数学分析第二册章数项级数

数学分析第二册章数项级数有限个数相加

第2页,共118页，星期六，2024年，5月无穷多个数相加第3页,共118页，星期六，2024年，5月一、引言《庄子·天下篇》“一尺之棰,日取其半,万世不竭”第4页,共118页，星期六，2024年，5月如：“无限个数±1相加”如果写作如果写作=0，=1，第5页,共118页，星期六，2024年，5月定义1:

给定一个数列{un},称其为数项级数或无穷级数(简称级数),称un为数项级数(1)的通项或一般项.称Sn为∑un的第n个部分和,简称部分和.常记简记记若（即∑un的部分和数列{Sn}收敛于S）则称数项级数∑un收敛,称S为数项级数∑un的和,定义2记若{Sn}发散,则称数项级数∑un发散.二、级数概念第6页,共118页，星期六，2024年，5月级数的部分和部分和数列第7页,共118页，星期六，2024年，5月数项级数∑un收敛例1

讨论等比级数(也称几何级数)的收敛性(a≠0).解级数的第

n个部分和为(1)当q≠1时,(2)当q=1时,∴∑aqn等比级数收敛,其和为三、级数计算第8页,共118页，星期六，2024年，5月

发散.例2

讨论数项级数的收敛性.解级数(4)的第n个部分和为总之，等比级数∴级数(4)收敛,且其和为1.第9页,共118页，星期六，2024年，5月例E4

讨论数项级数的收敛性.解级数的第n个部分和为第10页,共118页，星期六，2024年，5月四、级数性质定理(线性性质)

对常数c,d定理

去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性.在收敛时，和一般是要变的.第11页,共118页，星期六，2024年，5月结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.第12页,共118页，星期六，2024年，5月定理

在收敛级数的项中任意加括号,

既不改变级数的收敛性,也不改变它的和.证设部分和Sn第13页,共118页，星期六，2024年，5月注从级数加括号后的收敛,不能推断它在没加括号时也收敛.

例如收敛,但级数却是发散的.第14页,共118页，星期六，2024年，5月数项级数收敛的必要条件若数项级数收敛，第15页,共118页，星期六，2024年，5月收敛级数通项的极限为0的证明证明：第16页,共118页，星期六，2024年，5月注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;

发散2.必要条件但不充分.第17页,共118页，星期六，2024年，5月讨论第18页,共118页，星期六，2024年，5月由定积分的几何意义这块面积显然大于定积分以1为底的的矩形面积把每一项看成是以为高就是图中n个矩形的面积之和即故调和级数发散调和级数的部分和第19页,共118页，星期六，2024年，5月级数的Cauchy(柯西)收敛准则定理第20页,共118页，星期六，2024年，5月数项级数收敛的必要条件特别地取p=1,第21页,共118页，星期六，2024年，5月定理

第22页,共118页，星期六，2024年，5月例3用级数收敛的Cauchy准则,证明收敛.证∴当m>N及任意正整数p,有

第23页,共118页，星期六，2024年，5月第二种证明第24页,共118页，星期六，2024年，5月根据数列的单调有界定理可知的极限一定存在.第25页,共118页，星期六，2024年，5月例4证明调和级数是发散的.分析:一般项∴级数满足收敛必要条件，但不能判断级数收敛

解:对

N，只要

m>N，取p=m

由Cauchy收敛准则知，调和级数发散.第26页,共118页，星期六，2024年，5月正项级数一、特征定理：第27页,共118页，星期六，2024年，5月

二、收敛或发散的判别法第28页,共118页，星期六，2024年，5月⒈比较判别法：第29页,共118页，星期六，2024年，5月例题判别级数的敛散性第30页,共118页，星期六，2024年，5月２.比较判别法的极限形式：①②③第31页,共118页，星期六，2024年，5月证明：①②③第32页,共118页，星期六，2024年，5月例题判别级数的敛散性第33页,共118页，星期六，2024年，5月解答第34页,共118页，星期六，2024年，5月例题判别级数的敛散性第35页,共118页，星期六，2024年，5月解答第36页,共118页，星期六，2024年，5月利用等比级数作为比较对象得到比式判别法第37页,共118页，星期六，2024年，5月3第38页,共118页，星期六，2024年，5月证明第39页,共118页，星期六，2024年，5月第40页,共118页，星期六，2024年，5月4.比式判别法的极限形式：①②第41页,共118页，星期六，2024年，5月证明第42页,共118页，星期六，2024年，5月证明第43页,共118页，星期六，2024年，5月例题判断级数的敛散性第44页,共118页，星期六，2024年，5月解答解：

第45页,共118页，星期六，2024年，5月例题第46页,共118页，星期六，2024年，5月解答解：第47页,共118页，星期六，2024年，5月例题判断级数的敛散性第48页,共118页，星期六，2024年，5月解答解：第49页,共118页，星期六，2024年，5月例题判断级数的敛散性第50页,共118页，星期六，2024年，5月解答解：第51页,共118页，星期六，2024年，5月注意：第52页,共118页，星期六，2024年，5月考虑下面两个级数第53页,共118页，星期六，2024年，5月5第54页,共118页，星期六，2024年，5月证明第55页,共118页，星期六，2024年，5月证明第56页,共118页，星期六，2024年，5月6.根式判别法的极限形式：①②第57页,共118页，星期六，2024年，5月证明第58页,共118页，星期六，2024年，5月证明第59页,共118页，星期六，2024年，5月注意：第60页,共118页，星期六，2024年，5月同样地，考虑下面两个级数第61页,共118页，星期六，2024年，5月例题判断级数的敛散性第62页,共118页，星期六，2024年，5月解答解：第63页,共118页，星期六，2024年，5月例题判断级数的敛散性第64页,共118页，星期六，2024年，5月解答解：第65页,共118页，星期六，2024年，5月解答第66页,共118页，星期六，2024年，5月解答另解：第67页,共118页，星期六，2024年，5月比式判别法和根式判别法之比较

