整式乘法与因式分解 章节复习卷（20个知识点+50题练习）（解析版）

第09章整式乘法与因式分解章节复习卷（20个知

识点+50题练习）

知识点

知识点1.单项式乘单项式

运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式

里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运

算；③不要丢掉只在''个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成

立.

知识点2.单项式乘多项式

（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的

每一项，再把所得的积相加.

（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：

①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每

一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号.

知识点3.多项式乘多项式

（1）多项式与多项式相乘的法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积

相加.

（2）运用法则时应注意以下两点：

①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏②多项式与多项式相乘，仍得多项式，

在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积.

知识点4.完全平方公式

（1）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2.

可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”.

（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式,

其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍其符号与左边的运算

符号相同.

（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a,b可是单项式，也可以是多项式；②

对形如两数和(或差)的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两

项看做一项后，也可以用完全平方公式.

知识点5.完全平方公式的几何背景

(1)运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对

完全平方公式做出几何解释.

(2)常见验证完全平方公式的几何图形

Q+6)2=°2+2必+庐.(用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长

宽分别是6的长方形的面积和作为相等关系)

知识点6.完全平方式

完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式4如果存在另一个实系数整式

B,使/=炉，则称/是完全平方式.

a2±2ab+b2=(a±2)2

完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方.另一种是完

全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方.算时有一个口诀“首末两项算平方，首末

项乘积的2倍中间放，符号随中央.(就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，

再乘以2,然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的

符号，完全平方和公式就用+,完全平方差公式就用-,后边的符号都用+)”

知识点7.平方差公式

(1)平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.

(a+6)(a-b)=a1-b2

(2)应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

②右边是相同项的平方减去相反项的平方；

③公式中的a和6可以是具体数，也可以是单项式或多项式；

④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以

多项式法则简便.

知识点8.平方差公式的几何背景

（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证

平方差公式）.

图图

图（3?

（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平

方差公式做出几何解释.

知识点9.整式的除法

整式的除法：

（1）单项式除以单项式，把系数，同底数塞分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式

里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式.

关注从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤①系数相除②同底数幕相除③

对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式.

（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.

说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式.多项式除以单项式的结果仍是

一个多项式.

知识点10.整式的混合运算

（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数

的混合运算顺序相似.

（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地

解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来.

知识点11.整式的混合运算一化简求值

先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值.

有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合

运算顺序相似.

知识点12.因式分解的意义

1、分解因式的定义：

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解

因式.

2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形

式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式.例如：

X2-1;二一4fX+1）fX-1}

霍代乘法

3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.

知识点13.公因式

1、定义：多项式加a+加6+/MC中，各项都含有一个公共的因式"2,因式"2叫做这个多项式各

项的公因式.

2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：

①定系数，即确定各项系数的最大公约数；

②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；

③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幕.

知识点14.因式分解-提公因式法

1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项

式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

2、具体方法：

（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项

的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低

的.

（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为

正数.

提出“-”号时，多项式的各项都要变号.

3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇

偶.

4、提公因式法基本步骤:

(1)找出公因式；

(2)提公因式并确定另一个因式：

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；

②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公

因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项，

求的剩下的另一个因式；

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同.

知识点15.因式分解-运用公式法

1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.

平方差公式：a2-b2=(a+6)(a-b)$

完全平方公式：cr+2ab+b2—(a±b)2；

2、概括整合：

①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符

号相反.

②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)

的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.

3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止.

知识点16.提公因式法与公式法的综合运用

先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可.

知识点17.因式分解-分组分解法

1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组

后能出现公因式，二是分组后能应用公式.

2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法.

例如：①ax+ay+bx+by

=x(a+6)+y(a+6)

=(a+6)(x+j)

②2xy-x2+l-y2

(x2-2xy+y2)+1

=1-(尤_y)2

=(1+x-y)(1-x+y^)

知识点18.因式分解-十字相乘法等

借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的

方法，通常叫做十字相乘法.

①x?+(0+q)xtpq型的式子的因式分解.

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；

可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：

x2+(p+q)x+pq—(x+p)(x+q)

@ax2+bx+c(aWO)型的式子的因式分解

这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数对，a2的积田P2，

把常数项C分解成两个因数Q,C2的积CJC2，并使O1C2+。2cl正好是一

次项6,那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(aix+ci)(aix+c^).

