中考数学复习冲刺训练：全等三角形(含解析)

中考复习专题训练全等三角形

一、选择题

1.下列命题中不成立的是（)

A.矩形的对角线相等

B,三边对应相等的两个三角形全等

C.两个相似三角形面积的比等于其相似比的平方

D.一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形

2.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）

A.两条直角边对应相等B.斜边和一锐角对应相等

C.斜边和一条直角边对应相等D.两个锐角对应相等

D,只有甲

4.在△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B',NB=NB',补充条件后仍不一定能保证△ABC2△AEC,则补充的这

个条件是：（）

A.BC=B'C'B.BA=ZAzC.AC=A'C'D.ZC=ZCz

5.如图，已知MB=ND,ZMBA=ZNDC,下列条件中不能判定△ABMM△CDN的是（）.

A.ZM=ZNB.AM=CNC.AB=CDD.AMIICN

6.如图，AAEB、△AFC中，ZE=ZF,ZB=ZC,AE=AF,则下列结论错误的是（)

A.ZEAM=ZFANB.BE=CFC.AACNV△ABMD.CD=DN

7.AABC是格点三角形（顶点在网格线的交点），则在图中能够作出△ABC全等且有一条公共边的格点三

角形（不含△ABC）的个数是（）

8.在△ABC中，AB=8,AC=6,则BC边上的中线AD的取值范围是（）

A.6<AD<8B.2<AD<14C,1<AD<7D.无法确定

9.如图所示，一位同学书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一

样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）.

A.SSSB.SASC.AASD.ASA

10.如图，PA=PB,OE±PA,OF±PB,则以下结论：①OP是NAPB的平分线；②PE=PF③CA=BD；

④CDIIAB；其中正确的有（）个.

11.如图，△ABC和AADE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,四边形ACDE是平行四边形，连接CE

交AD于点F,连接BD交CE于点G,连接BE；下列结论中：①CE=BD；②NADB=NAEB；③△ADC是

等腰直角三角形；④CD・AE=EF・CG；一定正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

\2.如图所示,在NAOB的两边上截取AO=BO,OC=OD,连接AD、BC交于点P,连接OP,则下列结论正

确的是()

①4APS/BPD②△ADO^/BCO(3)AAOP至/BOP④4OCP空/ODP

A.①②③④B.①②③C.②③④D.①③④

二、填空题

13.如图，在口ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BEIIDF,请从图中找出一对全等三角形：

14.如图，线段AD与BC相交于点0,连结AB、CD,且NB=ND,要使△A0BV△COD,应添加一个条件

是（只填一个即可）

15.AABC中，ZBAC：NACB:NABC=4：3：2,且4AB8△DEF,则NDEF='

16.如图，AB=AC,点D在AB上，点E在AC上，DC、EB交于点F,△ADC&△AEB,只需增加一个条件,

这个条件可以是

17.如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D，，点C落在C，处.若AB=6,

AD，=2,则折痕MN的长为.

18.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其

中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第块.

19.如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么根据图中提供的信息可知N1的度数为

20.如图，ZA=ZD,OA=OD,ZDOC=50°,则NDBC=度.

21.在RtAACB中，ZACB=90°,点D在边BC上，连接AD,以点D为顶点，AD为一边作等边△ADE,连接

BE,若BC=7,BE=4,ZCBE=60°,则NEAB的正切值为.

22.如图，ZACB=90°,AC=BC,BE_LCE于E,AD_LCE于D,下面四个结论：

①NABE=ZBAD；@ACEBV&ADC；

③AB=CE；④AD-BE=DE.

正确的是（将你认为正确的答案序号都写上）.

三、解答题

23.如图，AB_LBD于点B,ED_LBD于点D,AE交BD于点C,且BC=DC.求证：AB=ED.

24.已知：如图，E,F是QABCD的对角线AC上的两点，BEIIDF,求证：AF=CE.

25.如图，矩形ABCD,E、F在AB、CD上，且EFIIAD,M为EF的中点，连接AM、DM,求证：AM=DM.

26.如图，△ABC为等边三角形，AE=CD,AD、BE相交于点P,BQ_LAD于Q,PQ=4,PE=1.

（1）求证：NBPQ=60。（提示：利用三角形全等、外角的性质）

（2）求BE的长.

27ZABC为等腰直角三角形，NABC=90。，点D在AB边上（不与点A,B重合），以CD为腰作等腰直角

△CDE,ZDCE=90°.

