专题一　微重点2　导数中函数的构造问题

微重点2导数中函数的构造问题[考情分析]导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.考点一导数型构造函数考向1利用f(x)与x构造例1(2024·绵阳模拟)已知函数f(x)满足f(x)=f(-x)，且当x∈(-∞，0]时，f(x)+xf'(x)>0成立，若a=30.2f(30.2)，b=(ln2)f(ln2)，c=log319flog319，则A.a>b>c B.c>b>aC.c>a>b D.a>c>b答案A解析令g(x)=xf(x)，x∈R，因为f(x)=f(-x)，所以g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x)，所以g(x)为奇函数，又因为当x∈(-∞，0]时，f(x)+xf'(x)>0，所以当x∈(-∞，0]时，g'(x)=f(x)+xf'(x)>0，所以g(x)在(-∞，0]上单调递增，又g(x)为奇函数，所以g(x)在R上单调递增，又因为a=30.2f(30.2)=g(30.2)，b=(ln2)f(ln2)=g(ln2)，c=log319flog319=-2<0<ln2<lne=1=30<30.2，所以g(-2)<g(ln2)<g(30.2)，即a>b>c.[规律方法](1)出现nf(x)+xf'(x)的形式，构造函数F(x)=xnf(x)；(2)出现xf'(x)-nf(x)的形式，构造函数F(x)=f(跟踪演练1(2024·石家庄二中统考)已知函数f(x)的定义域为(-∞，0)，f(-1)=-1，其导函数f'(x)满足xf'(x)-2f(x)>0，则不等式f(x+2025)+(x+2025)2<0的解集为()A.(-2026，0) B.(-2026，-2025)C.(-∞，-2026) D.(-∞，-2025)答案B解析根据题意可令g(x)=f(x)x2(x<0)⇒g'(x所以g(x)=f(x)x2在(则原不等式等价于f(x由g(x+2025)=f(x+2025)(x+2025)2<-1=g(-1解得-2026<x<-2025，故解集为(-2026，-2025).考向2利用f(x)与ex构造例2(2024·菏泽统考)若函数f(x)的定义域为R，满足f(0)=2，∀x∈R，都有f(x)+f'(x)>1，则关于x的不等式f(x)>e-x+1的解集为()A.{x|x>1} B.{x|x>e}C.{x|x<0} D.{x|x>0}答案D解析因为f(x)+f'(x)>1，所以f(x)+f'(x)-1>0，所以构造函数F(x)=exf(x)-ex，则F'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)-1]>0，所以F(x)在R上单调递增，因为f(0)=2，所以F(0)=1，所以不等式f(x)>e-x+1⇔exf(x)-ex>1⇔F(x)>F(0)，因为F(x)在R上单调递增，所以x>0，所以不等式的解集为{x|x>0}.[规律方法](1)出现f'(x)+nf(x)的形式，构造函数F(x)=enxf(x)；(2)出现f'(x)-nf(x)的形式，构造函数F(x)=f(跟踪演练2已知定义在R上的连续可导函数f(x)及其导函数f'(x)满足f(x)<f'(x)恒成立，且当x>0时，f(x)>0，则下列式子不一定成立的是()A.f(8)>2f(4) B.f(4)>2f(2)C.f(2)>2f(1) D.f(1)>2f1答案D解析设F(x)=f因为F'(x)=f'(又f(x)<f'(x)，所以F'(x)>0，即F(x)在R上为增函数，选项A，因为F(8)>F(4)，即f(8)e化简得f(8)>e4f(4)>2f(4)，故A成立；选项B，因为F(4)>F(2)，即f(4)e化简得f(4)>e2f(2)>2f(2)，故B成立；选项C，因为F(2)>F(1)，即f(2)e化简得f(2)>ef(1)>2f(1)，故C成立；选项D，因为F(1)>F1即f(1)e>f12e12，化简得而e12f12<2f12考向3利用f(x)与sinx，cosx构造例3(2024·杭州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)sinx+f'(x)cosx>0，则()A.fπ3<3fπ6 B.fπ6<C.fπ3>3fπ6 D.fπ6>答案B解析令F(x)=f(x)cosx，x≠π2+故F'(x)=f'(故F(x)=f(x)cosx在-π2+k即fπ6cosπ6<⇒fπ6<3fπ[规律方法]函数f(x)与sinx，cosx相结合构造可导函数的几种常见形式(1)F(x)=f(x)sinx，F'(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx；(2)F(x)=fF'(x)=f'(3)F(x)=f(x)cosx，F'(x)=f'(x)cosx-f(x)sinx；(4)F(x)=fF'(x)=f'跟踪演练3(2024·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，π)，其导函数是f'(x).