重庆市两江某中学2024-2025学年上学期八年级数学期中考试卷（含答案解析）

重庆市两江育才中学校2024-2025学年上学期八年级数学期中

考试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.日常生活中，我们会看到很多标志，在以下四个标志中，是轴对称图形的是（）

人B口率口.

2.下列变形属于因式分解的是（）

A.4x+x=5xB.（x+2）2—x2+4x+4

C.x2+x+l—x（x+1）+1D.x2-3x=x（x-3）

3.点尸（-2,3）关于x轴对称的点的坐标是（）

A.（2,3）B.（2,-3）C.（-2,-3）D.(3,-2)

4.下列各分式中是最简分式的是（）

x-14-2x

A.-A-B.—C.-A—

x2-l2xx2-l

5.多项式12a/-8/庆的公因式是（）

A.4abB.4a2b2C.labD.2abc

6.若分式三匕中的x,y都扩大原来的3倍，那么分式的值（）

3x-2y

A.扩大为原来的9倍B.扩大为原来的3倍

C.不变D.缩小到原来的;

7.如图，在RQ48C中，乙4=90。，NB=30。,5c的垂直平分线交48于点£,垂足为D,

连接CE,则//CE的度数为（）

D.不能确定

试卷第1页，共6页

8.下列命题中，是真命题的是（）

A.三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形

B.等腰三角形两腰上的高相等

C.等腰三角形的角平分线、中线和高重合

D.有一个角等于60。的三角形是等边三角形

9.如图，在一个单位为/的方格纸上，△444，△444，A444，...,是斜边在x轴

上，斜边长分别为2,4,6,...的等腰直角三角形，若△444的顶点坐标分别为4（2,0），

44（o,o），则依图中所示规律，的横坐标为（）

A.-1010B.1010C.1012D.-1012

10.已知多项式4=2x-1,B=X2-2X+5（其中％是任意实数）.

①若I-48=1，则牙=5；

O

②若mA?-〃B+3x2的值与x的值无关，则/=-白；

27

③存在实数x,使4>2,以上说法正确的个数是（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

二、填空题

11.因式分解：x2-4=.

试卷第2页，共6页

12.若分式口忖的值为零，则x的值为_____.

x+2

13.等腰三角形的一个外角是100。，则其顶角的度数为.

VX

14.已知/-4孙+y2=0,则■—=.

xy

15.A,8两块长方形板材的规格如图所示（加为正整数），设板材A,8面积分别为H，S2,

请比较H，$2的大小.

m+4

m+5

m+1Am+2

16.如图，将等边V4BC折叠，使点3恰好落在/C边上的点。处，折痕为斯，o为折痕

斯上的动点，若AD=2,NC=6,贝bOCD的周长最小值为.

18.如图，RtAABC中，NNC2=90。，点州为8/延长线上一点，//8C的平分线8E和

NG4M的平分线4D相交于点P,分别交/C和BC的延长线于E,D,过P作尸尸_L4D交

/C的延长线于点H,交8c的延长线于点尸，连接4尸交于点G,则下列结论：

①NAPB=45°；②PF=P4；®DG=AP+GH；@BD-AH=AB.其中正确的是（填

序号）.

试卷第3页，共6页

三、解答题

19.化简下列各式：

2

⑴(-Q)3-a+(2Q4)2+Q3；

⑵(3x—(3x+2y)(3x—2y).

20.先化简，再求值：［二”-x+31+匚2+孚人，请从-3、-2、0、3中选取合适的x

U-3)xx2-9

的值代入.

21.如图，在VN8C中，NA4c的角平分线交5c于点D.

(1)用尺规完成以下基本作图：作4。的垂直平分线分别与43、AC、AD交于点E、点产、

点〃.(保留作图痕迹，不写作法)

(2)在(1)所作的图形中，连接DE、DF,完成下面证明HE=7小的过程.

证明：4c的角平分线交BC于点D,

,NBAD=.