知识点19.实数范围内分解因式

实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围(可用无理数的形式来表示)，

一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式.

例如：/-2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解

x2-2=x2-(V2)2=(x+V2)(x-扬

知识点20.因式分解的应用

1、利用因式分解解决求值问题.

2、利用因式分解解决证明问题.

3、利用因式分解简化计算问题.

【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用

1.因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用

解题方法，具体做法是根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代

入.

2.用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是

其中的一部分.

练习卷

单项式乘单项式（共3小题）

1.（2024春•张家港市期中）下列式子运算正确的是（）

A.3a2+2/=5/B.3a2-2a2=1C.3a2-2a2=6a4D.（2a2）3-6a6

【分析】直接利用合并同类项法则以及单项式乘单项式、积的乘方运算法则分别计算，进而

得出答案.

【解答】解：A.3a2+2a2=5a2,故此选项不合题意；

B.3a2-2a2=a2,故此选项不合题意；

C.3«2-2a2=6a4,故此选项符合题意；

D.（2°2）3=8/,故此选项不合题意.

故选：C.

【点评】此题主要考查了合并同类项以及单项式乘单项式、积的乘方运算，正确掌握相关运

算法则是解题关键.

2.（2024春•徐州期中）^x3-（-3x2y）2=_x7y2_.

【分析】先算乘方，然后根据单项式乘单项式的运算法则计算即可.

【解答】解：|X3.（-3X2J；）2

=.9x4y2

=x7y2,

故答案为：X7/•

【点评】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键.

3.（2024春•姑苏区校级期中）计算：

（1）|-2|—（2—万）°+（—；尸；

（2）a3-（-b3）2+（-2ab2）3.

【分析】（1）先算绝对值，零指数神，负整数指数幕，再算加减即可；

（2）先算积的乘方，再算单项式乘单项式，最后合并同类项即可.

【解答】解：(1)|-21-(2-%)°+(—；)-'

=2-1-3

=-2；

(2)a3-(-b3)2+(-2ab2>)3

=a3-b6-Sa3b6

=a3b6-Sa3b6

=-la3b6.

【点评】本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，实数的运算，解答的关键是对相应的运

算法则的掌握.

二.单项式乘多项式(共3小题)

4.(2023春•吴江区月考)下列运算中，结果正确的是()

A.x3-x3=x6B.3x2+2x2=5x4C.(x2)3=x5D.x(x+y)=x2+y

【分析】根据同底数基的乘法，合并同类项，募的乘方，单项式乘多项式运算法则分别判断

即可.

【解答】解：x3-x3=x6,

故N符合题意；

3x2+2x2=5x2,

故3不符合题意；

(X2)3=X6,

故C不符合题意；

x(x+y)-x2+xy,

故。不符合题意，

故选：A.

【点评】本题考查了同底数塞的乘法，合并同类项，暴的乘方，单项式乘多项式，熟练掌握

这些知识是解题的关键.

5.(2023春•玄武区校级期中)3x2(4x-3)=_12/-9/_,2ab-()=6a2bc.

【分析】利用单项式乘多项式的法则，整式的除法的法则进行运算即可.

【解答】解:3X2(4X-3)

=3x2•4x-3x2x3

=12x3-9x2；

6a2bc4-(2ab)=3ac，

故答案为：16x3-9x2；3ac.

【点评】本题主要考查单项式乘多项式，整式的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌

握.

6.(2023春•工业园区校级月考)计算：

(1)y3,y2-(3y2)3+/+V；

4

(2)(-3a)(5/-§a+D-(2a)3.

【分析】(1)直接利用积的乘方运算法则以及整式的除法运算法则、同底数幕的乘法运算法

则分别计算，再合并同类项得出答案；

(2)直接利用单项式乘多项式以及积的乘方运算法则化简，进而计算得出答案.

【解答】解：(1)原式=丁一27;/+V

-2/-27/；

(2)原式=-15/+4〃-3a-8/

=—23(7+4矿—3a.

【点评】此题主要考查了积的乘方运算、整式的除法运算、同底数塞的乘法运算、单项式乘

多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键.

