轴对称与旋转（易错点梳理+练习）带解析-2022年中考数学复习

第13讲轴对称与旋转易错点梳理

。〜丁易错点梳理

易错点01不能正确理解对称轴的含义

在叙述轴对称图形的对称轴时，错把对称轴当成射线或线段，导致叙述错误。

易错点02误用“三线合一”

“三线合一”是等腰三角形中特殊线段具有的性质，并不是所有的三角形的“三线”都“合一”。

易错点03在解有关等腰三角形问题时容易漏解

在解决等腰三角形的底角、腰的问题时漏解解决与等腰三角形的底角、腰有关的问题时，通常需要分类讨

论。

易错点04在旋转过程中，混淆对应角和旋转角

在旋转的过程中，转动的角叫作旋转角.对应角是指旋转前后两个图形的对应角。

易错点05混淆中心对称和中心对称图形

把一个图形绕着一点旋转180。，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对

称.把一个图形绕着某一点旋转180。后，能与原来位置的图形重合，这个图形叫作中心对称图形.两者不可

混淆。

例题分析

考向01轴对称

例题1：（2021•海南•三亚市崖州区崖城中学九年级期中）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形

的是（）

A-B'£C

【答案】D

【思路分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图

形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原

来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；据此判断即可；

【解析】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；B、既不是轴对称图形，也不

是中心对称图形，故不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形,

也是中心对称图形，符合题意；故选：D.

【点拨】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握相关定义是解本题的关键.

例题2：（2021•河南•郑州市第二初级中学九年级期中）如图，点及F、G、X分别为四边形的四边

AB.BC、CD、D4的中点，则关于四边形EFGH,下列说法正确的为（）

A.一定不是平行四边形

B.一定不是中心对称图形

C.当时，它是轴对称图形

D.当时，它是矩形

【答案】C

【思路分析】先连接AC,BD,EF=HG=-AC,EH=FG=：BD,可得四边形所GH是平行四边形可判

断A,根据平行四边形是中心对称图形，四边形EFGH是平行四边形是中心对称图形可判断B,当

时，EF=FG=GH=HE,此时四边形EFG”是菱形，据此可判断C,只有时是矩形，当AC与8。不

垂直时，不是矩形可判断D即可.

【解析】解：连接AC,BD交于O,AC交G尸于DB交EF于N,如图：

•.•点E、F、G、X分别为四边形A3CO的四边AB、BC、CD、ZM的中点,

：.EF=HG=^AC,EH=FG=5BD,EF//AC,GF〃DB,

四边形EFGH是平行四边形，故选项A错误；

•••平行四边形是中心对称图形，

，四边形EFGH是平行四边形，

•••四边形EFGH是中心对称图形，故选项B错误；

当时，EF=FG=GH=HE,此时四边形E尸是菱形，

菱形是轴对称图形，

菱形EFG”是轴对称图形，故选项C正确；

只有AC_L2Z>时NMON=90。，

'JGF//DB,

：.AC±GF,

：.ZOMF=90°,

,：EF/7AC,

：.BDLEF,

：.ZONF=90°,

：.ZNFM=36Q°-ZMON-ZOMF-ZONF=9Q0,

平行四边形GHEF是矩形，

当AC与BD不垂直时，

,:GF〃DB,EF〃AC,

，四边形为平行四边形，NMFN=NMON,90°,即/GFEr90。，

；•平行四边形GHEF不是矩形，故选项D错误.

故选：C.

【点拨】本题主要考查了中点四边形的运用，轴对称识别，中心对称识别，矩形判定，三角形中位线性质

解题时注意：平行四边形是中心对称图形.解决问题的关键是掌握三角形中位线定理.

考向02等腰三角形

例题3：（2021•广东•松岗实验学校九年级期中）如图，在菱形ABCO中，ZABC=120°,将菱形折叠，使点

A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF,若DG=2,AD=6,则BE的长为（）

D.

W）

'EB

57

A.-B.-C.3D.3.5

23

【答案】A

【思路分析】作EH，BO于H,根据折叠的性质得到EG=EA,根据菱形的性质、等边三角形的判定定理

得到AABD为等边三角形，得到根据勾股定理列出方程，解方程即可.

