专题01 空间几何体的外接球与内切球问题(典型题型归类训练)原卷版

专题01空间几何体的外接球与内切球问题(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 3题型一：内切球等体积法 3题型二：内切球独立截面法 3题型三：外接球公式法 4题型四：外接球补型法 4题型五：外接球单面定球心法 5题型六：外接球双面定球心法 6三、专项训练 7一、必备秘籍1．球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。类型一球的内切问题（等体积法）例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下：即：，可求出.类型二球的外接问题1、公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点2、补形法（补长方体或正方体）①墙角模型（三条线两个垂直）题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）②对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）3、单面定球心法（定+算）步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）；②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上；③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径.4、双面定球心法（两次单面定球心）如图：在三棱锥中：①选定底面，定外接圆圆心②选定面，定外接圆圆心③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心.二、典型题型题型一：内切球等体积法1．（22·23·全国·专题练习）正三棱锥P﹣ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（）A．1：3 B．1： C． D．2．（22·23下·朔州·阶段练习）正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为．3．（23·24上·萍乡·期末）已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则的取值范围为.4．（22·23上·张家口·期中）球O为正四面体的内切球，，是球O的直径，点M在正四面体的表面运动，则的最大值为．5．（22·23上·河南·阶段练习）已知正四面体的棱长为12，球内切于正四面体是球上关于球心对称的两个点，则的最大值为.6．（22·23上·扬州·期中）中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，则该“阳马”的内切球表面积为，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为．题型二：内切球独立截面法1．（23·24上·淮安·开学考试）球是圆锥的内切球，若球的半径为，则圆锥体积的最小值为（

）A． B． C． D．2．（22·23下·咸宁·期末）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为（

）

A． B． C．2 D．3．（22·23·全国·专题练习）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为.4．（23·24上·佛山·开学考试）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的体积为，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥的表面积为．5．（22·23下·成都·阶段练习）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的内切球表面积为.题型三：外接球公式法1．（16·17·全国·单元测试）若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,则该长方体的外接球表面积为()A．50π B．100π C．150π D．200π2．（22·23·全国·专题练习）设球是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球的截面，则最小截面的面积为（

）A． B． C． D．3．（14·15上·佛山·阶段练习）正方体的外接球（正方体的八个顶点都在球面上）与其内切球（正方体的六个面都与球相切）的体积之比是．题型四：外接球补型法1．（23·24上·成都·开学考试）在三棱锥中，，则该三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B．C． D．2．（22·23下·揭阳·期中）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（

）A． B． C． D．3．（23·24上·成都·开学考试）已知四面体满足，，，且该四面体的外接球的表面积是（

）A． B．C． D．4．（22·23下·黔西·阶段练习）正三棱锥的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为.5．（22·23下·黔西·期中）如图，已知在三棱锥中，，，且，求该三棱锥外接球的表面积是．

题型五：外接球单面定球心法1．（23·24上·汉中·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面为外接圆的圆心，为三棱锥外接球的球心，，则三棱锥的外接球的表面积为．

2．（23·24上·秦皇岛·开学考试）三棱锥中，在底面的射影为的内心，若，，则四面体的外接球表面积为.3．（22·23下·石家庄·阶段练习）已知球是正四面体的外接球，为棱的中点，是棱上的一点，且，则球与四面体的体积比为.4．（22·23下·淄博·期末）已知四棱锥的底面是矩形，侧面为等边三角形，平面平面，其中，，则四棱锥的外接球表面积为.题型六：外接球双面定球心法1．（22·23上·抚州·期中）已知菱形的各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时.若是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持则点的轨迹的面积为.

2．（22·23·赣州·模拟预测）如图，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中，把沿着DE翻折至的位置，得到四棱锥，则当四棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的球心到平面的距离为.

3．（22·23下·湖南·期末）为加强学生对平面图形翻折到空间图形的认识，某数学老师充分利用习题素材开展活动，现有一个求外接球表面积的问题，活动分为三个步骤，第一步认识平面图形：如图（一）所示的四边形中，，，，.第二步：以为折痕将折起，得到三棱锥，如图（二）.第三步：折成的二面角的大小为，则活动结束后计算得到三棱锥外接球的表面积为.

三、专项训练一、单选题1．（22·23下·河南·模拟预测）已知直六棱柱的所有棱长均为2，且其各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）.A． B． C． D．2．（22·23下·宁德·期中）正四面体ABCD的外接球的半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为（

）A． B． C． D．3．（23·24上·河北·开学考试）长方体的一个顶点上三条棱长是3，4，5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是（

）A． B． C． D．4．（22·23下·临夏·期末）已知四棱锥的体积为，侧棱底面，且四边形是边长为2的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．5．（23·24上·广东·阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点，将，，分别沿，，折起，使得三点重合于点，若三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积为（

）

A． B． C． D．6．（23·24上·安徽·开学考试）在封闭的等边圆锥（轴截面为等边三角形）内放入一个球，若球的最大半径为1，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．7．（23·24上·莆田·阶段练习）三棱锥中，是边长为的正三角形，为中点且，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．8．（22·23·九江·一模）三棱锥中，与均为边长为的等边三角形，若平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．二、填空题9．（23·24·柳州·模拟预测）已知圆锥的底面直径为，轴截面为正三角形，则该圆锥内半径最大的球的体积为.10．（22·23·唐山·二模）已知某圆台的上、下底面的圆周在同一球的球面上，且圆台上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为3，则该圆台的外接球的体积为．11．（22·23·大同·模拟预测）四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑．在鳌臑中，平面，，，鳌臑的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是．

12．（23·24上·辽宁·阶段练习）已知圆锥的底面半径为2，侧面展开图的面积为，则该圆锥的内切球的体积为.13．（23·2