无限脉冲响应数字滤波器的设计()

无限脉冲响应数字滤波器的设计()

6.1数字滤波器的基本概念

1.数字滤波器的分类数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：(6.1.1)(6.1.2)第2页,共148页，星期六，2024年，5月图6.1.1理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性第3页,共148页，星期六，2024年，5月2数字滤波器的技术要求我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(ejω)用下式表示：图6.1.2低通滤波器的技术要求第4页,共148页，星期六，2024年，5月

通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用αp表示，阻带内允许的最小衰减用αs表示，αp和αs分别定义为：(6.1.3)(6.1.4)如将|H(ej0)|归一化为1，(6.1.3)和(6.1.4)式则表示成：(6.1.5)(6.1.6)第5页,共148页，星期六，2024年，5月3.数字滤波器设计方法概述

IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的。IIR滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。第6页,共148页，星期六，2024年，5月

6.2模拟滤波器的设计

模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。第7页,共148页，星期六，2024年，5月

图6.2.1各种理想滤波器的幅频特性第8页,共148页，星期六，2024年，5月1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标有αp,Ωp,αs和Ωs。其中Ωp和Ωs分别称为通带截止频率和阻带截止频率，αp是通带Ω(=0~Ωp)中的最大衰减系数，αs是阻带Ω≥Ωs的最小衰减系数，αp和αs一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：(6.2.1)(6.2.2)第9页,共148页，星期六，2024年，5月

如果Ω=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp和αs表示为以上技术指标用图6.2.2表示。图中Ωc称为3dB截止频率，因(6.2.3)(6.2.4)第10页,共148页，星期六，2024年，5月图6.2.2低通滤波器的幅度特性第11页,共148页，星期六，2024年，5月

滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标αp和αs，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此(6.2.5)第12页,共148页，星期六，2024年，5月2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|2用下式表示：(6.2.6)

图6.2.3巴特沃斯幅度特性和N的关系第13页,共148页，星期六，2024年，5月

将幅度平方函数|Ha(jΩ)|2写成s的函数：(6.2.7)

此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：(6.2.8)第14页,共148页，星期六，2024年，5月图6.2.4三阶巴特沃斯滤波器极点分布第15页,共148页，星期六，2024年，5月

为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(s)。Ha(s)的表示式为设N=3，极点有6个，它们分别为第16页,共148页，星期六，2024年，5月取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：第17页,共148页，星期六，2024年，5月

由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率Ωc归一化，归一化后的Ha(s)表示为式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。令λ=Ω/Ωc，λ称为归一化频率；令p=jλ，p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为(6.2.10)(6.2.11)第18页,共148页，星期六，2024年，5月

式中，pk为归一化极点，用下式表示：将极点表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示：

(6.2.12)

将Ω=Ωs代入(6.2.6)式中，再将|Ha(jΩs)|2代入(6.2.4)式中，得到：(6.2.14)(6.2.15)第19页,共148页，星期六，2024年，5月

由(6.2.14)和(6.2.15)式得到：令,则N由下式表示：(6.2.16)第20页,共148页，星期六，2024年，5月

用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率Ωc，如果技术指标中没有给出，可以按照(6.2.14)式或(6.2.15)式求出，由(6.2.14)式得到：由(6.2.15)式得到：(6.2.17)(6.2.18)第21页,共148页，星期六，2024年，5月

总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：

(1)根据技术指标Ωp,αp,Ωs和αs，用(6.2.16)式求出滤波器的阶数N。

(2)按照(6.2.12)式，求出归一化极点pk，将pk代入(6.2.11)式，得到归一化传输函数Ha(p)。

(3)将Ha(p)去归一化。将p=s/Ωc代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。第22页,共148页，星期六，2024年，5月表6.2.1巴特沃斯归一化低通滤波器参数第23页,共148页，星期六，2024年，5月第24页,共148页，星期六，2024年，5月第25页,共148页，星期六，2024年，5月

例6.2.1已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减αp=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解(1)确定阶数N。第26页,共148页，星期六，2024年，5月(2)按照(6.2.12)式，其极点为按照(6.2.11)式，归一化传输函数为第27页,共148页，星期六，2024年，5月