【解析】解：作EHLBD于H,

•.•四边形ABC。是菱形，

：.AD=AB,ZABD=ZCBD=gZABC=60°,

...△ABD为等边三角形，

：.AB=BD=AD=6,

设BE—x,贝!JEG=AE=6-x,

在RtAEHB中，BH=』无，EH=­x,

22

在RtAEHG中，EG2=£H2+G//2,即（6-尤）2=（^x）2+（4-5无）2,

22

解得，尤=g，

:.BE=—,

2

故选：A.

【点拨】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，熟记各知识点并综

合运用是解题的关键.

例题4：（2021•河南镇平•九年级期中）如图，？ABC中，AB^AC,平分NS4C,OE〃AC交AB于E,

贝I班,-S^ABC

A.1:4B.1:3

【答案】A

【思路分析】先利用等腰三角形的性质证明=再证明3£=A瓦？BDE??BCA,再利用相似三角形的

面积之比等于相似比的平方，可得答案.

【解析】解：・・・AB=ACAD平分的C,

BD=DC,

'/DE//AC,

、BDBEi

\---=---=1.?BDE??BCA

DCAE

BE=AE,

：.DE=-AC,

2

v?BDE??BCA

「鼾之_1

SVABC4

故选A

【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形中位线的定义与性质，相似三角形的判定与性质，解本

题的关键是证明m=AE.

考向03旋转

例题5：（2021•天津滨海新•九年级期中）如图，在?ABC中，ABAC=15°,以点A为旋转中心，将?ABC绕

点A逆时针旋转得到?ADE,点B、C的对应点分别为£（、£,连接CE,若CE〃,则NCW的大小是（）

A.15°B.25°C.35°D.45°

【答案】D

【思路分析】根据旋转的性质得AE=AC,ZDAB=ZEAC,再根据等腰三角形的性质得NAEC=NACE,

然后根据平行线的性质得到NACE=NC43=75。，得出NEAC=30。，于是得到结论.

【解析】解：:△ABC绕点A逆时针旋转到△AOE,

：.AE=ACfNDAB=NEAC,

，ZAEC=ZACEf

9

：CE//ABf

：.ZACE=ZCAB=75°,

：.ZAEC=ZACE=75°,

：.ZEAC=180°-2x75°=30°,

・・・ZCA£）=ZEAZ）-ZEAC=75o-30o=45o,

：.ZCAD=45°,

故选：D.

【点拨】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形性质，平行线的性质定理，三角形内角和，角的和差，掌

握二角形旋转后，对应边相等，对应角相等，等腰二角形性质，平行线的性质定理，二角形内角和，角的

和差，是解题的关键.

例题6：（2021•辽宁大石桥•九年级期中）如图，△ABC以点。为旋转中心，旋转180。后得到VA2C.ED

是△ABC的中位线，经旋转后为线段*已知ED=2,则的值是（）

A.1B.2

【答案】C

【思路分析】先根据旋转的性质可得即=ED=2,再根据三角形的中位线定理求解即可.

【解析】解：'.,△ABC以点。为旋转中心，旋转180。后得到△A'B'C,ED是^ABC的中位线，经旋转后为

线段EO,

:.ED=ED=2,

:.BC=2ED=4,

故选C.

【点拨】本题考查旋转的性质、三角形的中位线定理，掌握旋转的性质是解题的关键.

2W微练习

【答案】C

【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；8、是轴对称图形，不是中心对

称图形，故此选项不合题意；C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；是轴对称图

形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C.

2.（2021•重庆八中九年级开学考试）如图，在等腰放AABC中，=90°,AB==6+1,点。是AC

上一点，将ABCD沿8。折叠至△连接AC且满足AC'=DC,则点。到AB的距离为（）

A.2B.

【答案】D

【解析】解：过。作于点E,

B

设NCBD=%。，则NC&D=NCBD=x。，

VZABC=90°,AB=BC,

:.ZABC=90°-2xfZBAC=ZBCA=45°,

由折叠知，AB=BC=BC,

/.ZBAC=ABCA=45。+%,

/.Z.CrAD=x,

•/AC=DC,

,\ZCAD=ZCDA=X9

•/ZBCD=ZC=45°,

•/ZCAD+ZCZM+ZACD=180。，

.,.x+x+45°+x+45°=180°,

解得，x=30°,

.\ZDBE=900-x=60°,

.\ZBDE=30°,

:.BD=2BE,

设

vZBAC=45°,

AE=DE=y,

:.BE=AB-AE=y[3+]-y,

BD=2BE=2y/3+2-2y,

BD2-BE2=DE2,

，(2肉2-2yy-(6+1-yU，

解得，y=6,或y=2g+2（此时AE>AB,舍去）,

DE=\/3,

故选：D.