若对任意的x∈(0，π)，有f'(x)sinx-f(x)cosx<0，则关于x的不等式f(x)>2fπ6sinx的解集为(A.0，π3C.π3，答案B解析令函数g(x)=f(x)sinx，x∈则g'(x)=f'(x因此函数g(x)在(0，π)上单调递减，不等式f(x)>2fπ6sinx⇔f(即g(x)>gπ6，解得0<x所以原不等式的解集为0，考点二构造具体函数比较大小例4(1)(2024·昆明模拟)设a=16，b=ln510，c=ln6A.c<b<a B.c<a<bC.b<c<a D.b<a<c答案A解析设f(x)=lnx2x，则f'(当x∈(0，e)时，f'(x)>0，当x∈(e，+∞)时，f'(x)<0，∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，∵b=f(5)，c=f(6)，∴b>c，又a-b=16-ln510=5-3ln530=得a>b，∴a>b>c.(2)(2024·遵义模拟)设a=tan0.01，b=ln1.01，c=1101，则下列关系正确的是(A.a<b<c B.b<a<cC.a<c<b D.c<b<a答案D解析b=ln1.01=ln(1+0.01)，c=1101=1100+1令f(x)=ln(1+x)-x1+x，则f'(x)=11+x-1(1+x所以函数f(x)在0，所以f(0.01)>f(0)=0，即ln(1+0.01)>0.011+0.01，所以b>令g(x)=ln(1+x)-x，x∈0则g'(x)=11+x-1=-x所以g(x)在0，所以g(0.01)<g(0)=0，即ln(1+0.01)<0.01，令h(x)=x-tanx，x∈0则h'(x)=1-cos2x+sin所以函数h(x)在0，所以h(0.01)<h(0)=0，即0.01<tan0.01，所以ln(1+0.01)<tan0.01，即b<a，综上所述，c<b<a.[规律方法]构造函数比较大小的常见类型(1)构造相同的函数，利用单调性，比较函数值的大小；(2)构造不同的函数，通过比较两个函数的函数值进行比较大小.跟踪演练4(1)(2024·德阳模拟)已知a=4ln3π，b=3π，c=4lnπ3，则a，b，c的大小关系是()A.c<b<a B.b<c<aC.b<a<c D.a<b<c答案B解析因为a=4ln3π=4πln3，b=3π，c=4lnπ3=4×3lnπ，观察a，c的式子结构，构造函数f(x)=ln则f'(x)=1-ln当x∈(0，e)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(e，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，因为π>3>e，所以f(π)<f(3)，即lnππ<所以3lnπ<πln3，即4×3lnπ<4πln3，即c<a；又lnπ>lne=1，所以3π<3×4<4×3lnπ，即b<c，综上，b<c<a.(2)(2024·石家庄模拟)已知a，b，c∈(1，+∞)，8a=lnaln10，7b=A.c>b>a B.a>b>cC.b>c>a D.c>a>b答案B解析设f(x)=xlnx(x>1)，g(x)=(18-x)lnx(x≥10)，因为8a=7b=lnb所以alna=8ln10，blnb=7ln11，clnc=6ln12，即f(a)=g(10)，f(b)=g(11)，f(c)=g(12)，g'(x)=(18-x)'lnx+(18-x)(lnx)'=-lnx+18x-1令h(x)=g'(x)=-lnx+18x-1(x≥10)则h'(x)=-1x-18x2<0，g'(x)在[10，所以g'(x)≤g'(10)<0，所以g(x)在[10，+∞)上单调递减，所以g(10)>g(11)>g(12)，即f(a)>f(b)>f(c)，f'(x)=lnx+1，当x>1时，f'(x)>0，所以f(x)在(1，+∞)上单调递增，所以a>b>c.专题强化练(分值：52分)一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知定义域为R的奇函数f(x)，当x∈(-∞，0)时，f(x)+xf'(x)<0恒成立，若a=3f(3)，b=f(1)，c=-2f(-2)，则()A.a>c>b B.c>b>aC.c>a>b D.a>b>c答案A解析因为f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)，设g(x)=xf(x)，则g(x)的定义域为R，且g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x)，所以g(x)是偶函数，当x∈(-∞，0)时，g'(x)=f(x)+xf'(x)<0，则g(x)在(-∞，0)上单调递减，所以g(x)在(0，+∞)上单调递增，又因为a=3f(3)=g(3)，b=f(1)=g(1)，c=-2f(-2)=g(-2)=g(2)，所以a>c>b.2.