浙教版八年级数学专项复习：全等三角形压轴题（七大压轴母题型归纳）（解析版）

特训01全等三角形压轴题(七大压轴母题型归纳)

目录：

题型1:垂线模型；

题型2：一线三等角模型；

题型3：手拉手模型；

题型4：旋转模型；

题型5：倍长中线模型；

题型6：截长补短模型；

题型7：作平行线法、作垂线法。

题型1：垂线模型

1.在△ABC中，/AC8=90。，AC=BC,直线MN经过点C,且于。，BELMN于E.

⑴当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①AADC2ACEB；

②DE=AD+BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD=5,BE=2,求线段。E的长.

【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；

(2)DE=3

【分析】(1)①由已知可知，AD1MN,BE±MN,得到NADC=NCEB=90。，再根据三角形内角和与平

角性质，得至Ij/C4D=/3CE,即可证明△/!£)(?妾△CEB(A4S)；②根据八位笫二46£3,得到AD=CE,

DC=BE,即可证明。E=AZ)+BE.

(2)由已知可知，AD1MN,BELMN,得到NADC=NCEB=90。，再根据NGW+NACD=90。、

ZACD+ZBCE=90°,得到NC4Z)=/3CE,可证明AWC9△(?£»,得至IJCE=4),CD=BE,即可求

出长.

【解析】(1)①证明：BE工MN,ZACS=90°

ZADC=ZCEB=ZACB=90°,

ZCAD+ZADC+ZACD=ISO°,

NACD+NACS+N5CE=180。,

:.ZCAD=ZBCE,

在八包。和△CEB中，

/CAD=NBCE

</ADC=/CEB,

AC=BC

:・AADCmACEB(AAS)；

②证明：•:AADC沿ACEB,

：.AD=CE,DC=BE,

：.DE=CE+DC=AD+BE；

(2)证明：9：AD±MN,BE工MN,

：.ZADC=ZCEB=90°,

：.NG4D+ZACD=90。，

ZACB=90°,

：.ZACD-^-ZBCE=90°

：.NCAD=NBCE,

在△ADC和△CEB中，

ZCAD=NBCE

</ADC=/CEB,

AC=BC

AADC^ACEB(A4S),

:・CE=AD=5,CD=BE=2,

：.DE=CE—CD=5—2=3.

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，根据已知准确找到符合全等的条件是解题关键.

2.已知，A4BC中，ZBAC=90°,AB=AC,直线根过点A,且的_Lm于。，CE上m于E,当直线机

绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现。£=B0+C£.

⑴当直线机绕点A旋转至图2位置时，问：BD马DE、C£的关系如何？请予证明；

（2）直线机在绕点A旋转一周的过程中，BD,DE、CE存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证

明）

【答案】（1）DE=BD—CE,证明见解析；

⑵DE=BD+CE,DE=BD-CE,DE=CE-BD.

【分析】（1）利用条件证明且ZkCM,再结合线段的和差可得出结论；

（2）根据图，可得&）、DE、CE存在3种不同的数量关系；

【解析】（1）证明：如图2,

*.*BD±m,CE_Lm,

・•・ZBDA=ZCEA=90°f

：.ZABD+ZZMB=90°.

•：ABAC=90°,

：.ZZMB+ZC4E=90°,

：.ZABD=ZCAE.

在△ABD和VC4E中，

ZBDA=ZCBA

<ZABD=ZCAB,

AB=CA

：.AABD^ACAE（AAS）,

：.AD=CE,BD=AE

•:DE=AE—AD,

：.DE=BD-CE.

（2）直线机在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、C£存在3种不同的数量关系：DE=BD+CE,

DE=BD-CE,DE=CE-BD.

如图1时,DE=BD+CE,

如图2时,DE=BD-CE,

如图3时,DE=CE-BD,(证明同理)

【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质.

3.如图1,ZDAB=90°,于点。，点E是线段上的一点，若DE=AB,DC=AE.

(D判断CE与BE的关系是一.

(2)如图2,若点E在线段的延长线上，过点。在的另一侧作COLA。，并保持CZ)=AE,DE=AB,

连接CB,CE,BE,试说明(1)中结论是否成立，并说明理由.

