2020北京人大附中初三12月月考数学试卷含答案

2020北京人大附中初三12月月考

数学

一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8均有四个选项，符合意的选项只有一个

1.《北京市生活垃圾管理条例》对生活垃圾分类提出更高要求，于2020年5月I日起施行，施行目的在于加强

生活垃圾管理，改善城乡环境，保障人体健康.卜・列垃圾分类标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

△

,AC上，且DE//BC,若42=,，则必

2.如图，已知O,E分别在直线A8的值是（）

AB2AC

A111

A.2B.-C.2D.-

39

3.已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流1（单位：A）与电阻R（单位：O）是反比例函数关系,它的图

象如图所示.则用电阻R表示电流I的函数表达式为（）

4.一元二次方程f=21的根是（）

A.x=2B.x=0

C.$=2,x2-0D.-V.=X）=2

5.如图，。。的半径为I,PA、号是00的两条切线，切点分别为A,B.连接。4,OB,AB，P0，若

与ZAPS=60°,则△）P48的周长为（）

A.65/3B.36C.6D.3

6.如果A（2,y）,5（3,左）两点都在反比例函数尸：图象上，那么》与力的大小关系是（）

A.ye%B.y,>y2C.M=%D.无法确定

7.如图，以点。为圆心，A8为直径半圆经过点C,若C为弧48的中点，若48=4,则图中阴影部分的面积

是（〉

A.itB.2+2乃C.2D.2+乃

8.小宇在利用描点法画二次函数），=火2+6+«〃工0）的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y,

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

r4x+y

9.己知，则二=彳，则----------.

>,3y

10.如图，点P在反比例函数），=々1<0）图象上，过点〃作的点M,网7_1），轴于点乂若矩形

X

的面积为2,则女的值为.

11.如图，在aABC中，M,N分别是AC,8c的中点，则&

3四边开中BNM

12.在平面直角坐标系X。），中，点A（。，b）（67>0,Z?>0）在双曲线y=4■上.点A关于X釉的对称点8在双

曲线），=&■上，则K+鼠的值为.

X

13.如图，点A,B,C,。在。上，C是弧的中点，若NOOC=50。，则NH4C的度数为=。.

14.如图，在矩形A8co中，E是边A8的中点，连接力E交对角线AC于点尸，若A8=4,AD=3,则CT7

的长为.

15.已知关于A-的二次函数），=〃a2-4x4-2与x轴有公共点则m的取值范围是.

16.如图，AABC是等边三角形,A4=3,点E在AC上，AE=2C£,点D在8c的延长线上，符线段DE绕点

E逆时针旋转90°,得到线段铲，连接4尸，若A/7/8。，则A厂的长为.

E

BD

三、解答题（本题共2分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题6分，第24-25题，每小题7分）解答应

写出文字说明、算步骤或证明过程.

17.解方程：X2-4X=2X-9.

ATiAr\

18.如图，已知AE平分N84c=

AEAC

（1）求证：ZE=ZC；

(2)若AB=9,AO=5,DC=3,求BE的长.

19.已知二次函数y=f-41+3.

（1）直接写出这个函数的顶点坐标：

（2）在平面直角坐标系工。），中画出该函数的图象:

（3）当0WxK3时，y的取值范围是.

20.已知关于x的方程2丁+（m+2）x+m=0.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根大于1,求〃，的取值范围.

21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线/：y=〃a一3过点A（3,0）.

(2)直线/与y轴交于点从点C是双曲线)，=囚与直线的一个公共点，

X

A7?

①若〃=4,点C在第一象限，求f的值；

AC

AU

②若1＜方＜3,结合图象，直接写出人的取值范围.

AC

22.如图，A8为。O的直径，点。在。。上，A。与过点。的切线互相垂直，垂足为£＞.连接8。并延长，交八。的延

长线于点E.

(1)求证：AE=AB；

(2)若A8=10,8c=6,求CO的长.

23.在平面直角坐标系xOy中，抛物线)，=inx2-2ntx-1与y轴的交点为A.

oI

（1）求抛物线的对称轴和点A坐标：

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点8（2,0）,记抛物线与直线A8所围成的封闭区域为图形W（不

含边界）.

