湖南省部分学校2023-2024学年高二上学期期末联合考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省部分学校2023-2024学年高二上学期期末联合考试数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，第二册至5.2一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，位移为，当时，位移为，在这段时间里，该物体的平均速度为：．故选：A.2.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设l的倾斜角为，则，由题可知l的斜率为，所以l的倾斜角为．故选：D.3.在数列中，已知，，若，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】由，，取倒数得：，则是以为首项，为公差的等差数列．所以，所以；由于，故．故选：C.4.在三棱锥中，为中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】连接，根据向量的运算法则，可得.故选：B.5.过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】设，，则，两式作差得，，当时，则中点坐标为焦点，不满足题意；当时，得．设线段中点，因为坐标，且过焦点，所以，则的斜率，解得．故选：A.6.若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若，则，解得．若，则，解得．若，，交于一点，联立方程组，解得得，代入，得，解得，故a的取值集合为．故选：D.7.如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点．现有17米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，若该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为3米，则最小的正三角形的边长为（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】B【解析】由题可知，该三角形蜘蛛网中三角形的周长从大到小是以9为首项，为公比的等比数列.设最小的正三角形的边长为米，则，则，即，得，故最小的正三角形的边长为米.故选：B.8.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线l：与C相交于A，B两点，若的面积是面积的3倍，则（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】依题意，双曲线C：的左、右焦点分别为，，设到直线AB的距离为，到直线AB的距离为，则，，因为的面积是面积的3倍，所以，即，解得或，联立方程组，整理得，则，解得，所以．故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.等差数列的前n项和为，若，，则（）A.的公差为1 B.的公差为2C. D.【答案】ACD【解析】设的公差为d，由，，得，解得，故A正确，B错误；，，C，D正确.故选：ACD10.下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BCD【解析】对A,若，则，A选项不正确；对B,若，则，B选项正确；对C,若，则，C选项正确．对D,若，则，D选项正确．故选：BCD11.在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为线段上的一个动点，则（）A.三棱锥的体积为定值B.存在点，使得平面平面C.当时，直线与所成角的余弦值为D.当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为【答案】ABD【解析】对于A项，因为平面平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离为定值，又，的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故A项正确；建立如图1所示的空间直角坐标系，则，，，对于B项，，，，设，则．设平面的法向量为，由，令，可得．设平面的法向量为，由，令，可得．若平面平面，则，解得，故B项正确；对于C项，建立如图1所示的空间直角坐标系，当时，．设直线与所成的角为，则，即直线与所成角的余弦值为，故C项错误；对于D项，如下图，当为的中点时，．设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为，故D项正确．故选：ABD.12.已知F是椭圆的右焦点，直线与椭圆C交于A，B两点，M，N分别为，的中点，O为坐标原点，若，则椭圆C的离心率可能为（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】根据题意，图象如图所示：设为椭圆C的左焦点，因为直线与椭圆C交于A，B两点，所以由椭圆的对称性得，又，于是四边形为平行四边形.因为M，N分别为，的中点，是中点，所以，，平行四边中,，在中，.因为直线斜率存在，所以A，B两点不在y轴上，即，又在中，，所以，，即，又，所以，即.综上所述，；因为，故A，C错误；，即，故B正确；，即，故D正确.故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知点是点在坐标平面内的射影，则__________．【答案】【解析】由点是点在坐标平面内的射影，得，即，所以.故答案为：14.已知是函数的导函数，且，则__________．【答案】【解析】由题意可得：．故答案为：.15.若直线是圆的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为__________．【答案】1【解析】由题可知，该圆的圆心为，直线过圆心，则，解得，则该圆的方程转化为，该圆圆心为，半径为，易知圆心与的距离为，故点与该圆上任意一点的距离的最小值为．故答案为：116.在数列中,,,其中是自然对数的底数,令，则____________．【答案】【解析】由，得，则，则，故．故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列满足，且对于任意m，，都有．（1）证明为等比数列，并求的通项公式；（2）若，求数列前n项和．解：（1）取，则由，得．因为，所以，所以是以4为首项，4为公比的等比数列，故．（2）由（1）可知，则，故．18.已知四边形的三个顶点，，．（1）求过A，B，C三点的圆的方程．（2）设线段上靠近点A的三等分点为E，过E的直线l平分四边形的面积.若四边形为平行四边形，求直线l的方程．解：（1）方法一：因为，，，则，，由，得，则过A，B，C三点的圆的圆心为线段的中点，半径，所以过A，B，C三点的圆的方程为；方法二：设过A，B，C三点的圆的方程为，则，解得，故过A，B，C三点的圆的方程为，即.（2）设，由题意可得：，，因为线段上靠近点A的三等分点为E，则，则，解得，即．方法一：直线l平分四边形的面积，可知直线l过线段的中点，所以直线l的方程为，整理得；方法二：设l与相交于点，则，由直线l平分四边形的面积，可得，则，解得，即，所以直线l的方程为，整理得.19.已知函数的图象经过点，且在点A处的切线与直线垂直．（1）求a，b的值；（2）求经过点且与曲线相切的切线方程．解：（1）由，则，因为的图象在点处的切线与直线垂直，则，解得.（2）由（1）可设切线与曲线相切于点，则切线斜率，则切线的方程为，将点代入方程整理得，解得或．当时，切线方程为．当时，切线方程为．故经过点且与曲线相切的切线方程为或．20.如图，在三棱锥中，平面，，，F是的中点，且．（1）求的长;（2）求二面角的正弦值.解：（1）因为平面，，故以B为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系．设，由，得，，，．因为F是的中点，所以，则，．又，所以，解得，故．（2）由（1）可知，，则，，．设平面的法向量为，则，令，得．设平面的法向量为，则，令，得．所以，故二面角的正弦值为．21.已知是首项为1的等差数列，是公比为2的等比数列，且，．（1）求和的通项公式；（2）在中，对每个正整数k，在和之间插入k个，得到一个新数列，设是数列的前n项和，比较与20000的大小关系．解：（1）设数列的公差为d，因为，则，解得，所以，．（2）因为，当时，，可知，且，令的前n项和为，则，可得，两式相减得，即，可得，所以．22.已知椭圆与双曲线的焦距之比为