三.多项式乘多项式(共3小题)

7.(2024春•苏州期中)如图，在数学兴趣活动中，小吴将两根长度相同的铁丝，分别做成

甲、乙两个长方形，面积分别为岳，星，则岳-星的值是()

m+5

m+3

甲乙m+2

A.16mB.16m+27C.27D.3

【分析】先根据题意，求出铁丝的长度，从而求出图乙中长方形的长，再根据长方形的面积

公式求出d，s2,从而求出答案即可.

【解答】解：由题意得：铁丝的长度为：2（加+3+加+5）=2（2加+8）=4掰+16,

d=（机+3）（加+5）

=m2+5加+3机+15

=m2+8m+15,

图乙中长方形的长为：［（4加+16）-2（加+2）］+2

=（4m+16-2m-4）+2

=（2加+12）+2

=加+6,

S2=（加+6）（加+2）

—m-\-2m+6m+12

=m2+8m+12,

*S*j—S?

=（m2+8m+15）-（m2+8m+12）

-m8m+15—m2-8m-12

=3,

故选：D.

【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则，理解

图甲和图乙的周长相等.

8.（2024春•姑苏区校级期中）若（「+町+2）（2^-4）的结果中不含产项，则a的值为

2.

【分析】先根据多项式乘多项式法则计算出结果，再根据结果不含/项，列出关于。的方

程，解方程即可.

【解答】解：（/+e+2）（2y-4）

=2y3-4y2+2ay2-4ay+—8

3

=2y+(2〃-4)/+(4-4a)y-8,

•.■（/+町+2）（2y-4）的结果中不含丁项,

2a—4=0,

2。=4,

解得：a=2,

：.a的值为：2,

故答案为：2.

【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则.

9.（2023春•鼓楼区校级期中）如图，某市有一块长为（3a+6）米，宽为（2a+6）米的长方形

地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像.

（1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示）

【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则求出阴影部分的面积；

（2）代入a=3,6=2计算即可.

【解答】解：（1）阴影部分的面积=（3a+6）（2。+6）-（。+4

=6a2+5ab+b2-a2-lab-b1

=5a2+3ab；

（2）当a=3,6=2时，原式=5x3?+3x3x2=63（平方米）.

【点评】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则多项式与多项式相乘,

先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

四.完全平方公式（共3小题）

10.2024春•仪征市期中）小刚把（2025x+2022）2展开后得到◎?+云+c,把（2024%+2023）2

展开后得到加f+q,则a的值为（）

A.1B.-1C.4049D.-4049

【分析】根据完全平方公式分别展开，即可求出.、加的值，然后根据平方差公式计算即

可.

【解答】解：(2025x+2022)2

=20252X2+2X2025XX2022+20222,

V(2025%+2022)2展开后得到ax2+bx+c,

a=2025",

(2024x+2023>

=20242/+2*2024Xx2023+20232,

(2024x+2023)2展开后得到mx2+nx+q,

m=20242,

a-m

=20252-20242

=(2025+2024)x(2025-2024)

=4049x1

=4049,

故选：C.

【点评】本题考查了完全平方公式、平方差公式，熟练掌握这两个公式是解题的关键.

11.(2023春•新吴区期中)已知x+y=8,xy=6,求(x-=40.

【分析】根据和的平方等于平方和加积的2倍，计算平方和，再根据完全平方公式的形式,

可得答案.

【解答】解：,.,(x+y)2=x2+y2+2xy=64,

x2+y2-64-2xy=64-2x6=52；

(x-=JC~-2xy+=52-2x6=40.

故答案为：40.

【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方式是解题关键.

12.(2023春•兴化市月考)若a+b=5,ab=3,

(1)求/+/的值；

（2）求a-6的值.

【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案;

（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案.

【解答】解：（1）'：a+b=5,ab=3,

（a+b）2=25,

a2+2ab+b2=25,

a2+Z?2=25—lab=25—6=19；

（2）va2+b2=19,ab=3,

a2+b2-2ab=13,

（"6）2=13,

a-b=±VTs.

【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键.

