2024-2025学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法练习含解析新人教A版选修1-2

PAGE1-2.2.2反证法[A基础达标]1.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是（）A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角C.至少有两个内角是钝角D.没有一个内角是钝角解析：选C.“最多有一个”的反设是“至少有两个”.2.有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证：p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证：方程x2＋ax＋b＝0的两根的肯定值都小于1，用反证法证明时可假设该方程有一根x1的肯定值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是（）A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确；②的假设错误D.①的假设错误；②的假设正确解析：选D.用反证法证题时肯定要将对立面找准.在①中应假设p＋q>2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确的.3.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为（）A.肯定是异面直线B.肯定是相交直线C.不行能是平行直线D.不行能是相交直线解析：选C.假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面冲突，故c与b不行能是平行直线.故应选C.4.设x，y，z都是正实数，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，则a，b，c三个数（）A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2解析：选C.若a，b，c都小于2，则a＋b＋c＜6①，而a＋b＋c＝x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f(1,y)＋z＋eq\f(1,z)≥6②，明显①，②冲突，所以C正确.5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参与竞赛，其中一位获奖，有人采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A.甲 B.乙C.丙 D.丁解析：选C.若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的状况，最终可知获奖的歌手是丙.6.在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时的假设为.解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP＜∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP.答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP7.完成反证法证题的全过程.设a1，a2，…，a7是由数字1，2，…，7随意排成的一个数列，p＝（a1－1）（a2－2）…（a7－7），求证：p为偶数.证明：假设p为奇数，则均为奇数.因为7个奇数之和为奇数，故有（a1－1）＋（a2－2）＋…＋（a7－7）为.①而（a1－1）＋（a2－2）＋…＋（a7－7）＝（a1＋a2＋…＋a7）－（1＋2＋…＋7）＝Ｗ.②①与②冲突，故假设不成立，故p为偶数.解析：由假设p为奇数，可知a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，故（a1－1）＋（a2－2）＋…＋（a7－7）为奇数，而（a1－1）＋（a2－2）＋…＋（a7－7）＝（a1＋a2＋…＋a7）－（1＋2＋…＋7）＝0，冲突，故假设不成立，故p为偶数.答案：a1－1，a2－2，…，a7－7奇数08.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是（填序号）.解析：若a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)，则a＋b＝1，但a＜1，b＜1，故①不能推出.若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出.若a＝－2，b＝1，则a2＋b2＞2，故④不能推出.对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1.反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2，与a＋b＞2冲突，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案：③9.如图所示，设SA、SB是圆锥的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点.求证：AC与平面SOB不垂直.证明：如图所示，连接AB，假设AC⊥平面SOB.因为直线SO在平面SOB内，所以AC⊥SO.因为SO⊥底面圆O，所以SO⊥AB，所以SO⊥平面SAB，所以平面SAB∥底面圆O.这明显冲突，所以假设不成立，故AC与平面SOB不垂直.10.已知x，y>0，且x＋y>2.求证：eq\f(1＋x,y)，eq\f(1＋y,x)中至少有一个小于2.证明：假设eq\f(1＋x,y)，eq\f(1＋y,x)都不小于2，即eq\f(1＋x,y)≥2，eq\f(1＋y,x)≥2.因为x>0，y>0，所以1＋x≥2y，1＋y≥2x，所以2＋x＋y≥2（x＋y），即x＋y≤2，与已知x＋y>2冲突，所以eq\f(1＋x,y)，eq\f(1＋y,x)中至少有一个小于2.[B实力提升]11.若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋（a－1）x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为.解析：假设三个方程均无实数根，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ1＝16a2－4（－4a＋3）＜0，,Δ2＝（a－1）2－4a2＜0，,Δ3＝4a2－4（－2a）＜0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＜a＜\f(1,2)，,a＜－1或a＞\f(1,3)，,－2＜a＜0，))即－eq\f(3,2)＜a＜－1，所以当a≥－1或a≤－eq\f(3,2)时，三个方程至少有一个方程有实根.答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪[－1，＋∞）12.若a、b、c、d都是有理数，eq\r(c)、eq\r(d)都是无理数，且a＋eq\r(c)＝b＋eq\r(d)，则a与b，c与d之间的数量关系为，.解析：假设a≠b，令a＝b＋m（m是不等于零的有理数），于是b＋m＋eq\r(c)＝b＋eq\r(d)，所以m＋eq\r(c)＝eq\r(d)，两边平方整理得eq\r(c)＝eq\f(d－c－m2,2m).左边是无理数，右边是有理数，冲突，因此a＝b，从而c＝d.答案：a＝bc＝d13.设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.（1）求证：数列{Sn}不是等比数列；（2）数列{Sn}是等差数列吗？为什么？解：（1）证明：假设数列{Sn}是等比数列，则Seq\o\al(2,2)＝S1S3，即aeq\o\al(2,1)（1＋q）2＝a1·a1·（1＋q＋q2）.因为a1≠0，所以（1＋q）2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0冲突，所以假设不成立，所以数列{Sn}不是等比数列.（2）当q＝1时，Sn＝na1，故数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，假设数列{Sn}是等差数列，则2S2＝S1＋S3，即2a1（1＋q）＝a1＋a1（1＋q＋q2），得q＝0，这与公比q≠0冲突.综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，数列{Sn}不是等差数列.14.（选做题）已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴有两个不同的交点.若f（c）＝0，且0＜x＜c时f（x）＞0.（1）证明：eq\f(1,a)是函数f（x）的一个零点；（2）试用反证法证明：eq\f(1,a)＞c.证明：（1）因为f（x）的图象与x轴有两个不同的交点，所以f（x）＝0有两个不等实根x1，x2.因为f（c）＝0，所以x1＝c是f（x）＝0的一个根，又因为x1x2＝eq\f(c,a).所以x2＝eq\f(1,a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)≠c))，所以eq\f(1,a)是f（x）＝0的另一个根，即eq\f(1,a)是函数f（x）的一个零点.（2