上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查表6.2.1简单，由N=5，直接查表得到：极点：-0.3090±j0.9511,-0.8090±j0.5878;-1.0000

式

b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361第28页,共148页，星期六，2024年，5月(3)为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率Ωc。按照(6.2.17)式，得到：将Ωc代入(6.2.18)式，得到：将p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：第29页,共148页，星期六，2024年，5月

我们这里仅介绍切比雪夫Ⅰ型滤波器的设计方法。图6.2.5分别画出阶数N为奇数与偶数时的切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性。其幅度平方函数用A2(Ω)表示：(6.2.19)第30页,共148页，星期六，2024年，5月图6.2.5切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性第31页,共148页，星期六，2024年，5月

式中，ε为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，ε愈大，波动幅度也愈大。Ωp称为通带截止频率。令λ=Ω/Ωp，称为对Ωp的归一化频率。CN(x)称为N阶切比雪夫多项式，定义为第32页,共148页，星期六，2024年，5月当N=0时，C0(x)=1；当N=1时，C1(x)=x；当N=2时，C2(x)=2x21；当N=3时，C3(x)=4x33x。由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为

CN+1(x)=2xCN(x)CN-1(x)(6.2.20)第33页,共148页，星期六，2024年，5月

图6.2.6示出了阶数N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性。由图可见：

(1)切比雪夫多项式的过零点在|x|≤1的范围内；

(2)当|x|<1时，|CN(x)|≤1,在|x|<1范围内具有等波纹性；

(3)当|x|>1时，CN(x)是双曲线函数，随x单调上升。第34页,共148页，星期六，2024年，5月图6.2.6N=0,4,5切比雪夫多项式曲线第35页,共148页，星期六，2024年，5月

按照(6.2.19)式，平方幅度函数与三个参数即ε,Ωp和N有关。其中ε与通带内允许的波动大小有关，定义允许的通带波纹δ用下式表示：(6.2.21)因此(6.2.22)第36页,共148页，星期六，2024年，5月

图6.2.7切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的A2(Ω)曲线第37页,共148页，星期六，2024年，5月

设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用Ωs表示，在Ωs处的A2(Ωs)用(6.2.19)式确定：

(6.2.23)令λs=Ωs/Ωp，由λs>1，有(6.2.24)(6.2.25)可以解出第38页,共148页，星期六，2024年，5月3dB截止频率用Ωc表示，按照(6.2.19)式，有通常取λc>1，因此上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式：(6.2.26)第39页,共148页，星期六，2024年，5月

以上Ωp,ε和N确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/Ωp。求解的过程请参考有关资料。下面仅介绍一些有用的结果。

设Ha(s)的极点为si=σi+jΩi，可以证明：(6.2.23)令λs=Ωs/Ωp，由λs>1，有(6.2.24)(6.2.25)第40页,共148页，星期六，2024年，5月

上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式：(6.2.26)设Ha(s)的极点为si=σi+jΩi，可以证明：(6.2.27)式中(6.2.28)第41页,共148页，星期六，2024年，5月(6.2.28)式是一个椭圆方程，长半轴为Ωpchξ(在虚轴上)，短半轴为Ωpshξ(在实轴上)。令bΩp和aΩp分别表示长半轴和短半轴，可推导出：(6.2.29)(6.2.30)(6.2.31)第42页,共148页，星期六，2024年，5月图6.2.8三阶切比雪夫滤波器的极点分布第43页,共148页，星期六，2024年，5月

设N=3，平方幅度函数的极点分布如图6.2.8所示(极点用X表示)。为稳定，用左半平面的极点构成Ha(p)，即(6.2.32)

式中c是待定系数。根据幅度平方函数(6.2.19)式可导出：c=ε·2N-1，代入(6.2.32)式，得到归一化的传输函数为(6.2.33a)第44页,共148页，星期六，2024年，5月

按照以上分析，下面介绍切比雪夫Ⅰ型滤波器设计步骤。

1)确定技术要求αp,Ωp,αs和Ωsαp是Ω=Ωp时的衰减系数，αs是Ω=Ωs时的衰减系数，它们为去归一化后的传输函数为(6.2.33b)(6.2.34)(6.2.35)第45页,共148页，星期六，2024年，5月