五.完全平方公式的几何背景（共3小题）

13.（2024春•淮安期中）如图，C为线段上的一点，分别以NC,8c为边在N8的两

侧作正方形和正方形8WG.若48=6,且两正方形的面积之和工+邑=20,图中

阴影部分面积为

【分析】图2中大正方形的面积可以用边长的平方、各部分图形面积之和两种方法来表示,

从而得到一个乘法公式设图3中正方形/CDE的边长为x,正方形2CFG的边长为y,则

x+y=6,x2+y2=2Q,根据三角形面积公式将阴影部分的面积用x和y表示出来，根据之

前得到的乘法公式求得刈并代入计算即可.

【解答】解：图2中大正方形的面积可以表示为（0+6>,也可以表示为1+246+/,

(a+6)2=+2ab+b~.

设图3中正方形的边长为x,正方形8CFG的边长为y,贝Ux+y=6,

S]+S?=x~+y1=20')

S阴影=,CD+^CF-AC=^xy+-xy=xy,

■：x+y=6,

(x+j)2=x2+2xy+y1=36,

xy=S,

，阴影部分的面积为8.

故答案为：8.

【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握长方形、正方形和三角形的面积公式是本

题的关键.

14.（2024春•徐州期中）如图，用四个完全相同且长、宽分别为x,武x>y）的长方形纸片

围成一个大正方形/BCD,中间是空的小正方形EFGH.已知/5=7,EF=3,则下列关

系式中不正确的是（）

A.x-y=3B.xy=10C.f一/=21D./+「=40

【分析】根据拼图得出x+y=7,X-7=3,进而求出无=5,y=2,再代入分别计算肛,

x2+y2,x2-r的值即可.

【解答】解：由拼图可知，AB=x+y=-!,EF=x-y=3,

所以x=5,y=2,

所以孙=5x2=10,/+「=25+4=29,x2-/=25-4=21,

因此选项。符合题意，

故选：D.

【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关

键.

15.（2023春•宜兴市月考）如图1是一个长为2m、宽为2〃的长方形，沿图中虚线用剪刀

均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形/BCD.

（1）观察如图2填空：正方形/8C。的边长为阴影部分的小正方形的边长

为;

（2）观察图2,试猜想式子（加+“）2,（加-"）2,加〃之间的等量关系，并证明你的结论；

（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题:

①已知a-6=5,ab=-6,求a+6的值;

29

②已知a>0,a——=1,求a+—的值.

图1图2

【分析】（1）根据图形，正方N8CD的边长为等于小长方形两边的和，阴影部分的正方形

的边长等于小长方形两边的差；

（2）阴影部分的面积可以直接用边长的平方求解，也可用大正方形的面积减去四个小长方

形是面积，由此解答即可；

（3）先利用（2）中的结论求（a+2y的值，然后求解即可.

a

【解答】（1）解：正方43CQ的边长为加+〃，阴影部分的正方形的边长为加-〃；

故答案为：m+n,m-n；

(2)解：(m+H)2=(m-n)2+4mn,

理由如下：（加+〃）2=加2+2加〃+/

=m—2mn+n2+4mn

=(m-n)2+4mn；

(3)①由(2)(Q+6)2=(Q-6)2+4ab,

a—b=5,ab=-6

.•.(a+b)2=52+4x(-6)=1,

Q+6=±1；

②由(2)5+2)2=5_2)2+4°.2=伍_2)2+8,

aaaa

21

*.*ci----=I，

a

2

(a+-)2=l2+8=9,

a

25

aH—=±3,

a

又。>0,

2

ClH--->0,

a

2c

6ZH----3.

a

【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景进行

求解是解决本题的关键.

六.完全平方式(共3小题)

16.(2023春•阜宁县期中)若x?-ZHX+25是完全平方式，则机=()

A.-10B.10C.±10D.7或-1

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值.

【解答】解：；》2-加工+25是完全平方式，

m=±10,

故选：C.

【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

17.(2024春•泰兴市期中)4x?-4x+正是完全平方式，则常数加=i.

【分析】根据完全平方式的特征进行计算，即可解答.

【解答】解：•.•4/-4工+加是完全平方式，

4x~-4.x+加=(2x)2_2.2%-1+12,

.•.加=F=1,

故答案为：1.

【点评】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键.

18.（2024春•玄武区期中）综合与实践.

