江苏省卓越高中联盟2025届高三上学期12月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省卓越高中联盟2025届高三上学期12月月考数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得，所以，又，所以.故选：C2.设，，其中为虚数单位，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，所以，因为，所以，整理得，解得或；因为是或的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B3.在三角形中，，，向量在向量上的投影向量为，为上一点，且，则（）A.4 B. C. D.5【答案】B【解析】由题得向量在向量上的投影向量为，所以，又，故，因为，所以，所以，所以，所以.故选：B.4.在正六棱台中，，点是底面的中心，若该六棱台的体积为84，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，取上底面中心为，取中点，连接，则由正六棱台结构特征可知两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以该六棱台上下底面面积为，且，又该六棱台的体积为84，则，所以，即该六棱台的高为，所以，所以，设异面直线与所成角为，则所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：C.5.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以，所以，所以则.故选：D6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过椭圆的上顶点作直线交椭圆于点．若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图：因为，BF1所以的周长为，则，又，所以，，则.又，所以.所以椭圆的离心率为.故选：A7.已知函数在区间上有极大值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，因为函数在区间上有极大值，令，因为在上单调递减，所以在区间上有零点，且零点左侧函数值大于，右侧函数值小于，所以，解得，此时设在区间的零点为，则当时，即，所以在上单调递增，当时，即，所以在上单调递减，则在处取得极大值，符合题意；所以实数的取值范围是.故选：B8.若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，即，当时，，不等式在上显然成立；当时，令，则在上恒成立，由，在上，所以在上单调递增，又时，，，所以只需在上恒成立，即恒成立．令，则，即在上单调递增，其中，故，所以此时有．综上，．故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知函数的图象关于直线对称，则（）A.B.在区间上有且仅有2个零点C.是奇函数D.在区间上单调递减【答案】ACD【解析】对于A，函数的图象关于直线对称，则，即因为，所以取，则，故A正确；对于B，，令，得，所以，当时，；当时，；当时，，所以在区间上只有一个零点，故B错误；对于C，因为，所以为奇函数，故C正确；对于D，当时，，因为在上单调递减，所以在区间上单调递减，故D正确．故选：ACD．10.已知正四棱锥的棱长均为2，下列说法正确的是（）A.平面与平面夹角的正弦值为B.若点满足，则的最小值为C.在四棱锥内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积的最大值为D.点在平面内，且，则点轨迹的长度为【答案】BCD【解析】如图，对于A，∵正四棱锥的棱长为2，∴正四棱锥的高为，设点P为AB中点，根据正四棱锥的性质，得，，则平面与平面的夹角为，则，故A错误；对于B，∵，，根据空间向量基本定理可得点P在平面MAD上，∴当平面时，最小，此时根据等体积法可求出，即可求得，即的最小值为，故B正确；对于C，设正方体棱长为，则正方体的体积为，正方体可以在正四棱锥内部任意转动，所以正方体对角线的长度不超过该正四棱锥内切球的直径，设内切球的半径为r，正四棱锥的体积为，根据另一个体积公式，可得，∴正方体对角线，，∴正方体表面积，故C正确；对于D，如图，以A为原点，AB，AD所在直线为，轴，过点A向上作垂线为轴建立空间直角坐标系，则A0,0,0，，设，∵，∴，即，化简整理可得，∴点的轨迹是在平面ABCD内以为圆心，半径为的圆在四边形ABCD内的部分（圆弧）如图，由于，则点Q的轨迹长度为，故D正确.故选：BCD.11.已知定义在上的函数和，是的导函数且定义域为．若为偶函数，，，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因为为偶函数，则，两边求导得，所以为奇函数，因为，，所以，则，所以，即的周期，因为为定义域为R的奇函数，所以，则，故B错误；在中，令，可得，所以，故A正确；由，令，可得，则，则，即，所以，故D错误；在中，令，得，在中，令，得，两式相加得，即，故C正确．故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线：分别与曲线，都相切，则的值为______．【答案】【解析】设直线与曲线的切点为x1,y1，与曲线的切点为x对求导得，所以，即切点，所以；对求导得，所以或（舍去），所以.故答案为：.13.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是___．【答案】【解析】由题可得在上恒成立，且在上单调递减，所以，故实数的取值范围是.故答案为：.14.已知是圆：上的动点，，点，是圆：上的两个动点，点满足，，则的最小值为______．【答案】【解析】由题知，圆的半径，，圆的半径，设的中点为，连接，所以，因为，，所以四边形为矩形，则为的中点，且，设，则，所以，因为，所以，所以，即，整理得，所以点在以为圆心，以为半径的圆上.因为，所以，设与圆交于点，取的中点，连接，则，，在和中，且，所以与相似，所以，即，所以，当且仅当三点共线且垂直于轴时取等号，所以的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知在中，，．（1）判断的形状，并说明理由；（2）点在边上，且，若，求的面积．解：（1）由可得，所以，所以，所以，所以．因为，所以，又，所以，化简可得，故，又因为，所以，所以，所以为直角三角形；（2）由（1）得，，且为直角三角形，设，则，，．在中，由余弦定理可得，即，解得，故．16.设函数的表达式为（且）．（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若函数，求的值．解：（1）的定义域为，且，，为上的奇函数．（2）由（1）知，为上的奇函数，即，令取，得，，，，令，得，即，，即．17.已知圆：，过点的直线交圆于，两点．（1）若，求此时直线的方程；（2）过，分别作圆的切线，，设直线和的交点为，求证：点在定直线上．（1）解：设Ax1,当直线的斜率不存在时，：，联立，解得，，则，不符合题意；当直线的斜率存在时，设：，由，得，则，联立，可得，则，解得，所以，解得，故直线的方程为或．（2）证明：设，圆为，圆心为C0,1，则以线段为直径的圆的方程为，化简可得，上述方程与圆的方程相减得，因直线过点，则，所以，所以点在直线上．18.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.（1）求证：平面平面；（2）设.①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.（1）证明：在四棱锥中，平面平面，，平面，平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示直角空间坐标系，设，则，由，，，，则，，因，则，，所以，，①设平面的法向量为，由，，得：，可取，设直线与平面所成角为，则有：，，即：，化简得：，解得或，即或，②如图，假设在线段上存在点，使得点，，在以为球心的球上，由，得，所以，所以，又得，，所以，，由得，即，亦即（*），因为，所以方程（*）无实数解，所以线段上不存在点，使得点，，在以为球心的球上.19.已知函数．（1）若1是的极值点，求的值．（2）若，试问是否存在零点？若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由．（3）若有两个零点，求满足题意的的最小整数值．（，）解：（1）函数，求导得，由1是的极值点，得，解得，此时，显然在上单调递增，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，因此在时取得极值，所以.（2）①当时，由（1）可知，此时不存在零点；②当时，函数在上单调递增，又，，且在上的图象是不间断的，则存在唯一的，使得，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，于是，由，得，则，令，则，设，求导得，令，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，则，函数在上单调递减，于是，即当时，，因此，则，即函数无零点，所以函数不存在零点．（3）由（