中考数学专项复习：旋转模型-费马点 压轴好题（解析版）

旋转模型一一费马点压轴好题（解析版）

1.（2023秋•萧山区期中）如图，已知/BAC=60°,AB=4,AC=6,点尸在△ABC内，将△APC绕着点A逆时

针方向旋转60°得到△AEP.贝！JAE+P3+PC的最小值为（）

【考点】旋转的性质；轴对称-最短路线问题.

【分析】连接8凡过点8作BOLAR与AE的延长线交于点。，由旋转可知/B4E=/CAF=60°,AP=AE,

PC=EF,AC=AP=6,于是可得△从「£为等边三角形，进而得至UAE+PB+PC=PE+P3+E尸，利用含30度

的直角三角形性质可得AO=-AB=2,BD=\~AD=疗，最后利用勾股定理求出8尸的长即可.

2

【解答】解：如图，连接8尸，过点8作BOLAR与AF的延长线交于点。，

则乙4。2=90。，

:将△APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到

：.ZPAE=ZCAF^6Q°,AP^AE,PC=EF,AC=AF=6,

.♦.△APE为等边三角形，

：.AE=PE,

：.AE+PB+PC=PE+PB+EF,

:PB+PE+EF2BF,

当点8、P、E在同一条直线上时，PB+PE+EF取得最小值为8尸，即AE+PB+PC取得最小值为B凡

'：ZBAC=6Q°=ZCAE,

：.ZBAD=6Q°,

AZABD=30°,

：.AD=^AB=2,BD=RAD=e、R,

2

：.DF=AD+AF=2+6=8,

在RtABDF中，BF=JBD2旬产=V（243）2+82=

J.AE+PB+PC取得最小值为2>/19.

故选：B.

【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形性质、勾股定理，熟练

掌握旋转的性质是解题关键.

2.（2023秋•翠屏区校级月考）法国数学家费马提出：在AABC内存在一点P,使它到三角形顶点的距离之和最小.人

们称这个点为费马点，此时阴+PB+PC的值为费马距离.经研究发现：在锐角AABC中，费马点尸满足NAP3

=ZBPC=ZCPA=120°,如图，点尸为锐角AABC的费马点，且必=3,PC=4,ZABC=60°,则费马距离

【考点】轴对称-最短路线问题；数学常识.

【分析】根据相似三角形的判定和性质，即可求解.

VZAPB=ZBPC=ZCE4=120,ZABC=6Q°,

•,.Zl+Z3=60°,Zl+Z2=60°,Z2+Z4=60°,

.\Z1=Z4,Z2=Z3,

:.△BPCs^APB

.PC=PB

*PBPA'

即PB2=12

：.PB=2y/3.

J.PA+PB+PC^+lyp；

故答案为：7+2j§.

【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是利用相似三角形的判定和性质.

3.(2022秋•大冶市期末)如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AO,BD,CD,已知8。=8,CD=3,则当

线段的长度最小时，

①NBDC=60°；

②AD的最小值是5.

【考点】旋转的性质；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.

【分析】以为边向外作等边三角形瓦汨，连接CE,判定△A3。/△C3E,即可得出CE=AD,再根据C,D,

E三点共线时，CE有最小值，即可得到的最小值为5,此时/8OC=60°.

【解答】解：如图所示，以8。为边向外作等边三角形连接CE,

ABDE,△ABC均为等边三角形，

；.BE=BD,AB=BC,NABC=/DBE=6Q°,AZABD=ZCBE,

rAB=CB

在△AB。和△CBE中，＜ZABD:ZCSE-

BD=BE

:.AABD咨ACBE(SAS),：.CE=AD,

；BE=BD=DE=8,CD=3,

...当C,D,E三点共线时，CE有最小值，

:.CE=DE-CD=8-3=5,

的最小值为5,此时NBDC=60°.

故答案为：①60°；②5.

£

【点评】本题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关

键是以BD为边向外作等边三角形BDE,依据全等三角形的性质得出结论.

4.(2023春•沈阳期中)如图，在平面直角坐标系中，点A,点B分别是y轴，x轴正半轴上的点，且。1=08,

△AOC是等边三角形，且点C在第二象限，M为NAOB平分线上的动点，将绕点。逆时针旋转60°得到

ON,连接CMAM,BM.