学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1,N型卡片是边长为。的正方形，2型

卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a,6的长方形.

（1）选取1张/型卡片，2张C型卡片，1张8型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个

边长为（a+6）的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式

(a+=。~+2ab+b~

（2）如果用若干张N,B,C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为（2a+6）和

（a+2b）,在虚线框中画出你的拼图;

r

（3）选取1张/型卡片，4张C型卡片按图3的方式不重叠地放在长方形MVP0框架内,

已知NP的长度固定不变，"N的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表

示为工，邑.若。=岳-邑，且0为定值，则a与b的关系是

【分析】（1）方法一：根据图2中大正方形的边长为（a+6）可得出面积；方法二：根据图2

中大正方形是由两个小正方形（边长分别为a,6）和两个长方形（长为a,宽为6）组成可

得出面积；由此即可得出乘法公式;

(2)回出一个长方形的两邻边分别为(2a+6)和(a+26)即可;

(3)设MN=x,则x的长度可以变化，根据图形得S]=-ab,S2=3bx-3ab,则

Q=-S2=(a-3b)x-x2+lab,然后根据0为定值，x的长度可以变化得a-36=0,由

此可得a与b的关系.

【解答】解：(1)方法一：•.•图2中大正方形的边长为(a+6),

该大正方形的面积为：(a+6)2,

方法二：•.•图2中大正方形是由两个小正方形(边长分别为a,6)和两个长方形(长为a,

宽为6)组成，

.•.该大正方形的面积为：a2+2ab+b2,

.•.可得到的乘法公式为：(。+6)2=/+2浦+62,

故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2.

(2)用卡片/,B,C拼成的一个长方形，边长分别为(2a+b)和(a+26),如下图所示：

(3)设MN=x,则x的长度可以变化，

•.•四边形ACVP0为长方形，

PQ=MN=x,

2

：.S]=a(x-a-b)-ax—a-ab,S2=3b(a—x)=3bx—3ab,

22

Q-Sl-S2-(ax—a—ab)—(3bx-3ab)=(a-3b)x—a+lab,

•••0为定值，x的长度可以变化，

:.a-3b=0,

二。与b的关系是：a=36.

故答案为：a=36.

【点评】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握正方形，长方形

的面积公式，完全平方公式的结构特征是解决问题的关键.

七.平方差公式(共3小题)

19.(2024春•玄武区期中)下列各式中，不能使用平方差公式计算的是()

A.{a+1)(-6/-1)B.(«-1)(-6Z-1)C.{a+1)(6Z-1)D.{a+1)(1-a)

【分析】对选项中的算式进行计算即可得出答案.

［解答］解：­,•(fl+l)(-a-1)=-(a+l)(a+1)=-(a+1)2,

，(a+1)(-«-1)不能使用平方差公式计算，

故选项/符合题意；

*.*(a-1)(—a—1)-—(a-l)(a+1)=­a2+1»

(a-l)(-a-l)能够使用平方差公式计算，

故选项2不符合题意；

:(a+l)(6t-1)=a?-1,

+1)(-1)能够使用平方差公式计算，

故选项C不符合题意；

(a+1)(1—a)=(1+a)(l—a)—1—,

(a+1)(1-a)能够使用平方差公式计算，

故选项。不符合题意.

故选：A.

【点评】此题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解决问题的关

键.

20.(2024春•玄武区校级期中)计算：(x+y)(-x+y)=_/-x2_,("34=.

【分析】根据平方差公式、完全平方公式分别计算即可.

【解答】解：(x+y)(-x+y)

=(7+x)(y-x)

=y2-x2；

(a-3by=/-6ab+9b2；

故答案为：y2-x2：a2-6ab+9b2.

【点评】本题考查了平方差公式、完全平方公式，熟练掌握这两个公式是解题的关键.

21.(2023春•鼓楼区校级月考)运用适当的公式计算：

(1)(-l+3x)(-3x-l)；

(2)(x+1)2-(1-3x)(1+3x).

【分析】(1)根据平方差公式进行计算即可.

(2)根据平方差公式、完全平方公式进行计算即可.

【解答】解：(1)原式=(-4-(3x)2=1-9x2；

(2)原式=x?+2x+l-(lx?)

=X2+2X+1-1+9尤2

=10x2+2x.

