浙教版初中数学七年级上册第三章《实数》单元测试卷（含解析）

浙教版（新课标）初中数学七年级上册第三章《实数》单元测试卷

考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分：120分

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列说法中，正确的是（）.

A.因为（一2）2=4,所以4的平方根为一2B.，皿的算术平方根是3

C.J正=±4D.±25的平方根是±5

2.若42x+1+|y+3|=0,则J（x+y）2的值为（）

5577

A-2B-2C2D-2

3.百石的平方根与-8的立方根之和是（）

A.0B.-4C.4D.0或一4

4.如图，在数轴上，点。对应数字。，点力对应数字2,过点力作力B垂直于数轴，且4B=4,连接OB,绕点

。顺时针旋转0B,使点B落在数轴上的点C处，则点C所表示的数介于（）

A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间

5.下列说法：

①在3和4之间的无理数有且只有兀这一个；

②有理数与数轴上的点---对应；

③两个无理数的积一定是无理数.其中正确的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

6.设面积为5的正方形的边长为a,下列关于a的结论：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示

；③2<a<3,其中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

7.下列运算正确的是（）

A.C=±2B.J(一2尸=-2C.=2D.VF37=-3

8.下列说法：

①—a是负数；

②符号相反的两个数是互为相反数；

③立方根等于本身的数是1;

④一个数的绝对值越大，则它在数轴上表示的点离原点越远；

⑤1—(ab+1)2的最大值为0.

其中正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.下列运算结果中正确的是()

A.(—2久产•(―1%2)2=1%7B.%3+1=(x+1)(%2—%+1)

C.7嘘+2a+1=a+1D.-27式的立方根是3%

10.规定：一个数的平方等于—1,记作产=一1,于是可知产=产义》=(一i)xi,i4=(i2)2=(-1)2=

1……，按照这样的规律，产。19等于()

A.1B.-1C.iD.-i

11.甲袋中装着分别标有数字2,73,-73,百2的同质同大小的四个球，乙袋中装着分别标有运算符号

“+”、“X”的同质同大小的两个球，先从甲袋中任意摸出两球，再从乙袋中摸出一球，让甲袋中摸出

的两球上标的数按乙袋摸出球的运算符号计算，则结果是有理数的概率为()

1117

A.7B,C.4D.?

6DZ3

12.对于实数a,b定义新运算：a*b=ab+a2,若关于%的方程％*2=有两个实数根，则m的取值范围

是()

A.m<—1B.m>—1且TH0C.m>—1D.m>—1且znW0

二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

11

13.对于非零实数a,b,规定a㊉匕=5—点若(2%-1)㊉2=1,贝卜的值为.

14.旧的平方根是,(-5)2的算术平方根是,的立方根是-0.1.

15.实数a,b在数轴上的位置如图所示，那么化简，形-府-|a+b|的结果为.

a0b

16.对于任意实数a,b,定义一种新的运算“㊉"：a㊉6=a—3b.如：6㊉(―1)=6—3x(―1)=9.已

知(2a)㊉(一|匕)=32,贝Ua+6的平方根为.

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题8分)

在数轴上表示出下列各数，并用连接起来.

—,1.5»—\/~3,一兀.

-5-4-3-2-1012345

18.(本小题8分)

计算：

(1)1-2|+G)T+(rt—3.14)°—y/~9+(-1)2；

(2)(2x+3)(2%—3)—4x(x—1)+(x—2)2.

19.(本小题8分)

已知5a+2的立方根是3,3a+b-l的算术平方根是2门，c是的整数部分，求6a-2b+c的算术平方

根.

20.(本小题8分)

已知，g-9|=0,c是一27的立方根.

(1)求a,b,c的值；

(2)求)a+b+c.

21.(本小题8分)

如图，在4x4的小正方形组成的图形中有一个阴影部分(阴影部分也是正方形).若每个小正方形的边长为

1,点力表示的数为1.

p

(1)图中正方形4BCD的面积为多少?它的边长为多少?这个值在哪两个连续整数之间?