(1)求证：AAMO当ACNO；

(2)若A点坐标为(0,4)；

①当的值最小时，请直接写出点M的坐标；

②当AM+BM+OM的值最小时，求出点M的坐标，并说明理由.

【考点】几何变换综合题.

【分析】(1)先根据旋转的性质得OM=ON,ZNOA=]5°,进而可求得/AOM=/CON=45°,再结合。4

=OC,依据"SAS''即可判定△AMO和△CN。全等；

(2)首先确定当AM+BM为最小时，点A、M、B在同一条直线上，此时由04=08=4,平分/A0B即可

得出点M为为的中点，进而可求出点M的坐标；

(3)连接MN,过点M作轴于点E,作的垂直平分线交x轴于点R由(1)可知：AM=CN,由转

转的性质得出△。跖V为等边三角形，进而得AM+8M+0M=CN+2M+MN,因此当的值最小时，就

是CN+BM+MN的值最小，此时点8,M,N,C在同一条直线上，可由/OMB=120°,BOM=45°,求出/

0BM=15°,据此得N〃PE=30°,设.ME=a,贝。0E=a,MF=BF=2a,EF=Ma，再根据0B=0E+EF+FB

=4即可求出a的值，从而可求得点M的坐标.

【解答】（1）证明：平分NAOB,

ZAOM=45a,

由旋转的意义可知：ZMON=60°,OM=ON,

：.ZNOA=ZMON-ZAOM=60°-45°=15°,

VAAOC为等边三角形，

：.OA=OC,ZCOA=60°,

AZCON=ZCOA-ZNOA=60°-15°=45°,

ZAOM=ZCON,

在△AMO和△CNO中，

'ON=ON

■/AO%—CON，

OA=OC

.♦.△AMO会"NO（SAS）.

（2）解：点M的坐标为（2,2）,理由如下：

,:点、M为ZAOB平分线上的动点，

.•.当为最小时，点A、M,2在同一条直线上，

当点A、M、B在同一条直线上时，

•.•点A的坐标为（0,4）,OA=OB,

：.OA=OB=4,

'JOM^^-ZAOB,

点M为为AB的中点，

...点M的坐标为（2,2）.

（3）解：点M的坐标为（6-言，立岑£）,理由如下：

连接MN,过点M作儿轴于点E,作线段8M的垂直平分线交x轴于点F,

贝ljBF=MF,

由（1）可知：dAMO公ACNO,

：.AM=CN,

由转转的性质可知：OM=ON,NMON=6U°,

为等边三角形，

OM^MN,

：.AM+BMWM=CN+BM+MN,

当AM+BM+OM的值最小时，就是CN+BM+MN的值为最小，

当CN+8M+MN的值为最小时，点8,M,N,C在同一条直线上，

：.ZOMB^1SO°-60°=120°,

TOM平分NAO3,

：.BOM=45°,

：.ZOBM=180°-45°-120°=15°,

又MF=BF,

AZFMB=ZOBM=15°,

/.ZMFE^ZFMB+ZOBM^30°,

设则OE=〃，

在/中，ME=a,NMFE=30°,

：.MF=2ME=2a,

22

由勾股定理得：EF=VIF-IE=V(2a)2-a2=V3

:・FB=FM=2a,

；.OB=OE+EF+FB=4,

即：aR3a+Za=4，

解得：6-2百,

QO

...点M的坐标为(立2应，立士返■).

【点评】此题主要考查了图形的旋转变换和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段的

性质等知识点，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解两点之间线段最短.

5.(2023秋•九龙坡区校级期中)如图1,ZkABC为等腰直角三角形，/ABC=90°,点。为△ABC外一点，连接

AD,过点A作交BC于点E,过点。作垂足为X,HD=BC.

(1)求证：AE=ADi

(2)如图2,延长到点G,连接G。，使得NHGD=NADH,尸为AC上一点，连接PG、FE,FE±AE.求

证：EF+GF=GD；

(3)如图3,点K在△GHD内，连接KG、KH、KD,当KG+KH+KD的值最小时，直接写出NKG/f+NK。//的

值.

c

【考点】三角形综合题.

