考点01集合（4种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）解析版

试卷第=page11页，共=sectionpages33页考点01集合（4种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．【知识点】1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示运算集合语言图形语言记法并集{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集{x|x∈A，且x∈B}A∩B补集{x|x∈U，且x∉A}∁UA常用结论1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．2．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.【核心题型】题型一集合的含义与表示解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．【例1】下列四组集合中表示同一集合的为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可.【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误；选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确；选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误；选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误.故选：B【变式1】已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（

）A．2 B．3 C．5 D．8【答案】B【分析】根据集合相等的定义分类讨论进行求解即可.【详解】假设①，②错，③对，因为，所以有，此时；假设①，③错，②对，因为错，必有，而，不符合集合元素的互异性，假设不成立；假设②，③错，①对，因为错，所以，因为错，所以对，而对，因此只能，不符合集合元素的互异性，假设不成立，综上所述：，故选：B【点睛】关键点睛：本题的关键是利用假设法、应用集合元素的互异性进行判断.【变式2】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知，若，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题目条件得到不等式，求出答案.【详解】由题意得且，解得．故选：A【变式3】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知集合，，则集合的非空子集个数为（

）A．4 B．3 C．8 D．7【答案】B【分析】由题意化简集合，得，由此即可进一步求解.【详解】因为，，因此．故该集合的非空子集个数为个.故选：B．题型二集合间的基本关系(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．【例2】在集合的子集中，含有3个元素的子集的个数为.【答案】35【分析】根据给定条件，利用子集的意义，借助组合列式计算即得.【详解】集合中有7个元素，所以含有3个元素的子集的个数为.故答案为：35【变式1】（2024·海南·模拟预测）已知集合，若，则.【答案】2【分析】根据交集结果可知，结合子集关系分析求解.【详解】因为，可得，可知，且，所以.故答案为：2.【变式2】集合，，且，则实数．【答案】【分析】根据集合关系，可得，从而可求解.【详解】由题意得，则，解得.故答案为：.【变式3】若集合，则实数a的值的集合为．【答案】【分析】分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案.【详解】当时，满足题意；当时，应满足，解得；综上可知，a的值的集合为．故答案为：．题型三集合的基本运算命题点1集合的运算【例3】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知集合，集合，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根据给定条件把集合B写成用形式表示的集合，再与集合A求交集即可.【详解】依题意，，而，所以，.故选：A【变式1】（2024·云南红河·二模）设集合，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据集合的运算性质进行判断即可.【详解】由得，所以，.故选：A.【变式2】（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知集合的交集及补集定义运算即得．【详解】因则,故.故选：D．命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．【例4】（2024·四川凉山·二模）已知集合，，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函数值域化简集合A，再利用给定的运算结果，借助包含关系求解即得.【详解】集合，而，由，得，则，所以的取值范围为.故选：B【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两集合的元素特征和中只有2个元素的要求，可得到关于的不等式组，解之即得.【详解】因为，，又，中有2个元素，所以中的2个元素只能是，则，解得.故选：A.【变式2】．已知集合，或，．(1)求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出集合，再求出，最后由交集的运算求出；（2）先求出，再求出，再由充分不必要条件构造关于的方程组，解出即可.【详解】（1）因为，又，所以.（2）或，所以，因为“”是“”的充分不必要条件，则，又，所以.题型四集合的新定义问题解决集合新定义问题的关键解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．【例5】（23-24高三下·上海·阶段练习）对于全集R的子集A，定义函数为A的特征函数．设A，B为全集R的子集，下列结论中错误的是（

）A．若，则 B．C． D．【答案】D【分析】根据新定义进行验证．【详解】选项A，，若，则，此时，若且，则，，若，则，则，所以成立，A正确；选项B，由补集定义知时，，，同样知时，，，所以，B正确；选项C，时，必有且，因此，当时，与中至少有一个成立，因此，而与至少有一个成立，综上有，C正确；选项D，当时，若，则，，，因此，此时不成立，D错误．故选：D．【变式1】（2024·河南·模拟预测）定义，若集合，则A中元素的个数为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】利用集合的新定义找到符合条件的元素个数即可.【详解】由题知y的可能取值有，，，0，1，2，3，则集合A中有7个元素.故选：B.【变式2】（2024·黑龙江·二模）已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（

）个．A．16 B．15 C．14 D．13【答案】B【分析】先确定集合有四个元素，则可得其非空子集的个数.【详解】根据题意，，则集合的非空子集的个数是.故选：B【变式3】已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（