①当〃7=1时，直接写出图形W内的整点个数；

②若图形W内恰有1个整点，结合函数图象，求m的取值范围.

24.如图，在aABC中，ZABC=45°,AO为BC边上的高线，E为AD上一点，满足。E=OC,连接航.

（1）求证：BE=AC；

（2）取线段8c的中点连接并延长“石到点后使得b=C4.

①依题意补全图形；

②求证：/CFE=/BEM；

③连接■，若A/7/BC成立，直接写出器值.

25.在平面直角坐标系X。），中，对于已知的点P和图形W,若对图形卬上任意两点M和M都有PMW3PN成

立，则称图形卬为点。的“关联图形

⑴已知点八(0,1).

①如图1,点。的坐标为(-2,0),则点八到线段8c上的点的最短距离为,线段8c(填“是”或“不

是“)点A的“关联图形”：

②点。为x轴上一个动点，若线段是点A的“关联图形”，求点。的横坐标”的取值范围；

(2)eT的圆心为(1,0),半径为2,直线y=x-1与x轴，y轴分别交于G,，两点，若在线段G〃上存在点P,

使得e7•是点P的“关联图形”，直接写出/的取值范I机

参考答案

一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8均有四个选项，符合意的选项只有一个

1.《北京市生活垃圾管理条例》对生活垃圾分类提出更高要求，于2020年5月I日起施行，施行的目的在于加强

生活垃圾管理，改善城乡环境，保障人体健康.卜・列垃圾分类标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【答案】C

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【详解】A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意：

B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；

C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意：

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关迎是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重

合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

An1A/7

2.如图，已知E分别在直线AB，AC上，且DEHBC,若一=一，则—的值是（）

AB2AC

A.!B.—C.2D.一

239

【答案】A

APAni

【分析】证明△ABCs^ADE,得到一=——=-.

ACAB2

【详解】•••DE//BC,

.,.△ABC^AADE,

.AEAD

••==-，

ACAB2

故选：A.

【点睛】此题考查相似二•角形的判定及性质，熟记判定定理及性质定理是解题的关键.

3.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Q）是反比例函数关系，它的图

象如图所示.则用电阻R表示电流I的函数表达式为（）

【答案】D

k

【详解】设解析式为：上泰，则有k=IR,由图可知当R=2时，1=3,所以k=6,

所以解析式为：1=4，

故选D.

4.一元二次方程x2=2x的根是（）

A.x=2B.x=0

C.*=2,x?—0D.X]=x?=2

【答案】C

【分析】先移项，然后通过提取公因式x对等式的左边进行因式分解即可求出结果.

【详解】解：X2=2X

X2-2X=0

x（x-2）=0

解得玉=2,x2=0,

故选：C.

【点睛】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程，考查了运算求解能力，熟练掌握因式分解法求解一元二次方

程是解决此题的关健.

5.如图，的半径为1,PA，朋是0。的两条切线，切点分别为4,B.连接04,OB,A3，P0，若

/4/〉8=60。，则△PA5的周长为（）

A.66B.373C.6D.3

【答案】B

【分析】根据切线长定理和圆的切线的性质可得PA=PB.NAPO=NBPO,NPAO=9。。,进而可得△PA8是等边三

角形，乙4尸。二30。，然后根据30。角的直角三角形的性质和勾股定理可求出PA,进而可得答案.

【详解】解：•・•/%,废是。O的两条切线，

：.PA=PB,NAPO=/BPO,ZPAO=90°,

■:ZAPB=60°,

...△PAB是等边三角形，NAPO=30。，

白△FAO中，VZ4PO=30°,OA=l,

：.OP=2OA=2,/乂=物-俨=5

.••△/XB的周长=36.

故选:B.

【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、等边三角形的判定、30。允的直角三角形的性质以及勾股定理等知

识，熟练掌握上述知识是解题的关键.

6.如果A（2,y）,8（3,%）两点都在反比例函数的图象上，那么X与力的大小关系是（）

A.y<乃B.X>>2C.M=%D.无法确定

【答案】B

【分析】根据反比例函数图像卜的点的坐标特征结合点A、B横坐标.求出M、力的值，二者进行比技可得出结

论.