【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键.

八.平方差公式的几何背景(共2小题)

22.(2023春•工业园区校级月考)如图，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正

方形(阴影部分)，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成一

个大的长方形，这两个图能解释一个等式是()

A.x2—X-x(x-1)B.x2—i-(x+l)(x-1)

C.x2-2x+l=(x-l)2D.x?+2x+1=(x+1)-

【分析】根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，由此得出等量关系即可.

【解答】解：由图可知，

图1的面积为：x2-l2,

图2的面积为：(x+l)(x-l),

所以X2_]=(X+l)(x-1).

故选：B.

【点评】本题考查平方差公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数

式.

23.(2023春•宝应县期中)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学

发展史的一个里程碑.在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论

证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中.

(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，图中各四边形

均为长方形，找出可以推出的代数公式；(如图，下面各图形均满足推导各公式的条件，只

需填写对应公式的序号).

(图1)(图2)

公式①：(a+b)2=a2+2ab+b2

公式②：(a+b+c)d=ad+bd+bd

公式③：(a+b)(c+d)=ac+ad+be+bd

图1对应公式②，图2对应公式,图3对应公式.

(2)请仿照(1)设计几何图形来推理说明公式(a-b)2=Y-2仍+/:

(3)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式(。+颂"6)="-6?的方法,

如图，请写出证明过程.(图中各四边形均为长方形)

a

A

DF

a

M

v

E+<

?

【分析】(1)根据各个图形中面积之间关系可得答案;

(2)仿照(1)根据式子特点不难设计几何图形;

(3)用代数式表示图形中各部分面积，再由面积之间关系可得结论.

【解答】解：(1)图1“整体”上看长是g+6+c),宽为d的长方形，因此面积为

(q+b+c)d，

从"部分”上看三个长方形面积的和为ad+bd+cd,因此(Q+b+c)d=ad+bd+bd,

二.图①对应公式②，

图2“整体”上看长是(a+b),宽为(c+d)的长方形，因此面积为(a+6)(c+d),

从“部分”上看四个长方形面积的和为ac+ad+bc+bd,因此有

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd，

.・.图②对应公式③，

图3“整体”上看长是(a+6),宽为(a+b)的长方形,因此面积为伍+有伍+b),

从"部分”上看四个部分面积的和为/+2a6+/,因止匕有(。+6)(。+6)=/+2a6+62,

图③对应公式①，

故答案为②，③，①;

(2)答案如图所示：

(3)由图可知：矩形5CEF和矩形片都是正方形，・.・/K=al/=5尸-=b,

BD=BC-CD=a-b,

•0-S矩形板c=

4K-AC=a(a-b)=BF-BD-S^DBFG,

•*,S正方形5CE尸=a'

~S矩形co应+S矩形。即G+S正方形EGHL，

=S矩形C£>〃L+S矩形,c+b,

/=S矩形AKHD+廿’

•，-S^AKHD=AK-AD=(a-b)(a+b),

a2=(a-b)(〃+b)+b2,

(Q+b)(a—b)=£—b2.

【点评】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式及平方差公式的几何背景，掌握完全平

方公式，平方差公式的结构特征是正确解答的前提.

九.整式的除法(共3小题)

24.(2023春•清江浦区校级期中)下列计算正确的是()

A.(mn)2=m2n2B.m2+m3=m5C.m2-i-n2=1D.m2-m3=m6

【分析】根据积的乘方运算可判断力,根据合并同类项可判断5,根据同底数幕的除法可

判断C,根据同底数累的乘法可判断。，从而可得答案.

【解答】解：（加"）2=,故/符合题意；

病+病丰M，病与加3不是同类项，不能合并，故8不符合题意；

加工/不是同底数累的除法，运算错误，故C不符合题意；

m2-m3=m5,运算错误，故。不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查的是积的乘方运算，合并同类项，同底数幕的除法，同底数神的乘法，熟

记运算法则是解本题的关键.

25.（2023春•宿城区校级期中）若一个长方形的面积为4/r，其长为2//,则宽为

lab2_.

【分析】根据整式的除法运算即可求出答案.

【解答】解：宽为4a3b4+2/我=2曲.

故答案为：2ab2.