这里αp就是前面定义的通带波纹δ，见(6.2.21)式。归一化频率

2)求滤波器阶数N和参数ε

由(6.2.19)式，得到：第46页,共148页，星期六，2024年，5月

将以上两式代入(6.2.34)式和(6.2.35)式，得到：令(6.2.36)(6.2.37)第47页,共148页，星期六，2024年，5月

这样，先由(6.2.36)式求出k-11，代入(6.2.37)式，求出阶数N，最后取大于等于N的最小整数。按照(6.2.22)式求ε，这里αp=δ。

ε+2=100.1δ13)求归一化传输函数Ha(p)

为求Ha(p)，先按照(6.2.27)式求出归一化极点pk,k=1,2,:,N。第48页,共148页，星期六，2024年，5月

将极点pk代入(6.2.33)式，得到：4)将Ha(p)去归一化，得到实际的Ha(s)，即(6.2.38)(6.2.39)第49页,共148页，星期六，2024年，5月

例6.2.2设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减αp=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=60dB。解

(1)滤波器的技术要求：第50页,共148页，星期六，2024年，5月(2)求阶数N和ε：第51页,共148页，星期六，2024年，5月(3)求Ha(p):由(6.2.38)式求出N=5时的极点pi，代入上式，得到：(4)将Ha(p)去归一化，得到：第52页,共148页，星期六，2024年，5月4.模拟滤波器的频率变换——模拟高通、带通、带阻滤波器的设计为了防止符号混淆，先规定一些符号如下：

1)低通到高通的频率变换

λ和η之间的关系为上式即是低通到高通的频率变换公式，如果已知低通G(jλ)，高通H(jη)则用下式转换：(6.2.41)(6.2.40)第53页,共148页，星期六，2024年，5月图6.2.9低通与高通滤波器的幅度特性第54页,共148页，星期六，2024年，5月

模拟高通滤波器的设计步骤如下：

(1)确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率Ω′p，阻带上限频率Ω′s，通带最大衰减αp，阻带最小衰减αs。

(2)确定相应低通滤波器的设计指标：按照(6.2.40)式，将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为：①低通滤波器通带截止频率Ωp=1/Ω′p；②低通滤波器阻带截止频率Ωs=1/Ω′s；③通带最大衰减仍为αp，阻带最小衰减仍为αs。第55页,共148页，星期六，2024年，5月(3)设计归一化低通滤波器G(p)。

(4)求模拟高通的H(s)。将G(p)按照(6.2.40)式，转换成归一化高通H(q)，为去归一化，将q=s/Ωc代入H(q)中，得例6.2.3设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减αs=15dB。(6.2.42)第56页,共148页，星期六，2024年，5月

解①高通技术要求：

fp=200Hz,αp=3dB;fs=100Hz,αs=15dB

归一化频率②低通技术要求：第57页,共148页，星期六，2024年，5月③设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故第58页,共148页，星期六，2024年，5月④求模拟高通H(s)：

2)低通到带通的频率变换低通与带通滤波器的幅度特性如图6.2.10所示。第59页,共148页，星期六，2024年，5月图6.2.10带通与低通滤波器的幅度特性

表6.2.2η与λ的对应关系第60页,共148页，星期六，2024年，5月

由η与λ的对应关系，得到：由表6.2.2知λp对应ηu，代入上式中，有(6.2.43)式称为低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。下面推导由归一化低通到带通的转换公式。由于第61页,共148页，星期六，2024年，5月

将(6.2.43)式代入上式，得到：将q=jη代入上式，得到：为去归一化，将q=s/B代入上式，得到：(6.2.44)(6.2.45)第62页,共148页，星期六，2024年，5月上式就是由归一化低通直接转换成带通的计算公式。下面总结模拟带通的设计步骤。(1)确定模拟带通滤波器的技术指标，即：带通上限频率Ωu，带通下限频率Ωl下阻带上限频率Ωs1,上阻带下限频率Ωs2

通带中心频率Ω20=ΩlΩu，通带宽度B=ΩuΩl与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：第63页,共148页，星期六，2024年，5月(2)确定归一化低通技术要求：