【详解】•••A（2,yJ,3（3,）\）两点都在反比例函数），=，的图象上，

X

：.2x^=1,3xy2=|

11

・"二5,乃w

•/1>1

23

•*-X>刈

故选：B

【点睛】本题考查了反比函数图像上点的坐标特征，解题的关键是根据反比例函数图像上点的坐标特征求出y、

力的值.解该题型时，结合点的横坐标，利用反比函数图像上点的坐标特征求出点的纵坐标是关键.

7.如图，以点。为圆心，A8为直径的半圆经过点C,若C为弧A8的中点，若48=4,则图中阴影部分的面积

是（）

A.RB.2+2万C.2D.2+不

【答案】A

【分析】根据AB是的直径，C为弧A8的中点，得到aAOC兰△BOC,即可得解：

【详解】〈AB是。。直径，。为弧AB的中点，

CO_LAB，AO=BO=—AB=—x4=2,

22

/.ZAOC=ZBOC=90°,

:・&AOC*BOC,

・•・阴影部分的面积二—X7TX22=^;

360

故答案选A.

【点睛】本题主耍考查了扇形面积的计卵，结合垂径定理和三角形全等计兜是解题的关键.

8.小宇在利用描点法画二次函数），=。/+灰+《〃工0）的图象时，先取自变量工的一些值，计算出相应的函数值户

【答案】D

【分析】由表格可得顶点坐标为（2,“），求出抛物线的解析式为y=（x—2产—1=/-2工+3,将x=0及x=4分

别代入计算即可顶点答案.

【详解】Vx=l和x=3时，y=0,

，抛物线的对称轴为直线x=2,

・•・顶点坐标为（2,-1）,

故抛物线的解析式为y=a（x—2）2—1,

当x=l时y=0,代入得a=l,

・•.抛物线的解析式为y=（x-2产一1=f-2x+3,

当x=0时代入解析式得y=3,

当x=4时代入解析式得y=3,

x=0

故错误的一组数据是《

y=4

故选：D.

【点睛】此题考查抛物线上的点的坐标，待定系数法求二次函数的解析式.由表格求出抛物线的解析式是解题的关

键.

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

x4x+y

9.已知，则一=彳，则一-=_____.

>,3y

7

【答案】y

【分析】直接用同一未知数表示出了、的值，进而得出答案.

【详解】解：•・♦£=；,

y3

设.v=4a,y=3a,

x+y_4a+3a_7

y3a3,

故答案为：—

【点暗】此题主要考查了比例式的性质，正确用同一未知数表示各数是解题关键.

k

10.如图，点P在反比例函数）'=一（工<0）的图象上，过点P作PMJ.X地点M,9，），轴于点乂若矩形

X

PMON的面积为2,则2的值为.

【分析】设PM=a,PN=b,根据点P在第二象限得P（-b,a）,根据矩形的面积公式及反比例函数解析式求k的

值.

【详解】设PM=a,PN=b,则ab=2.

•••点P在第二象限,

Z.P(-b.a)，

将P(-b,a)代入)，=幺(1<0)中，得

k=-ab=-2,

故答案为：-2.

【点睛】此题考查反比例函数系数k的几何意义，直角坐标系中点的坐标的确定方法.

S

【1.如图，在aABC中，M,N分别是AC,8c的中点，则<.

»四边形A8NM

【答案】

3

【分析】根据相似三角形的性质求解即可；

【详解】•・•“，N分别是AC,3c的中点，

，MN〃AB,MN=-AB,

2

:・〜4ABC，

由题可知△MNC与AABC的相似比是1:2,

则aMNC与aABC的面积比是1:4,

.SKMN_1

S四边形A8NM3

故答案为：7*

3

【点睛】本题主要考查了相似三角的判定与性质，准确分析判断是解题的关键.

12.在平面直角坐标系X。)，中，点Am〃)(〃>(),〃>0)在双曲线、=4上.点A关于X轴的对称点“在双

k

曲线y二=上，则的值为.

x

【答案】0.

