2024-2025学年高中数学课时分层作业4简单的逻辑联结词含解析新人教A版选修2-1

PAGE1-课时分层作业(四)简洁的逻辑联结词(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．给出下列命题：①2014年2月14日是中国传统节日元宵节，同时也是西方的情人节；②10的倍数肯定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x2＝1的解是x＝±1.其中运用逻辑联结词的命题有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个C[①中运用逻辑联结词“且”；②中没有运用逻辑联结词；③中运用逻辑联结词“非”；④中运用逻辑联结词“或”．命题①③④运用了逻辑联结词，共有3个，故选C.]2．已知p：x∈A∩B，则¬p是()A．x∈A且xB B．xA或xBC．xA且xB D．x∈A∪BB[x∈A∩B，即x∈A且x∈B，故¬p是xA或xB.]3．已知命题p：3≥3，q：3＞4，则下列推断正确的是()A．p∨q为真，p∧q为真，¬p为假B．p∨q为真，p∧q为假，¬p为真C．p∨q为假，p∧q为假，¬p为假D．p∨q为真，p∧q为假，¬p为假D[∵p为真命题，q为假命题，∴p∨q为真，p∧q为假，¬p为假，应选D.]4．给出命题p：函数y＝x2－x－1有两个不同的零点；q：若eq\f(1,x)<1，则x>1.那么在下列四个命题中，真命题是()A．(¬p)∨q B．p∧qC．(¬p)∧(¬q) D．(¬p)∨(¬q)D[对于p，函数对应的方程x2－x－1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×(－1)＝5>0，所以函数有两个不同的零点，故p为真．对于q，当x<0时，不等式eq\f(1,x)<1恒成立；当x>0时，不等式的解集为{x|x>1}．故不等式eq\f(1,x)<1的解集为{x|x<0或x>1}．故命题q为假命题．结合各选项知，只有(¬p)∨(¬q)为真．故选D.]5．已知p：|x－1|≥2，q：x∈Z，若p∧q，¬q同时为假命题，则满意条件的x的集合为()A．{x|x≤－1或x≥3，xZ}B．{x|－1≤x≤3，xZ}C．{x|x＜－1或x∈Z}D．{x|－1＜x＜3，x∈Z}D[p：x≥3或x≤－1，q：x∈Z，由p∧q，¬q同时为假命题知，p假q真，∴x满意－1＜x＜3且x∈Z，故满意条件的集合为{x|－1＜x＜3，x∈Z}．]二、填空题6．已知命题s：“函数y＝sinx是周期函数且是奇函数”，则①命题s是“p∧q”形式的命题；②命题s是真命题；③命题¬s：函数y＝sinx不是周期函数且不是奇函数；④命题¬s是假命题．其中，叙述正确的是________(填序号)①②④[命题s是“p∧q”形式的命题，①正确；命题s是真命题，②正确；命题¬s：函数y＝sinx不是周期函数或不是奇函数，③不正确；命题¬s是假命题，④正确．]7．在一次射击竞赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p：“甲的成果超过9环”，命题q：“乙的成果超过8环”，则命题“p∨(¬q)”表示________．甲的成果超过9环或乙的成果没有超过8环[¬q表示乙的成果没有超过8环，所以命题“p∨(¬q)”表示甲的成果超过9环或乙的成果没有超过8环．]8．已知命题p：{2}∈{1，2，3}，q：{2}⊆{1，2，3}．给出下列结论：①“p∨q”为真；②“p∨q”为假；③“p∧q”为真；④“p∧q”为假；⑤“¬p”为真；⑥“¬q”为假．其中正确结论的序号是________．①④⑤⑥[由题意知，p假q真，故“p∨q”为真，“p∧q”为假，“¬p”为真，“¬q”为假，故①④⑤⑥正确．]三、解答题9．已知命题p：1∈{x|x2<a}，命题q：2∈{x|x2<a}．(1)若“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围；(2)若“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．[解]若p为真命题，则1∈{x|x2<a}，故12<a，即a>1；若q为真命题，则2∈{x|x2<a}，故22<a，即a>4.(1)若“p∨q”为真命题，则a>1或a>4，即a>1.故实数a的取值范围是(1，＋∞)．(2)若“p∧q”为真命题，则a>1且a>4，即a>4.故实数a的取值范围是(4，＋∞)．10．