(2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为乃小数部分为y,求(y-YTU尸的值.

(3)若正方形2BCD从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B翻滚到与数轴上的点P重合时，记为第一次翻

滚，如图所示，C翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推，请直接回答：

①点P表示的数为多少？

②是否存在正整数n，使得该正方形几次翻滚后，其顶点4B,C,。中的某个点与2023重合？

22.(本小题8分)

(2022•武邑县校级期末)某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少

固定资产投资，将原来400nl2的正方形场地改建成31562的长方形场地，且其长、宽的比为5：3.

(1)求原来正方形场地的周长；

(2)如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够

用？试利用所学知识说明理由.

23.(本小题8分)

已知4a-11的平方根是±3,3a+b-l的算术平方根是1,c是，下的整数部分.

(1)求a,b,c的值；

(2)求2a-b+c的平方根.

24.(本小题8分)

已知2a-1的平方根为±3,3a-b-1的立方根为2.

(1)求6a+b的算术平方根；

(2)若c是，正的整数部分，求2a+3b-c的平方根.

25.(本小题8分)

交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是"=16/不，其中〃表

示车速(单位：km/h),d表示刹车后车轮滑过的距离(单位：m),「表示摩擦因数.在某次交通事故中，测

得d=6m,f=l.5,求肇事汽车的车速.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】【分析】

根据平方根和算术平方根的定义分别对每一项进行分析即可.

此题考查了平方根和算术平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；。的平方根是0；负数没

有平方根.

【解答】

解：4、因为(±2)2=4,所以4的平方根是±2,故A错误；

B、＜81=9,9的算术平方根是3,故2正确；

C、^16=4,故C错误；

D、-25没有平方根，故。错误；

故选：B.

2.【答案】C

【解析】略

3.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查平方根与立方根和分类讨论的思想方法，解题的关键是熟练运用立方根与平方根的定义，属于基

础题.根据立方根与平方根的定义即可求出答案.

【解答】

解：V16=4,

.•・，彳石的平方根是±2,

•••-8的立方根是-2,

•••百石的平方根与一8的立方根之和是：2+(-2)=0或-2+(-2)=-4.

故选。.

4.【答案】B

【解析】【分析】

此题考查了实数与数轴、估算无理数的大小、勾股定理.

因为△。48是一个直角三角形，且有。。=。8,所以可求得。B的长度即得C点所表示的无理数，再估算无

理数的大小即可.

【解答】

解：VAB10A

・•・在直角三角形OAB中有：OA2+AB2=OB2,

OB=V22+42=V20,

4<<5,

又•••0C=0B,

•••点C所表示的数介于4和5之间.

故选8.

5.【答案】A

【解析】解：①在3和4之间的无理数有无限个，故①错误；

②实数与数轴上的点一一对应，故②错误；

③••­—\/-2xV-2=-2,

••・两个无理数的积不一定是无理数，故③错误；

综上，说法正确的为0个，

故选：A.

根据无理数的定义与运算、实数与数轴逐个判断即可得.

本题考查了无理数的定义、实数与数轴，二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则和定义是解题关键.

6.【答案】D

【解析】【分析】

此题主要考查了实数的性质以及无理数的估算，正确掌握实数有关性质是解题关键.

直接利用面积得出正方形的边长，再利用实数的性质分析得出答案.

【解答】

解：•••面积为5的正方形的边长为a(a>0),即a2=5,

•••a=V-5,

故①门是无理数，a是无理数，正确；

②,•・任意实数都可以用数轴上的一个点来表示，・•.a可以用数轴上的一个点来表示，正确；

③•••4<5<9,

2<<3,

2<a<3,故③正确.

7.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了算术平方根，立方根.

根据算术平方根，立方根的意义和性质即可解答.