:斯垂直平分4D,

:.ZAHF=NDHE=90。,AH=,,

ABAD=NADE,

ZCAD=ZADE,

：.AAHF沿(ASA).

:.HE=HF.

试卷第4页，共6页

22.(1)已知2x+3y-3=0,求4*8的值;

(2)已知了7=-1,xy=2,求代数式一^1+//一；刈3的值.

(1)在网格中画出V48C关于y轴对称的△44。.

⑵分别写出以下顶点的坐标：4；4；G.

3一

⑶在X轴上找一点尸，使24即求出点尸的坐标.

24.如图，在等边V/3C中，点。、£分别为NC、BC边上的点，CD=BE.连接/£、BD

相交于点F.

⑴求证：AAFD=60°

(2)过/作于点77,当EF=2,HD=3,切=8时，求线段B尸的长度.

25.【例题讲解】因式分解：x3-l.

为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的

乘积.故我们可以猜想/-1可以分解成(XT(/+G+6),

展开等式右边得：尤*+(a-l)x?+(6-a)x-b,

J_]=/+(Q_])工2g_Q卜一6恒，成立.

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。—1=0

a=1

等式两边多项式的同类项的对应系数相等,即<6—a=0,解得

b=\

—b=—1

-1=(x-1乂+X+1).

【方法归纳】

设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等

的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法.

【学以致用】

(1)若X。-MX-12=(x+3)(x-4),则加=

(2)若尤3+3--3x+A;有一个因式是x+1,求左的值及另一个因式.

(3)若多项式/+//+以-4有因式尤+1和x-2,求比、〃的值

26.将两个等腰直角VN8C与AEFC如图放置，AC=BC,CE=CF,ZACB=ZECF=90°.

⑴如图1,若点A、E、尸三点共线时，交线段3c于点G,点。是线段48上的点，满足

AD=DF,ZBDF=30°,求NBC尸的度数；

⑵当A£FC绕着点C顺时针旋转至如图2时，分别连接/尸，BE,若点M是线段4尸的中点,

连接MC,求证：BE=2CM；

⑶当AEFC绕着点C顺时针旋转至如图3时，分别连接/尸，BE,若点“是线段”的中点,

CE=U,/C=20,BE=16,四边形ABE尸面积为460时，直接写出点A到CM的距离.

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参考答案:

题号12345678910

答案CDCCACBBAB

1.C

【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能

够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键.

【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，

不符合题意；

B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；

C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意；

D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；

故选：C.

2.D

【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也

叫做分解因式，结合选项进行判断即可.

【详解】解：4是整式的计算，不是因式分解，故本选项错误；

8、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；

C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；

D,符合因式分解的定义，故本选项正确.

故选D.

【点睛】本题考查了因式分解的意义，属于基础题，掌握因式分解的定义是关键.

3.C

【分析】根据轴对称的特点即可求解.

【详解】根据轴对称的性质，得点P(-2,3)关于x轴对称的点的坐标为(-2,-3).

故选：C.

【点睛】此题主要考查轴对称的性质，解题的关键是熟知关于x轴对称的点横坐标不变，纵

坐标互为相反数.

4.C

【分析】根据最简分式的定义即可求出答案.

答案第1页，共16页

X—1X—11___

【详解】解：A、T小证不=:1’故选项A不是最简分式，不符合题意;

42

B、—故选项B不是最简分式，不符合题意;

2xx

9Y

C、r，是最简二次根式，符合题意;

X-1

x_1x_1____

D、--=——=-1,故选项D不是最简分式，不符合题意.

l-x-（X-1）

故选：C.

【点睛】本题考查最简分式，解的关键是正确理解最简分式的定义，本题属于基础题型.

5.A

【分析】本题考查找公因式，根据系数找最大公因数，字母找相同字母最低指数即可得到答

案；

【详解】解：由题意可得，

12ab2_8/加的公式为：4ab,

故选：A.