3.（2021•四川锦江•九年级期末）已知，将AABC沿AD折叠，点B的对应点8落在边AC上（如图。），再

将/CA。对折，点A的对应点为4,折痕为斯（如图b）,再沿AE所在直线剪下，则阴影部分展开后的

形状为（）

A

丁仁

D

BD--------cC

图（a）图(b)

A.等腰三角形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】c

【解析】解：阴影部分展开后如图所示，

BDC

由折叠可得，ZAFE=ZA'F£=90°,AF=A'F,EF=EF,

与EE互相平分，AA'±EE,

四边形AEAE是菱形，

故选：C.

4.（2021•江苏宿迁•九年级期中）如图，BD、CE是?ABC的高，M是3c的中点，ZA=70°,则NOME的

度数为（）

A

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【解析】解：・.,NA=70。，

，ZABC+ZACB=180°-ZA=110°,

•：CE和BD分别是△ABC的高，

・・・ZCEB=ZBDC=90°,

・・•"是3C的中点，

・・.EM=BM=CM=-BC,

2

ZMEB=ZMBE,/MDC=/MCD,

：.ZBME=180°-ZMBE-ZMEB=180°-2ZMBE,

同理NCMD=180°-2ZMCD,

AZEMD=1SO°-ZBME-ZCMD=1SO0-(180°-2ZMC£>)-(180°-2ZMBE)

=2(/MCD+/MBE)-180°

=220°-180°

=40°,

故选B.

A

5.（2021•福建•浦城县教师进修学校九年级期中）△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，£4=4,将△RLB

绕点A逆时针旋转得到4PMC,则PF的长等于（）

3

A.4B.273D.

2

【答案】A

【解析】解：:△ABC是等边三角形,

：.AC=AB,/048=60。，

..•将△PAB绕点A逆时针旋转得到4PiAC,

：.ACPiA^/\BPA,

：.APi=AP,ZCAPi=ZBAP,

：.ZCAB=ZCAP+ZBAP^ZCAP+ZCAPi=60°,

gpZMPi=60°,

：.AAPPi是等边三角形，

：.PiP=B\=4,

故选：A.

6.（2021•上海市文来中学九年级期中）如图，D、E、尸内分正?ABC的三边A3、BC、AC均为1:2两部

分，AD,BE、C尸相交成的？PQR的面积是?ABC的面积的（）

A

ABC.一D

-:'?8-7

【答案】D

【解析】解：如图，过。作。"//AC,交BE于H,

设等边三角形9C的边长为：3%

结合题意可得:BD=AF=CE=a,CD=BF=AE=2a

?BDH??BCE,?PDH??PAE

BDPHPHPD

^C~~CE'~AE~~AP"

aPD_l_1

..Uli———,————

3AP2a6

「EQFR1

同理：==一,

7BQRC6

设等边三角形ABC的面积为：3m,

-S&BCF~2m,S4BCE=m,

6

SAAFR=y^^ACF=—m,S^—m,

ABP7

S四边形3次?尸=—SMFR=~m=S四边形c£)PQ

四边形四边形

-S/QR—S&CBF.S^BPD一Ssp/s—S-7=-5AABC,

二？PQR的面积是?ABC的面积的;.

故选D

7.（2021•江苏•无锡市钱桥中学九年级期中）如图，边长为10的等边?ABC中，点。在边AC上，且AD=3,

将含30。角的直角三角板（N尸=30。）绕直角顶点。旋转，DE、。厂分别交边A3、BC于P、Q.连接尸Q,

当跖〃尸。时，长为（）

A.6B.739C.10D.6石

【答案】B

【解析】解：过点。作QKLAC于K,

在等边?ABC中，ZA=ZB=ZC=60°,AB=BC=AC=10,

在RtZkEFD中，NE=60°,NF=30。，

:EF//PQ,

：.ADPQ=60°,ZDQP=30°,

/.ZAPD+ZADP=ZAPD+NQPB,

ZADP=ZQPB,

又：ZA=ZB=60°,

△ADPsABPQ,

•_A_D___A__P__P_D_

••Bp-BQ—QP'

・••在Rt^PQD中，ZDQP=30°,

PD=；QP,

PD1

即矿5，

.AD_APPD_1

-BP~BQ~QP~2"

*/AD=3f

••一9

BP2

・•・BP=6,

已知AB=10

・•・AP=AB-BP=10-6=4,

•__4___1_

,,蔽一5'

BQ=8,

CQ=BC-BQ=10-8=2,

在RtACQK中，NC=60°,

.・・NKQC=30。，

・・.KC=-=-=\,

22

DK=AC-AD-KC,

：.DK=10—3—1=6,

而sin/C=^^,

.5。K°石

••sin60=-----=—,

22

/.KQ=6,

在RtZJDQK中，DQ=^KQL+DK1,

•*-DQ=7(73)2+62=A/3+36=A/39，

即OQ=弧.

