数理统计第二章数字特征

数理统计第二章数字特征§2.1数学期望离散型随机变量数学期望连续型随机变量数学期望随机变量函数的数学期望第2页,共22页，星期六，2024年，5月一、数学期望定义(一)离散型随机变量的数学期望例1

某人在某游戏中所得分数X的分布列为：p00.20.50.3X0123，求所得分数X的平均值。解：假设进行了N次游戏，当N足够大时，可认为：NP1次得1分，NP2次得2分，NP3次得3分。总分数为0×NP0+1×NP1+2×NP2+3×NP3故X的平均值=总分数/N=1×P1+2×P2+3×P3=1x0.2+2x0.5+3x0.3=2.1第3页,共22页，星期六，2024年，5月定义1

设离散型随机变量X的概率分布为

P(X=xi)=pi(i=1,2,…)第4页,共22页，星期六，2024年，5月(二)连续型随机变量的数学期望定义3

设连续型随机变量X的密度函数为f(x)第5页,共22页，星期六，2024年，5月例3

随机变量X的密度函数为求E(X)第6页,共22页，星期六，2024年，5月(三)随机变量函数的数学期望

离散型随机变量X的概率分布为P(X=xi)=pi(i=1,2,…)，则其函数Y=g(X)的数学期望为

连续型随机变量X的密度函数为f(x),则其函数g(X)的数学期望为案例2-22第7页,共22页，星期六，2024年，5月(四)数学期望的性质1、C为常数则E(C)=C2、C为常数则E(CX)=CE(X)3、E(X±Y)=E(X)±E(Y)(可推广到多个随机变量)4、设X,Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)(可推广到多个随机变量)P33第8页,共22页，星期六，2024年，5月三、中位数、众数和分位数1、中位数(Median)定义5

设X为一随机变量，若存在实数x,有则称x为X的中位数，记作Me第9页,共22页，星期六，2024年，5月例6

设X的概率函数为p0.10.20.40.3X-1012求X的中位数。解因为P{X≤1}=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)=0.1+0.2+0.4=0.7≥0.5而P{X≥1}=P(X=1)+P(X=2)=0.4+0.3=0.7≥0.5所以X的中位数Me=1。第10页,共22页，星期六，2024年，5月(3)中位数可能不是样本值。注意

(1)中位数可能不唯一.(2)连续型随机变量中位数是F(x)=1/2的解.第11页,共22页，星期六，2024年，5月2、众数(mode)定义6(离散型)设随机变量X的分布律为P(X=xi)=pi(i=1,2,…)，且x1,x2,…,xn由小到大排列，若存在xk,有pk-1<pk且pk>pk+1，则称xk为X的众数，记作Mo例9

设X的概率函数为p0.10.20.40.3X-1012,求X的众数。解因为P(X=1)>P(X=0)且P(X=1)>P(X=2)，所以X的众数Mo=1第12页,共22页，星期六，2024年，5月3、α分位数(α临界值)定义9(右侧α分位数)设X为一随机变量，若存在数xα,满足则称xα为X概率分布的右(上)侧α分位数(α临界值)。α第13页,共22页，星期六，2024年，5月定义10(双侧α分位数)设随机变量X概率分布关于x=0对称，若存在数xα/2,满足α

/2α

/2则称xα/2

为X概率分布的双侧α分位数(α临界值)。

由右图易见，对关于x=0对称的图形有：左侧α临界值u1-α

/2=-uα

/2第14页,共22页，星期六，2024年，5月例11

若随机变量X∼N(0,1),求下列右侧和双侧临界值u0.05

u0.05/2

u1-0.05

u0.975

解查p194附表4u0.05=u0.1/2=1.64u0.05/2=1.96u1-0.05=-u0.05=-1.64u0.975=-u0.025=-u0.05/2=-1.96

书后附录中列出了一些常用概率分布的临界值表，都是按上述原理编制的，实际中经常用到，应会查。查表时要注意是上侧临界值表还是双侧临界值表，并注意α值的转换。第15页,共22页，星期六，2024年，5月小结1、基本概念：数学期望、α分位数、中位数、众数、百分位数。2、基本性质与运算：数学期望性质及运算。第16页,共22页，星期六，2024年，5月§方差第17页,共22页，星期六，2024年，5月一、方差(Variance)例12设甲乙两位射击运动员各射击5次，其射击环数X1和X2如表所示,试比较两人的技术水平。X19.710.19.99.89.8X29.99.79.910.59.1解虽然E(X1)=E(X2)=9.82，但并不能说明两人的技术水平相同，因为甲的数据与E(X1)都很接近，但乙较分散，说明甲的技术水平较稳定。第18页,共22页，星期六，2024年，5月离差(dispersion)---对随机变量X,把X-E(X)称为X的离差。描述随机变量各个取值与数学期望的离散程度.要描述随机变量分布的离散程度，需要求出离差的均值,但显然E(X-E(X))=0(因离差有正有负)。这时可能考虑用E|X-E(X)|表示离散程度大小，但式中有绝对值，计算时麻烦，所以用E[X-E(X)]2代替，从而得到方差。可见，数学期望不能全面说明随机变量的分布特征，还需要研究随机变量对其数学期望的离散程度。第19页,共22页，星期六，2024年，5月1、方差定义设X是一随机变量，若E[X-E(X)]2存在，则称它为X的方差，记作V(X),即对于离散型随机变量X对于连续型随机变量X第20页,共22页，星期六，2024年，5月例13设离散型随机变量的分布列为P0.060.240.7X123求：E（X），D（X）。第21页,共22页，星期六，2024年，5月2、方差的性质(3)设X,Y相互独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)(可推广到多个随机变量