【点评】本题考查整式的除法运算，解题的关键是熟练运用整式的除法运算法则，本题

属于基础题型.

26.（2024春•仪征市期中）计算：

（1）（-2）2+2024°-（1）-2；

（2）—2<?8a~.

【分析】（1）先计算平方、零次幕和负整数指数幕，再计算加减；

（2）先计算积的乘方和同底数暴相除，再计算减法.

【解答】解：（1）（-2）2+2024°-（；产；

=4+1—4

=1;

（2）（2*2-2/+/.

=4a6-2a6

=2a6.

【点评】此题考查了实数及整式的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能

进行正确地计算.

一十.整式的混合运算（共3小题）

27.（2023春•广陵区期末）如图，AB=\Q,C为线段上一点（/C<5C）,分别以/C、

99

8C为边向上作正方形NCDE和正方形8CFG,^^-5^=5,则％比=_一_.

8

【分析】设正方形ACDE^］边长为x,根据S^EF-S^EC=5,可得

工（10一刈？+5x-'xl0x-Lx2=5,即可解出正方形/CDE的边长为？，正方形8CFG为口,

22222

,199

从而可得SMEC=彳5。・/E=k・

2o

【解答】解：设正方形4CDE的边长为x,则正方形5CFG为（10-x）,

(x+10-X)X12

二•S梯形4EFC=2=5x，S的CF=2(10—X)，

12

•e-S四边形/时E=/(10一%)+5x,

..c_c_c

•U&4EC_J

—=

一（s四边形48尸E_S^BE）S^EC5，

Bp1（10-x）2+5x-|xl0x-|x2=5,

解得％=2,

2

Q11

二.正方形/CDE的边长为2,正方形3c尸G为10-x=—,

22

1111999

由22228

故答案为：—.

8

【点评】本题考查正方形与一元而方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次方程

求出正方形ACDE和正方形5c厂G的边长.

28.（2024春•徐州期中）下列计算正确的是（）

A.-ma2+ma2=0B.（一ab）5=a5b5

C.(a+b)2=a2+b2D.(a+b)(a+b)=a2-b2

【分析】根据合并同类项、积的乘方、完全平方公式和平方差公式判断即可.

【解答】解：/选项中，-ma?+ma°=。,所以工选项正确；

2选项中，(~ab)5=-a5b5,所以2选项错误；

C选项中，(a+b)2=a2+2ab+b2,所以C选项错误；

。选项中，(a+b)(a+b)=a2+2ab+b1,所以。选项错误.

故选/.

【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

29.(2023春•惠山区期中)计算：

(1)(-2)°+(-1)2019-2X(1)-2；

(2)a2-a4+(-2a2)3；

(3)(X+2)2+X(3-X)；

(4)(x+y-3)(x-+3).

【分析】(1)先算零指数幕，负整数指数幕和乘方运算，再算加减；

(2)先算同底数幕的乘法，积的乘方，哥的乘方，再合并同类项；

(3)先展开，再合并同类项；

(4)先用平方差公式，再用完全平方公式计算即可.

【解答】解:(1)原式=l+(-l)-2x4

=1-1-8

=—8；

(2)原式=/-8°6

=-7a6；

(3)=x2+4x+4+3x-x2

=7x+4；

(4)M^=[X+(7-3)][X-(7-3)]

=4-(y-3)2

=x2-y2+6y-9.

【点评】本题考查整式的混合运算；解题的关键是掌握整式相关运算的法则.

一十一.整式的混合运算一化简求值(共2小题)

30.(2023春•宿城区校级期中)我们知道，同底数幕的乘法法则为暧""=屋+"(其中

0*0,〃八力为正整数)，类似地我们规定关于任意正整数m、〃的一种新运算：

h(m+n)=/z(m)-h(n)；比如A(2)=3,贝U〃(4)=〃(2+2)=3x3=9,〃(6)

=以2+2+2)=3x3x3=27.若〃(1)=k(k*0),那么/?(“)•力(2023)的结果是

左〃+2023

【分析】根据/?(〃?+")=以加)•〃(")，通过对所求式子变形，然后根据同底数嘉的乘法计算

即可解答本题.