）A．1 B． C． D．与的取值有关【答案】A【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案．【详解】由题意，若，，，，，综上，集合.所以集合A中所有元素的乘积为.故选：A.【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．下列说法中正确的是（

）A．1与表示同一个集合B．由1，2，3组成的集合可表示为或C．方程的所有解的集合可表示为D．集合可以用列举法表示【答案】B【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.【详解】对于A，1不能表示一个集合，故错误；对于B，因为集合中的元素具有无序性，故正确；对于C，因为集合的元素具有互异性，而中有相同的元素，故错误；对于D，因为集合中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误.故选：B.2．（2024·福建厦门·二模）设集合，，那么集合中满足的元素的个数为（

）A．60 B．100 C．120 D．130【答案】D【分析】明确集合中满足的含义，结合组合数的计算，即可求得答案.【详解】由题意知集合中满足的元素的个数，即指中取值为-1或1的个数和为1或2或3，故满足条件的元素的个数为（个），故选：D3．集合的子集的个数是（

）A．16 B．8 C．7 D．4【答案】D【分析】首先判断出集合有2个元素，再求子集个数即可.【详解】易知集合有2个元素，所以集合的子集个数是.故选：D.4．（2024·浙江·模拟预测）已知全集，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据图，即可求解.【详解】如图，画出图，并将条件中的集合标在图中，

如图，集合．故选：C二、多选题5．（2024·全国·模拟预测）设，，，为集合的个不同子集，为了表示这些子集，作行列的数阵，规定第行第列的数为．则下列说法中正确的是（

）A．数阵中第一列的数全是0，当且仅当B．数阵中第列的数全是1，当且仅当C．数阵中第行的数字和表明集合含有几个元素D．数阵中所有的个数字之和不超过【答案】ABD【分析】由集合的子集的概念和规定第行与第列的数为，对选项一一判断即可．【详解】选项A：数阵中第一列的数全是，当且仅当，，，，，故A正确．选项B：数阵中第列的数全是1，当且仅当，，，，，故B正确．选项C：数阵中第列的数字和表明集合含有几个元素，故C错误．选项D：当，，，中一个为本身，其余个子集为互不相同的元子集时，数阵中所有的个数字之和最大，且为，故D正确.故选：ABD6．（2024高三·全国·专题练习）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（

）A．，是一个戴德金分割B．M没有最大元素，N有一个最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M没有最大元素，N也没有最小元素【答案】BD【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误.【详解】对于A，因为，，所以，故A错误；对于B，设，，满足戴德金分割，此时没有最大元素，有一个最小元素为0，故B正确；对于C，若有一个最大元素，有一个最小元素，则不能同时满足，，故C错误；对于D，设，，满足戴德金分割，此时没有最大元素，也没有最小元素，故D正确．故选：BD.三、填空题7．已知集合，且，则．【答案】2【分析】根据集合自己的概念即可求解．【详解】∵，且，∴集合A里面的元素均可在集合B里面找到，∴a=2．故答案为：2四、解答题8．已知集合，，全集，且，(1)求集合；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据补集的定义和运算即可求解；（2）根据交集的定义和运算即可求解.【详解】（1）因为，所以.（2），由（1）知，.9．已知集合，.(1)求及；(2)求.【答案】(1)，(2)【分析】利用交集，并集及补集运算直接求解.【详解】（1）集合，,故，（2）.【综合提升练】一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出一元二次不等式的解集，依题借助于数轴得到关于的不等式组，解之即得.【详解】或，或，又，解得.故选:D.2．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据集合的并集与补集运算即可.【详解】因为，所以，又，所以．故选：D.3．（23-24高三下·湖北·阶段练习）已知集合，，若定义集合运算：，则集合的所有元素之和为（

）A．6 B．3 C．2 D．0【答案】A【分析】计算出的所有取值即可得.【详解】可为、，可为、，有、、，故，所以集合的所有元素之和为6.故选：A．4．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析集合A可知或，结合并集和补集的定义与运算即可求解.【详解】对于集合中的元素，当，时，；当，时，，所以或或，故.故选：B．5．设全集，集合．集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求集合，再结合集合间的运算求解.【详解】因为等价于，解得，即，又因为，可得，所以.故选：D.6．（2024·陕西咸阳·二模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】计算出集合、后，借助补集定义及交集定义即可得.【详解】由，即，解得，故，由，可得，即或，故，故.故选：B.7．已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（