【答案】(1)CE=2E且CE_L8E

(2)成立，理由详见解析

【分析】(1)根据已知条件即可证明ACDE-AE4B,然后根据全等三角形的性质即可证明CE与BE的关

系为垂直且相等；

(2)根据已知条件证明ACDEMAEAB,然后根据全等三角形的性质进行等量代换即可得到结论；

(1)

解：CE=BE且CE_LBE,理由如下：

VCDLAD,：.ZCDE^9Q0,

'：ZDAB=90°,：.ZCDE=NEAB,

在4。£>£和4EAB中，

DC=AE

<ZCDE=/EAB

DE=AB

：.\CDE=NEAB,

；.CE=BE,NCED=/EBA,

:ZEBA+ZBEA=90°,

：.ZCED^rZBEA=90°,

：.ZCEB=90°,

：・CE上BE,

；.CE=BE且CELBE,

(2)

解：(1)中结论成立，理由如下：

9：CDLAD,.\ZCDE=90°,

NZM8=90。，JZCDE=/EAB,

在△。。丘和4E45中，

DC=AE

<ZCDE=/EAB

DE=AB

：.ACDE=AE4B,

:・CE=BE,/CED=NEBA,

*.•/EBA+/BEA=90。,

：.ZCED+ZBEA=90°,

：.ZCEB=90°,

：.CE±BE,

：・CE=BE且CELBE.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握并熟练使用相关知识，并注意解题中需注意的事项是

本题的解题关键.

题型2：一线三等角模型

4.在直线加上依次取互不重合的三个点2A，石，在直线加上方有AB=AC,且满足

ZBDA=ZAEC=ZBAC=a.

c

(1)如图1,当。=90。时，猜想线段DEBRCE之间的数量关系是；

(2)如图2,当0<a<180。时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明

理由；

(3)应用：如图3,在AABC中，/BAC是钝角，AB=AC,NBAD<NCAE,NBDA=ZAEC=NBAC,直线m

与CB的延长线交于点歹，若BC=3FB,A4BC的面积是12,求A£B£>与AACE的面积之和.

【答案】(1)DE=BD+CE

(2)DE=8O+CE仍然成立，理由见解析

(3)△加。与△ACE的面积之和为4

【分析】(1)由NBZM=/BAC=NAEC=90°得到N8AO+/EAC=/BAD+/Z)8A=90°,进而得到/。8A

=/EAC,然后结合AB=AC得证△OBA0ZXEAC,最后得到。E=8Z)+CE；

(2)由/BZM=/BAC=/AEC=a得到NBAZH/EACn/BAO+N。朋=180°-a,进而得到/O2A=

ZEAC,然后结合4B=AC得证△QBA经△E4C,最后得至UOE=8D+CE；

(3)由N2AO>NCAE,/BDA=NAEC=/BAC,得出NC4E=NAB。，由A4S证得四△CAE,得

出&ABD=SACEA,再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出尸即可得出结果.

【解析】(1)解：DE=BD+CE,理由如下，

,?ZBDA^/BAC=NAEC=90°,

/.ZBAD+ZEAC=ZBAD+ZDBA^90°,

：.ZDBA=ZEAC,

'：AB=AC,

：.ADBA^AEAC(AAS),

C.AD=CE,BD=AE,

DE=AD+AE=BD+CE,

故答案为：DE=BD+CE.

(2)。石=30+CE仍然成立，理由如下，

•・・ZBDA=ZBAC=ZAEC=a.

：.ZBAD^-ZEAC=ZBAD+ZDBA^180°-a,

/DBA=ZEAC,

'：AB=AC,

：.ADBA^AEAC(AAS),

：.BD=AE,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

(3)解：'：ZBAD<ZCAE,ZBDA=ZAEC=ZBAC,

：.ZCAE^ZABD,

在△AB。和△CAE中，

ZABD=ZCAE

，ZBDA=ZCEA,

AB=AC

：./\ABD^/\CAE(AAS),

:.SAABD=S“CAE,

设△ABC的底边BC上的高为九则AAB尸的底边上的高为h,

.•.%A8C=lBC・/i=12,SiABF=』BF・h,

■:BC=3BF,

：.S^ABF^4,

'：SAABF=S^BDF+S^ABD=SAFBD+SAACE=4,

：.AFBD与△ACE的面积之和为4.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌

握全等三角形的判定与性质.

5.感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1,点A在直线OE上，且/BD4=Na4C=NAEC=90。,

像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型.

图4

⑴如图2,RtAABC中，ZACB=90°,CB=。，直线历经过点C,过A作AD_L£D于点，过B作跳;_LED

于点E.求证：.BEC当VDA.

(2)如图3,在AABC中，。是8C上一点，ACAD=90°,AC=AD,

ADBA=ADAB,AB=2器,求点C到AB边的距离.

(3汝口图4,在YABCD中，E为边BC上的一点，E为边AB上的一点.若

EF

ADEF=/B,AB=10,BE=6,求——的值.

DE

【答案】(1)见解析

(2)6

⑶”△

DE5

【分析】(1)由直角三角形的性质得出NACD=ZEBC,可证明ABECNASI；

(2)过点。作J0尸，AB于点片过点C作CE人AB于，交出的延长线于点E,证明AC4E丝AAD/L由

全等三角形的性质可得出CE=AF=g,则可得出答案；

(3)过点。作DM=DC交BC的延长线于点M,证明ABFES^MED,由相似三角形的性质可得出答案.

