2024-2025学年高中数学课时分层作业11用向量讨论垂直与平行含解析北师大版选修2-1

PAGE1-课时分层作业(十一)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则()A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝eq\f(15,2)C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝eq\f(15,2)D[∵l1∥l2，设a＝λb，∴(2，4，5)＝λ(3，x，y)，∴x＝6，y＝eq\f(15,2).]2．已知平面α的法向量是(2，3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α⊥β，则λ的值是()A．－eq\f(10,3) B．6C．－6 D.eq\f(10,3)A[∵α⊥β，∴α的法向量与β的法向量也相互垂直．∴(2，3，－1)·(4，λ，－2)＝8＋3λ＋2＝0，∴λ＝－eq\f(10,3).]3．已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝(2，2，1)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(4，5，3)，则平面ABC的一个单位法向量可表示为()A．(－1，2，－2) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)，－\f(2,3)))C[设平面的法向量为n＝(x，y，z)，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up8(→))·n＝0，,\o(AC,\s\up8(→))·n＝0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋2y＋z＝0，,4x＋5y＋3z＝0.))令z＝eq\f(2,3)，得x＝eq\f(1,3)，y＝－eq\f(2,3).故平面ABC的一个单位法向量可表示为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3))).]4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线A．AC B．BDC．A1D D．A1B[建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(1，0，0)，D(0，0，0)，A1(0，1，1)，C1(1，0，1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，∴eq\o(CE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，1))，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(1，－1，0)，eq\o(BD,\s\up8(→))＝(－1，－1，0)，eq\o(A1D,\s\up8(→))＝(0，－1，－1)，eq\o(A1A,\s\up8(→))＝(0，0，－1)，∵eq\o(CE,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→))＝(－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋(－1)×eq\f(1,2)＋0×1＝0，∴CE⊥BD.]5．已知点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为()A．(1，0，－2) B．(1，0，2)C．(－1，0，2) D．(2，0，－1)C[由题意知eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－1，－1，－1)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(2，0，1)，eq\o(AP,\s\up8(→))＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，所以有eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AP,\s\up8(→))＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，得－x＋1－z＝0，①eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(AP,\s\up8(→))＝(2，0，1)·(x，－1，z)＝0，得2x＋z＝0，②联立①②得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1，0，2)．]二、填空题6．已知l∥α，且l的方向向量为(2，－8，1)，平面α的法向量为(1，y，2)，则y＝________．eq\f(1,2)[∵l∥α，∴l⊥α的法向量，∴2×1－8y＋1×2＝0，∴y＝eq\f(1,2).]7．已知△ABC在平面α内，∠A＝90°，DA⊥平面α，则直线CA与DB的位置关系是________．垂直[如图：DA⊥平面ABC，且∠BAC＝90°，如图建系：采纳向量法易证：eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(DB,\s\up8(→))＝0.]8．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD＝________．1[建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA＝a.则B(1，0，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，P(0，0，a)．设点F的坐标为(0，y，0)，则eq\o(BF,\s\up8(→))＝(－1，y，0)，eq\o(PE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，－a)).∵BF⊥PE，∴eq\o(BF,\s\up8(→))·eq\o(PE,\s\up8(→))＝0，解得y＝eq\f(1,2)，则F点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0))，∴F为AD中点，∴AF∶FD＝1.]三、解答题9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1[解]设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)、C(0，2，0)、B1(2，2，2)、E(2，2，1)、F(1，1，2).