λs与-λs的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的λs，这样保证在较大的λs处更能满足要求。通带最大衰减仍为αp，阻带最小衰减亦为αs。

(3)设计归一化低通G(p)。

(4)由(6.2.45)式直接将G(p)转换成带通H(s)。第64页,共148页，星期六，2024年，5月

例6.2.4设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2π×200rad/s，中心频率Ω0=2π×1000rad/s，通带内最大衰减αp=3dB，阻带Ωs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s，阻带最小衰减αs=15dB。解(1)模拟带通的技术要求：

Ω0=2π×1000rad/s,αp=3dBΩs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s,αs=15dBB=2π×200rad/s;η0=5,ηs1=4.15,ηs2=6第65页,共148页，星期六，2024年，5月(2)模拟归一化低通技术要求：

取λs=1.833,αp=3dB,αs=15dB。

(3)设计模拟归一化低通滤波器G(p)：采用巴特沃斯型，有第66页,共148页，星期六，2024年，5月

取N=3，查表6.2.1，得(4)求模拟带通H(s)：第67页,共148页，星期六，2024年，5月3)低通到带阻的频率变换低通与带阻滤波器的幅频特性如图6.2.11所示。图6.2.11低通与带阻滤波器的幅频特性第68页,共148页，星期六，2024年，5月

图中，Ωl和Ωu分别是下通带截止频率和上通带截止频率，Ωs1和Ωs2分别为阻带的下限频率和上限频率，Ω0为阻带中心频率，Ω20=ΩuΩl，阻带带宽B=ΩuΩl，B作为归一化参考频率。相应的归一化边界频率为

ηu=Ωu/B,ηl=Ωl/B,ηs1=Ωs1/B,ηs2=Ωs2/B;η20=ηuηl

表6.2.3η与λ的对应关系第69页,共148页，星期六，2024年，5月

根据η与λ的对应关系，可得到：且ηuηl=1，λp=1，(6.2.46)式称为低通到带阻的频率变换公式。将(6.2.46)式代入p=jλ，并去归一化，可得上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。(6.2.46)(6.2.47)(6.2.48)第70页,共148页，星期六，2024年，5月下面总结设计带阻滤波器的步骤：(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求，即：下通带截止频率Ωl,上通带截止频率Ωu阻带下限频率Ωs1，阻带上限频率Ωs2阻带中心频率Ω+20=ΩuΩl，阻带宽度B=ΩuΩl它们相应的归一化边界频率为

ηl=Ωl/B,ηu=Ωu/B,ηs1=Ωs1/B;ηs2=Ωs2/B,η20=ηuηl以及通带最大衰减αp和阻带最小衰减αs。第71页,共148页，星期六，2024年，5月(2)确定归一化模拟低通技术要求，即：取λs和λs的绝对值较小的λs；通带最大衰减为αp，阻带最小衰减为αs。

(3)设计归一化模拟低通G(p)。

(4)按照(6.2.48)式直接将G(p)转换成带阻滤波器H(s)。第72页,共148页，星期六，2024年，5月

例6.2.5设计模拟带阻滤波器，其技术要求为：

Ωl=2π×905rad/s,Ωs1=2π×980rad/s,Ωs2=2π×1020rad/s,Ωu=2π×1105rad/s,αp=3dB,αs=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。解

(1)模拟带阻滤波器的技术要求：

Ωl=2π×905,Ωu=2π×1105;Ωs1=2π×980,Ωs2=2π×1020;Ω20=ΩlΩu=4π+2×1000025,B=ΩuΩl=2π×200;

第73页,共148页，星期六，2024年，5月ηl=Ωl/B=4.525,ηu=Ωu/B=5.525;ηs1=Ωs1/B=4.9,ηs2=5.1;η20=ηlηu=25(2)归一化低通的技术要求：(3)设计归一化低通滤波器G(p):第74页,共148页，星期六，2024年，5月(4)带阻滤波器的H(s)为第75页,共148页，星期六，2024年，5月6.3用脉冲响应不变法设计IIR

数字低通滤波器

为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求：

(1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。

(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。第76页,共148页，星期六，2024年，5月

设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t)

设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：(6.3.1)