【解析】(1)证明：：四=90。，/颇+//⑦+N45=180°,

ZBCE+ZACD^180°,

ADVED,BErED,

：.4BEC=ACDA=90°,4EBC+ABCE=90°,

ZACD=/EBC,

在ABEC和ACZM中，

ACDA=ZBEC=90°

<ZACD=NEBC,

CB=CA

：.^BEC^^CDA；

(2)解：过点。作。尸，AB于点尸，过点。作CE1AB于，交区4的延长线于点E,

图3

,:ZDBA=ZDAB,

JAD=BD,

AF=BF=-AB=y/3f

2

NC4T>=90。，

JZDAF-^-ZCAE=90°,

ZDAF+ZADF=90°,

：.ZCAE=ZADF,

在VC4E和△"）尸中，

ZCEA=ZAFD=90°

<ZCAE=ZADF,

AC=AD

ACAE=^ADF,

/.CE=AF=5

即点C到AB的距离为6;

(3)过点。作。M=OC交BC的延长线于点M,

图4

Z.DCM=Z.M,

:四边形ABCD是平行四边形，

ADM=CD=AB=10,AB\\CD

：.ZB=ZDCM=ZM,

•：AFEC=4DEF+/LDEC=ZB+ABFE,AB=ADEF,

ZDEC=NBFE,

**•^BFE^^MED,

.EFBE_6_3

••DE-DM-I。-5•

【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定

与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

6.通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：

证：BC=AE.

［模型应用］如图2,/运1.至且的=口，BCLCD且3C=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中实线所

围成的图形的面积为.

［深入探究］如图3,ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AC=AE,连接3C,DE,且3CLAF于点EDE

与直线AF交于点G.若BC=21,AF=12,则△ADG的面积为.

【答案】［模型呈现］见解析；［模型应用］50；［深入探究］63

【分析】［模型呈现］证明△ABC0AZME,根据全等三角形的对应边相等得到BC=AE；

［模型应用］根据全等三角形的性质得到AP=3G=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=3G=3,根据梯形

的面积公式计算，得到答案；

［深入探究］过点。作。PLAG于尸，过点E作EQLAG交AG的延长线于。，根据全等三角形的性质得到

DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF,证明A£(PG丝AEQG,得到PG=G。.，进而求出AG,根

据三角形的面积公式计算即可.

［解析］［模型呈现］证明：：/S4D=90°,

ABAC+ZDAE=90°,

•：BC±AC,DEYAC,

：.ZACB=ZDEA=90°,

：.ABAC+ZABC=90°,

：.ZABC=ZDAE,

在AABC和AZME1中,

/ABC=NDAE

<ZACB=ZDAE,

BA=AD

：.AABC知ZME(AAS),

/.BC=AE-

［模型应用］解：由［模型呈现］可知，公AEP”ABAGACBG四QCH,

：.AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=BG=3,

贝US实线围成的图形=：(4+6)x(3+6+4+3)—；x3*6-；*3x6—：*3x4-：x3x4=5°，

乙乙乙乙乙

D

CE

故答案为：50；

［深入探究］过点。作DPJ_AG于P,过点E作石AG交AG的延长线于Q,

由［模型呈现］可知，八AFB'DPA^AFC'EQA,

DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CFf

在△。尸G和△EQG中，

/DPG=ZEQG

</DGP=/EGQ,

DP=EQ

：.△DPG也△石QG(AAS),

.・・PG=GQ,

;BC=2L

：.AQ+AP=21,

・•.AP+AP+PG+PG=21,

・•・AG=AP+PG=10.5,

SADO=—x10.5x12=63,

故答案为：63.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形确定的判定定理是解题

的关键.

题型3：手拉手模型

7.如图，A,B,E三点在同一直线上，AABC,ACL火都是等边三角形，连接AO,BE,OC■.下列结

论中正确的是()

^A,CD=xBCE；

②△。尸。是等边三角形;

③OC平分/4万；

④XBPO义XEDO.

C.①②④D.①②③④

【答案】B

【分析】利用等边三角形的性质，三角形的全等，逐一判断即可.

【解析】•「△ABC,△CDE都是等边三角形，

:・CA=CB,CD=CE,ZACB=ZECD=60°,

：.ZACB+ZPCQ=ZECD-^-ZPCQfNPCQ=60。,

J/ACD=/BCE,

：.AACD名ABCE,

・・・①的说法是正确的；

AACD名ABCE,

：.ZPDC=ZQEC,

VZPCD=ZQCE=60°,CD=CE,

：.LPCD^LQCE,

：.PC=QC,

•••△C尸。是等边三角形；

・•・②的说法是正确的；

'：LPCD^LQCE,

••PD=QE,SAPCD~S^QCEf

B

D

过点C作CG，P£>,垂足为G,CHLQE,垂足为以，

；PD・CG=；QE・CE,

CG=CH,

：.OC平分/AOE,

③的说法是正确的；

无法证明△BPO0AE。。.