【分析】⑴根据等腰直角三角形的性质可证得△EAB丝AWH(ASA),即可推出AE=A。；

(2)在OG上截取DN=ER连接⑷V,FN,FN与AG交手M,利用SAS可证得△A£7名△的＞%,得出NEAP

=/DAN,AF=AN,进而可得△AFN是等腰直角三角形，再证得AM平分/项N,利用等腰三角形的性质可得

AM±FN,FM=MN,即AG垂直平分推出GF=GN,即可证得结论；

(3)延长GK交HD于S,延长DK交GH于T,根据费马点模型可知：当点K在△GH。内，KG+KH+KD的值

最小时，ZGKD=ZDKH=ZGKH=120°,再运用三角形外角性质即可求得答案.

【解答】(1)证明：如图1,

•.•△A2C为等腰直角三角形，ZABC=90°,；.AB=BC,

"：HD=BC,：.HD=AB,

\'AE±AD,AZ£AD=90°,：.ZEAB+ZBAD^90°,

'：DH±AB,：.ZDHA=90°,：.ZBAD+ZHDA=90°,：.ZEAB=ZHDA,

rZABE=ZDHA

在△EA3和△AD8中，＜AB=HD，：./\EAB^/\ADH(ASA),J.AE^AD；

ZEAB=ZHDA

(2)证明：如图2,在。G上截取DN=ER连接⑷V,FN,FN与AG交于M,

'：DH±AB,：.ZAHD=ZDHG=90°,:./HGD+/HDG=90°,

"?ZHGD=ZADH,：.ZADH+ZHDG=9Q°,即NAZ)G=90°,

'：FE±AE,：.ZAEF=90°,：.ZAEF=ZADH,

'AE=AD

在AAEF和△ADN中，ZAEF=ZADN，

EF=DN

/.AAEF^AADN(SAS),

/.ZEAF=ZDAN,AF=AN,

'：AE±AD,

：.ZEAD=90°,

即/及皿+/94可=90°,

：.ZEAN+ZEAF=9Q°,

即/超N=90°,

AAFN是等腰直角三角形，

•.•△ABC为等腰直角三角形，ZABC=90°,

：.ZBAC=ZBCA=45°,

即NE4M=45°,

ZNAM=45°=ZFAM,

平分NMN,

：.AM±FN,FM=MN,即AG垂直平分FN,

：.GF=GN,

,：DN+GN=GD,

：.EF+GF=GD；

(3)解：如图3,延长GK交”。于S,延长OK交G”于T,

CK

；・NGKD=NDKH=/GKH=120°,

AZKGH+ZKHG=ZHKS=60°,/KHD+/KDH=NHKT=60°,

：・NTKS=NHKS+/HKT=12U°,

VZKHG+ZKHD=ZDHG=90°,

・•・/KGH+/KHG+/KHD+/KDH=120°,

:・/KGH+/KDH=120°-QKHG+NKHD)=120°-90°=30°.

【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形外角性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全

等三角形的判定和性质，费马点模型，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键.

6.(2024•铜梁区校级模拟)已知△A3C中A3=3C,点。和点E是平面内两点，连接AD,DE^WBE,/BED=

90°.

(1)如图1,若BD=BA,NABC=2NO,BE=2,求AC的长度；

(2)如图2,连接AO和CD,点方为AO中点，点G为。0中点，连接所和BG,若EF=BG,求证：ZBAC

=ZDBE；

(3)若/ABC=60°,AB=2,当_LADW_BDWD取得最小值，且AE取得最大值时，直接写出的面积.

22

【考点】三角形综合题.

【分析】(1)过点8作瓦交AC于点X,证明(AAS)即可求解；

(2)取8。的中点T,连接TE,TF,TG,根据中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得

出ATFEmATBGCSSS),再证明得出/EBT=/GFT,进而即可得证；

(3)将△BOC绕点8顺时针转60°得到△B。'A,将绕点B顺时针旋转60°得到△BAD,连接4V,

根据■^•加二^书0七口d1r*中+＜力＞60当G，尸、D、c四点共线时，GC最小，进而确定£的位置，根据点E在

。为圆心，费BD为半径的圆上运动，由点到圆上的距离关系，得出当AE取得最大值时，E在A。的延长线上，连

接OR过点E作ESL8。于点S,进而解直角三角形，求得跖的长，根据三角形面积公式，即可求解.