6.C

【分析】本题主要考查分式的基本性质，x,y都扩大为原来的3倍就是分别变成原来的3

倍，变成3尤和3y.用3x和3y代替式子中的x和y,看得到的式子与原来的式子的关系.

【详解】解：用3x和3y代替式子中的x和〉得：

3x+2x3y_3x+6y_3（x+2y）_x+2y

3x3x-2x3y9x-6y3（3x-2y）3x-2y

则分式的值不变；

故选：C.

7.B

【分析】本题考查了三角形内角和定理、等边对等角、线段垂直平分线的性质，由三角形内

角和定理得出N/C2=60。，由线段垂直平分线的性质得出BE=CE,再由等边对等角得出

ABCE=ZS=30°,即可得解.

【详解】解：,在RtZ\/8C中，44=90。，Z5=30°,

ZACB=180°-ZA-ZB=60°,

垂直平分48,

...BE=CE,

答案第2页，共16页

NBCE=/B=30。，

：.AACE=ZACB-NBCE=30°,

故选：B.

8.B

【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握三角形分类、等腰三角形性质、等边三角

形的判定等知识.

根据三角形分类、等腰三角形性质、等边三角形的判定逐项判断.

【详解】解：A、三角形按边可分为不等边三角形，等腰三角形，故A是假命题，不符合题

思；

B、等腰三角形两腰上的高相等，是真命题，符合题意；

C、等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线重合，故C是假命题，不符

合题意；

D、有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形，故D是假命题，不符合题意；

故选：B.

9.A

【分析】首先确定横坐标的变化规律，利用规律确定答案即可.

【详解】解：••,各三角形都是等腰直角三角形，

•••直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，

4(0,0),4(-2,0),41(-4,o)...,

2023+4=505余3,

.•.点4o23在x轴负半轴,横坐标是-(2023-3)+4x2=7010.

故选：A.

【点睛】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据2023是奇数，求出点的横坐标是奇数时

的变化规律是解题的关键.

10.B

【分析】本题考查了多项式的乘法，负整数指数幕；根据/=2x-l,3=x2-2尤+5,代入

3

4_钻=1，即可判断①；根据段2-曲+3/的值与x的值无关，得出机=不〃=-3即可判

断②，i+>5-^=x2-2x+5-2x+l=x2-4x+4=(x-2)2>0,即可判断③.

答案第3页，共16页

【详解】解：・.・Z=2x—1,B=X2-2X+5(其中%是任意实数)，42_钻=1，

・・・(2X-1)2-4(X2-2X+5)=1

即4X2-4X+1-4X2+8x-20=1

解得：x=5,故①正确；

*.*m(2x-l)2-n卜之一2x+5)+3x2

22

=m(4——4%+1)-nx+2nx-5〃+3x

=(4m+3-«)x2+(-4m+2«)x+m-5z7,

又mA2-nB+3x2的值与x的值无关,

4m+3-7/=0,-4m+2〃=0,

3

解得：加=彳,"=一3,

2

1____§_

J7="27,故②正确;

'：B-A=x2-2x+5-2x+l=x2-4x+4=(x-2)2>0

不存在实数x,使/>3,故③错误；

综上分析可知：正确的个数是2个，故C正确.

故选：B.

11.(x+2)(x-2)

【详解】解：/-4=/-22=(-2)；

故答案为。+2)-2)

12.2

【详解】解：根据分式值为0的条件，则

[2-国=0

[x+2W0,

解得：x=2.

故答案为2.

13.80°或20°

【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理.根据外角的度数求出与它相邻

答案第4页，共16页

的内角的度数，再根据这个角为顶角和底角2种情况进行讨论求解.

【详解】解：•••等腰三角形的一个外角是100°,

与它相邻的内角的度数为180。-100。=80。，

①当80。为顶角时，顶角为80。，

②当80。为底角时，此时顶角的度数为180。-2x80。=20。，满足题意；

故答案为：80。或20。.