故选：B.

BQc

8.（2021•山东南区•九年级期中）如图，在口ABCD中，ZB=60°,AB=BC,AEL2C于点E,连接DE,交

AC于点G.以。E为边作等边△£>£V,连接4尸，交。E于点N,交OC于点M,且M为A尸的中点.在下

列说法中：①/EAN=45。,②^AE=6CM,③SAAGE=&DGC,@AF_LDE.正确的个数有（）

B

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】解：连接CF过点A作于点”，

B

•・•四边形A3CD是平行四边形，ZB=60°,AB=BC,

•・.△ABC、△ADC者B是等边三角形，AD//BC,

*：AE±BC,

：.BE=CE,ZBAE=ZCAE=3O°,

设BE=CE=a,贝!JAB=BC=AC=2a,

:・AE=6a,

ZADC=NEDF=60。,

：.ZADE=ZCDF,

AD=CD

在△D4E和△OCF中，＜NADE=/CDF,

ED=FD

：./\DAE^/\DCF(SAS),

：.AE=CF,/DAE=/DCF,

：.ZDCF=ZDAE=90°,

：.NAC尸=150。，

VAC^CF,

：.ZCAF^ZCFA^50,

：.ZEW45°,故①错误；

VZAHM^ZFCM=90°,MA=MF,/AMH=/FMC,

：.AAHM^AFCM(AAS),

HM—CM=《。，

：.y/3CM=^a=^-AE,故②正确；

22

'：AD//BC,

•,SAAEC=SADCE,

SAAELSAGCE=SbDCE~ShGCE,

即SAAGE=S^DGC)

故③正确；

•••△瓦甲是等边三角形，

AF±DE,贝IJAF垂直平分。E,贝!|AO=AE,

显然A6UE，故A尸与不垂直，故④错误；

.•.正确的是②③，一共2个，

故选：B.

9.(2021•福建•福州十八中九年级期中)在。。中，将圆心绕着圆周上一点A旋转一定角度仇使旋转后的

圆心落在。。上，则。的值可以是()

A.45°B.60°C.90°D.180°

【答案】B

【解析】解：如图所示:

O,

由旋转的性质可知：AO=AO',

：.OO'=OA=AO',

为等边三角形.

：.Q=ZOAO'=60°.

故选:B.

10.（2021•湖北哪阳•九年级期中）如图，矩形ABCD的顶点A,8分别在x轴，y轴上，OA=OB=2,

AO=40，将矩形AB。绕点。顺时针旋转，每次旋转90。，则第2021次旋转结束时，点。的坐标为（）

A.(4,6)B.(6,4)

【答案】A

如图，过点。作轴于点E,连接OD,

■.■OA=OB=2,

..NASO=/BAO=45。，

四边形A3CD是矩形

:.ZABC=90°,

:.ZDAE=45°,

•・•BC=AD=A41,

：.AE=DE=4,

OE—OA+AE=6,

。（一6,4）,

•.•矩形ABCD绕点。顺时针旋转，每次旋转90。,

则第1次旋转结束时,点。的坐标为(4,6)；

则第2次旋转结束时,点。的坐标为(6,-4)；

则第3次旋转结束时,点。的坐标为(T,-6)；

则第4次旋转结束时,点。的坐标为(-6,4)；

发现规律：旋转4次一个循环，

.-.2021-4=505……1,

则第2021次旋转结束时，点。的坐标为(4,6).

