辽宁省沈阳市五校协作体2025届高三上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省沈阳市五校协作体2025届高三上学期11月期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）1.若集合，集合，则的真子集个数为（）A.3 B.4 C.31 D.32【答案】A【解析】，故，解得，又，故，，解得，故，故，元素个数为2，故真子集个数为.故选：A2.已知复数z满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故，.故选：B3.已知向量，，且，则x的值是（）A. B. C. D.6【答案】D【解析】，，由得，解得.故选：D4.“”是“直线与圆：相切”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分条件也不必要条件【答案】A【解析】圆：的圆心为，半径为，若直线与圆相切，则，解得或，且是的真子集，所以“”是“直线与圆：相切”的充分不必要条件．故选：A.5.某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图象的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】A：，即在定义域上递增，故A不符合题意；B：，在上，在上，在上，所以在、上递减，上递增，故B符合题意；C：由且定义域为，为偶函数，所以题图不可能在y轴两侧，研究上性质：，故递增，故C不符合题意；D：由且定义域为R，为奇函数，研究上性质：，当时，；当时，，所以，故，，在递增，所以在R上递增，故D不符合题意；故选：B6.已知等差数列中，，，又，，其中，则的值为（）A.或 B. C. D.【答案】D【解析】，，，，，.又，，.，，，.故选：D.7.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左右焦点分别为，，点A在CA. B. C. D.【答案】C【解析】如图，，设，则,由，得，解得，又在双曲线上，所以，即，整理得，即，由解得.故选：C8.已知函数，若对任意的都有恒成立，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对任意的，有，故，即，即，令，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故，即，其中在上单调递增，，，故存在，使得，故，当且仅当时，等号成立，又，从而，当且仅当时，等号成立，故，解得.故选：C二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9.已知函数，，则（）A.与的图象有相同的对称中心B.与的图象关于x轴对称C.与的图象关于y轴对称D.的解集为【答案】AB【解析】由，所以关于轴对称，易知它们有相同的对称中心，A、B对；由显然，即与的图象不关于y轴对称，C错；由，则，即，所以，即，D错.故选：AB.10.设为坐标原点，直线过抛物线C：y2=2pxp>0的焦点且与交于，两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（）A.B.的最小值为C.若，则D.若，则直线的斜率为2或【答案】AB【解析】如图：对于A：根据抛物线的性质，所有的焦点弦中，通径最短，为，由，故A正确；对于B：因抛物线方程为，所以F1,0.根据抛物线的定义，，所以，故B正确；对于C：记直线与轴的交点为，过作于.因为，，所以，所以.根据抛物线的定义：，，所以，故C错误；对于D：当时，直线斜率存在且不为0，设直线：y=kx-1.代入得：，整理得：.设Ax1,y1，Bx2得（）.解得，故D错误.故选：AB11.已知函数，则（）A. B.若，则的极大值点为C.若至少有两个零点，则 D.在区间上单调递增【答案】ACD【解析】A选项，，故，A正确；B选项，，若，当或时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故为极小值点，B错误；C选项，，当时，，故在R上单调递增，不会有两个零点，舍去；当时，由B选项知，在上单调递增，在上单调递减，在处取得极小值，在取得极大值，且当趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于，其中，，要想至少有两个零点，则，解得，C正确；D选项，由C选项知，当时，在R上单调递增，满足在区间上单调递增，当时，在上单调递增，其中，故，所以在区间上单调递增，综上，在区间上单调递增，D正确故选：ACD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知二项式的展开式中的系数为15，则______．【答案】-3【解析】展开式通项公式为，令得，故，解得.故答案为：-313.在四面体中，，，，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的表面积为______．【答案】【解析】如图，作的中点，连接，由，，则，该三棱锥以为底，点到底面的距离为高，要使体积最大，则棱锥的高最大为，故，此时面，面，则面面，设，，，则底面积，又，当且仅当时等号成立，所以最大值为，此时，所以，当四面体的底面为等边三角形，，面面时，体积最大，此时底面的外接圆圆心为，连接，由正弦定理有，显然，所以，则，故，故为该三棱锥外接球的球心，且球体半径为，则其表面积为.