2024-2025学年高中数学第三章概率3.1.3概率的基本性质限时规范训练新人教A版必修3

PAGE1-3.1.3概率的基本性质【基础练习】1．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品随意取出3件，设A表示事务“3件产品全不是次品”，B表示事务“3件产品全是次品”，C表示事务“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是()A．B与C互斥B．A与C互斥C．A，B，C随意两个事务均互斥D．A，B，C随意两个事务均不互斥【答案】B【解析】本题主要考查互斥事务的概念．由题意得事务A与事务B不行能同时发生，是互斥事务；事务A与事务C不行能同时发生，是互斥事务；当事务B发生时，事务C肯定发生，所以事务B与事务C不是互斥事务，故选B．2．有一个嬉戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事务“甲向南”与事务“乙向南”是()A．互斥但非对立事务 B．对立事务C．相互独立事务 D．以上都不对【答案】A【解析】由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不行能的，故是互斥事务，但不是对立事务，故选A．3．某产品分甲、乙、丙三级，其中甲级属正品，乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为()A．0.96 B．0.97C．0.98 D．0.99【答案】A【解析】记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事务A，B，C，则A，B，C彼此互斥．由题意可得P(B)＝0.03，P(C)＝0.01，所以P(A)＝1－P(B＋C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.4．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事务是()A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球【答案】D【解析】对于A中的两个事务不互斥，对于B中两个事务互斥且对立，对于C中两个事务不互斥，对于D中的两个事务互斥而不对立．5．同时抛掷2个匀称的正方体玩具(各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6)，则：(1)朝上的一面数相同的概率为________．(2)朝上的一面的两数之积为偶数的概率为________．【答案】(1)eq\f(1,6)(2)eq\f(3,4)【解析】(1)试验结果有36个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．“朝上的一面数相同”的结果有6个：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，则概率为eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).(2)“朝上一面之积不为偶数”的结果有9个：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．故“朝上一面的两数之积为偶数”的概率为1－eq\f(9,36)＝eq\f(3,4).6．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有________个．【答案】15【解析】摸出黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3，口袋内球的个数为21÷0.42＝50，所以黑球的个数为50×0.3＝15.7．盒中有6只灯泡，其中两只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事务的概率：(1)取到的两只都是次品；(2)取到的两只中正品、次品各一只；(3)取到的两只中至少有一只正品．解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有36种不同取法．(1)取到的两只都是次品状况为4种．因而所求概率为eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).(2)由于取到的两只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，其次次取到次品；以及第一次取到次品，其次次取到正品．因而所求概率为p＝eq\f(4×2,36)×2＝eq\f(4,9).(3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事务“取到的两只都是次品”的对立事务．因而所求概率为p＝1－eq\f(1,9)＝eq\f(8,9).8．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是eq\f(1,3)，取到黑球或黄球的概率是eq\f(5,12)，取到黄球或绿球的概率是eq\f(5,12).试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．解：从袋中任取一球，记事务“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A，B，C，D，则事务A，B，C，D明显是两两互斥的．由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PA＝\f(1,3)，,PB∪C＝\f(5,12)，,PC∪D＝\f(5,12)，,PA∪B∪C∪D＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PB＋PC＝\f(5,12)，,PC＋PD＝\f(5,12)，,\f(1,3)＋PB＋PC＋PD＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PB＝\f(1,4)，,PC＝\f(1,6)，,PD＝\f(1,4).))故取到黑球的概率是eq\f(1,4)，取到黄球的概率是eq\f(1,6)，取到绿球的概率是eq\f(1,4).【实力提升】9．在一次随机试验中，彼此互斥的事务A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是()A．A＋B与C是互斥事务，也是对立事务B．B＋C与D是互斥事务，也是对立事务C．A＋C与B＋D是互斥事务，但不是对立事务D．A与B＋C＋D是互斥事务，也是对立事务【答案】D【解析】由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必定事务，故其事务的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个事务与其余3个事务的和事务必定是对立事务，任何两个事务的和事务与其余两个事务的和事务也是对立事务．故选D．10．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出两粒都是黑子的概率为eq\f(1,7)，从中取出两粒都是白子的概率是eq\f(12,35).则从中随意取出两粒恰好是同一色的概率是()A．eq\f(1,7) B．eq\f(12,35)C．eq\f(17,35) D．1【答案】C【解析】设“从中取出两粒都是黑子”为事务A，“从中取出两粒都是白子”为事务B，“随意取出两粒恰好是同一色”为事务C，则C＝A∪B且事务A与B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35)，即随意取出两粒恰好是同一色的概率为eq\f(17,35).11．甲射击一次中靶概率是P1，乙射击一次中靶概率是P2，已知eq\f(1,P1)，eq\f(1,P2)是方程x2－5x＋6＝0的根且P1满意方程x2－x＋eq\f(1,4)＝0.则甲射击一次，不中靶概率为________；乙射击一次，不中靶概率为________．【答案】eq\f(1,2)eq\f(2,3)【解析】由P1满意方程x2－x＋eq\f(1,4)＝0知，Peq\o\al(2,1)－P1＋eq\f(1,4)＝0，解得P1＝eq\f(1,2)；因为eq\f(1,P1)，eq\f(1,P2)是方程x2－5x＋6＝0的根，所以eq\f(1,P1)·eq\f(1,P2)＝6，解得P2＝eq\f(1,3)，因此甲射击一次，不中靶概率为1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，乙射击一次，不中靶概率为1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).12．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间/分钟10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间分钟10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)设A1