故选：A.

n.(2021•江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中)如图，△ABC中，AB=AC=2下,ZBAC=a°,

tanZABC=^,G为BC中点，。为平面内一个动点，且DG=好.将线段8。绕点。逆时针旋转暖，得

到则四边形BACB'面积的最大值为()

A

B

A.24B.25C.12D.13

【答案】A

【解析】解：如图，连接AD,AG,过点G作于点

VAB=AC=2A/5,BG=GC,

：.AG.LBC,

4G1

VtanZABC=——=-,

BG2

・・・AG=2,BG=4,

sinZABG=sin/GBH,

.GHAG

••一，

BCAB

GH_2

：.GH=,

5

VAB=AC,DB=DB',NBAC=NBDB',

：.ZABC=ZDBB',—=—,

BCBB'

ZABD=ZCBB',

/•AABD^ACBB',

,/DG力,

5

•••点G的运动轨迹是以G为圆心，手为半径的圆，当点。在8G的延长线上时，△A2D的面积最大，最

...V3CB'的面积的最大值为16,

•••四边形3AC2'面积的最大值为gx8x2+16=24,

故选：A.

12.把一副三角板（如图甲）放置，其中NACB=NZ）EC=90。，ZA=45°,ZD=30°,斜边AB=60cm,

DC=772cm,把三角板DCE绕点C顺时针旋转15。得到△D,CEi（如图乙），这时A3与CDi相交于点0,

与DiEi相交于点F.则线段的长为（）

A.5,011B.50cmC.5cmD.3cm

【答案】B

【解析】解：VZACB=ZDEC=90°,ZD=30°,

ZDC£=90°-30°=60°,

ZACr>=90°-60°=30°,

;旋转角为15。,

：.ZACDi=30°+15°=45°,

X'."ZCAB=45°,

/.△ACO是等腰直角三角形，

ZACO=ZBCO=45°,

'：CA=CB,

.,.AO=CO=；A2=3亚,

•；DC=70

:.D\C=DC=]叵,

••D]0-Jy/2-3A/2=4-\/2>

在RtAAODi中，ADi=JACP+DO=5近，

故选：B.

13.如图，在?ABC中，/C=64。，将?ABC绕着点A顺时针旋转后，得到AAB'C且点。在8C上，则403

的度数为（）

B；

A.42°B.48°C.52°D.58°

【答案】C

【解析】解：•.・将?ABC绕着点A顺时针旋转后，得到△AB'L,ZC=64°,

\AC=AC,ZCAC=ZBAB^ZB=ZB,

.\ZC=ZACC=64°f

ZCAC=180°-ZC-ZACC=52°,

ZBAB1=52°,

:.ZB,AD=5T,

­,ZB=ZB,ZBDC=ZRDA,

/.ZBCD=ZBAD=52°,

即N8C3的度数为52。,

故选：C.

14.在平面直角坐标系中，一个蜘蛛最初在点A（p,0）（p是常数，且p>l）,第一次爬到射线04绕O

点逆时针旋转60。方向上的4点，^OAi=pOA；第二次爬到射线。4i绕。点逆时针旋转60。方向上的A2

点，且O42=pQ4i；…；第2021次爬行到A2021点的坐标是（）

A.(p2021,0)

D.(gp2022,_1p2022)

C.(一夕2021,0)

【答案】D

的位置为次一循环,

【解析】解：由题意可得，射线。41、0A2.OA3.04、0A5、OA66

・・・2021：6=336...5,

・••点^2021在第四象限，且射线042021与X轴正半轴的夹角为60°,

VA(p,0)(P是常数，且〃>1),

.\OA=pf

OA\=pOA,OA2=pOAi,.......

.\OAi=p2,OAi—p3,.......

・・・。4)21=，2°22,

又•・,NA202iO”=60。，

・・・NO42021H=30。,

产,

A2gHJO%；-OH。

=j。怎2:-g。4021>

2

又•・•点A2021在第四象限，

.••金康'-争加)，

故选：D.

二、填空题

15.如图，。。与△OAB,的边AB相切，切点为2.将^OAB绕点2按顺时针方向旋转得到△O0B,使点

O’落在。。上，边交线段A3于点C.若NA'=20。，则/OCB=

【答案】80

与△OAB的边A3相切，切点为2

/.ZOBA=90°

又•:NA=20°

ZAOB=1QP

由旋转的性质可得：OB=BO',ZAW=ZABO=90°

又,：O(y=OB

•••△030,为等边三角形

/。2。'=60°

ZOBC=ZABO-ZOBO'=30°

NOCB=180°-NCOB-NOBC=80°

故答案为：80

16.(2021•广东白云•九年级期中)在直角坐标平面内，有点A(-2,0),B(0,2),将线段AB绕点8顺

时针旋转后，点A的对应点C落在了轴上，那么旋转角是'

【答案】315或135

【解析】解：如图，

VA(-2,0),B(0,2),

/.OA=OB=2,

AAOB是等腰直角三角形，

ZABO=ZOAB=45°,

/.ZABC'=180°-ZABO=135°

当旋转角为315。(旋转角为360J/ABO)或135°(旋转角为NASC)时，点4的对应点C落在y轴上,

故答案为：315或135.