(2024·福州模拟)已知a=12ln12，b=ln2，c=-1eA.a>b>c B.b>a>cC.b>c>a D.c>a>b答案B解析因为b=ln2>0，而a=12ln12<0，c<0，所以构造函数f(x)=xlnx(x>0)，因为f'(x)=lnx+1(x>0)，当0<x<1e时，f'(x)<0，当x>1e时，f'(x)所以f(x)在0，1e上单调递减，在1e，+∞上单调递增，又因为a所以f12>f即a>c，故b>a>c.3.(2024·潍坊模拟)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(1)=e，当x>0时，f'(x)<1x+ex，则不等式f(x)-lnxA.(0，1) B.(0，+∞)C.(1，+∞) D.(0，1)∪(1，+∞)答案A解析不等式f(x)-lnxex>1等价于f(x)>ex+lnx，即f(x)-e构造函数g(x)=f(x)-ex-lnx，x>0，所以g'(x)=f'(x)-ex-1因为当x>0时，f'(x)<1x+ex所以g'(x)<0对∀x∈(0，+∞)恒成立，所以g(x)在(0，+∞)上单调递减，又因为g(1)=f(1)-e-ln1=0，所以不等式f(x)-ex-lnx>0等价于g(x)>g(1)，所以0<x<1，即f(x)-lnxex>1的解集为4.(2024·银川模拟)设a=90.2，b=30.31，c=3ln1.3，则()A.c<b<a B.b<c<aC.a<c<b D.a<b<c答案A解析根据题意，构造函数f(x)=x-1-lnx，则f'(x)=x当x≥1时，f'(x)≥0，所以f(x)在区间[1，+∞)上单调递增，可得f(1.3)>f(1)=0，即f(1.3)=1.3-1-ln1.3=0.3-ln1.3>0，所以0.3>ln1.3，又指数函数y=3x在R上单调递增，则30.31>30.3>3ln1.3，即b>c，因为a=90.2=30.4>30.31=b，所以c<b<a.5.(2024·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(x)+f(-x)=0.对于任意的实数x，均有f(x)<f'(x)ln2成立，若f(-3)=-16，则不等式f(x)>2x+1A.(-∞，-3) B.(-∞，3)C.(-3，+∞) D.(3，+∞)答案D解析f(x)<f'(x)ln2⇔f'(x)-f(x令g(x)=f则g'(x)=2=f'(则g(x)在R上单调递增.由f(x)+f(-x)=0，则f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数，由f(-3)=-16，f(x)为奇函数，得f(3)=16，则g(3)=f(3)8从而原不等式f(x)>2x+1可化为f(x即g(x)>g(3).由于g(x)在R上单调递增，故g(x)>g(3)等价于x>3，所以不等式的解集为(3，+∞).6.(2024·武汉统考)若函数f(x)的导数f'(x)=x-sinx，f(x)的最小值为0，则函数y=f(x)-cosx的零点为()A.0 B.±2 C.±2 D.2kπ(k∈Z)答案B解析因为函数f(x)的导数f'(x)=x-sinx，所以f(x)=12x2+cosx+c，c设g(x)=f'(x)=x-sinx，则g'(x)=1-cosx≥0恒成立，g(x)在R上单调递增，又g(0)=0，所以当x∈(-∞，0)时，g(x)<0，即f'(x)<0，所以f(x)在(-∞，0)上单调递减，当x∈(0，+∞)时，g(x)>0，即f'(x)>0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)在x=0处取得最小值，即f(x)min=f(0)=1+c=0，故c=-1，所以f(x)=12x2+cosx-1故y=f(x)-cosx=12x2-1令12x2-1=0，解得x=±函数y=f(x)-cosx的零点为±2.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.(2024·池州模拟)下列不等关系中正确的是()A.ln22<ln33 B.bea>aeb(a>C.cos14<3132答案ABD解析对于A项，ln22<ln33⇔3ln2<2ln3⇔ln8<ln9对于B项，设k(x)=exx，x>1，则k'(x)=ex(x-1)x2>0在(1，+∞)上恒成立，故函数k(因为a>b>1，所以k(a)>k(b)，即eaa>ebb，故bea>a对于C项，cos14<3132⇔cos14<1-故构造f(x)=cosx-1+12x2(x>0)则f'(x)=x-sinx>0，则f(x)在(0，+∞)上单调递增，f14=cos14-3132>f(0即cos14>3132，对于D项，sin1.2>sinπ3=32，故8.(2024·芜湖模拟)已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，若f(x)满足(x-1)[f'(x)-f(x)]>0，f(2-x)=f(x)e2-2x，则下列判断正确的是()A.f(1)<ef(0) B.f(2)>e2f(0)C.f(3)>e3f(0) D.f(4)<e4f(0)答案AC解析设F(x)=f则F'(x)=exf∵函数f(x)满足(x-1)[f'(x)-f(x)]>0，当x>1时，f'(x)-f(x)>0，∴F'(x)>0，∴F(