第68页,共118页，星期六，2024年，5月比式判别法和根式判别法之比较

反例：由根式判别法可知级数是收敛的。但是应用比式判别法，第69页,共118页，星期六，2024年，5月7.积分判别法证明：第70页,共118页，星期六，2024年，5月第71页,共118页，星期六，2024年，5月积分判别法的应用：例1.解：第72页,共118页，星期六，2024年，5月例2.解：考虑第73页,共118页，星期六，2024年，5月常用于比较的级数⑴等比级数⑵第74页,共118页，星期六，2024年，5月例题判别级数和的敛散性第75页,共118页，星期六，2024年，5月例题判别级数的敛散性第76页,共118页，星期六，2024年，5月例题当发散发散收敛第77页,共118页，星期六，2024年，5月例题(证明题)证明：第78页,共118页，星期六，2024年，5月例题(证明题)证明：第79页,共118页，星期六，2024年，5月例题(证明题)证明：故收敛第80页,共118页，星期六，2024年，5月一般项级数

交错级数(正项和负项交错排列的级数)第81页,共118页，星期六，2024年，5月一、莱布尼茨（Leibniz）判别法定理第82页,共118页，星期六，2024年，5月第83页,共118页，星期六，2024年，5月证明第84页,共118页，星期六，2024年，5月证明第85页,共118页，星期六，2024年，5月第二种证明第86页,共118页，星期六，2024年，5月第二种证明第87页,共118页，星期六，2024年，5月⑴收敛特别地收敛⑵收敛⑶一些收敛级数的例子收敛第88页,共118页，星期六，2024年，5月绝对收敛定理：证法1：第89页,共118页，星期六，2024年，5月定义证法2：第90页,共118页，星期六，2024年，5月例题.⑴绝对收敛.⑵条件收敛第91页,共118页，星期六，2024年，5月例题第92页,共118页，星期六，2024年，5月下面讨论绝对收敛级数的两个重要性质.1.级数的重排

我们把正整数列{1,2,…,n,…}到它自身的一一映射原数列的重排.相应地称级数为原级数的重

作称为正整数列的重排,相应地对于数列

第93页,共118页，星期六，2024年，5月定理设原级数绝对收敛,且其和等于S,则任

意重排后所得到的新级数(*)绝对收敛且和也为S.第一步设原级数是正项级数,用Sn表示它的第n个部分和.又用表示新级数(*)的第m个部分和.因为级数(*)为原级数

*证

的重排,所以每一应等于某一第94页,共118页，星期六，2024年，5月即新级数(*)收敛,且其和由于原级数也可看作新级数(*)的重排,所以也有,从而得到.这就证明了对正项级数定理成立.第二步证明(*)绝对收敛.设原级数是一般项级数且绝对收敛,

则由第一步结论,可得收敛,即新级数(*)是绝对收敛的.则对于任何第95页,共118页，星期六，2024年，5月要把原级数分解成正项级数的和.为此令第三步证明绝对收敛级数(*)的和也等于S.

根据第一步的证明,收敛的正项级数重排后和不变,所以先第96页,共118页，星期六，2024年，5月对于原级数重排后所得到的新级数(*),也可按(8)式的

办法,把它表示为两个收敛的正项级数之差其和不变,从而有由原级数绝对收敛,及(9)式,知都是收

敛的正项级数.因此第97页,共118页，星期六，2024年，5月注定理只对绝对收敛级数成立.条件收敛级

数重排后得到的新级数,不一定收敛,

即使收敛,也不一定收敛于原来的和.

更进一步,

条件收敛级数适当重排后,既可以得到发散级数,

也可以收敛于任何事先指定的数.

例如下列级数是条件收敛的,

设其和为A,即第98页,共118页，星期六，2024年，5月将上述两个级数相加,得到的是(2)的重排:第99页,共118页，星期六，2024年，5月2.级数的乘积

若为收敛级数,a为常数,则由此可以立刻推广到收敛级数与有限项和的乘

积,即那么无穷级数之间的乘积是否也有上述性质?第100页,共118页，星期六，2024年，5月将级数(11)与(12)中每一项所有可能的乘积列成下表

设有收敛级数可以按各种方法排成不同的级数,常

用的有按正方形顺序或按对角线顺序.

第101页,共118页，星期六，2024年，5月第102页,共118页，星期六，2024年，5月第103页,共118页，星期六，2024年，5月定理

(柯西定理)若级数(11)、(12)都绝对收敛,

依次相加,于是分别有和则对(13)中按任意顺序排列所得到的级数也绝对收敛,且其和等于AB.*证第104页,共118页，星期六，2024年，5月则必有的部分和数列都是有界的.

由定理条件,级数(11)与(12)都绝对收敛,因而

第105页,共118页，星期六，2024年，5月

于是是有界的,从而级数

绝对收敛.下面证明的和由于绝对收敛级数具有可重排的性质,即级数的和与采用哪一种排列的次序无关,

为此,

采用正方形顺序并对各被加项取括号,即将每一括号作为一项,得到新级数第106页,共