17.如图，在△ABC中，ZC=90°,BC=9,AC=12,点。为边AC的中点，点P为边BC上任意一点,

若将△CDP沿DP折叠得AEDP,若点E在AABC的中位线上，则CP的长度为.

B

P

D

【答案】2或8-2万

【解析】解：①如图，设BC边中点为连接。

当E在OM上时，

由折叠可知，CP=PE,ZC=ZDEP,

\'BC=9,AC=12,ZC=90°,

i9

：.AB=15,CM=gBC=—,

22

・・・CO」AC=6,

2

：.DM=—,DE=6,

2

EM——,

2

在放△PEM中，PM1=P^EM1,

93

(--CP)2=C产+(—)2,

22

：.CP=2；

②如图，设AB边的中点为N,连接DM

B

当E点落在ON上时

BC=9,AC=12fZC=90°

9

C£>=6,DN=-

2

由折叠可知，DE=CD,ZC=ZDEP=90°,

•:DE〃CB,

：.ZCDE=90°,

・・・四边形SEP是矩形，

9

：.CP=DN=—

2

■:DE=CD,

・•・四边形OCPE是正方形，

：.CP=CD=6,此时点E落在。N的延长线上（不符合，舍去）

③如图，设3C、A3中点分别为“、N,连接MN、DN,

当E点落在MN上时，

由折叠可知，DE=CD,CP=PE,ZC=ZDEP=90°,

VBC=9,AC=12f

99

CM=—,CD=6,DN=—,MN=6,

在RtADEN中,。/;冷+硒2,

9

；・62=NE+(-)2,

2

:・NE=—不，

2

3

EM=6----V7,

2

在放△PEM中，PgENf+PM2,

:,CP2=(--CP)2+(6--V7)2,

22

••CP=8—2A/7；

综上所述，。尸的值为2或8-2将，

故答案为：2或8-24.

18.(2021•重庆•字水中学九年级期中)如图，在三角形纸片ABC中，点。是BC边的中点，连接AO,把

△ABD沿着AO翻折，得到△AED,连接CE,若BC=3不，tan/ECB=旦,则AAEC的面积为.

【答案】子

【解析】解：连接3巳过点。作垂足为",

:・BD=CD=^~,

2

由折叠得，BD=DE,ADLBE,

：.DE=DB=DC,

:./DBE=/DEB,ZDEC=ZDCE,

又：ZDBE+ZDEB+ZDEC+ZDCE^180°,

NBEC=90。,即BE±EC,

：.EC//AD,

••SbAEC-S^DECJ

在△DEC中，DE=DC=^-,DM上EC,

2

：.ME=MC,

9：tmZECB=^-DM

2~CM

设MC=2m,则DM=非m,

由勾股定理得，DM2+MC2=DC2,

即4加+5*=（主巨）2,解得根=也^,

22

年

MC=y/l9

：.SADEC=IECDM=N叵乂2手工小,

2222

7

:,S>AEC=S卜DEC=—A/5.

2

故答案是：口非.

2

19.（2021•黑龙江龙沙•九年级期中）已知等腰^ABC内接于半径为10的。。中，且圆心O到BC的距离为

6,则这个等腰△ABC底边上的高是—.

【答案】4或16或164

【解析】解：①当3C是底，AABC是锐角三角形时，如图1,

连接Q4交3C于点

•.­AB=ACf

.\AD±BC,

•.­OA=lO,OD=6,

,-.AD=10+6=16,

②当2c是底，AABC是钝角三角形时，如图2,

同理可得，AD=OA-OD=W-6=4.

③当8C是腰时，连接30并延长到AC于E,作8八2C于点O,

在处ABOZ)中，03=10,OD=6,

BD=y/OB2-Olf=7102-62=8，

:.BC=2BD=16,

设OE=x,在中，CE-=OC1-OE2=102-x2,

在RtNBCE中，CE°=BC2-BE2=162-(10+%)2,

/.IO2-%2=162-(10+X)2,

14

解得％=二，

.-.BE=10+—=—.

55

故答案为：4或16或164.