【解答】

解：4、6=2,故A错误；

B、J(一2)2=2,故2错误；

C、口=—2,故C错误；

D、〃-37=-3,故。错误，，

故选D

8.【答案】A

【解析】解:-a不一定是负数，故①错误，不符合题意；

符号相反的两个数不一定互为相反数，理由为：-2与+1符号相反，但不互为相反数，应为只有符号不同

的两个数互为相反数，故②错误，不符合题意；

立方根等于本身的数是1或-1或0,故③错误，不符合题意；

一个数的绝对值越大，表示它在数轴上表示的点离原点越远，故④正确，符合题意；

-(ab+I)2<0,

•••1-(ab+l)2<1,

即1—(ab+l)2的最大值为1,故⑤错误，不符合题意.

故选：A.

根据负数，互为相反数，数轴，立方根以及非负数的性质判断即可.

此题考查了绝对值，数轴，以及相反数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

9.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查塞的乘方与积的乘方、同底数暴的乘法、因式分解、二次根式的性质以及立方根.

根据相关运算法则计算即可得.

【解答】

解：4、(一2x)3.(―,久2)2=—8/=_；刀3+4=一齐7,故—错误.

B、x3+1=(x+1)(%2—x+1),故B正确.

C、Va2+2a+1=a+1,当a<-1时不成立，故C错误.

。、-27*的立方根是一3x,故。错误，

故选8.

10.【答案】D

【解析】解：i=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,i5-i

.•・从上计算可知，i的指数循环周期是4,

①当指数除以4余数为0时，其结果是1；

②当指数除以4余数为1时，其结果是i；

③当指数除以4余数为2时，其结果是-1；

④当指数除以4余数为3时，其结果是-i；

•••2019+4=504...3

.;2019=_;

故选：D.

根据新定义：一个数的平方等于—L记作尸=一1,于是可知产=产义》=（一1）义3卜=（产）2=（一1）2=

1…找出重复出现规律，指数是除以4看余数的情况定结果.

本题考查实数的运算新定义的理解，推理，综合，归纳等数学能力，同时此题也考察了学生从特殊找到一

般规律，再到特殊计算能力.

11.【答案】B

【解析】解：由题可列表如下:

乘法运算结果2712

22<3-273473

2<3-36

-^3-2/3-3—6

4<36—6

加法运算结果2/3-73/12

22+/32-/32+26

732+7303<3

2-73073

/122+2733<373

由表可知：总共有24种结果，其中结果是有理数的有8种，

结果是有理数的概率为盘=

故选：B.

列表得到所有的情况总数，找出结果是有理数的情况数，再利用概率公式求解，即可解题.

本题考查用列表法求概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法：概率=所求情况数与总情况数之比.

12.【答案】C

【解析】解：x*2=m,

x2+2x=m,

方程化为一般式为尤2+2%-m=0,

,••方程有两个实数根，

21=22—4x(-m)>0,

解得m>-1.

故选：C.

先利用新定义得到/+2%=根，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到/=22-4x

(一m)>0,再解不等式即可.

本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+6乂+c=0(a70)的根与4=炉-4ac有如下关系：当4>0

时，方程有两个不相等的实数根；当4=0时，方程有两个相等的实数根；当4<0时，方程无实数根.

13.【答案】1

【解析】解：由题意得：

上一=1,

2x-l2

解得：%=|.

O

经检验，久=1是原方程的解，

O

5

X=-6.

故答案为：

利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论.

本题主要考查了解分式方程，本题是新定义型题目，准确理解新规定并熟练应用是解题的关键.

14.【答案】±735-0.001

【解析】解：V27=3,3的平方根是士，I,(-5)2=25,25算术平方根是5,—0.001的立方根是一0.1.

故答案为：±6，5,-0.001.

根据立方根以及平方根和算术平方根的定义分别分析得出答案即可.

此题主要考查了立方根、平方根和算术平方根等定义，熟练掌握其定义是解题关键.

15.【答案】0

【解析】解：由数轴易得a<0<b,且|a|>网，

则a+6<0,

原式=—CL—b—[—(a+b)]

=-ci—b+a+b

=0,

故答案为：o.