∴eq\o(EF,\s\up8(→))＝(1，1，2)－(2，2，1)＝(－1，－1，1)，eq\o(AB1,\s\up8(→))＝(2，2，2)－(2，0，0)＝(0，2，2)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(0，2，0)－(2，0，0)＝(－2，2，0)∴eq\o(EF,\s\up8(→))·eq\o(AB1,\s\up8(→))＝(－1，－1，1)·(0，2，2)＝0，eq\o(EF,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－1，－1，1)·(－2，2，0)＝0，∴eq\o(EF,\s\up8(→))⊥eq\o(AB1,\s\up8(→))，eq\o(EF,\s\up8(→))⊥eq\o(AC,\s\up8(→))，即EF⊥AB1，EF⊥AC.又AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面B1AC10．如图，已知在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1求证：(1)BC1⊥AB1；(2)BC1∥平面CA1D.[证明]如图，以C1为原点，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2，0，2)，B(0，2，2)，C(0，0，2)，A1(2，0，0)，B1(0，2，0)，C1(0，0，0)，D(1，1，(1)由于eq\o(BC1,\s\up8(→))＝(0，－2，－2)，eq\o(AB1,\s\up8(→))＝(－2，2，－2)，因此eq\o(BC1,\s\up8(→))·eq\o(AB1,\s\up8(→))＝0－4＋4＝0，因此eq\o(BC1,\s\up8(→))⊥eq\o(AB1,\s\up8(→))，故BC1⊥AB1.(2)取A1C的中点E，连接DE，由于E(1，0，1)，所以eq\o(ED,\s\up8(→))＝(0，1，1)，又eq\o(BC1,\s\up8(→))＝(0，－2，－2)，所以eq\o(ED,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(BC1,\s\up8(→))，又ED和BC1不共线，所以ED∥BC1，又DE平面CA1D，BC1平面CA1D，故BC1∥平面CA1D.[实力提升练]1．已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝(1，5，－2)，eq\o(BC,\s\up8(→))＝(3，1，z)．若eq\o(AB,\s\up8(→))⊥eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(BP,\s\up8(→))＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则x，y，z分别为()A.eq\f(33,7)，－eq\f(15,7)，4 B.eq\f(40,7)，－eq\f(15,7)，4C.eq\f(40,7)，－2，4 D．4，eq\f(40,7)，－15B[eq\o(AB,\s\up8(→))⊥eq\o(BC,\s\up8(→))，∴eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0，得z＝4.又BP⊥平面ABC，∴eq\o(BP,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝0，eq\o(BP,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0，可解得x＝eq\f(40,7)，y＝－eq\f(15,7).]2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1A．相交 B．平行C．垂直 D．不能确定B[建系如图，设正方体的棱长为2，则A(2，2，2)，A1(2，2，0)，C(0，0，2)，B(2，0，2)，∴M(2，1，1)，N(1，1，2)，∴eq\o(MN,\s\up8(→))＝(－1，0，1)．又平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0，1，∵－1×0＋0×1＋1×0＝0，∴eq\o(MN,\s\up8(→))⊥n，∴MN∥平面BB1C1C.3．如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥面B1DEa或2a[建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0，0，3a)C(0，eq\r(2)a，0)，D(eq\f(\r(2)a,2)，eq\f(\r(2)a,2)，3a)．设E(eq\r(2)a，0，z)(0≤z≤3a)，则eq\o(CE,\s\up8(→))＝(eq\r(2)a，－eq\r(2)a，z)，eq\o(B1E,\s\up8(→))＝(eq\r(2)a，0，z－3a)，eq\o(B1D,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,2)，\f(\r(2)a,2)，0)).又eq\o(CE,\s\up8(→))·eq\o(B1D,\s\up8(→))＝a2－a2＋0＝0，故由题意得2a2＋z2－3az＝0，解得z＝a或2故AE＝a或2a4．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，假如eq\o(AB,\s\up8(→))＝(2，－1，－4)、eq\o(AD,\s\up8(→))＝(4，2，0)、eq\o(AP,\s\up8(→))＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③eq\o(AP,\s\up8(→))是平面ABCD的法向量；④eq\o(AP,\s\up8(→))∥eq\o(BD,\s\up8(→)).其中正确的是________．①②③[eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AP,\s\up8(→))＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则eq\o(AB,\s\up8(→))⊥eq\o(AP,\s\up8(→)).eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则eq\o(AP,\s\up8(→))⊥eq\o(AD,\s\up8(→))，∵eq\o(AP,\s\up8(→))⊥eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AP,\s\up8(→))⊥eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))∩eq\o(AD,\s\up8(→))＝A，∴eq\o(AP,\s\up8(→))⊥平面ABCD，故eq\o(AP,\s\up8(→))是平面ABCD的一个法向量．eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝(2，3，4)，明显eq\o(BD,\s\up8(→))与eq\o(AP,\s\up8(→))不平行．]5．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB[解]