圆锥曲线的方程（一）讲义-2025届高三数学专项复习（含答案）

2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时一知识点一求椭圆中的最值问题典例1、如图，椭圆的左、右焦点为，过的直线与椭圆相交于、两点.（1）若，且求椭圆的离心率.（2）若，求的最大值和最小值.

随堂练习：已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆E的离心率为，且通径长为1．（1）求E的方程；（2）直线l与E交于M，N两点（M，N在x轴的同侧），当时，求四边形面积的最大值．典例2、已知焦点在x轴的椭圆C：离心率e=，A是左顶点，E（2，0）（1）求椭圆C的标准方程：（2）若斜率不为0的直线l过点E，且与椭圆C相交于点P，Q两点，求三角形APQ面积的最大值随堂练习：已知椭圆的中心在原点，焦点，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上有一点P，另一焦点，求的面积的最大值．典例3、椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过的长轴，短轴端点的一条直线方程是.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于，两点，若点关于轴的对称点为，证明直线过定点.随堂练习：已知椭圆经过点和点．（1求椭圆的标准方程和离心率；（2）若、为椭圆上异于点的两点，且点在以为直径的圆上，求证：直线恒过定点．知识点二求双曲线中三角形（四边形）的面积问题,根据韦达定理求参数典例4、已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且．（1）求双曲线的方程；（2）动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值．

随堂练习：已知双曲线C：的离心率为，焦点到其渐近线的距离为1．（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知直线l：与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求△OAB的面积．典例5、已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，且，．（1）求双曲线的方程；（2）过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．

随堂练习：在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆C上某一点恰好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线的交点为T.（1）求证：为定值，并求出点的轨迹方程；（2）曲线上一点P，点A､B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围.典例6、已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于A，两点，求的值．

随堂练习：已知双曲线C的渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为.（1）求双曲线C的方程；（2）过F作斜率为k的直线交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：为定值.2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时一答案典例1、答案：（1）；（2）最大值；最小值.解:（1），因为。所以，所以，所以（2）由于，得，则.①若垂直于轴，则，所以，所以②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为由得，方程有两个不等的实数根.设，.,=，所以当直线垂于轴时，取得最大值当直线与轴重合时，取得最小值随堂练习：答案：（1）；（2）2.解:（1）依题意可知，解得故椭圆的方程为．（2）延长交E于点，由（1）可知，设，设的方程为，由得，故．设与的距离为d，则四边形的面积为S，，又因为，当且仅当，即时，等号成立，故四边形面积的最大值为2．典例2、答案：（1）（2）解:（1）∵∴，a=4，椭圆的标准方程为；（2）设直线l的方程为x=my+2，代入椭圆方程得，设P，Q，则∴三角形APQ面积为：，令∵函数y=x+在上单调递增∴当u=，即m=0时，三角形APQ的面积取最大值.随堂练习：答案：（1）（2）解：（1）因为椭圆的焦点为且过，所以所以，，所以椭圆方程为：；（2）因为，因为，所以，此时P点位于短轴端点处典例3、答案：（1）；（2）见解析解:（1）对于，当时，，即，当，，即，椭圆的方程为，（2）证明：设直线，（），设，两点的坐标分别为，，则，联立直线与椭圆得，得，，解得，，，直线，令，得，直线过定点随堂练习：答案：（1）椭圆的标准方程为，离心率为（2）证明见解析解：（1）将点、的坐标代入椭圆的方程可得，解得，则，所以，椭圆的标准方程为，离心率为.（2）分以下两种情况讨论：①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，联立可得，可得，由韦达定理可得，，，同理可得，由已知，则，所以，，即，解得或.当时，直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意；当时，直线的方程为，此时直线过定点，合乎题意；②当直线轴，则点、关于轴对称，所以，，，即点，由已知可得，，，由已知，则，所以，，因为，解得，此时直线的方程为，则直线过点.综上所述，直线过定点.典例4、答案：（1）（2）证明见解析解：（1）不妨设,因为,从而故由,又因为,所以,

又因为在圆上,所以

所以双曲线的标准方程为：（2）设直线与轴交于点，双曲线的渐近线方程为由于动直线与双曲线恰有1个公共点,且与双曲线的两条渐近线分别交于点,当动直线的斜率不存在时,,，,当动直线的斜率存在时,且斜率,不妨设直线,故由

依题意，且,化简得,

故由,同理可求,,

所以又因为原点到直线的距离,

所以,又由所以,

故的面积是为定值,定值为随堂练习：答案：（1）（2）解：（1）双曲线C：的焦点坐标为，其渐近线方程为，所以焦点到其渐近线的距离为．因为双曲线C的离心率为，所以，解得，所以双曲线C的标准方程为．（2）设，，联立，得，，所以，．由，解得t＝1（负值舍去），所以，．直线l：，所以原点O到直线l的距离为，，所以△OAB的面积为．典例5、答案：（1）；（2）.解:（1）由已知，，，，∵，则，∴，∴，解得，，∴双曲线的方程为．（2）直线l的斜率存在且不为0，设直线l:，设、，由，得，则，解得①，∵点在以线段AB为直径的圆的外部，则，，解得②，由①、②得实数k的范围是.由已知，∵B在A、Q之间，则，且，∴，则，∴，则，∵，∴，解得，又，∴．故λ的取值范围是．随堂练习：答案：（1）证明见解析，（2）解：（1）证明：如图，由点与关于对称，则，，故为定值.由，由双曲线定义知，点的轨迹为以为焦点，实轴长为8的双曲线，设双曲线方程为，，所以双曲线方程为；（2）由题意知，分别为双曲线的渐近线设，由，设.，由于P点在双曲线上又同理，设的倾斜角为，则.由函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，；.典例6、答案：（1）（2）6解：（1）设所求双曲线方程为，代入点得：，即，双曲线方程为，即；（2）由（1）知：，，即直线