－1>0D．x2＋y2＝0B[对于A，是疑问句，不是命题；对于C，D，不能推断真假，不是命题；对于B，是陈述句且能推断真假，是命题．]2．下列命题中是假命题的是()A．a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若ac2＞bc2，则a＞bD．若α＝60°，则cosα＝eq\f(1,2)B[因为|a|＝|b|只能说明a与b的模相等，所以a＝b不肯定成立，故选B.]3．命题“垂直于同一个平面的两条直线平行”的条件是()A．两条直线B．一个平面C．垂直D．两条直线垂直于同一个平面D[命题的条件是“两条直线垂直于同一个平面”．]4．下列四个命题中，真命题是()A．a＞b，c＞d⇒ac＞bdB．a＜b⇒a2＜b2C．eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)⇒a＞bD．a＞b，c＜d⇒a－c＞b－dD[可以通过举反例的方法说明A、B、C为假命题．]5．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A．4B．2C．0D．－3C[由题意知，Δ＝a2－4<0，故a＝0符合题意．]二、填空题6．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p：________，结论q：________．它是________命题(填“真”或“假”)．a>0二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)真[a>0时，设a＝1，把(0，0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．]7．将命题“奇函数的定义域和图象均关于原点对称”，改写为“若p，则q”的形式为________．若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称[命题若p，则q的形式为“若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称”．]8．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②函数y＝ax＋1是指数函数吗？③正方形既是矩形又是菱形；④老师写的粉笔字真美丽！⑤若x∈R，则x2＋4x＋5＞0；⑥作AB∥A′B′.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．①③⑤③⑤[①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是真命题，由正方形定义可知；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1＞0恒成立，所以是真命题；⑥该语句是祈使句，不是命题．]三、解答题9．推断下列语句中哪些是命题？哪些不是命题？(1)2＋2eq\r(2)是有理数；(2)1＋1>2；(3)2100是个大数；(4)968能被11整除；(5)非典型性肺炎是怎样传播的？[解](1)(2)(4)均是命题；(3)(5)不是命题．因为(1)(2)(4)都可以推断真假，且为陈述句；(3)中的“大数”是一个模糊的概念，无法推断其真假，所以不是命题；(5)中的语句是疑问句，所以不是命题．10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并推断真假．(1)体对角线相等的四棱柱是长方体；(2)能被10整除的数既能被2整除又能被5整除；(3)正弦值相等的两个角的终边相同．[解](1)若四棱柱的体对角线相等，则这个四棱柱是长方体．该命题是假命题．(2)若一个数能被10整除，则这个数既能被2整除又能被5整除．该命题为真命题．(3)若两个角的正弦值相等，则这两个角的终边相同．该命题为假命题．[实力提升练]1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是()A．红豆生南国 B．春来发几枝C．愿君多采撷 D．此物最相思A[“红豆生南国”是陈述句，所述事务在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.]2．命题“其次象限角的余弦值小于0”的条件是()A．余弦值B．其次象限C．一个角是其次象限角D．没有条件C[原命题可改写为若一个角是其次象限角，则它的余弦值小于0，故选C.]3．关于平面对量a，b，c，有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满意|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为________．②[①若a·b＝a·c，则a·(b－c)＝0，因此b＝c不正确；②若a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a∥b，则－2k－6＝0，即k＝－3，正确；③非零向量a和b满意|a|＝|b|＝|a－b|，设eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，则△AOB为等边三角形，因此，a与a＋b的夹角为30°，③不正确，故选②.]4．已知a，b为实数，且ab≠0，则下列命题是真命题的是________(填序号)．①若a＞0，b＞0，则eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)；②若eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，则a＞0，b＞0；③若a≠b，则eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)；④若eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)，则a≠b.①④[①中，由基本不等式可得：若a＞0，b＞0，则eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，正确；②中，当a＝b＝0时，满意eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，但不满意a＞0，b＞0，错误；③中，若a，b都为正数时成立，否则不成立，错误；④中，由eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)，平方得(a－b)2＞0，虽然a≠b，正确，故填①④.]5．已知p：5x－1＞a，q：x＞1，请确定实数a的取值范围，使得(1)“若p，则q”为真命题；(2)“若q，则p”为真命题．[解](1)命题“若p，则q”即为“若x＞eq\f(1＋a,5)