【解答】解：vh(jn+n)=7z(m)-h(n),h(1)=k(k0),

力5)/(2023)

(\/、

=h1+1+...+1,h1+1+…+1

I)7V20后个7

=/z(l)-//(1)•••«/z(l)x/i(l)./z(l)..../z(l)

zPb20另个

=左〃・公。23

_左“+2023

故答案为：左〃+2023.

【点评】本题考查同底数塞的乘法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出

所求式子的值.

31.(2024春•雨花台区校级期中)先化简，再求值：(％-1)?-2(%+3)(-3+x),其中

x——2.

【分析】先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即

可得到答案.

【解答】解：(x-l)2-2(x+3)(-3+x)

=X2-2X+1-2(X2-9)

=x2—2x+l—2x2+18

=—%2—2x+19,

当x=-2时，原式=-(-2)2-2x(-2)+19=19.

【点评】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算是关键.

一十二.因式分解的意义(共2小题)

32.(2023春•大丰区期中)若V+mx-15=(x+3)(x+”),则加的值是()

A.-5B.5C.-2D.2

【分析】把等式的右边展开得x2+mx-l5=x2+nx+3x+3n,然后根据对应项系数相等列

式求解即可.

【解答】解：•/x2+ffix-15=(x+3)(x+ri),

:.x2+mx-\5=x1+nx+3x+3n,

3n=-15,机=〃+3,

解得n=—5Jm=—5+3=—2.

故选：c.

【点评】本题考查因式分解与多项式的乘法是互为逆运算，根据对应项系数相等列出等式是

解本题的关键.

33.(2023春•新吴区期中)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是()

A.a(x-y)=ax-ayB.x2-l-(x+l)(x-1)

C.(x+l)(x+3)=x2+4x+3D.x2+2x+\-x(x+2)+1

【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案.

【解答】解：/、是整式的乘法，故/错误；

8、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故8正确；

C、整式的乘法，故C错误；

。、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故。错误；

故选：B.

【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式,

注意因式分解与整式乘法的区别.

一十三.公因式(共2小题)

34.(2024春•天宁区期中)多项式9尤3/-12//中各项的公因式是_3/：2_.

【分析】利用确定公因式的方法求解即可.

【解答】解：9x,r+12x2/中各项的公因式是：3/—.

故答案为：3j2x2.

【点评】此题考查了公因式，掌握公因式定义是关键.

35.（2023春•宿迁期中）多项式6--16丁的公因式为（）

A.2x2B.6x2C.6x3D.48x3

【分析】根据公因式为系数的最大公因数乘以相同字母的最低次幕，求解即可.

【解答】解：多项式6Y一16与的公因式为2一；

故选：A.

【点评】本题考查公因式.熟练掌握公因式是系数的最大公因数乘以相同字母的最低次事,

是解题的关键.

一十四.因式分解-提公因式法（共2小题）

36.（2023春•句容市期末）因式分解：

【分析】结合多项式的特点，直接应用提取公因式法进行因式分解即可.

【解答】解：m2-m=m（m-1）

故答案为：-1）.

【点评】本题考查因式分解，正确运用因式分解的方法是本题解题关键.

37.（2023春•秦淮区校级月考）把多项式6/6-30/+12仍因式分解时，应提取的公因式

是（）

A.abB.3crbC.3ab°D.3ab

【分析】公因式的确定：系数取最大公约数，相同字母取最低次幕.

【解答】解：6a2b-3ab2+I2ab=3ab（2a-/>+4）,

故选：D.

【点评】本题主要考查了因式分解，掌握公因式的确定是解题的关键.

一十五.因式分解-运用公式法（共2小题）

38.（2024春•宝应县期中）将下列多项式分解因式，所得结果为（2x-y）（2x+y）的是（）

A.4犬+rB.4x2-y2C.-4x2-y2D./-4x2

【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可.

【解答】解：，、4x2+y2,无法因式分解，故此选项错误，不符合题意；

B、4x2-y1-(2x-y\2x+y),正确，符合题意；

C、-4/+「=3+2工)3一2幻，原计算错误，不符合题意

D、-4x2-无法因式分解，不符合题意；

故选：B.

【点评】此题主要考查了运用公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键.

39.(2023春•宿迁期中)若4「+如+9能用公式法进行因式