④的说法是错误的；

故答案为①②③，

故选B.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，三角形的全等与性质，角平分线的性质定理，熟练掌握等

边三角形的性质，灵活进行三角形全等的判定，活用角的平分线性质定理的逆定理是解题的关键.

8.如图，AABC是一个锐角三角形，分别以A3、AC为边向外作等边三角形△ABD、AACE,连接BE、

CD交于点F,连接AF.

B

(1)求证：AABE乌Z\ADC；

(2)求/硬C的度数；

(3)求证：AF平分NDFE.

【答案】(1)见解析

(2)60°

(3)见解析

【分析】(1)由△A&D、"。石是等边三角形，易证4MC=44E,继而可证△ABE四△AT>C；

(2)由△ABE0△ADC,得至l]/4EB=NACD,进一步得到NCEF+NECF=NAEC+NACE=120。，由三角

形内角和得到答案；

(3)作AH_L£»C于点"，AN1BE于■点、N,证明AH=AN,由AH_LDGAN1BE,即可得到结论.

【解析】(1)证明：•.•人谢、”(后是等边三角形，

:.DA=AB,AC=AE,ZDAB=ZEAC60°,

ZDAB+ABAC=NEAC+ABAC,

即ZDAC=NBAE,

.•.△ABE丝AADC(SAS)；

(2)W：-.-^ABE^AADC,

:.ZAEB=ZACD,

'：ZAEB+ZCAE=ZACD+/EFC,

:.ZEFC=ZCAE=6O°；

(3)证明：如图，作AHLZJC于点H,ANLBE于点、N,

B

ZXABE2AADC,

:.ZADC=ZABE,

•：ZAHD=ZANB=90。，AD=AB,

;.AAHD沿AANB(AAS),

\AH=AN,

■.■AHIDC,ANLBE,

;.AF平分/DFE.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分性的判定知识，熟练掌

握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

9.在"RC中，?B90?,。为BC延长线上一点，点E为线段AC,CD的垂直平分线的交点，连接

EC,ED.

EE

(1)如图1,当NB4C=40。时，则ZAED=°；

(2)当NS4c=60。时，

①如图2,连接AZ),判断△AED的形状，并证明；

②如图3,直线C尸与瓦>交于点F，满足NCFD=NC4£.尸为直线CF上一动点.当尸E-PD的值最大时,

用等式表示PE,PZ)与之间的数量关系为，并证明.

【答案】⑴100;

(2)①VADE时等边三角形，证明见解析；

@PE-PD=2AB.证明见解析.

【分析】(1)利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；

(2)①VA£>E•时等边三角形，证明EA=ED,ZAED=60。即可；②结论：PE—PD=2AB.如图，作点。关

于直线CF的对称点连接CD',DD',ED'.当点尸在即'的延长线上时，PE-PD的值最大，此时

PE—PD=ED,利用全等三角形的性质证明E"=AC,可得结论.

【解析】(1)解：:.点E为线段AC,。的垂直平分线的交点，

EA=EC=ED,

:.NEAC=NECA,ZECD=NEDC,

VZABC=90°,ZBAC=40°,

ZACB=90°-40。=50°,

：.ZACD=180°-50°=130°,

：.ZEAC+ZACD+ZEDC=260°,

：.ZAED=360°-260°=100°,

故答案为：100.

(2)解：①结论：VADE时等边三角形.

理由：•••点E是线段AC,8的垂直平分线的交点，

:.EA=EC=ED,

：.ZEAC=ZECA9/ECD=/EDC,

ZABC=90°,ZR4C=60°,

ZACB=90°-60°=30°,

ZACD=180°-30°=150°,

ZEAC+ZACD+ZEDC=300°,

ZAED=360°-300°=60°,

JVADE时等边三角形；

②结论：PE—PD=2AB.

理由：如图，作点。关于直线C厂的对称点D0,连接CD,DD',ED'.

*.*PE-PD=PE-PU<EU

则，点。在即'的延长线上时，PE-PD的值最大，止匕时正石-尸。=£/7,

・.•ZCTO+ZCFE=180°,ZCFD=ZCAE,

・•・ZG4E+ZCFE=180°,

ZACF+ZAEF=180°,

ZAED=6d°,

：.NAC厂=120。，

ZACB=ZFCD=30°f

：.ZDCF=ZFCD=30。,

NDCD=60°,

•：CD=CD',

：.△CD。'时等边三角形，

:,DC=DD',ZCDD,=ZADE=60°,

：.ZADC=ZEDDf,

,/DA=DE,

：.AADC^AEDD'(SAS),

AC=ED',

■:?B90?,ZACB=30°,

AC=2AB,

：.PE-PD=2AB.

故答案为：PE—PD=2AB.