式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)：(6.3.2)第77页,共148页，星期六，2024年，5月

式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：(6.3.3)对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：(6.3.4)设ha(t)的采样信号用ha(t)表示，第78页,共148页，星期六，2024年，5月

对进行拉氏变换，得到:

式中ha(nT)是ha(t)在采样点t=nT时的幅度值，它与序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到:(6.3.5)第79页,共148页，星期六，2024年，5月

上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示：我们知道模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(jΩ)和其采样信号的傅里叶变换之间的关系满足(1.5.5)式，重写如下：(6.3.6)第80页,共148页，星期六，2024年，5月将s=jΩ代入上式，得由(6.3.5)式和(6.3.8)式得到:(6.3.7)(6.3.8)(6.3.9)第81页,共148页，星期六，2024年，5月

上式表明将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期Ωs=2π/T延拓后，再按照(6.3.6)式映射关系，映射到z平面上，就得到H(z)。(6.3.6)式可称为标准映射关系。下面进一步分析这种映射关系。设按照(6.3.6)式，得到:因此得到:(6.3.10)第82页,共148页，星期六，2024年，5月

那么

σ=0,r=1σ<0,r<1σ>0,r>1

另外，注意到z=esT是一个周期函数，可写成为任意整数第83页,共148页，星期六，2024年，5月图6.3.1z=esT,s平面与z平面之间的映射关系第84页,共148页，星期六，2024年，5月图6.3.2脉冲响应不变法的频率混叠现象第85页,共148页，星期六，2024年，5月

假设没有频率混叠现象，即满足按照(6.3.9)式，并将关系式s=jΩ代入，ω=ΩT，代入得到：令第86页,共148页，星期六，2024年，5月

一般Ha(s)的极点si是一个复数，且以共轭成对的形式出现，在(6.3.1)式中将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为极点为(6.3.11)

可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法)的形式为(6.3.12)第87页,共148页，星期六，2024年，5月

如果模拟滤波器二阶基本节的形式为极点为(6.3.13)(6.3.14)第88页,共148页，星期六，2024年，5月

例6.3.1已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。解首先将Ha(s)写成部分分式：极点为那么H(z)的极点为第89页,共148页，星期六，2024年，5月按照(6.3.4)式，并经过整理，得到设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则

转换时，也可以直接按照(6.3.13),(6.3.14)式进行转换。首先将Ha(s)写成(6.3.13)式的形式，如极点s1,2=σ1±jΩ1,则第90页,共148页，星期六，2024年，5月再按照(6.3.14)式，H(z)为第91页,共148页，星期六，2024年，5月图6.3.3例6.3.1的幅度特性第92页,共148页，星期六，2024年，5月

6.4用双线性变换法设计IIR数字

低通滤波器

正切变换实现频率压缩：(6.4.1)

式中T仍是采样间隔，当Ω1从π/T经过0变化到π/T时，Ω则由∞经过0变化到+∞，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的±π/T之间的转换。这样便有(6.4.2)第93页,共148页，星期六，2024年，5月

再通过转换到z平面上，得到：(6.4.3)(6.4.4)第94页,共148页，星期六，2024年，5月

下面分析模拟频率Ω和数字频率ω之间的关系。图6.4.1双线性变换法的映射关系第95页,共148页，星期六，2024年，5月

令s=jΩ,z=ejω，并代入(6.4.3)式中，有(6.4.5)图6.4.2双线性变换法的频率变换关系第96页,共148页，星期六，2024年，5月图6.4.3双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射第97页,共148页，星期六，2024年，5月

设第98页,共148页，星期六，2024年，5月

表6.4.1系数关系表第99页,共148页，星期六，2024年，5月第100页,共148页，星期六，2024年，5月

例6.4.1试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图6.4.4所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。解首先按照图6.4.4写出该滤波器的传输函数Ha(s)为

利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为第101页,共148页，星期六，2024年，5月

利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为H1(z)和H2(z)的网络结构分别如图6.4.5(a),(b)所示。图6.4.5例6.4.1图——H1(z)和H2(z)的网络结构

(a)H1(z);(b)H2(z)第102页,共148页，星期六，2024年，5月

下面我们总结利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。

(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率ωp、通带衰减αp、阻带截止频率ωs、阻带衰减αs。

