河南省洛阳市强基联盟2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省洛阳市强基联盟2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，，，则（）A.1 B.0 C. D.【答案】A【解析】由等差数列的性质可知，所以．故选：A．2.双曲线C：的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，，双曲线C的焦点在y轴上，其渐近线的方程为，即.故选：B.3.顶点在原点，关于轴对称，并且经过点的抛物线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意设抛物线方程为，将代入得，所以所求抛物线方程为.故选：C.4.已知等差数列的前n项和为，若，则的最大值为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】因为，所以，又，当且仅当时取等号，所以的最大值为4.故选：B.5.已知数列中，则数列前2024项的和为（）A.0 B.1012 C.2024 D.4048【答案】C【解析】因为，，所以，，，，，…，所以数列是周期为4的周期数列，且，所以.故选：C.6.若椭圆E：的周长为C，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】把化为标准方程为，以长轴为直径的圆周长为，边平行于E的对称轴的外切矩形的周长为，所以，，所以A，C错误；以短轴为直径的圆周长为，以长轴和短轴为对角线的菱形的周长为，所以，，所以B错误，D正确.故选：D7.已知直线l：与双曲线C：交于A，B两点，点是弦AB的中点，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，，可得，，两式相减可得，点是弦AB的中点，且直线l：，可得，，，代入可得有，即，∴，，故双曲线C的离心率为，经验证此时直线与双曲线有两个交点.故选：D.8.已知抛物线：的准线交轴于点，过点作直线交于两点，且则直线的斜率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】抛物线：的准线为，所以，因为直线交于两点，所以直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为，Ax1,y由，消去y得，所以，即，，，因为，所以，得，所以或，所以，满足.故选:B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列数列中，为递增数列的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】对于A.，所以，所以为递增数列，故A正确；对于B，，所以为递减数列，故B错误；对于C，因为，则，，所以不单调，故C错误；对于D，，所以，所以为递增数列，故D正确.故选：AD.10.已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，的左､右焦点分别为，点为原点，则（）A.的离心率为B.的值可以为3C.D.若的面积为，则【答案】ACD【解析】A选项，椭圆中，，离心率为，A正确；B选项，设，且，则，故，所以，B错误；C选项，由对称性可得，所以，C正确；D选项，不妨设在第一象限，Ax0,y0，则则，则，故，故D正确.故选：ACD.11.已知P为圆：上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点M，记点M的轨迹为曲线H，设，在曲线H上，且，，，则（）A.曲线H的方程为B.曲线H的离心率为C.经过且与曲线H只有一个公共点的直线恰有两条D.四边形面积的最小值为8【答案】AC【解析】对于A，圆：的圆心为，半径，因为线段的垂直平分线交直线于点M，则，所以，所以点M的轨迹是以，为焦点的双曲线，其中，，所以，所以曲线H的方程为，故A正确；对于B，因为，，所以该双曲线的离心率为2，故B错误；对于C，当直线的斜率不存在时，经过且与曲线H相切的直线是，符合题意；当直线斜率存在时，经过的直线与曲线H的渐近线平行时，也满足条件，所以符合条件的直线恰有两条，故C正确；对于D，因为，，则A，B分别在两支上，且A，B都在x轴上方或x轴下方，不妨设都在x轴上方，又，则A在第二象限，B在第一象限，如图所示，延长交双曲线于点N，延长交双曲线于点Q，由对称性知四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍.由题设，直线AN的方程为，直线BQ的方程为，联立消去x并整理得，易得，因，所以，所以，两条直线AN与BQ间的距离，所以，令，，所以，因在上单调递减，且，所以在上单调递增，当即时，取得最小值为12，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆的焦距为2，则______．【答案】5或7.【解析】当椭圆焦点在轴时，，由焦距为得，，故，解得.当椭圆焦点在轴时，，由焦距为得，，故，解得.故答案为：5或7.13.若数列满足，且，为其前n项和，则最小值为________.【答案】10【解析】由，解得，所以数列中，只有，为负数，所以的最小值可能为或或，又，，所以的最小值为10.故答案为：1014.已知抛物线,为抛物线上任意一点,过点向圆作切线，切点分别为，则的最小值为________.【答案】【解析】圆的标准方程是，则圆心为，半径为，设，，所以，（由对勾函数性质得其单调性）.所以的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知是数列的前n项和，若，是等差数列，.（1）求；（2）求数列的通项公式.解：（1）设数列的公差为d，则由，得，所以，即，所以，，因为，所以，解得，所以；（2）由（1）知，所以时，，上面这个式子对也适合，所以时，.16.已知两点，，动点P在y轴上的射影是H，.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线l：与曲线C相交于A，B两点，当m为何值时，以线段AB为直径的圆经过点.解：（1）设动点，则，所以，，，因为，所以，即轨迹C的方程为.（2）联立方程，消去y并整理得，所以，且，所以且，设，，则，.若以AB为直径的圆过点，则，所以，即，所以，所以，化简，得，解得，满足，所以.17.已知等差数列的前项和为.（1）求证：数列是等差数列；（2）若是递增数列,,求证：.解：（1）设等差数列的公差为，则，所以，所以数列是公差为的等差数列.（2）由（1）知数列是公差为的等差数列，因为，即，因为，所以，所以，所以得证.18.设F为抛物线C：的焦点，，，为C上三个不同的点，且，.（1）求C的方程；（2）设过点F的直线l交C于P，Q两点.①若直线l交圆于M，N两点，其中P，M位于第一象限，求的最小值；②过点F作l的垂线m，直线m交C于A，B两点，设线段PQ，AB的中点分别为D，E，求证：直线DE过定点.解：（1）由题意得焦点，设，，，因为，所以，即，所以|解得，所以C的方程为.（2）①圆化为标准式为，其圆心恰为F，半径为1，当直线l斜率存在时，根据题意可设直线l的方程为，Px1,y由得，，，，因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，当直线l斜率不存在时，，，，所以的最小值为4.②证明：由题知直线l的斜率k存在且不为0，由①得，，则.用替换k得点.当，即时，直线DE的斜率，所以直线DE的方程为，整理得，所以直线DE恒过点；当时，直线DE的方程为，也过点.综上所述，直线DE恒过点.19.已知O为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过，的圆与直线相切