）A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错【答案】A【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断②是真命题.【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且，且集合是由某些正整数组成的集合，所以，，因为，满足其中且，所以，因为，且，，所以，因为，，，所以，故①对；下面讨论元素与集合的关系，当时，；当时，，，，所以；当时，，，，所以；当时，，，，所以；依次类推，当时，，，，所以，则，故②对.故选：A.【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解.8．已知函数，为高斯函数，表示不超过实数的最大整数，例如，.记，，则集合，的关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意分别求出集合，然后利用集合的交集运算从而求解.【详解】由题意得，所以，因为，所以，所以，所以，，当时，，，此时，当时，，，此时，当时，，此时，综上：，所以，故C正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：根据高斯函数对分情况讨论具体的取值求出集合，从而求解.二、多选题9．若全集，，，则集合等于（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根据交并补的混合运算逐个选项判断即可.【详解】对A，，，故，故A错误；对B，，故，故B正确；对C，，故，故C正确；对D，，故，故D正确.故选：BCD10．（2024·辽宁辽阳·一模）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】求出集合，根据集合的运算即可判断A，B；结合，可判断C；由，结合判别式，可求得a的范围，即可判断D.【详解】由题意得，故，，A错误，B正确；由于，故，则，C正确；若，则能取到所有的正数，即，则或，即，D正确，故选：BCD11．已知集合满足，则下列说法正确的是（

）A．若，则中的元素的个数为1B．若，则中的元素的个数为15C．若，则中的元素的个数为45D．若，则中的元素的个数为78【答案】BCD【分析】对于A，由集合的定义即可列举出集合中所有的元素即可判断；对于B，中的元素均为正奇数，对分类讨论即可验算；对于C，原问题等价于将11个大小相同、质地均匀的小球分给甲､乙､丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法即可验算；对于D，原问题等价于将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法验算即可.【详解】由题意得，所以中的元素的个数为，A错误.由题意得中的元素均为正奇数，在中，当时，有共5个元素，当时，有共4个元素，当时，有共3个元素，当时，有共2个元素，当时，有共1个元素，所以中的元素的个数为，B正确.，可转化为将11个大小相同、质地均匀的小球分给甲､乙､丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法可得分配的方案数为，所以中的元素的个数为45，C正确.，可转化为将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法可得分配的方案数为，所以中的元素的个数为，D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：判断CD选项的关键是将问题进行适当的转换，并利用隔板法，由此即可顺利得解.三、填空题12．已知集合，，若，则的最大值为．【答案】【分析】依题意可得，即可求出的取值范围，从而得解.【详解】因为，且，所以，则，所以的最大值为.故答案为：13．（2024·广东湛江·一模）已知全集为实数集，集合，，则．【答案】【分析】解不等式可分别求得集合，根据并集和补集定义可得到结果.【详解】由得：，即；由得：，即，，.故答案为：.14．（2024·辽宁·一模）已知集合，，则，.【答案】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.【详解】由，即，解得，所以，又，所以.故答案为：；四、解答题15．（2024高三·全国·专题练习）已知集合A＝{x|x2－2x＋a＝0}，B＝{1，2}，且A⊆B，求实数a的取值范围．【答案】[1，＋∞).【详解】解：若A＝∅，则Δ＝4－4a＜0，解得a＞1；若1∈A，由1－2＋a＝0得a＝1，此时A＝{1}，符合题意；若2∈A，由4－4＋a＝0得a＝0，此时A＝{0，2}，不符合题意．综上，实数a的取值范围是[1，＋∞).【考查意图】利用集合间的关系求参数的取值范围．16．（2024高三·全国·专题练习）已知集合A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|2x－6≥0}，M＝A∩B.(1)求集合M；(2)已知集合C＝{x|a－1≤x≤7－a，a∈R}，若M∩C＝M，求实数a的取值范围．【答案】(1)[3，5](2)（－∞，2]【详解】（1）由x2－4x－5≤0，得－1≤x≤5，所以A＝[－1，5].由2x－6≥0，得x≥3，所以B＝[3，＋∞）.所以M＝[3，5].（2）因为M∩C＝M，所以M⊆C，则解得a≤2.故实数a的取值范围是（－∞，2].17．已知为实数，设集合．(1)设集合，若，求实数的取值范围．(2)若集合，求实数的取值范围；【答案】(1)(2)【分析】（1）根据包含关系可得，故可求参数的取值范围.（2）根据解集为可得判别式的符号，故可求参数的取值范围.【详解】（1），因为，故，故即.（2）因为，故即在上恒成立，故，故.18．对于集合，定义函数．对于两个集合，定义集合．已知集合．(1)求与的值；(2)用列举法写出集合；(3)用表示有限集合所包含元素的个数．已知集合是正整数集的子集，求的最小值，并说明理由.【答案】(1)，；(2)；(3)4.【分析】（1）根据给定的定义计算即得.（2）求出，再结合定义及运算写出集合.（3）根据给定的定义分析得出取最小值的条件，即可求得答案.【详解】（1）依题意，，所以，.（2）由，得，因此属于不属于的元素为，属于不属于的元素为，所以.（3）依题意，对于集合，，①若且，则，②若且，则，因此要使的值最小，3，5，9一定属于集合，是否属于集合不影响的值，集合不能含有之外的元素，所以当为集合的子集与集合的并集时，取得最小值.【点睛】关键点点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义进行集合的分拆并结合集合元素的性质、包含关系以及集合运算等知识综合解决.19．对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．(1)设，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．(2)若，且集合具有性质P，求x的值；(3)若X具有性质P，且，q为常数且，求证：．【答案】(1)，具有性质；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）根据向量集Y的定义，结合的元素，直接写出，再判断是否满足性质即可；（2）根据性质的定义，任取，，讨论的取值，结合的范围，即可求得的取值；（3）根据性质的定义推出为定值，结合，即可推证.【详解】（1）根据向量集的定义可得：，若，则存在，使得，同理亦可证明对任意，也满足性质，故具有性质P．（2）对任意a，，都存在c，，使得，即对于，都存在，使得，其中a，b，c，，因为集合具有性质P，选取，，则有，假设，则有，解得，这与矛盾，假设，则有，解得，这与矛盾，假设，则有，解得，这与矛盾，假设，则有，解得，满足，故；经检验，集合具有性质P．（3）证明：取，设且满足，由得，从而s，t异号，∵－1是x中唯一的负数，∴s，t中一个为－1，另一个为1，故．因为，所以，X具有性质P，取，，设，因为，且c，d中的正数大于等于1，所以只能，所以，．又X中只有个大于1的正数，即，且，这个大于1的正整数都属于集合X，所以只能，，…，即，即．【点睛】关键点点睛：处理本题第三问的关键是能够根据性质的定义，推出，以及为定值，进而根据X中只有个大于1的正数解决问题.【拓展冲刺练】一、单选题1．（2023·上海宝山·一模）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题:①；②集合.则下列选项中正确的是（