20.（2021•安徽包河•九年级期中）如图，在等边AABC中，AB=2,点P为AC边上一动点，M为3尸的中

点，连接CM.

B

（1）当点P为AC的中点，CM的长为；

（2）若点尸移动到使NPMC=60。时，CM的长为.

【答案】立

2

【解析】解：（1），.・等边△ABC中，AB=2,且点尸为AC的中点,

AC=BC=AB=2,PC=-AC=1,PB±AC,ZACB=60°,

2

在必△PBC中，PB=ylBC2-PC2=>/3>

•点M为的中点，

:.PM=-PB=—,

22

在mAPMC中，CM=y/PM2+PC2=J+仔=弓，

故答案为：;

2

（2）设尸〃=。（。>0）,则尸3=2a,

"PMC=NPCB=60°

在△P"C和APCB中,=

△PMC^APCB,

PMPC_CMaPCCM

"~PC~~PB~^C'用正一汇一〒，

解得PC=0a或尸C=-0a（不符题意，舍去），

,PCCM,缶CM

由不一=F-得B：——=——，

2a22a2

解得CM=0，

故答案为：V2.

三、解答题

21.（2021•浙江•温州市第十二中学二模）已知：如图，点A、B、C、。在一条直线上，FB〃E4交EC于H

点，EA=FB,AB=CD.

（1）求证：AACE^ABDF；

（2）若CH=BC,ZA=50°,求ND的度数.

【答案】（1）证明见解析；（2）80°.

【解析】证明：（1）-.-FB//EA,

：.ZA=ZDBF,

-.■AB=CD,

:.AB+BC=CD+BC,AC=BD,

EA=FB

在AACE^ABDF中，＜NA=ZDBF,

AC=BD

△ACE^ABDF；

（2）由（1）已得：ZA=ZDBF,

vZA=50°,

:.ZDBF=50°,

•/CH=BC,

:./BHC=/DBF=50°,

ZACE=180°—ZBHC-ADBF=80°,

由（1）已证：△ACEgZ^BDF,

.-.ZZ)=ZACE=80°.

22.(2021•湖北•黄石经济技术开发区教研室九年级期中)如图，在平面直角坐标系中，AABC的顶点坐标

分别为A(2,4)、B(l,0)、C(5,1)

(1)画出AA3c关于x轴对称的小A1B1C1,其中A、B、C分别和4、S、G对应,则点Ci的坐标为；

(2)将△ABC绕原点。逆时针旋转90。得△A2&C2,其中A、B、C分别和4、历、。2对应，画出△A282c2,

则点C2的坐标为；

(3)△AiBiCi与4A2&C2关于点成中心对称

【答案】(1)图见解析，(5,-1)；(2)图见解析，(-1,5)；(3)(0.5,0.5)

【解析】解：(D如图所示：△4B1G即为所求，

:△ABC关于无轴对称的△44G,点C(5,1),

.•・关于x轴对称，点的横坐标不变，纵坐标改变符号Ci(5,-1)

故答案为(5,-1)；

(2)如图所示：△A282c2即为所求，

:将4AB绕原点。逆时针旋转90。得△4鸟G

；•点C绕原点。旋转90。，横坐标边纵坐标，纵坐标变为横坐标，点C2在第二象限，

...点C2坐标为(-1,5),A2(-5,2),&(0,1)

在平面直角坐标系中描出点4(-5,2),B2(0,1),C2(-1,5),

顺次连结线段A2所,82c2,C2A2,

则4A2B2C2是△ABC逆时针旋转90。的图形，

故答案为(-1,5)；

(3)点B与点B2的中点，其中点横坐标为，0+1)=0.5,纵坐标为90+1)=0.5

4G与△4与G关于点(0.5,0.5)成中心对称.

故答案为(050.5).

23.(2021•山东陵城•九年级期中)在如图所示的网格中建立平面直角坐标系，AA3c的顶点在网格线的交

点上，点8的坐标为(-1,-1).

(1)画出△ABC向上平移4个单位长度得到的△46G,并写出点8的对应点Bi的坐标；

(2)画出△4B1G绕原点。顺时针旋转90。得到的△A2&C2,并写出点片的对应点&的坐标.

【答案】(1)见解析；点5的坐标为(-1,3)；(2)见解析；点&的坐标为(3,1).