【解答】(1)解：如图所示，过点B作交AC于点H,

B

「△ABC中，AB=BC,

：.ZAHB=90°,ZABC=2ZABH,AC=2AH,

VZB£D=90°,ZABC=2ZD,

：.ZAHB=ZBED,ZABH=ZD,

又<BD=BA,

：.(A4S),

：.AH=BE=2,

：.AC=2AH=4；

(2)解：如图所示，取瓦)的中点T,连接ZE、TF、TG、FG,

又,：F,G是A。，DC,

TG卷BC,FG//AC,FT//AB,

•：AB^BC,

：.FT=TG,

:/BED=90°,T为8。的中点，

：.TE=BT,

在△7FE和△TBG中，

rTF=TG

TE二TB，

EF=BG

:.ATFE咨LTBGCSSS),

:./FTE=/GTB,

：.ZFTE-ZGTE=ZGTB-ZGTE,即ZFTG=ZETB,

又"：FT=TG,TE=EB,即=L-21,

TFTG

:ATBEsATFG,

/EBT=ZGFT,

"：FG//AC,FT//AB,

：.ZTFB=ZBAC,

：.ZBAC=ZDBE；

(3)解：:△ABC中，AB=BC,ZABC=60°,

：.AABC是等边三角形，

如图所示，将△BOC绕点B顺时针转60°得到△8。，/,将△A3。绕点B顺时针旋转60°得到△BAD,连接

AA',

：.BD=BD',ZDBD'=60°,AB=A'B,AB//AC,则△DB。'是等边三角形，△AAB是等边三角形,

'：CD=AD',AA'=AC,

取瓦7,84的中点RG,则FG=^A77=1A「,

22"

•.•尸是8。的中点,

:.DF±BD,Df=BDsin60*1

；・加号BD*CD=GF.FD+CDAg

・••当G,F,D,。四点共线时，GC最小，此时如图所示,

工GC±BD\

*：A'D'//GF,

：.AD'LB'D,

•••△A778是直角三角形，

・・・△ABO是直角三角形，

：.AD.LBD,

VZB£>Z)'=60°,

AZ£>'DA=30°,

W=yAD=DC>

设C£)=〃，则A£>'=〃，AD—2a,

在RtZkA。。中，DD'=eos30*XAD»/2a>

,..△BDO是等边三角形，

•••BD=DD'=V3a-

在RtZXAB。中，AB=2,

:.AB2=AD2+BD2,

A22=(V3a)2+(2a)2,

解得：a©Z，

7

•♦BDSan2^,AD=2a=-^>

取BD的中点O,连接A。，OE,

•：/BED=90°,

.•.点E在。为圆心，为半径的圆上运动，

•­OE*1BD=^>

当AE取得最大值时，E在AO的延长线上，连接OF,过点E作ESL8D于点S,

在RtzXA。。中，OD=OE=QP-，

；.AD=VAD2-K)D2=J(呼、2,而、2_vn§

)(7)-7

477

AD-7"

・•.m/AODRq^厂

7

：.SE=cosZSOEXOE=cosZAODXQE=,

133

ABDE的面积为加DXSE=y

/«XUS

【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形中

位线的性质，旋转的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，相似三角形的性质与判定，加权费马点

问题，点与圆的位置关系，直径所对的圆周角是直角；熟练掌握以上知识是解题的关键.

7.(2023春•渠县校级期末)如图1,D、E、尸是等边三角形ABC中不共线三点，连接A。、BE、CF,三条线段

两两分别相交于。、E、F.已知A尸=3。，NEDF=60；

(1)证明：EF=DF-,

(2)如图2,点M是ED上一点，连接CM,以CM为边向右作连接EG.若EG=EC+EM,CM=GM,

ZGMC=ZGEC,证明：CG=CM.

(3)如图3,在(2)的条件下，当点/与点。重合时，若CZJLAZ),GO=4,请问在△ACD内部是否存在点

P使得P到△AC。三个顶点距离之和最小，若存在请直接写出距离之和的最小值；若不存在，试说明理由.

【考点】三角形综合题.