(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。

如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为第103页,共148页，星期六，2024年，5月图6.4.6例6.4.1图——数字滤波器H1(z)和H2(z)的幅频特性第104页,共148页，星期六，2024年，5月(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。

(4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。例6.4.2设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2πrad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3π到π之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。第105页,共148页，星期六，2024年，5月

解

(1)用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。①数字低通的技术指标为

ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模拟低通的技术指标为

T=1s,Ωp=0.2πrad/s,αp=1dB;Ωs=0.3πrad/s,αs=15dB第106页,共148页，星期六，2024年，5月③设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N及3dB截止频率Ωc。第107页,共148页，星期六，2024年，5月

取N=6。为求3dB截止频率Ωc,将Ωp和αp代入(6.2.17)式，得到Ωc=0.7032rad/s，显然此值满足通带技术要求，同时给阻带衰减留一定余量，这对防止频率混叠有一定好处。根据阶数N=6，查表6.2.1，得到归一化传输函数为

为去归一化，将p=s/Ωc代入Ha(p)中，得到实际的传输函数Ha(s),第108页,共148页，星期六，2024年，5月④用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。首先将Ha(s)进行部分分式，并按照(6.3.11)式、(6.3.12)式，或者(6.3.13)式和(6.3.14)式，得到：第109页,共148页，星期六，2024年，5月图6.4.7例6.4.2图——用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性第110页,共148页，星期六，2024年，5月(2)用双线性变换法设计数字低通滤波器。①数字低通技术指标仍为

ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模拟低通的技术指标为第111页,共148页，星期六，2024年，5月③设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N计算如下：

取N=6。为求Ωc,将Ωs和αs代入(6.2.18)式中，得到Ωc=0.7662rad/s。这样阻带技术指标满足要求，通带指标已经超过。第112页,共148页，星期六，2024年，5月

根据N=6，查表6.2.1得到的归一化传输函数Ha(p)与脉冲响应不变法得到的相同。为去归一化，将p=s/Ωc代入Ha(p)，得实际的Ha(s)，④用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)：第113页,共148页，星期六，2024年，5月图6.4.8例6.4.2图——用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性第114页,共148页，星期六，2024年，5月

6.5数字高通、带通和带阻滤波器的设计

例如高通数字滤波器等。具体设计步骤如下：

(1)确定所需类型数字滤波器的技术指标。

(2)将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标，转换公式为

第115页,共148页，星期六，2024年，5月(3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标(具体转换公式参考本章6.2节)。

(4)设计模拟低通滤波器。

(5)将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器。

(6)采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。第116页,共148页，星期六，2024年，5月

例6.5.1设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率ωp=0.8πrad，通带衰减不大于3

dB，阻带截止频率ωs=0.44πrad,阻带衰减不小于15dB。希望采用巴特沃斯型滤波器。解

(1)数字高通的技术指标为

ωp=0.8πrad,αp=3dB;ωs=0.44πrad,αs=15dB第117页,共148页，星期六，2024年，5月(2)模拟高通的技术指标计算如下：令T=1，则有(3)模拟低通滤波器的技术指标计算如下：第118页,共148页，星期六，2024年，5月

将Ωp和Ωs对3dB截止频率Ωc归一化，这里Ωc=Ωp,(4)设计归一化模拟低通滤波器G(p)。模拟低通滤波器的阶数N计算如下：第119页,共148页，星期六，2024年，5月

查表6.2.1，得到归一化模拟低通传输函数G(p)为

为去归一化，将p=s/Ωc代入上式得到：(5)将模拟低通转换成模拟高通。将上式中G(s)的变量换成1/s，得到模拟高通Ha(s)：第120页,共148页，星期六，2024年，5月(6)用双线性变换法将模拟高通H

(s)转换成数字高通H(z)：实际上(5)、(6)两步可合并成一步，即第121页,共148页，星期六，2024年，5月

例6.5.2设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.3πrad到0.4πrad，通带内最大衰减为3dB，0.2πrad以下和0.5πrad以上为阻带，阻带内最小衰减为18dB。采用巴特沃斯型模拟低通滤波器。解