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的

性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考

题型.

10.点。为ULBC外一点,ZACB=90°,AC=BC.

图2

CD=CE,求证：/ADC=/BEC；

(2)如图2,若NCD8=45。，AE//BD,CELCD,求证：AE=BD；

(3)如图3,若NADC=15。，CD=y/2,BD=n,请直接用含"的式子表示AO的长.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据SAS证明VACL^BCE,可得/ADCu/BEC；

(2)延长0c交AE于尸，连BF,根据SAS证明△ACE■也△BCF,则=B尸，ZBFC=ZAEC=45°=ZFDB,

结论得证；

(3)过点C在上方作CE_LCD,CE=C。，连BE、DE.由(1)知VACE^VBCE,则ZBEC=/4DC=15。,

求出/BED=30。，可求出。及03的长，则AD可求出.

【解析】(1)证明：・.•"(％=ZACB=90。，

:.NACD=/BCE,

又・.・AC=3C,CE=CD,

.•.△AC。四△BCE(SAS),

：.ZADC=ZBEC.

(2)如图1,延长。C交AE于尸，连BF,

图1

\-AE//BD,

.\ZEFC=ZCDB=45°.

•：ECLCD,ZCEF=ZCFE=45°9

:.EC=CF.

vZACE=ZBCF,AC=BC,

.-.△ACE^ABCF(SAS),

：.AE=BF,ZBFC=ZAEC=45。=NFDB,

：.BF=BD,

AE=BD；

(3)如图2,过点。在CO上方作CE_LCD,CE=CD,连HE、DE.

设A。、BE交于点、0,由(1)知△4CZ)名△5CE(SAS),ZBEC=ZADC=15°,

.\ZDOE=ZDCE=90°.

又・・・ZCED=ZCDE=45°,

DE=41CD=2,ZBED=30。,

OD=—DE=—x2=1,

22

OE=4DE2-OD2=相，OB=yjBD2-OD2=7»2-l，

AD=BE=O8+OE=J"2-i+G.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，平行线的性质，含30。角的

直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键，

11.(1)如图①，已知AABC,以AB、AC为边向AA5c外分别作等边△A3。和等边AlCE,连接CD,

8E.试探究8与BE的数量关系，并说明理由.

问题探究：

(2)如图②，四边形ABCD中，ZABC=45°,ZCW=90°,AC=AD,AB=2BC=80,求8。的长.

问题解决：

(3)如图③，AABC中，AC=2,BC=3,N4CB是一个变化的角，以为边向AABC外作等边△ABD,

连接CO,试探究，随着ZACB的变化，CO的长是否存在最大值？若存在，求出8长的最大值及此时ZACB

【答案】(1)CD=BE,理由见解析；(2)120；(3)存在，8的最大值为5,此时NACB=120。.

【分析】(1)求出=证明△2MC/A3AE(SAS),可得结论；

(2)如图②中，以A8为边向外作等腰直角AABT,证明AZ4C丝△5M>(SAS),推出CT=B。，利用勾股

定理求出CT即可；

(3)存在，如图③中，以BC为边向外作等边才，连接AF,证明ADBC=AABF(SAS),推出。C=A/,

可得结论.

【解析】解：(1)CD=BE.

理由：：△ABD,AACE都是等边三角形，

AD=AB,AC^AE,ZDAB=ZCAE=60°,

：.ZDAC=ZBAE,

AD=AB

在△ZMC和中，\ZDAC=ZBAE,

AC=AE

：.ADAC四△54E(SAS),

「・CD=BE；

（2）如图②中，以AB为边向外作等腰直角△ABT,AT=AB,连接CT.

图②

・・•ZBAT=ZCAD=90°,

：.ZBAD=ZTAC,

AT=AB

在△Z4C和2X5^中，\ZTAC=ZBAD,

AC=AD

：.^TAC^BAD(SAS),

・・・CT=BD,

ZABT=ZABC=45°f

：.Z7BC=90°,

'：AB=2BC=8Q,

；・BT=8。6，5c=40,

・•・CT=)302+叱=如2+(80夜＞=120,

・・・BD=TC=120；

(3)存在.如图③中，以3c为边向外作等边△55,连接AF.

A

图③

VAABD,△BC尸都是等边三角形，

BD=BA,BC=BF,NDBA=NCBF=60?,

：.NDBC=ZABF,

BD=BA

在ADBC和AABF中，­/DBC=NABF,

BC=BF

：.ADBC^AABF(SAS),

DC=AF,

：AC=2,CF=BC=3,

：.AF<AC+CF,

：.AF<5,

...当A,C,尸共线时，AF的值最大，最大值为5,

CD的最大值为5,此时ZACB=120°.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和

性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

12.如图1,B、C、。三点在一条直线上，与BE交于点。，△ABC和△ECQ是等边三角形.