在一次模拟打飞机的嬉戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q是“其次次击中飞机”．试用p，q以及逻辑联结词“或”“且”“非”(∨，∧，¬)表示下列命题：(1)命题s：两次都击中飞机；(2)命题r：两次都没击中飞机；(3)命题t：恰有一次击中了飞机；(4)命题u：至少有一次击中了飞机．[解](1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且其次次击中飞机，所以命题s表示为p∧q.(2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且其次次没有击中飞机，所以命题r表示为¬p∧¬q.(3)恰有一次击中了飞机包含两种状况：①第一次击中飞机且其次次没有击中飞机，此时表示为p∧¬q；②第一次没有击中飞机且其次次击中飞机，此时表示为¬p∧q.所以命题t表示为(p∧¬q)∨(¬p∧q)．(4)法一：命题u表示：第一次击中飞机或其次次击中飞机，所以命题u表示为p∨q.法二：¬u：两次都没击中飞机，即是命题r，所以命题u是¬r，从而命题u表示为¬(¬p∧¬q)．法三：命题u表示：第一次击中飞机且其次次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且其次次击中飞机，或者第一次击中飞机且其次次击中飞机，所以命题u表示为(p∧¬q)∨(¬p∧q)∨(p∧q)．[实力提升练]1．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲着陆在指定范围”，q是“乙着陆在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有着陆在指定范围”可表示为()A．(¬p)∨(¬q) B．p∨(¬q)C．(¬p)∧(¬q) D．p∨qA[依题意，¬p：“甲没有着陆在指定范围”，¬q：“乙没有着陆在指定范围”，因此“至少有一位学员没有着陆在指定范围”可表示为(¬p)∨(¬q)．]2．设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是()A．p∨q B．p∧qC．(¬p)∧(¬q) D．p∨(¬q)A[对于命题p：因为a·b＝0，b·c＝0，所以a，b与b，c的夹角都为90°，但a，c的夹角可以为0°或180°，故a·c≠0，所以命题p是假命题；对于命题q：a∥b，b∥c，说明a，b与b，c都共线，可以得到a，c的方向相同或相反，故a∥c，所以命题q是真命题．选项A中，p∨q是真命题，故A正确；选项B中，p∧q是假命题，故B错误；选项C中，¬p是真命题，¬q是假命题，所以(¬p)∧(¬q)是假命题，故C错误；选项D中，p∨(¬q)是假命题，所以D错误．]3．p：eq\f(1,x－3)<0，q：x2－4x－5<0，若p∧q为假命题，则x的取值范围是________．(－∞，－1]∪[3，＋∞)[p为真时，由eq\f(1,x－3)<0得x<3，q为真时，由x2－4x－5<0得－1<x<5，若p∧q为假命题，则p为假命题或q为假命题，所以x≥3或x≤－1或x≥5，即x≤－1或x≥3.]4．命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；命题q：函数y＝－(5－2a)x是减函数，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a(－∞，－2][p为真时，Δ＝4a2－16<0，即－2<a<2q为真时，5－2a>1，即a<2，由p∨q为真命题，p∧q为假命题知，p和q一真一假，即p真q假或p假q真所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2<a<2,a≥2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤－2或a≥2，,a<2，))解得a≤－2.]5．已知命题p：关于x的方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若p∨q与¬q同时为真命题，求实数a的取值范围．[解]若命题p为真，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝4a2－4≥0，,－a>－1，,（－1）2－2a＋1>0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－1