）A．①是真命题，②是真命题； B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题； D．①是假命题，②是假命题.【答案】C【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断②是真命题.【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且，且集合是由某些正整数组成的集合，所以，，因为，满足其中且，所以，因为，且，，所以，故①是假命题；记，当时，，因为，，，所以；下面讨论元素与集合的关系，当时，，当时，，，，所以，当时，，，，所以，当时，，，，所以，依次类推，当时，，，，所以，下面讨论时，集合中元素与集合的关系，因为，有，，且，所以，综上所述，，有，即，故②是真命题.故选：C.【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解.2．已知函数，若非空集合，满足，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】不妨设的解集为，从而得，进而得到且，又，为方程的两个根，可得，由此得到关于的不等式组，解之即可得解.．【详解】因为，不妨设的解集为，则由得，所以，又，，所以且，因为的解集为，所以是，即的两个根，故，即，此时由，得，则，因为，显然，且开口向上，对称轴为，所以，则，又，解得，即.故选：A.【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于假设的解集为，进而得到且，从而得解.3．已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即得.【详解】集合，，所以.故选：D4．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求解不等式和求函数的值域得到集合的范围，再根据交并补和集合间的关系的定义分别判断各选项即得.【详解】，，因故A项错误；由，知B项错误；由知C项错误；因，故D项正确.故选：D.5．（23-24高三上·上海·期中）设且，n为正整数，集合．有以下两个命题：①对任意a，存在n，使得集合S中至少有2个元素；②若存在两个n，使得S中只有1个元素，则，那么（

）A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题C．①、②都是假命题 D．①、②都是真命题【答案】A【分析】对于①命题，令函数，分和两种情况，利用零点存在定理得即可判断；对于②命题，通过举例说明.【详解】对于①命题，设，令函数，因为，，所以存在有，当时，，所以存在有，对于，因为是偶函数，所以和情况一样，故①是真命题；对于②命题，通过①得出一下结论：越小，集合元素数量越少，同理得出如果集合只能有一个元素，只能是的区间存在一个零点，因此先讨论的零点情况（如果只有一个零点，也只有一个零点），其图象如下图：