(1)求证：△AC。0△8CE；

(2)求的度数；

(3)如图2,若3、。、。三点不在一条直线上，NBOD的度数是否发生改变？(填“改变”或“不改变”)

【答案】(1)证明见解析

(2)N500=120。

(3)不改变，理由见解析

【分析】(1)根据“SAS”证明△ACO之ZiBCE即可；

(2)由全等三角形的性质得NADC=N5EC,再由三角形的外角性质得NAO5=60。，即可求解；

(3)同(1)得：△ACD四△8CE,得出ND4C=NE3C,根据三角形外角求出NAOE=120。，即可得出答

案.

【解析】(1)证明：•「△ABC和△ECD是等边三角形，

AZACB=ZECD=60°,BC=AC,EC=CD,

：.ZACB-^ZACE=ZECD+ZACE,

：.ZBCE=ZACD,

在^BCE和△AC。中

BC=AC

IZBCE=ZACD,

CE=CD

：.ABCE^AACD(SAS).

(2)解：VABCE^AACD,

：.ZADC=ZBEC,

•・•ZAOB=ZEBC+ZADC,

：.ZAOB=NEBC+/BEC=ZDCE=60°f

:ZAOB+ZBOD=180°,

：.ZBOD=120°.

(3)解：不改变，理由如下：

同(1)得：4ACD经XBCE(SAS),

:.ZDAC=ZEBC9

ZAOE=ZABO+ZOAB

=ZABO-^-ZDAC+ZBAC

=ZABO+ZEBC+ZBAC

^ZABC+ZBAC

=120°

ZBOD^ZAOE^120°,

即/B。。的度数不改变.

故答案为：不改变.

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，对顶角性质,

证明△AC。丝△BCE是解题的关键.

题型4：旋转模型

13.如图1,在等腰R/AABC中，NA=9O。，点。、E分别在边AB、AC上，AD=AE,连接，点M、P、

图1图2

(1)观察猜想：图1中，线段与PN的数量关系是，位置关系是；

⑵探究证明：把VADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN,BD,判断APW的形状，并说明

理由；

(3)拓展延伸：把VADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4,AB=10,求APMN面积的最大值.

【答案】⑴尸M=PN,PM±PN

(2)APMN是等腰直角三角形，理由见解析

【分析】(1)利用三角形的中位线定理得出尸=进而得出3O=CE,即可得出结论,

再利用三角形的中位线定理得出PM〃CE,再得出/DPM=/DC4,最后利用互余得出结论；

(2)先判断出丝△ACE(S4S),得出3£>=CE,同(1)的方法得出PN=-BD,即可

一.22

得出PM=PN,同(1)的方法即可得出结论；

(3)由等腰直角三角形可知，当最大时，APMN面积最大，而8。的最大值是钻+兑>=14,即可得

出结论.

【解析】（1）解：•・/、N分别为。3C的中点,

PN//BD,PN=-BD,

2

•・,点尸分别为。瓜。。的中点,

VAB=AC,AD=AE,

：.BD=CE,

：.PM=PN,

*：PN//BD,PM//CE,

：.ZDPN=ZADCf/DPM=/DCA,

丁ABAC=90°,

：.ZADC+ZACD=90°,

JZMPN=ZDPM+ZDPN=ADCA+ZADC=90°,

PMA.PN.

故答案为：PM=PN,PMLPN.

(2)解：脑V是等腰直角三角形，理由如下.

由旋转可知，ZBAD=ZCAE,

VAB=AC,AD=AE,

：.AABD^AACE(SAS),

AZABD=ZACEfBD=CE,

由三角形的中位线定理得，PN』D,PM二CE,

22

PM=PN,

•••△PMN是等腰三角形，

同(1)的方法可得，PM//CE,PN//BD,

/DPM=/DCE,/PNC=/DBC,

・.•ZDPN=ZDCB+APNC=ZDCB+ZDBC,

:.ZMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCE+ZDCB+ZDBC,

=/BCE+ZDBC=ZACB+ZACE+ZDBC

=ZACB+ZABD+Z.DBC=ZACB+AABC,

ZACB+ZABC=90°,

・•・/MPN=90。,

•••△PMN是等腰直角三角形.

(3)解：由(2)可知，APMN是等腰直角三角形，PM=PN=\BD,

,当尸朋■最大时，APMN面积最大，

点。在54的延长线上，

/.BD^AB+AD^14,

：.PM=1,

22

•••5APMW*=|PM=lx7=^.

【点睛】本题综合考查了三角形全等的判定与性质、旋转的性质及三角形的中位线定理，熟练应用相关知

识是解决本题的关键.