【解析】解：(1),••三角形ABC向上平移4个单位得到三角形AAG，B(-1,-1),

；.用的坐标为(-1,3),

如图所示，△A4G即为所求；

(2)如图所示，即为所求；

「AAB2G是△A4G绕原点顺时针旋转90度得到，Bl(-1,3),

用的坐标为(3,1).

24.(2021•陕西•西北工业大学附属中学九年级期中)问题提出：

(1)如图1,在AABC中，ZBAC=90°,AH±BC,垂足为点若AB=4,AC=3,则线段CH的长度

为.

问题探究：

(2)如图2,在四边形ABC。中，ZBAD=ZC=90°,AB=AD,点F为CO边的中点，点E是BC边上的

一点，连接AE,AF,EF.若/胡P=45。，BC=6,CD=2,求线段EF的长.

问题解决：

(3)如图3,在四边形ABCD中，AD//BC,AB=AD,ZABC=60°,NC=90。，点N是BC边上的两

点，连接AM,AN,BD,BD交AM于点E,交AN于点F.若/A£4N=30。，BE=4,DF=6,求△AMN的

面积.

【解析】解：(D如图①，

1.,ZBAC=90°,AB=4,AC=3,

•*-BC=VAB2+AC2=A/42+32=5,

•：AH.LBC,

，ZAHC=90°,

,/S^ABC=1AB-AC=|BOAH,

!x3x4=1x5AH,

一」2

・・Ari-,

由勾股定理得：CH=/AC?-AH?=

、9

故答案为：—；

(2)如图②，过点A作AGLAE,交CO的延长线于点G,

・・・NE4G=90。，

ZBAD=90°,

・•・ZBAE+ZEAD=ZEAD+ZDAG=90°

：.ZBAE=ZDAG,

u

：ZBAD=ZC=90°9

.\ZBAD+ZC=180°,

・・・ZB+ZA£)C=180°,

*.*ZADC+ZAZ)G=180°,

ZADG=ZB,

在△ABE和△ADG中,

ZBAE=ZDAG

AB=AD

ZB=ZADG

：.AABE^AADG(ASA),

G

*：ZEAF=45°,

：.ZBAE+ZDAF=ZDAG+ZDAF=NGA尸=45。=ZEAF,

9：AF=AF,

在△£4尸和△GA尸中,

AE=AG

<ZEAF=ZGAF,

AF=AF

：./\EAF^/\GAF(SAS),

：.EF=FG,

・・•尸是CO的中点，且CD=2,

：.DF=CF=1,

设3£*=冗，则OG=x,EF=FG=x+l,EC=6-x,

在R3EFC中，由勾股定理得：Em=EC+C产,

(x+1)2=12+(6-x)2,

解得：尤=］1Q，

.・.E5F=x+4\=—18+1=2——5

77

(3)如图③，过点A作AOLBD于O,

u

：AD//BCf

：.ZABC+ZBAD=180°,

ZABC=60°,

：.ZBAD=120°,

u

：AB=ADf

：.ZABF=ZA£>F=30°,

AB=AD=2AO,

设AO=a,AB=2”，则OB=OD=AB2-AO2==也〃,

:.BD=2AO=2。,

VBE=4,DF=6,

:・BF=2有〃-6,EF=2y/3a-4-6=2s/3a~10,

ZEAF=ZABF=30°fZAFE=NAFB,

：.AAFE^ABM,

.AFEF

••而-IF'

:・AI^=BF・EF=（2岛-6）（2耳-10）,

u222

\AF=AOWFf

6Z2+（y/3a-6）2=（2A/3（2-6）（2y/3a~10）,

2a2-5月a+6=0,

解得：〃1=2豆，（22=B,

2

当〃=26时，。。=6〃=6乂2后=6,此时。与尸重合，如图1所示,

图1

：.BF=DF=6,

；.EF=2,

R3AE/中，ZEAF=30°,

：.AE=2EF=4=BE,

・・・N8AE=NA5E=30。，

•/ZABM=60°,

：.ZAMB=90°,ZMBE=30°,

：.EM=2,

„=4+2=6,

61-

:.MN=H=26

ZXAMN的面积=』AM-A7V=LX6X2^=6V^；

22

当4=且时，0A=MOB=OD=~,

222

BD=OB+OD=3<4+6=10,

此种情况不成立，

△AMN的面积6班.

25.（2021•江苏•无锡市天一实验学校九年级期中）如图，在矩形中，CELBD,AB=8,BC=6,P为BD

上一个动点，以P为圆心，PB长半径作。P,OP交CE、BD、BC交