故答案为：14.有一个4行4列的表格，在每一个格中分别填入数字0或1，使得4行中所填数字之和恰好是各一个，4列中所填数字之和恰好也是1，2，3，4各一个（如图为其中一种填法），则符合要求的不同填法共有__________种.0001001101111111【答案】576【解析】显然在符合要求的填法中，应该填入6个数字0和10个数字1，按照下面顺序填入这6个数字0.①先找到一行并填入3个数字0，选出这样1行共有4种选法，而从该行的4格中选出3个填入数字0，也有种填法.因此这一步共有种不同的填法.②选出一列填入3个数字0，以图为例，可知这一列必为已填入了一个数字0的列，否则就没有一列的数字之和为4，从而选出这一列共有3种选法.而该列中已经填入了一个数字0，所以填入另外两个数字0有种填法.这一步共有种不同的填法.③当完成前面两步后，最后一个数字0所在行与列都有两个0，只有4个位置可以选择.最后剩下所有的格都填1，有1种填法.因此，符合要求的不同填法共有种.故答案为：576.四、解答题（本大题共5道小题，15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分．）15.已知a、b、c分别为的内角A、B、C的对边，S为的面积，且满足．（1）求B；（2）若，且，，求的余弦值．解：（1）由题意得，由余弦定理得，所以，∴，∴，即，∵，∴，∴，即．（2）由及得，，化简得，将代入上式整理得：，所以，，所以，解得．∵，∴A、D、C三点共线，且．∴，所以．16.已知函数.（1）若在处取得极值，求的极值；（2）若在上的最小值为，求的取值范围.解：（1），，.因为在处取得极值，所以，则.所以，，令得或1，列表得1+0-0+↗极大值↘极小值↗所以的极大值为，极小值为.（2）.①当时，，所以在上单调递增，的最小值为，满足题意；②当时，令，则或，所以在上单调递减，在上单调递增，此时，的最小值为，不满足题意；③当时，在上单调递减，的最小值为，不满足题意.综上可知，实数的取值范围时.17.在三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面，平面与平面的交线为.（1）证明：；（2）已知上是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由.（1）证明：因为四边形为菱形，所以，又因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.（2）解：上存在点，使与平面所成角的正弦值为，且.理由如下：取中点，连接，因为，所以，又，所以为等边三角形，所以，因为，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，以为原点，以方向分别为轴，轴，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，，.因为平面平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，假设上存在一点，使与平面所成角的正弦值为，设，则，所以，设为平面的一个法向量，则，即，令，则，可取，又，所以，即，解得，此时；因此上存在点，使与平面所成角的正弦值为，且.18.甲乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛，已知每局比赛中，甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为b，双方平局概率为c，，且每局比赛结果相互独立.（1）若，求甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率.（2）若，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值.解：（1）若比赛中甲胜，计比赛结果为甲；比赛中乙胜，计比赛结果为乙；比赛平局，计比赛结果为平.若4局比赛中没有平局，则比赛结果按比赛顺序分别为：甲乙甲甲，乙甲甲甲.对应概率为：；若4局比赛中有平局，则比赛结果按比赛顺序分别为：平平甲甲，平甲平甲，甲平平甲.对应概率为：.综上，甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率为；（2）因，则比赛结果只有甲乙两种，且.又比赛最多进行5局，则X的值可能为2，4，5.时，比赛结果按比赛顺序分别为甲甲，乙乙，则；时，比赛结果按比赛顺序分别为甲乙甲甲，乙甲甲甲，乙甲乙乙，甲乙乙乙，则；时，说明前4场比赛没有结束比赛，即前4场甲乙打平，则对应比赛结果按比赛顺序分别甲乙乙甲甲，乙甲甲乙甲，乙甲乙甲甲，甲乙甲乙甲，甲乙乙甲乙，乙甲甲乙乙，乙甲乙甲乙，甲乙甲乙乙，则.则对应分布列为：X245则.注意到，则，因为，所以，当且仅当时等号成立，因为函数在0,+∞上单调递增，所以，故的最大值为.19.已知椭圆，，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过作斜率不为的直线交椭圆于点，两点，且，当直线轴时，．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线，的斜率分别为，，且，求直线的方程；（3）设直线交轴于点，若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．解：（1）设椭圆右焦点，，则①，由，得②，直线轴时