2025高考数学一轮复习-对点练74 古典概型、概率的基本性质【含答案】

对点练74古典概型、概率的基本性质【A级基础巩固】1.(多选)下列试验是古典概型的是()A.在区间[－1，5]上任取一个数x，使x2－3x＋2＞0B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率C.向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率2.(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)3.(2024·杭州调研)杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图.现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,9) D.eq\f(1,9)4.(2024·张家口质检)已知a是1，3，3，5，7，8，10，11的第75百分位数，在1，3，3，5，7，8，10，11中随机取两个数，这两个数都小于a的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(5,14)C.eq\f(15,28) D.eq\f(13,28)5.(2024·深圳模拟)从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,9) D.eq\f(5,9)6.(2023·南京模拟)有5个形状大小相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是()A.“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件B.“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件C.“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率D.“至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率7.(2024·厦门模拟)某中学体育节中，羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组(每组4个人)，则3个种子选手恰好被分在同一组的概率为()A.eq\f(3,55) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)8.(2024·海南四校大联考)从不包含大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A＝“抽到红心”，事件B＝“抽到方片”，且P(A)＝P(B)＝eq\f(1,4)，记事件C＝“抽到黑花色”，则P(C)＝________.9.(2024·重庆诊断)饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现锅中煮有白菜馅饺子4个，韭菜馅饺子3个，这两种饺子的外形完全相同.从中任意舀取3个饺子，则每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为________.10.(2024·聊城模拟)若互不相等的实数m，n，s，t满足mn＝st，则称m，n，s，t具有“准等比”性质.现从2，4，8，16，32，64，128这7个数中随机选取4个不同的数，则这4个数具有“准等比”性质的概率为___________.11.2021年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工项目ABCDEF子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.12.某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.注：分组区间为[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100](1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率.【B级能力提升】13.(2024·北京通州区质检)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现双方各出上、中、下等马各一匹，分三组各进行一场比赛，胜两场及以上者获胜.若双方均不知对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为________；若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组，则田忌获胜的概率为________.14.为了了解某种新型药物对治疗某种疾病的疗效，某机构日前联合医院，进行了小规模的调查，结果显示，相当多的受访者担心使用新药后会有副作用.为了了解使用该种新型药品后是否会引起疲乏症状，该机构随机抽取了某地患有这种疾病的275人进行调查，得到统计数据如表：新药疲乏症状合计无疲乏症状有疲乏症状未使用新药15025t使用新药xy100合计225m275(1)求2×2列联表中的数据x，y，m，t的值，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断有疲乏症状与是否使用该新药有关？(2)从使用该新药的100人中按是否有疲乏症状，采用分层随机抽样的方法抽出4人，再从这4人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率.附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，n＝a＋b＋c＋d.α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828对点练74古典概型、概率的基本性质答案1．BD[A中，在区间[－1，5]上任取一个数x，使x2－3x＋2＞0，该事件个数是无限的；B中，从中任取一球的事件有限，且任取一球为白球或黑球的概率是等可能的；C中，向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率不符合有限性；D中，老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限，甲、乙、丙被选中的概率是等可能的．]2．D[记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6个，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率p＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).]3．C[记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为A，B，C，则样本点有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9个，其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的样本点有(A，B)，(B，A)，共2个，所以所求的概率p＝eq\f(2,9).]4．C[因为8×75%＝6，所以a＝eq\f(8＋10,2)＝9.8个数中有6个数小于9，所以随机取两个数，这两个数都小于a的概率为eq\f(Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(15,28).]5．D[从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，这三个数之积为偶数的样本点有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共9个，它们之和大于8的样本点有(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共5个，故所求概率p＝eq\f(5,9).]6．C[对于A、B，两事件能同时发生，不是互斥事件，A、B错误；对于C，“至少取到1个红球”的概率p＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝0.9，“至少取到1个蓝球”的概率p＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝0.7，故C正确；对于D，“至多取到1个红球”的概率p＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝0.7，“至多取到1个蓝球”的概率p＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝0.9，故D错误．]7．A[由已知条件得，将12人任意分成3组(每组4个人)，不同的分组方法有eq\f(Ceq\o\al(4,12)Ceq\o\al(4,8)Ceq\o\al(4,4),Aeq\o\al(3,3))种，3个种子选手分在同一组的方法有eq\f(Ceq\o\al(1,9)Ceq\o\al(4,8)Ceq\o\al(4,4),Aeq\o\al(2,2))种，故3个种子选手恰好被分在同一组的概率为eq\f(\f(Ceq\o\al(1,9)Ceq\o\al(4,8)Ceq\o\al(4,4),Aeq\o\al(2,2)),\f(Ceq\o\al(4,12)Ceq\o\al(4,8)Ceq\o\al(4,4),Aeq\o\al(3,3)))＝eq\f(3,55).]8.eq\f(1,2)[记事件D＝“抽到红花色”，因为D＝A∪B，且A，B不会同时发生，所以A，B是互斥事件，则P(D)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2).又因为C，D互斥，且C∪D是必然事件，所以C，D互为对立事件，所以P(C)＝1－P(D)＝eq\f(1,2).]9.eq\f(6,7)[分为两类，舀取到的饺子有1个白菜馅，2个韭菜馅，或是2个白菜馅，1个韭菜馅，所以所求概率p＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(6,7).]10.eq\f(13,35)[从7个数中随机选取4个不同的数共有Ceq\o\al(4,7)＝35种不同的选法．因为2＝21，4＝22，8＝23，16＝24，32＝25，64＝26，128＝27，所以具有“准等比”性质的4个数有{2，16，4，8}，{2，32，4，16}，{2，64，8，16}，{2，64，4，32}，{2，128，4，64}，{2，128，8，32}，{8，16，4，32}，{4，64，8，32}，{4，128，16，32}，{4，128，8，64}，{16，32，8，64}，{16，64，8，128}，{32，64，16，128}，共13种．所以这4个数具有“准等比”性质的概率为eq\f(13,35).]11．解(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人的样本空间为{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共15个样本点．②由表格知，符合题意的样本空间为{(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，F)，(E，F)}，共11个样本点，所以事件M发生的概率P(M)＝eq\f(11,15).12．解(1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是eq\f(5,30＋45)＝eq\f(1,15)，所以样本中包含的男生人数为30×eq\f(1,15)＝2，女生人数为45×eq\f(1,15)＝3.则从5人中任意选取2人共有Ceq\o\al(2,5)＝10种，抽取的2人中没有一名男生有Ceq\o\al(2,3)＝3种，则至少有一名男生有Ceq\o\al(2,5)－Ceq\o\al(2,3)＝7种．故至少有一名男生的概率为p＝eq\f(7,10).13.eq\f(1,6)eq\f(1,2)[齐王的上、中、下等马分别记为a1，a2，a3，田忌的上、中、下等马分别记为b1，b2，b3，齐王与田忌赛马，双方每组对阵情况有：(a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；(a1，b1)，(a2，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；(a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；(a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，田忌获胜；(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，齐王获胜；(a3，b1)，(a2，b