湖北省部分重点学校智学联盟2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省部分重点学校智学联盟2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线经过点，且它的一个方向向量为，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为直线的一个方向向量为，则直线的斜率为3，而直线过点，所以直线的方程为，即.故选：C.2.“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若方程表示的曲线为椭圆，则，解得或，则“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件，故选：B．3.已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】将圆：化为标准方程得：，，即.又∵点在圆外，，解得或.综上，的取值范围为.故选：D.4.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革､内饰米糠的球,因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动,类似今日的踢足球活动已知某“鞠”的表面上有四个点,其中平面，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为平面，平面，所以，又，所以两两垂直，所以三棱锥的外接球即为以为长，宽，高的长方体的外接球，即该球的直径为长方体体对角线的长，因为，所以，所以该球半径为2，表面积为.

故选：A5.若，是虚数单位，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得，①，由，所以①的最大值为，故选：D.6.已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，取椭圆右焦点，则，则由椭圆定义可知，则，当且仅当、、三点共线，且在之间时取等，故的最大值为.故选：A.7.有6个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是3”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之差的绝对值是3”，则（）A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立【答案】B【解析】设甲乙丙丁对应的的概率分别为，由题意可得，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，情况分为，所以，丁表示事件“两次取出的球的数字之差的绝对值是3”，情况分为，所以，对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误；故选：B.8.如图所示，是双曲线右支在第一象限内一点，分别为其左､右焦点，为右顶点，圆是的内切圆，设圆与分别切于点，当圆的面积为时，直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知，，，所以，设，则，即，设圆C的半径为，因为圆C的面积为，则，因为，所以，于是，因为是的角平分线，所以，所以，即直线的斜率为.故选：D.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.经过任意两个不同的点的直线都可以表示为B.不经过原点的直线都可以用方程表示C.直线的倾斜角越大，则其斜率越大D.直线的倾斜角的取值范围是【答案】AD【解析】对于A：当两个不同的点的连线不垂直于坐标轴时，直线方程为，即，当直线斜率为0或者斜率不存在时，也适合方程，所以经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示，故A正确；对于B：如直线不经过原点，但是不能用方程表示，故B错误；对于C，当倾斜角为时，斜率为，小于倾斜角为时的斜率，故C错误；对于D：直线，即，斜率，则，所以，故D正确；故选：AD.10.如图，在棱长为2的正方体中，点为线段的中点，且点满足，则下列说法正确的是（）A.若平面，则最小值为1B.若平面，则C.若，则到平面的距离为D.若时，直线与平面所成角为，则【答案】BC【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则有、A2,0,0、、、、、、、，，，则；对A：，，，则，设平面的法向量为m=x,y,z则有，令，则有，即，由平面，则有，即，则，当且仅当时，等号成立，即最小值为，故A错误；对B：，则，由平面，则有，即，解得，，故B正确；对C：若，则，则有，即到平面的距离为，故C正确；对D：，当，时，，则有，当时，，当时，，当且仅当时，等号成立，故，即，故D错误.故选：BC.11.已知双曲线左，右焦点分别为，过直线交双曲线的右支于两点，在第一象限，在第四象限，则（）A.该双曲线的渐近线方程为B.若，则到轴的最大距离为C.若，则周长为20D.点到两条渐近线的距离之积为【答案】ACD【解析】由双曲线方程可知：，且焦点在x轴上，则.对于选项A：该双曲线的渐近线方程为，故A正确；对于选项B：若，可知点在以为直径的圆上或圆内，因为以为直径的圆的方程为，联立方程，解得，当时，直线的斜率，所以到轴的最大距离为，故B错误；对于选项C：因，，则的周长为，故C正确；对于选项D：设Px0,y0可得点到渐近线的距离，点到渐近线的距离，所以点到两条渐近线的距离之积为，故D正确；故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆及直线，当直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为__________.【答案】【解析】由可得，令，解得，故直线过定点，又，故点在圆内，由圆可知圆心为，半径为，则，则当直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最短，即有，解得，即直线，整理得.故答案为：.13.已知抛物线的焦点为为圆上的动点，为上的动点，则的最小值为__________.【答案】3【解析】经过作抛物线的准线的垂线，垂足为，如图：由抛物线的定义可知：，圆心，半径为，当共线且经过圆的圆心时最小，此时取得最小值，所以最小值为：．故答案为：3．14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右顶点分别为是在第一象限的图象上的点，记【答案】【解析】设点，则，，且，可得，易知点、，所以，，则，，，所以，所以，则，可得.因此的离心率为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知动点到定点的距离与到定点的距离之比为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作曲线的切线，求切线的方程.解：（1）设，由题意得，即，化简得，所以动点的轨迹的方程为.（2）由（1）知化简为标准方程为，圆心为，半径，当斜率不存在时，x=1，此时直线与圆相切；当斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为，因为直线与圆相切，所以，解得，所以直线的方程为；综上，切线方程为x=1或.16.的内角的对边分别为，已知向量，满足.（1）求；（2）若角的平分线交边于点长为2，求的面积的最小值.解：（1）因为，所以，由正弦定理得，所以，所以，因为，故.（2）∵平分，∴，∵，∴，即，∴，由基本不等式可得：，∴，当且仅当时取“=”，∴，即的面积的最小值为.17.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,为等边三角形且垂直于底面.（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的正弦值.解：（1）如图所示，取中点，为等边三角形，，又面垂直于底面，交线为，得面，又面.底面为直角梯形，，，，，，所以，，，所以，得，又，面，得面，面，所以.（2）由（1）知面，不妨设，则，以为坐标原点，过点与平行直线为轴，分别以、所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系，得，，，，，；设平面的一个法向量为n=x,y,z则，，可取；设平面的一个法向量为m=x则，即，可取.设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的正弦值为.18.甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者(甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛)，每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束.（1）若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；（2）请帮助甲进行第一局的决策(甲乙、甲丙或乙丙比赛)，使得甲最终获得冠军的概率最大.解：（1）若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况：①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，其概率为；②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，其概率为，所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为.（2）若第一局甲乙比，甲获得冠军的情况有三种：甲乙比甲胜，甲丙比甲胜；甲乙比甲胜，甲丙比丙胜，乙丙比乙胜，甲乙比甲胜；甲乙比乙胜，乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，所以甲能获得冠军的概率为，若第一局为甲丙比，则同上可得甲获得冠军的概率为，若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，则甲获得冠军的概率即第问的结果，因为，所以甲第一局选择和乙比赛，最终获得冠军的概率最大.19.对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.根据上述材料回答下面问题：已知椭圆，右焦点，点在椭圆上，已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与椭圆交于点.（1）若，证明：极线恒过定点.（2）在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程（3）若，极线交椭圆于两点，点在轴上方，点