14.在MAA8C中，ZACB=90°,C4=CB,点D是直线AB上的一点，连接C。，将线段C。绕点C逆时

针旋转90。，得到线段CE,连接

(1)操作发现

如图1,当点。在线段AB上时，请你直接写出与BE的位置关系为；线段80、AB、E8的数量关

系为;

(2)猜想论证

当点D在直线AB上运动时，如图2,是点。在射线AB上，如图3,是点。在射线BA上，请你写出这两

种情况下，线段8。、AB、破的数量关系，并对图2的结论进行证明；

(3)拓展延伸

若A2=5,BD=7,请你直接写出△AOE的面积.

【答案】(1)A3_L3E,AB=BD+BE；(2)图2中3E=A5+5。，图3中，BD=AB+BE,证明见解析；(3)

72或2

【分析】(1)首先通过&4s证明△ACO之△3CE,然后利用全等三角形的性质和等量代换即可得出答案；

(2)仿照(1)中证明△ACD四△8”,然后利用全等三角形的性质即可得出结论；

(3)首先求出5石的长度，然后利用•班即可求解.

【解析】解：(1)如图1中，

ZACB=ZDCE=90°,

：.NACD=NBCE,

\9CA=CB,CD=CE,

：.AACD^ABCE(SAS),

：.AD=BEf/CBE=/A,

•：CA=CB,ZACB=90°,

JZA=ZCBA=45°,

：.ZCBE=ZA=45°,

：.ABE=90°,

AAB±BE,

,

：AB=AD+BD9AD=BE,

；,AB=BD+BE,

故答案为AB=BD+BE.

(2)①如图2中，结论：BE=AB+BD.

图2

理由：VZACB=ZDCE=90°,

：.NACD=NBCE,

*：CA=CB,CD=CE,

：.AACD^ABCE(SAS),

：.AD=BEf

9：AD=AB+BD,AD=BE,

；・BE=AB+BD.

②如图3中，结论：BD=AB+BE.

图3

理由：VZACB=ZDCE=90°,

：.ZACD=ZBCE,

,：CA=CB,CD=CE,

：.AACD^ABCE(SAS)

：.AD^BE,

9：BD=AB+AD,AD=BE,

・・・BD=AB+BE.

(3)如图2中，9：AB=5,BD=7,

・・・3£=AZ)=5+7=12,

VBE±AD,

SAAED=1-AD-EB=1x12x12=72.

如图3中，：A8=5,BD=7,

：.BE=AD=BD-AB=1-5=2,

\BELAD,

：.SAAED=--AD-EB=-x2x2=2.

22

【点睛】本题主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性质并分情况讨论是关键.

15.如图，等边“RC中，OE//3A分别交BC、AC于点。、E.

（1）求证：ACDE是等边三角形；

A

（2）将ACDE绕点C顺时针旋转。（0。＜6＜360。），设直线AE与直线8。相交于点尸.

①如图，当0。＜。＜180。时，判断N/MB的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由;

②若AB=7,CD=3,当B,D,E三点共线时，求8。的长.

A

【答案】（1）见解析；（2）①NAFB的度数是定值，为60。；②30=5或8.

【分析】（1）根据等边三角形的性质，ZBAC=ZABC=ZACB=60°,再由DE/ABA,可得到

ZEDC=ZABC=60°,ZDEC=ZBAC=,从而得至U/£DC=N£）£C=NC,即可求证；

（2）根据题意，可证得ABC。kAACE,从而得到NC3r＞=NC4E,再根据三角形的内角和等于180。，即可

求解；

（3）分两种情况讨论：当B,D,E三点共线，且OE在BC上方时，当B,D,E三点共线，且OE在

BC下方时，即可求解.

【解析】证明：（1）・・•△ABC是等边三角形,

・•・ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

■:DEUBA,

ZEDC=ZABC=6O°fZDEC=ABAC=f

ZEDC=ZDEC=ZC,

•••△CD石是等边三角形；

(2)解：①NAFB的度数是定值，理由如下：

*/AABC,ACDE是等边三角形，

:・BC=AC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

：.ZBCD=ZACE,

在△BCD和/XACE中，

BC=AC

</BCD=/ACE,

CD=CE

：.^BCD=AACE(SAS),

:.ZCBD=ZCAEf

又•:N1=N2,

・•・ZAFB=ZACB=60°f

即”中的度数是定值，为60。；

②当B,D,E三点共线，且。石在上方时，过点。作CFLO石,

A

•「△COE是等边三角形，CF1DE,

13

DF=-CD=~,

22

在RtACD尸中，由勾股定理得：

CF=y/CD2-DF2=^~,

2

在RtABCF中，BF=y/BC2-CF2=J72-

133

:.BD=BF-FD=--------=5；

22

当6,D,E三点共线，且DE在BC下方时.

133

BD=BF+FD=-+-=8,

22

综上所述，8。=5或8.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相

关知识点是解题的关键.