14.4

【分析】先根据题意得出犬+/=4孙，再根据分式混合运算的法则把原式进行化简，把

/+必=4.0代入进行计算即可.本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则

是解答此题的关键.

【详解】

解：Vx2-4xy+y2=0,

x2+y2=4xy,

..।「_一+/4孙

xyxyxy

故答案为：4.

15.S,<S2

【分析】本题主要考查多项式乘多项式及整式的大小比较，熟练掌握多项式乘多项式及整式

的大小比较是解题的关键.

由题意及图形可得S[=(5+5)(能+1)=序+6加+5同=(加+4)(加+2)=m2+6m+l,进而运用

作差法求解即可.

2

【详解】解：由题意得：S]=(〃7+5)(〃2+1)="『+6机+5,S2=(m+4)(m+2)=m+6m+8,

S|-S2=机2+6m+5-(m2+6m+8)=-3,

*.*—S2=—3<0,

,S{<S2,

故答案为：S\<S?.

16.10

【分析】连接跳入OB,由折叠得。8=0,根据等边三角形的性质求出8C,CD,当点以

答案第5页，共16页

0、C共线时，A。。的周长最小，计算即得.

【详解】解：连接3D、OB,

由折叠得EF是BD的垂直平分线，

：.OB=OD,

「△NBC是等边三角形，AD=2,/C=6,

：.AC=BC=6,CD=AC-AD=6-2=4,

：.AOCD的周长=CD+OC+OZ»=4+OC+O£

当点8、。、。共线时，AOCA的周长最小，最小值为4+20=4+6=10,

故答案为：10.

A

【点睛】此题考查了轴对称的性质，三角形周长最小值，正确理解轴对称的性质及三点共线

的性质是解题的关键.

17.5

【分析】本题考查解一元一次不等式组与一元一次方程方程综合，先解关于x的不等式组，

根据该不等式组的解的情况得到关于。的不等式组，求出解集，再根据关于y的方程的解为

整数，得出。为偶数，由此列出所有满足条件的整数a,再求和即可.

2（x+2）>x+1①

【详解】解：｛x-ax+3,台，

------+——<1②

I24

解不等式①，得：x>-3,

解不等式②，得：》<卷"，

•.♦该不等式组有解且最多有3个奇数解，

，3个奇数解为-3,7,1,

解得-5<6Z<4；

答案第6页，共16页

解y的方程。+2(了一2)=2,得y=34,

；该方程的解为整数，

，3-色为整数，

2

二。为偶数，

满足条件的整数。为：-4、—2、0、2或4,

所有满足条件的整数a的个数为：5,

故答案为：5.

18.①②④

【分析】①正确.证明44PB=即可.②正确.证明尸8尸即可.③错误.证

明DG=/G,GH=GF,/尸＞NP即可判断.④正确.根据3。一/〃=瓦)一£＞尸=3尸=48可

得结论.

【详解】解：由题意可以假设尸=N尸ZC=x,ZABP=ZPBD=y,

\x=ZAPB+y

则有。,-，

\2x=2y+AACB

可得NAPB=-ZACB=4乎,故①正确，

2

,/PFLAD,

：.NAPF=90°,

・•・ZAPB=/FPB=45。,

■:PB=PB,ZABP=ZPBF,

，小PBA安小PBF(ASA),

PA=PF,BA=BF,故②正确，

HPLAD,DCLAH,

：.AGLDH,

VZDPF=ZHCF=90°,/DFP=/HFC,

：./PDF=/PHA,

VZDPF=ZAPH=90°fPF=PA,

:・ADPF知HPA(AAS),

DF=AH,PD=PH,

答案第7页，共16页

ZPDH=NPHD=45°,

ZADG=ZDAG=45°,

DG=AG,

'：ZGHF=NGFH=45°,

GH=FG,

;DG=FG+AF=GH+AF,AF>PA,

：.DG^GH+PA,故③错误，

,/BD-AH=BD-DF=BF,BF=AB,

：.BD-AH=AB,故④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形的高的性质，等腰直

角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考

题型.