【分析】由点A(a,b)(a>0,b>0)在双曲线>=人上，可得ki=ab,由点A与点B关于x轴的对称，可得到

x

点B的坐标，进而表示出k2,然后得出答案.

k

【详解】解：•・•点A(a,b)(a>0,b>0)在双曲线)，=」■上，

.*.ki=ab：

又•.•点A与点B关于x轴的对称,

AB(a,-b)

,点B在双曲线)，=4■上，

X

k2=-ab；

.*.ki+k2=ab+(-ab)=0：

故答案为0.

【点睛】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性

质.

13.如图，点A,B,C,。在。上，C是弧BO的中点，若NODC=50。，则的度数为=。.

【分析】由点C是弧80的中点，可知BC=DC，根据在同圆或等风中，同弧所对圆心角是阴周角的两倍，因为

ZODC=50°,因为/COD=180°-50°-50°=80。，所以/BAC=，NCO£)=40。：

2

【详解.】•••点C是弧30的中点，

BC=DC，

,/ZODC=50°,

:.ZOCD=50°,

ZCOD=180o-50°-50o=80°,

.,.ZBAC=-ZCO£>=40°,

2

故答案为：40°.

【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，同弧所对圆心角是圆周角的两倍，正确理解该知识点是解题的关键：

14.如图，在矩形A8CO中，E是边A3的中点，连接QE交对角线AC于点尸，若A3=4,40=3,则CE

的长为.

i,10

【答案】—

3

AFAE\

【分析】根据勾股定理求出AC=JAD2+C02=5,根据AA//CO,得到，即可求出的

~CF~~CD~2CF

长.

【详解】解：：四边形488是矩形,

.・.A3=C£>=4,ABHCD,ZADC=90°,

在RS4DC中，ZADC=9()%

：•AC=ylAD2+CD1=5>

,/E是A8中点，

:.AE=-AB=-CD,

22

•:ABHCD,

・竺AE_1

•♦=---=一，

CFCD2

2…10

：.CF:

33

故答案为：—•

3

【点睛】考查矩形的性质，勾股定埋，相似二角形的性质及判定，熟练掌猩相似二角形的判定方法和性侦是解题的

关键.

15.已知关于x的二次函数y=〃a2-4工+2与x轴有公共点则m的取值范围是.

【答案】m42且切工0

【分析】先根据二次函数的定义得到机工0,再根据抛物线与x轴有公共点问题得到△=(-4)2-4"?X2N0,然后

解不等式即可得到〃？的值.

【详解】•.•二次函数)，=mY-4x+2与x轴有公共点，

・•・A=(-4)2-4WX2>0

解得加42,

又•.・y=nix2-4.X+2是二次函数,

用工0,

・••m的取值范围是rn«2且JWK0.

故答案为：机工2且〃zwO.

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数），=a?+法+，⑸b,c是常数，a和），△二『—4℃

决定抛物线与x轴的交点个数：当△=力-4次?>0时，抛物线与x轴有2个交点：当△=b2-4ac=0时.，效物线

与x轴有I个交点；当△=b2—4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

16.如图，△ABC是等边三角形,AB=3,点E在AC上，AE=2CE,点D在8。的延长线上，将线段DE绕点

E逆时针旋转90。，得到线段所，连接4月，若AFHBD,则A方的长为.

【答案】B+i

2

【分析】如图过点E作EMJ_AF于M,交BD于N,解直角三角形求出AM,EN,利用全等三角形的性债证明

MF=EN.即可解决问题；

【详解】过点于M,交BD于N,

/.AB=AC=BC=3,ZACB=60°,

■:AE=2CE,

工AE=2,EC=h

•:AF//BE,

・••N"犷=/ACB=60°，

•：EMLAF,

・•.ZWE=90。，

・•・ZA£M=30。，

AM=-AE=\,

2

VAF//BD,EMA,AF,

:.ENLBC,

/o

EN-必・sin60°--

2

•••乙丽=4END=々FED=90°,

・••N监F+AMEF=90°，AMEF+ADEN=90°，

VED=EF,

△«妒=ADEN(AAS),

・•・MF=EN=—，

2

•**AF=AM+MF=1+—：

2

故答案是：正+i.