【分析】(1)可先推出再证△ACP也△A4。，即可得出结论；

(2)在EF上截取EN=EM,连接MN,可推出△EMN是等边三角形，可证△NCMg/XEGAf,然后推出△CMG

是等边三角形，从而问题得证；

(3)先求得人。=当且，将△。尸。绕点。顺时针旋转60°至△DQG,连接AG,可得△POQ是等边三角形，

3

于是AP+PD+CP=AP+PQ+QG,故当A、P、Q、G共线时，AP+PD+CP最小=AG,最后解斜三角形ADG,从

而求得.

图I

・・•AABC是等边三角形，

：.AC=AB,

NAC3=60°,

・・・NCA尸+NDA8=60°,

VZE£>F=60°,

AZDAB+ZABD=60°,

AZCAF=/ABD,

9：AF=BD,

：.AACF^ABAD(SAS),

：.CF=AD,

•；EF=DF,

：.EF=DF；

EF=DF,/EDF=6U°,

・・・△£)£尸是等边三角形，

AZDEF=60°,

在EF上截取EN=EM,连接MN,

・•・CN=CE+EN=CE+EM=EG,

•••△EMN是等边三角形，

；・NCNM=60°,

•：/GMC=/GEC,Za=Zp,

NNCM=ZEGM,

■:CM=GM,

:•丛NCM沿丛EGM(SAS),

AZMEG=ZCNM=60°,

AZCEG=180°-/MEG-NFED=60：

:・/GME=NGEC=6U°,

■:CM=GM,

•••△CMG是等边三角形，

：.CG=CM；

(3)解：如图3,

由(1)(2)知，

LDEF和△CDG是等边三角形，

・・・NC尸。=60°,CD=GD=4,

9：CD±AD,

：.ZCDF=90°,

：.AD=CF=—工—=私且，

sin6O03

将△OPC绕点。顺时针旋转60°至△OQG,连接AG,

：.AD^DQ,CP=QG,

：.APDQ是等边三角形，

:・PD=PQ,

：.AP+PD+CP=AP+PQ+QG,

.,.当A、尸、Q、G共线时，AP+PO+CP最小=AG,

作GH±AD于H,

在RtADGH中，

GH=1DG=2,

2

DH=^LDG=2«,

2

：.AH^AD+DH=幽+2加二独巨,

33

•'-AG=VGH2+AH2

=^(-^-)2+2^

J.AP+PD+CP的最小值是.

【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质和应用等知识，解决问题的关键

是掌握“费马点”模型及“截长补短”等题型.

8.定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等

腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”.

【基础巩固】

(1)如图1,在等腰Rt^ABC中，/BAC=90°,AD为BC边上的高，已知AD上一点E满足NDEC=60°,

AC=4J6,求AE+BE+CE=；

【尝试应用】

(2)如图2,等边三角形ABC边长为4V3,E为高线AD上的点，将三角形AEC绕点A逆时针旋转60°

得到三角形AFG,连接EF,请你在此基础上继续探究求出等边三角形ABC的“最近值”；

【拓展提高】

(3)如图3,在菱形ABCD中，过AB的中点E作AB垂线交CD的延长线于点F,连接AC、DB,已知

/BDA=75°,AB=6,求三角形AFB“最近值”的平方.

【分析】(1)4CDE为含30°角直角三角形，可求出DE、CE的长度，进而得出结果.

(2)Z\AEF为等边三角形，可得AE+BE+CE=EF+BE+GF,故当B、E、F、G四点共线时，EF+BE+GF最小,

进而可得NAEB=NAEC=NBEC=120°,即可求出结果.

(3)作DM_LAB于点M,可知EF=DM=1/2AB,进而可推出4ABF为等腰直角三角形，结合(2)中的结论,

当点P满足：ZAPF=ZBPF=ZAPB=120°时，PA+PB+PF最小，进而结合(1)中方法求出结果.

ft?：(1)\'AB=AC,ZBAC=90°,AC=4vz6,

：.BD=CD=AD=4^3,

VZDEC=60",

：.DE=-^=4,

，3

：.AE=AD-DE=4VT-4,CE=BE=2DE=Q,

：.AE+BE+CE=4v/3-4+8x2=12+4^3;