19.(1)3片

⑵-6孙+5/

【分析】本题考查了整式的乘法和塞的运算，解题的关键是熟练法则.

(1)利用积的乘方、幕的乘方、单项式除单项式计算，再合并即可；

(2)先利用平方差公式，完全平方公式计算，然后合并同类项求解即可.

【详解】⑴解:(-吊"+(2打*a3

—(—Q3)./_|_4/4-“3

——/+4Q5

=3a5.

(2)解：(3x-y)2-(3x+2y)(3x-2y)

=9x2-6xy+y2~(9x2-Ay2)

=9x2-6xy+y2-9x2+4y2

=-6xy+5y.

x+31

20.-士，当％=—2时，原式=—二

33

【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是

答案第8页，共16页

解题的关键.

先根据分式的混合运算法则将原式进行化简，再结合原式中各个分式有意义的条件找出X

的值，代入化简以后的式子中求值即可.

E(-6x八X2+93X

【详解】解：---x+3--------

U-3)xx1-9

_-6x-(x-3)2xX2-9

x-3x2+93%

—6x——+6x—9xx2-9

x-3X2+93X

-(/+9)x(x+3)(x-3)

x-3尤2+93x

x+3

—__3-，

要使原分式有意义，则x应满足

x-3w0

xR0

<x2+9^0,即x/3且xwO且

3x^=0

X2-9^0

...当x=-2时，原式=一-2上+^3=一上1.

33

21.(1)见详解

(2)见详解

【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质与尺规作图、全等三角形的性质与判定，熟练

掌握线段垂直平分线的性质与尺规作图是解题的关键；

(1)分别以点/、。为圆心，大于1长为半径画弧，即可求解；

(2)根据线段垂直平分线的性质及全等三角形的性质与判定可进行求证.

【详解】(1)解：所作图形如下：

(2)证明：的角平分线交BC于点

答案第9页，共16页

ABAD=NC4D,

•/EF垂直平分AD,

ZAHF=ZDHE=90°,AH=PH,EA=ED.

，ABAD=NADE.

：.ZCAD=ZADE.

；.AAHF知DHE(ASA).

：.HE=HF.

22.(1)8；(2)-1

【分析】本题考查了事的乘方的性质，同底数幕的乘法，因式分解的应用，整体思想的利用

是解题的关键，

(1)逆运用惠的乘方的性质转化为以2为底数的幕相乘，再逆运用同底数塞的乘法的性质

计算，然后求解即可；

(2)先提取公因式-;初，再根据完全平方公式进行二次分解，然后代入数据计算即可得

【详解】解：(1)2x+3y-3=0,

?.2x+3y=3,

...42.8^=22X•23y=22X+3y=23=8;

(2)~^x3y+x2y2-

=--^xy^x2-2xy+y2)

=-^xy(x-y)2

当y-x=T,盯=2时，

原式=一;X2X(T)2=7.

23.⑴见详解

(2)(4,3),(-3,0),(2,5)

(3)(-2,0)或(8,0)

【分析】本题考查的是坐标与图形，画关于x轴对称的图形，求解网格三角形的面积，掌握

坐标与图形的关系是解本题的关键.

分别确定4民c关于y轴对称的对称点4耳G，再顺次连接即可；

答案第10页，共16页

（2）根据轴对称的性质可得4，B1,。的坐标;

13

（3）设点尸（。,0）,先求解S△浜=10,可得邑®>=5x|3-a|x3=10x1,再解方程可得答

案.

【详解】（1）解：如图△44G即为所求.

（3）解：设点尸（。,0）,

—

由图oj*知SAABC——x2x2——x5x5—x3x7—10,

解得：〃=—2或8,

所以点P的坐标为（-2,0）或（8,0）.

(2)7

答案第11页，共16页

【分析】(1)由等边三角形的性质得出48=3C,/48C=/C=60。，可证明

“BE为BCD(SAS),从而可得到=，然后依据三角形的外角的性质可得到

ZAFD=60°,即可得出结论.