2

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，特殊角的三角函数值，三角形全等，准确分析计算是解

题的关键.

三、解答题(本题共2分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题6分，第24-25题，每小题7分〕解答应

写出文字说明、和步骤或证明过程.

17.解方程：X2-4X=2X-9.

【答案】X,=X2=3.

【分析】整理后，运用配方法即可求解.

【详解】解：/一6工+9=0，

(X-3)2=0,

%!=x2=3.

【点睛】本题考查解一元二次方程——配方法.能利用完全平方公式正确变形是解题关键.

」行十八ABAD

18.如图，已知AE平分NBAC,—=——.

AEAC

(1)求证：ZE=ZC：

(2)若48=9,Al)=5,/)C=3,求AE的长.

B'D

【答案】（1）证明见解析；（2）y

【分析】（1）先证△BAE'sz^DAC，可得NE=/C；

ARRF

（2）根据相似三角形性质，由△BAEs^DAC得一=一,代入已知值可求

ADDC

【详解】解：（1）证明：•••4£；平分NMC,

:.4BAE=4DAC,

ABAD

•?一=——，

AEAC

ABAE

——=——,

ADAC

Z\BAE^/\DAC，

/.ZE=ZC.

（2）,：ABAEs^DAC,

ABBE

:.——=——，

ADDC

VAB=9,AD=5,DC=3,

.叩AB“9.27

..BE=-----DC=—x3=—.

AD55

【点睛】本题考核知识点：相似三角形.解题关健点：熟记相似三角形的判定和性质.

19.已知二次函数y=f-41+3.

（I）直接写出这个函数的顶点坐标:

（2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象：

（3）当0WxW3时，y的取值范围是.

【答案】（1）（2,-1）；（2）如图见解析；（3）

【分析】（1）根据配方法把二次函数方程转化成顶点式即可：

（2）根据解析式确定对称轴、与x轴、y轴交点坐标，然后进行画图即可：

（3）观察（2）图像可知：x=0时，y=3,0<x<3,y的最小值为-1,可得出0«尤43时y的取值范围.

22

【详解】（1）y=x-4x+3=（x-2）-l,

故顶点坐标为：（2,—1）：

（2）由（1）可知函数对称轴为直线x=2,当x=0时，y=3,），=0时，x=3,故可以做出图像：

如图：

（3）由（2）中图像可知，04xW3时，y的取值范围为：-lWyW3.

【点睛】本题考查了二次函数的形式转化以及二次函数的性质，熟记配方法和利用顶点式解析式求对称轴及顶点坐

标是解答本题的关健.

20.已知关于x的方程2x2+（〃?+2）x+切=0.

（I）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根大于1,求，〃的取值范围.

【答案】（1）见解析：（2）m<-2.

【分析】（1）利用完全平方式证明△20即可求解；

⑵先对原方程求解求出两个根分别为为二-1和々=一蓝，再由一个根大于1得到苫>】，由此即可求出切的取

值范围.

【详解】解：（1）证明：△=（〃?+2）~-4x2〃？=nr-4，〃+4=（〃z-2）2

•.•完全平方式题是大于等于0的，

（W-2）2>0,

・•.方程总有两个实数根.

⑵原方程可化为（x+l）（2x+〃］）=0,

解得X=-l,X2=-y,

•・•方程有一个根大于I,且一1V1，

/.-->1,解得

2

故答案为：m<-2.

【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式及解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键.

21.如图，在平面直角坐标系xQy中，已知直线/:y="tr-3过点A（3,0）.

（2）直线/与y轴交于点以点。是双曲线），=巳与直线的一个公共点，

x

①若〃=4,点C在第一象限，求空的值：

AC

②若结合图象，直接写出人的取值范围.

AC

Afio

【答案】（1）y=x-3；（2）®—二3,②一一4〃<一2或4v〃vl8.

AC4

【分析】（1）杷点A代入解析式即可.求解：

（2）①根据已知条件得出反比例函数的解析式，联立方程组得出点C的坐标，得出AC,即可得出结论;

②根据点C在不同的象限分析判断即可：

【详解】（1）;直线/过点4（3,0）,

・・・3m-3=0,解得m=l.