故答靠为：12+4-T；

(2)由题意可得：AE=AF,ZEAF=60°,

.•.△EAF为等边三角形，

.'.AE=EF=AF,

：.AE-^-BE+CE=EF+BE+GF,

VB,G两点均为定点，

.•.当B、E、F、G四点共线时，EF+BE+GF最＜h,

/.ZAEB=120°,ZAEC=ZAFG=120°,

/.ZBEC=120°,

二此时E点为等边△ABC的中心，

：.AE+BE+CE=3AE=3X-^-=12,

，3

故等边三角形ABC的“最近值”为12；

(3)如图.过点D作。乂，48于点跖

VZBDA=75°,AB=AD,

.\ZDAB=30",

.\2DM=AD=AB,

,/ABHCD,

：.EF=DM,

：.2EF=AB,

.'.AE=BE=EF=3,

.•.△AEF与ABEF均为等腰直角三角形，

.•.△ABF为等腰直角三角形，

设P为EF上一点，由(2)得：NAPF=/BPF=NAPB=120°时，PA+PB+PF最小，

此时：EP=-^r=V3,

，3

：.AP=BP=2EP=2vT,FP=EF-EP=3-4

：.AP+BP+FP=2，可+2,彳+3—，言=3+3/言，

/.(AP+BP+FP)2=(3+3)2=36+18小

...三角形AFB“最近值”的平方为36+18、句.

【点评】本题考查三角形与四边形综合问题，掌握费马点模型可帮助快速解题.

9.如图①，P为aABC所在平面上一点，＜ZAPB=ZBPC=ZCPA=120°,则点P叫做AABC的费马点.

(1)如果点P为锐角三角形ABC的费马点，且/ABC=60。.

①求证：ZkABPs^BCP；

②若PA=3,PC=4,求PB的长.

(2)已知锐角三角形ABC,分别以AB、AC为边向外作正三角形ABE和正三角形ACD,CE和BD相

交于P点，连结AP,如图②.

①求/CPD的度数；

②求证：P点为aABC的费马点.

【分析】(1)①由三角形内角和定理可求NPBA+NPAB=60°,可证NPBC=NBAP,可得结论；

②由相似三角形的性质可得器=器，即可求解；

(2)①由“SAS”可证可得N1=N2,即可求解；

4FDFc

②通过证明△ADFs/XCFP,可得可证△AFPs/\CDF,可得NAPF=NACD=60",可得结论.

CrrV

(1)①证明：•.•点P为锐角三角形ABC的费马点,

.-.ZAPB=ZBPC=ZCPA=120°,

.\ZPBA+ZPAB=60°,

VZABC=60",

.\ZABP+ZPBC=60°,

：.^PBC=ABAP,

又•.•/APB=NBPC,

/.△ABPooABCP,

②解：:•△ABPsZ^BCP,

.PA_PB

,""PB_~_PF,

又PC=4,

•3_PB

"~PB4",

：.PB=2V3;

②证明：VZ1=Z2,Z5=Z6,

如图，:△ABE与△ACD都为等边三角形，.,.△ADFooACFP,

二NBAE=NCAD=60°,AE=AB,AC=AD,.AF_DF

*'~CP"一~PF_*

.,.ZBAE+ZBAC=ZCAD+ZBAC,即NEAC=/BAD,

：.AF-PF=DF-CP,

在△ACE和AADB中，

\-^AFP=^CFD,

AC=AD

.,.△AFPooACDF,

NEAC=/BAD，

,EA=AB/.ZAPF=ZACD=60°,

：.^ACE^^ADB(SAS),.•.NAPC=NCPD+NAPF=120",

.'.Z1=Z2,/.ZBPC=120°,

o

VZ3=Z4,.,.ZAPB=360°-ZBPC-Z?4PC=120,

.-.ZCPD=Z6=Z5=600;；.P点为△ABC的费马点.

【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，费马点的定义，以及

等边三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键.

10.［问题情境】如图1,在4ABC中，ZA=120°,AB=AC,BC=5V3,则4ABC的外接圆的半径值为5.

【问题解决】如图2,点P为正方形ABCD内一点，且/BPC=90°,若AB=4,求AP的最小值.

【问题解决】如图3,正方形ABCD是一个边长为3J3cm的隔离区域设计图，CE为大门，点E在边

BC±,CE=V3cm,点P是正方形ABCD内设立的一个活动岗哨，到B、E的张角为120°,即ZBPE=120°,

点A、D为另两个固