(2)由(1)得△4BE0ZX3CD,由全等三角形的性质得出，AE=BD,求

出/4FH=//8C=6(F,由直角三角形性质得出HR/尸，证出N尸=8H,得出

2

HF=-BH,即可得出酬=必，由此解答即可.

2

【详解】(1)证明：・・・V4BC为等边三角形，

AB=BC,ZABC=ZC=60°.

在△/BE和△BCD中，

AB=BC

</ABE=/BCD；

BE=CD

；・"BE知BCD(SAS)；

・•・/BAE=ZCBD；

・•・ZAFD=/ABF+/BAF=/ABF+ZCBD=/ABC=60°.

(2)由(1)得：LABEdBCD,

：./BAE=ZCBD,AE=BD,

・・・ZAFH=ZBAE+ZABF=ZCBD+ZABF=NABC=60。,

•・•AHVBD,

：.ZFAH=30°,

：.HF=-AF

2f

AF=2FH=\6,

：.BD=AE=AF+EF=16+2=\8,

：.BF=BD—FH—HD=18—8—3=7.

25.(1)1

(2),k=-5,x2+2x-5

(3)%=4,n=-17.

【分析】本题主要考查了多项式的乘法，因式分解，掌握题干给出的待定系数法，是解答本

答案第12页，共16页

题的关键.

(1)将(》+38-4)展开，再根据题干的方法即可求解；

(2)设多项式/+3x2-3x+上另一个因式为(一+办+6),利用题干给出的待定系数法求解

即可.

(3)设多项式x"+加/+”x-4=(尤+l)(x-2乂ax，+6x+c),利用题干给出的待定系数法求

出a、c,再根据多项式不含有f项，求出b、代入即可的解.

【详解】(1)•••x2-»zx-12=(x+3)(x-4)

—YYIX—12=—x—12

:.m=\,

故答案为：1；

(2)解：设多项式/+3/一31+左另一个因式为(J+QX+6),

/.x3+3x2-3x+左=(x+l)(J+办+6)=/+(〃+])12+(4+6)1+6,

..a+l=3,a+b=—3，b—k

Q=2,b=—5

k=-5,

则另一个因式为/+2x-5,

(3)解：:+冽/+〃％一4的次数为4,

设多项式V+rnx3+nx-4=(x+l)(x-2)fax2+bx+c\,

=(x1-、-2)(办2+bx+c),

•一一的系数为1,

，Q=1,常数项为14,

—2c=—4,即c=7,

/.(--x-2^ax2+bx+c)

——%—2)(%?+bx+7),

=%4+9-1)/+(5—6)工2—(7+26)x—14,

•・.原多项式不含有M项，

答案第13页，共16页

•e-5—Z?=0,6=5,

x4+(Z?-l)x3+(5-6*-(7+2/?)X-14

=X4+4X3-17X-14,

/.m=4,n=—17.

26.(1)/BCb的度数是15。

(2)见详解

47

⑶彳

【分析】(1)由4C=BC,CE=C尸,NACB=NECF=90°,得

ZB=ZCAB=ZCFE=ZCEF=45°,由/。=。下，得/DFA=ZBAF,则

ZBDF=ZDFA+ZBAF=2ZBAF=30°,所以

NBCF=ZAGC-NCFE=ZAGC-NB=NBAF=15°.

(2)延长CM到点1,使Ll/=CW,连接Z4,可证明ALVM也ACMF,得

LA=CF,ZL=ZFCM,所以L4=CE,4L〃CF,可证明/C4Z=/5CE,进而证明

ACAL^BCE,得CL=BE,因为CL=2CM,所以B£=2CM.

(3)延长CA/到点K,使KM=CM,连接4K,则邑皿=5“四，而SqFCM=S"CM，所以

SRAKM=SmCM，可证明SAACF=SgK=SRBCE,则S四边形43EF-S&ABC+^EFC+2s&K，作

Z