由数轴易得a<。<6,且|a|>网，贝Ua+b<0,再根据二次根式，绝对值的性质及立方根的定义化简即

可.

本题考查实数运算，熟练掌握相关定义及性质是解题的关键.

16.【答案】±4

【解析】略

17.【答案】解：如图，

8

-5-4-3-2-1012345

故一兀<一展<1.5<|.

【解析】略

18.【答案】解：(1)|-2|+©T+(兀一3.14)°-<9+(一1)2

=2+3+1—3+1

=4；

(2)(2x+3)(2x-3)-4x(%-1)+(%-2)2

=4%2—9—4%2+4%+/一轨+4

=x2—5.

【解析】(1)先算绝对值，乘方，零指数暴和负指数塞，再算加减法；

(2)利用平方差公式，单项式乘多项式，完全平方公式展开，再合并同类项.

本题考查了整式的混合运算和实数的运算，解题的关键是根据公式法和运算法则来计算.

19.【答案】解：•.•由题意可得：5a+2=27,3a+b-l=12,

•••a=5,b=—2,

又：74<77<79,

2<y/-7<3,

”的整数部分c=2,

当a-5,b=—2,c——2口寸,6a—2b+c=6x5—2x(—2)+2=36,

•••6a-26+c的算术平方根为6.

【解析】根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求出a、b,c的值，再将a、b,c的值代入

6a-2b+c求出结果，再根据算术平方根的定义进行计算即可.

本题考查立方根、算术平方根以及无理数的估算，理解立方根、算术平方根的定义是正确解答的前提.

20.【答案】解：(1)•••+\b-9\=0,

.fa+2=0

."-9=O'

解得a=-2,b=9,

••・c是一27的立方根，

•••c=V-27=—3；

(2)a=-2,b—9,c——3,

•••y/a+b+c=V—2+9—3=V-4=2.

【解析】本题主要考查了实数的非负性、立方根的定义以及算术平方根的定义，掌握实数非负性是解答本

题的关键.

(1)根据实数的非负性以及立方根的定义解答即可；

(2)把(1)的结论代入解答即可.

21.【答案】解：(1)正方形4BCD的面积为16-4x|xlx3=10,

正方形4BCD的边长为CU,

•••<9<AA10<AA16,

3<VTO<4,

.♦・这个值在3与4之间；

(2)由(1)可知，x=3,y=VT0-3,

•••(y-710)%=(AA10-3-AA10)3=(-3)3=-27；

(3)①•••点4表示的数为1,正方形4BCD的边长为

•••点P表示的数为：1+YIU；

②不存在.

理由：假设存在正整数n,则zix，而+1=2023,

/10n=2022,

710--,

n

•••n为正整数，

••・也为有理数，而YIU为无理数，

n

・•.YTU=陋不成立，即不存在正整数人

n

【解析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，正方形的面积，无理数的估算，解答本题的关键是掌握估

算无理数大小的思路与方法.

(1)根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算，再利用算术平方

根的定义求出边长，最后利用无理数的估算方法即可得到答案；

(2)先利用无理数估算的方法求得x、y的值，再将x、y的值代入计算即可；

(3)①根据点2表示的数和正方形的边长即可得到点P表示的数；

②判断2023-1是否是正方形边长的整数倍，即可得出结论.

22.【答案】【小题1]解：V400=20(m),4x20=80(m),

答:原来正方形的周长为806

【小题2](2)设这个长方形场地宽为3a6，则长为5am.

由题意有：3ax5a=315,

解得：a=+V21,

••13a表示长度，

a>0,

•••a=V21,

・•.这个长方形场地的周长为2(3a+5a)=16a=16V21(m),

•・・80=16x5=16x<25>16/21,

・•・这些铁栅栏够用.

【解析】

【解析】1,正方形边长=面积的算术平方根，周长=边长x4,由此解答即可；

本题主要考查了算术平方根的简单应用，掌握正方形边长=面积的算术平方根是关键.

2.根据长、宽