/.直线/的解析式为y=x-3.

4卜="一3

（2）①解：当〃=4时,双曲线为），=一.联立《4.

xy=—

x

x=4

在第一象限内解得〈..即点。的坐标为（4,1）.

y=1

于是AC=J(4_3)2+0_O1二&，

向直线/与y轴的交点为6(0,-3)，在RAAOB中,可得A8=J?万=3夜，

，旦3.

AC

②因为直线y=x-3经过三、四、一象限，所以交点C不可以在第二象限，

当C在第一象限时，

若丝=1,则有A8=AC=30，

AC

如图，过点C作CM_Lx轴，垂足为M,

VA(3,0),B(0,-3),

.\OA=OB=3,ZAOB=45°,

.,.ZCAM=45°,

AM=CM,

VAM2+CM2=AC\

AM=CM=3,

・・・OC=3+3=6,

C(6,3),

・•.〃=6?318,

AB

由①可知，〃=4时，――=3,

AC

AR

・•・当点C在第一象限时，若1<——<3，〃的取值范围为4<〃<18：

AC

AR

当C在第三象限时，此时AB<AC,即——<1,所以没有符合条件的点C；

AC

当点C在第四象限时,

若双曲线与直线刚好有1个交点C,则有*-3=-,

x

x2-3x-/?=0»

：•b2-4ac=0，

9+4〃=0.

4

33

此时，x=-,y=--»

AB_3垃

工就'符合条件:

当曲线与直线有2个交点时，

若空=3,则4。=正，

AC

3-1=2,

AC(2,-I),

此时〃=2x(-1)=-2

ARQ

当点C在第四象限时，若1<——<3,〃的取值范围为一

AC4

9

综上所述：一一《〃<-2或4<〃<18.

4

【点睛】本题主要考行r反比例函数与一次函数的交点问题，涉及了待定系数法，勾股定理等知识，正确分析，分

类讨论，利用数形结合思想是解题的美键.

22.如图，为。O的直径，点。在。。上，与过点。的切线互相垂直，垂足为D连接8C并延长，交A。的延

长线于点E.

(1)求证：AE=AB；

(2)若A8=I0,3c=6,求C。的长.

【答案】(1)见解析：(2)CD=^-

【分析】(I)连接OC,由同旁内角互补得出AD〃OC,可得/OCB=NE,即可推出NABE=NE,AE=AB.

(2)连接AC,由勾股定理求出AC,由△EDCs/iECA得出相似比，求出CD即可.

【详解】

(1)证明：连接

YC。与。O相切于C点

.\OCLCD

又・.・CO_LAE

：,OCHAE

:.ZOCB=ZE

'：OC=OB

.,.ZABE=ZOCB

AZABE=ZE

：.AE=AB

（2）连接AC

•・・A4为OO的直径

ZACB=90°

•••^C=ViO2-62=8

'：AB=AE,AC1BE

：.EC=BC=6

'：NDEC=NCEA,ZEDC=ZECA

:.△EDCsgCA

.DCEC

"AC-EA

FC624

；.CD=——4c=—x8=—.

EA105

【点睛】本题考查圆与三角形的综合性质及相似的证明和性质,关键在于合理作出辅助线将已知条件转换求解.

23.在平面直角坐标系xOy中，抛物线），=nix2-2〃吠一1与y轴的交点为A.

（1）求抛物线的对■称轴和点A坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点8（2,0）,记抛物线与直线A8所围成的封闭区域为图形W（不

含边界）.

①当〃7=1时，直接写出图形W内的整点个数；

②若图形W内恰有1个整点，结合函数图象，求m的取值范围.

【答案】（1）抛物线的对称轴为：直线x=l；抛物线与y轴交点A的坐标为（0,I）；（2）①1个；②

一24加＜一1或［4，〃41.

3

【分析】（1）直接利用对称轴公式计算，即可得出抛物线的对称轴，再令x=0,即可求出点A的坐标;

（2）①先确定出抛物线解析式，即可得出结论：

②根据抛物线必过点（0,-1）和（2,-1）,分情况讨论①当抛物线开口向上时，相>0；②当抛物线开口向下时,

力<0；即可得出结论.