(1)数字带通滤波器技术指标为通带上截止频率

ωu=0.4πrad

通带下截止频率

ωl=0.3πrad第122页,共148页，星期六，2024年，5月

阻带上截止频率

ωs2=0.5πrad

阻带下截止频率

ωs1=0.2πrad

通带内最大衰减αp=3dB，阻带内最小衰减αs=18dB。第123页,共148页，星期六，2024年，5月(2)模拟带通滤波器技术指标如下：设T=1，则有(通带中心频率)(带宽)第124页,共148页，星期六，2024年，5月

将以上边界频率对带宽B归一化，得到

ηu=3.348,ηl=2.348;ηs2=4.608,ηs1=1.498;η0=2.804(3)模拟归一化低通滤波器技术指标：归一化阻带截止频率归一化通带截止频率λp=1αp=3dB,αs=18dB第125页,共148页，星期六，2024年，5月(4)设计模拟低通滤波器：查表6.2.1，得到归一化低通传输函数G(p),第126页,共148页，星期六，2024年，5月(5)将归一化模拟低通转换成模拟带通：

(6)通过双线性变换法将Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)。下面将(5)、(6)两步合成一步计算：第127页,共148页，星期六，2024年，5月

将上式代入(5)中的转换公式，得将上面的p等式代入G(p)中，得第128页,共148页，星期六，2024年，5月

例6.5.3设计一个数字带阻滤波器，通带下限频率ωl=0.19π,阻带下截止频率ωs1=0.198π，阻带上截止频率ωs2=0.202π，通带上限频率ωu=0.21π，阻带最小衰减αs=13dB，ωl和ωu处衰减αp=3dB。采用巴特沃斯型。解

(1)数字带阻滤波器技术指标：

ωl=0.19πrad,ωu=0.21πrad,αp=3dB;ωs1=0.198πrad,ωs2=0.202πrad,αs=13dB第129页,共148页，星期六，2024年，5月(2)模拟带阻滤波器的技术指标：设T=1，则有阻带中心频率平方为

Ω20=ΩlΩu=0.421阻带带宽为

B=Ωu-Ωl=0.07rad/s第130页,共148页，星期六，2024年，5月

将以上边界频率对B归一化：

ηl=8.786,ηu=9.786,ηs1=9.186,ηs2=9.386;η20=ηlηu=85.98(3)模拟归一化低通滤波器的技术指标：按照(6.2.48)式，有

λp=1,αp=3dB第131页,共148页，星期六，2024年，5月(4)设计模拟低通滤波器：(5)将G(p)转换成模拟阻带滤波器Ha(s)：第132页,共148页，星期六，2024年，5月(6)将Ha(s)通过双线性变换，得到数字阻带滤波器H(z)。第133页,共148页，星期六，2024年，5月6.6IIR数字滤波器的直接设计法1.零极点累试法称为零极点累试法。在确定零极点位置时要注意：

(1)极点必须位于z平面单位圆内，保证数字滤波器因果稳定；

(2)复数零极点必须共轭成对，保证系统函数有理式的系数是实的。第134页,共148页，星期六，2024年，5月

图6.6.1例6.6.1图(a)零极点分布；(b)幅度特性第135页,共148页，星期六，2024年，5月2.在频域利用幅度平方误差最小法直接设计IIR数字滤波器设IIR滤波器由K个二阶网络级联而成，系统函数用H(z)表示，(6.6.1)

式中，A是常数；ai,bi,ci,di是待求的系数；Hd(ejω)是希望设计的滤波器频响。如果在(0，π)区间取N点数字频率ωi,i=1,2,:,N，在这N点频率上，比较|Hd(ejω)|和|H(ejω)|，写出两者的幅度平方误差E为(6.6.2)第136页,共148页，星期六，2024年，5月

而在(6.6.1)式中共有(4K+1)个待定的系数，求它们的原则是使E最小。下面我们研究采用(6.6.1)式网络结构，如何求出(4K+1)系数。按照(6.6.2)式，E是(4K+1)个未知数的函数，用下式表示：

上式θ表示4K个系数组成的系数向量。为推导公式方便，令(6.6.3)第137页,共148页，星期六