即时，也满足故②是假命题.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键在于零点存在定理的应用以及由①得出的结论.二、多选题6．设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据集合聚点的定义，逐一分析每个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，从而得到答案.【详解】对于集合，对任意的，都存在，使得，所以0是集合的聚点，A选项正确；对于集合，对于某个实数，比如，此时对任意的，都有，也就是说不可能，从而0不是集合的聚点，B选项错误；对于集合，对任意的，都存在，即，使，所以0是集合的聚点，C选项正确；对于集合，，随着n增大而增大，的最小值为，故当时，即不存在x，使得，D选项错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：集合新定义的应用，其中解答中认真审题，正确理解集合的新定义——集合中聚点的含义，结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与论证能力.7．下列说法正确的是（

）A．已知集合，，则B．终边落在轴上的角的集合可表示为C．若，则D．在中，若，则为等腰三角形【答案】AC【分析】根据集合，表示终所在的位置，即可判断A；根据角度与弧度不能混用即可判断B；根据辅助角公式结合正弦函数的性质即可判断C；由题意可得或，即可判断D.【详解】集合表示终边落在直线上角的集合，集合表示终边落在直线及坐标轴上角的集合，因此A正确；B选项出现角度与弧度混用错误；C选项，即，即，所以，解得，故C正确；D选项，若，因为，所以，所以或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故D错误．故选：AC.三、填空题8．（23-24高三下·上海·开学考试）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为.【答案】【分析】由题意分集合是否为空集进行讨论，结合，列出相应的不等式（组），从而即可得解.【详解】集合，集合，且，若，则，即，此时满足，即满足题意；若，则，即，此时若要使得，则还需或，解得或，注意到此时，从而此时满足题意的的范围为或；综上所述，实数的取值范围为.故答案为：.9．（2024·四川遂宁·二模）已知等差数列的公差为，集合有且仅有两个元素，则这两个元素的积为．【答案】/【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】，则，其周期为，而，即最多3个不同取值，集合有且仅有两个元素，设，则在中，或，或，又，即，所以一定会有相邻的两项相等，设这两项分别为,于是有，即有，解得，不相等的两项为，故，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：此题关键是通过周期性分析得到相等的项为相邻的两项，不相等的两项之间隔一项，从而求得答案.10．（23-24高三上·江西·期末）定义：有限集合，则称为集合的“元素和”，记为.若集合，集合的所有非空子集分别为，，…，，则.【答案】【分析】根据错位相减可得中的元素和，根据每一个元素在子集中出现的次数为，因此，即可求解．【详解】由题意知集合中的元素分别为，，，，，设①，则②，①②，得，所以．由于集合中每一个元素在子集中出现的次数为，所以．故答案为：．四、解答题11．设自然数，由个不同正整数构成集合，若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数(1)已知集合，集合，分别求解．(2)对于集合，若取得最大值，则称该集合为“极异集合”①求的最大值（无需证明）．②已知集合是极异集合，记求证：数列的前项和．【答案】(1),；(2)①；②证明见解析【分析】（1）根据定义求出集合的子集个数即可得出结果；（2）①根据元素个数可得集合共有个非空子集，的最大值为；②根据极异集合的定义，利用等比数列前项和即可得只需证明，再由元素互异性和元素的取值范围可得结论.【详解】（1）已知集合的非空子集有15个：计算可得，即．集合的非空子集有15个：计算可得，即（2）①集合共有个非空子集，的最大值为②，即证不妨设，即的非空子集中元素和最小的子集的为，最大的为集合是极异集合，，代表有个不同的正整数，即，所以中有个元素，由元素互异性可得又，即可得，因此数列的前项和.【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解新的定义，并结合数列及其前项和性质进行化简计算，并由集合元素的互异性得出结论.12．（23-24高三下·北京·阶段练习）设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质．(1)试判断集合和是否具有性质？并说明理由．(2)若．证明：A不可能具有性质．(3)若且A具有性质和．求A中元素个数的最大值．【答案】(1)不具有性质，具有性质，理由见解析(2)证明见解析(3)920【分析】（1）根据定义判断是否具有性质即可；（2）将分为个子集，结合抽屉原理证明结论；（3）先证明连续个自然数中至多有个元素属于，由此可得集合A中元素个数不超过个，再举例说明存在含有个元素的满足要求的集