【详解】（1）解：抛物线对称轴为：直线工=-2=1.

2a

抛物线与y轴交点A的坐标为（0,-1）

（2）①当m=l时,抛物线的解析式为y=x2-2x-l,

由（1）知，C（0,・1）,抛物线的对称轴为直线x=l,

・•・抛物线还经过（2,-1）,

•・•抛物线的顶点坐标为（1,・2）,

・•・图形W内的整点只有（1,-1）一个；

②解：抛物线必过点（0,-1）和（2,—1）,有以卜.几种情况：

如图1,当抛物线开口向上时，〃z>0,临界位置为：

当抛物线过点（1,一2）时，机=1,区域W内有一个整点：

当抛物线过点（3,0）时，机=g区域W内有一个整点：

・•.结合图象，可得;

如图2,当抛物线开口向下时，〃z<0,临界位置为：

当抛物线过点（1,0）时，山=-1,区域W内无整点：

当抛物线过点（2,0）时，m二一2,区域W内有一个整点；

・•・结合图象,可得一

综上所述，一26〃2<—1或1三〃?41.

3

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了抛物线对称轴的确定，函数图象的画法，顶点坐标公式，利用数形结合的

思想解决问题是解题的关键.

24.如图，在aABC中，ZABC=45°,AQ为8C边上的高线，E为AD上一点，满足QE=OC,连接BE.

A

(1)求证：BE=ACi

(2)取线段3c中点M,连接并延长ME到点立使得。尸=。4.

①依题意补全图形；

②求证：NCFE=NBEM；

③连接A/，若A/7/BC成立，直接写出黑的值.

【答案】(1)证明见解析：(2)①如图所示，见解析：②证明见解析：③器的值为3.

【分析】(I)可根据条件证明然后得到结果；

⑵①按照题目要求作图即可：

②如图2延长QW到点G,使得MGnA",连接8G,证明出ZxBMG空△CM/7,得到BG=C/，

BE=BG,可得出最终结果：

③过点C作CNJ.A/于点N,由条件得到四边形ADCN为矩形，设CD=mBD=AD2，则AF=2a,DE=“,

AE=b-a,由条件知运用边的比可得出结果.

【详解】(1)证明：

■:AD是△ABC的高，・•・ZADB=ZADC=9()。，

/.ZABC=45°,/.ZB/V)=90°-ZXBC=45°,：,ZBAD=ZABC,

:.DA=DB,

，：DE=DC,：.AADC%BDE,

:.BE=AC.

(2)①如图1所示

②证明：如图2延长五M到点G,使得MG=MF,连接3G，

:M为BC中点，：.BM=CM,

，：FM=GM,4BMG=4CMF,

:.乙BMGg八CMF,

:・BG=CF,/CFE=/G,

•.•由已知b=C4,由（1）CA=BE,

•*.BE=BG，

・•・/BEG=/G,

・♦•/CFE=NBEM.

③如图3,过点C作CN_L4/于点N,

•:AC=CF,:M=NF、

•;AF/!BC,CN1AF,

ZDCN=ZANC=90°,

••・四边形ADCN为矩形，

DC=AN=NF=-AF,

2

设CD=a,BD=AD=〃，则AF=2a,DE=sAE=b-a(a>0,b>0),

=MD=MC-DC=^~

22

-AF//MD,

:.^AEF~GEM，

b-a

AFAE,,,,

-----=------9则b-a

MDDE

4/=(b-a)2,

b2=2ab+3a2，

(b-3a)(b+a)=0,

•*.b=3a或b=舍),

些，=3.

【点睛】本题考查三角形的综合问题，涉及全等三角形的证明和性质以及相似三角形的运用，需要有较强的逻辑推

理能力以及空间想象能力，熟练掌握全等三角形以及相似三角形的性质是解即的关键.

25.在平面直角坐标系X。），中，对于已知的点尸和图形W,若对图形W上任意两点M和M都有PMW3PN成

立，则称图形卬为点P的“关联图形

6-8-4-3-2-I06X

⑴已知点八(0,1).R(LO).

①如