16.四边形ABCD是由等边A4BC和顶角为120。的等腰排成，将一个60。角顶点放在。处，将60。角

绕。点旋转，该60。交两边分别交直线BC、AC于V、N,交直线A3于E、尸两点.

（1）当E、F都在线段上时（如图1）,请证明：BM+AN=MN-

备用图

（2）当点E在边胡的延长线上时（如图2）,请你写出线段MB,AN和MN之间的数量关系，并证明你

的结论；

（3）在（1）的条件下，若AC=7,AE=2A,请直接写出MB的长为

【答案】（1）证明见解析；（2）MB=MN+AN.证明见解析；（3）2.8.

【分析】(1)把△O2M绕点。逆时针旋转120。得到△D4Q,根据旋转的性质可得OW=。。，AQ=BM,

ZADQ=ZBDM,然后求出/QDN=/MDN,利用“边角边”证明△MNZ)和△QN。全等，根据全等三角形对应

边相等可得MN=QN,再根据AQ+AN=QV整理即可得证；

(2)把AIMN绕点。顺时针旋转120。得到AUBP,根据旋转的性质可得DN=OP,AN=8P,根据

尸=90。可知点尸在上，然后求出NM£)P=60。，然后利用“边角边”证明AMN。和△MP。全等，

根据全等三角形对应边相等可得MN=MP,从而得证；

(3)过点加作交4B于G,交DN于H,可以证明△2MG是等边三角形，根据等边三角形的性质

可得8M=MG=BG,根据全等三角形对应角相等可得NQVD=/MN。，再根据两直线平行，内错角相等可得

ZQND=ZMHN,然后求出NMND=NMHN,根据等角对等边可得然后求出AN=G8,再利用“角

角边”证明AANE和AGHE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=GE,再根据8G=AB-AE-GE代入数据

进行计算即可求出BG,从而得到BM的长.

【解析】解：(1)证明：把绕点。逆时针旋转120。得到△ZMQ,

贝lj£>M=OQ,AQ=BM,ZADQ=ZBDM,ZQAD=ZCBD=90°,

...点。在直线C4上，

,/ZQDN=ZADQ+ZADN=ZBDM+NADN=ZABD-ZMDN=120°-60°=60°,

：.ZQDN=ZMDN=60°,

,：在AMND和△QN£)中，

DM=DQ

-ZQDN=ZMDN,

DN=DN

:AMND沿AQND(SAS),

：.MN=QN,

'：QN=AQ+AN=BM+AN,

：.BM+AN=MN；

(2)：MB=MN+AN.

理由如下：如图，把ADAN绕点。顺时针旋转120。得到△D8P,

贝|JON=DP,AN=BPf

ZDAN=ZDBP=90°,

・••点P在3M上，

,/ZMDP=ZADB-ZADM-ZBDP=120°-ZADM-ZADN=120°-ZMDN=120°-60°=60°,

J/MDP=NMDN=60。,

在二MND和△”尸。中,

DN=DP

<ZMDP=ZMDN,

DM=DM

:・AMND%4MPD(SAS),

:・MN=MP,

■:BM=MP+BP,

:.MN+AN=BM：

(3)如图，过点〃作交AB于G,交。N于H,

0"(3)题图

•・・△ABC是等边三角形，

•••△8MG是等边三角形，

：.BM=MG=BG,

根据(1)AMNDQAQND可得/QND=/MND,

根据AC可得NQND=ZMHN,

：.ZMND=ZMHN,

：,MN=MH,

：.GH=MH-MG=MN-BM=AN,

即AN=GH,

•・•在历和△G"后中，

ZQND=ZMHN

</AEN=/GEH,

AN=GH

：.AANE^AGHE(AAS),

：.AE=EG=2A,

VAC=7,

：.AB=AC=7f

：.BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8,

:,BM=BG=28

故答案为：2.8

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，根据等边三角形的性质，旋转变换的

性质作辅助线构造全等三角形是解题的关键，(3)作平行线并求出AN=GH是解题的关键，也是本题的难

点.

题型5：倍长中线模型

17.小明遇到这样一个问题，如图1,44BC中，AB=7,AC=5,点D为3C的中点，求AO的取值范围.小

明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便

构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2,延长AD到

E,使DE=AD,连接BE,构造经过推理和计算使问题得到解决.请回答：

(2)的取值范围是」

(3)小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造.参考小明思考

问题的方法，解决问题：如图3,在AABC中，为8C边上的中线，且AD平分NBAC,求证：AB^AC.

【答案】⑴SAS

(2)1<AD<6

(3)证明见解析

【分析】(1)根据SAS定理解答；

(2)根据全等三角形的性质得到虚=AC,根据三角形的三边关系计算，得到答案;

(3)仿照(1)的作法，根据等腰三角形的判定定理证明结论.

【解析】(1)解：在和ACW中，

BD=CD

，ZBDE=ZCDA

DE=DA

.-.△B£D=A