(1)如图1,作EF±BC于F,求证：△DBS△CFE；

(2)在图1中，连接AE交BC于M,求音:的值;

n\,1

国1

(3)如图2,过点E作EHLCE交CB的延长线于点H,过点D作DGLDC,交AC于点G,连接GH.当点

D在边AB上运动时，式子直/等的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由.

(1ri.D

答案解析

一、选择题

1.【答案】D

【解析】【分析】A、矩形的对角线相等，成立；

B、三边对应相等的两个三角形全等，成立；

C、两个相似三角形面积的比等于其相似比的平方，成立;

D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形.故选：D.

【点评】本题考查学生对一些几何概念和定理的掌握情况，属于基础题。

2.【答案】D

【解析】【解答】解：1.两条直角边对应相等，则斜边相等，故两三角形全等，，A正确；

•.■斜边和一锐角对应相等，则另一锐角对应相等，根据角边角即可求证两三角形全等，，B正确；

...斜边和一条直角边对应相等，则另一直角边对应相等，根据边边边即可求证两三角形全等，；.C正确；

1.两锐角相等可证明两三角形相似，但无法证明两三角形全等，，D错误.

故选D.

【分析】根据求证直角三角形全等对每个选项进行分析，即可解题.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：在AABC和乙三角形中，有两边a、c分别对应相等，且这两边的夹角都为50。，由

SAS可知这两个三角形全等；在△ABC和丙三角形中，有一边a对应相等，和两组角对应相等，由AAS

可知这两个三角形全等，

所以在甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是乙和丙，

故选：A.

【分析】首先观察图形，然后根据三角形全等的判定方法（AAS与SAS）,即可求得答案.

4.【答案】C

【解析】，分〃7全等三角形的判定可用两边夹一角，两角夹一边，三边相等等进行判定，做题时要按判

定全等的方法逐个验证.

【解答】A、若添加BC=BC,可利用SAS进行全等的判定，故本选项错误；

B、若添加NA=NA，，可利用ASA进行全等的判定，故本选项错误；

C、若添加AC=AC,不能进行全等的判定，故本选项正确；

D、若添加NC=NC',可利用AAS进行全等的判定，故本选项错误；

故选C.

，，点评7本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，要认真确定各对应关系.

5.【答案】B

【解析】r分析/根据普通三角形全等的判定定理，有AAS、SSS、ASA、SAS四种.逐条验证.

【解答】A、NM=NN,符合ASA,能判定△ABMVACDN,故A选项不符合题意；

B、根据条件AM=CN,MB=ND,ZMBA=ZNDC,不能判定△ABM空△CDN,故B选项符合题意；

C、AB=CD,符合SAS,能判定△ABMVACDN,故C选项不符合题意；

D、AMIICN,得出NMAB=NNCD,符合AAS,能判定△ABM2△CDN,故D选项不符合题意.

故选：B.

，，前刃本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、

SAS,SSS,直角三角形可用HL定理，本题是一道较为简单的题目.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：・在△AEB和△AFC中，NE=NF,NB=NC,AE=AF,

AEB合△AFC(AAS),

BE=CF,ZEAB=ZFAC,

ZEAM=ZFAN,故选项A、B正确；

•/ZEAM=ZFAN,ZE=ZF,AE=AF,

△ACN2△ABM,故选项C正确；

错误的是D.

故选D.

【分析】由NE=NF,ZB=ZC,AE=AF,可证明△AEBV△AFC,利用全等三角形的性质进行判断.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：分三种情况找点，

HF

①公共边是AC,符合条件的是△ACE；

②公共边是BC,符合条件的是△BCF、ACBG,ACBH；

③公共边是AB,符合条件的三角形有，但是顶点不在网格上.

故选D.

【分析】和△ABC全等，那么必然有一边等于3,有一边等于又一角等于45。.据此找点即可，注意

还需要有一条公共边.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：延长AD至E,使DE=AD,连接CE.

在4ABD和4ECD中，

DE=.4D

，.3=乙CDE，

DB=DC

：.AAB醛AECD(SAS),

CE=AB.

在△ACE中，CE-AC<AE<CE+AC,

即2<2AD<14,

1<AD<7.

故选：C.

E

【分析】延长AD至E,使DE=AD,连接CE.根据SAS证明△ABD2△ECD,得CE=AB,再根据三角形的三

边关系即可求解.

9.【答案】D

【解析】【分析】根据三角形全等的判定方法可知：除去被墨迹污染的部分仍然有两个角及夹边确定，可

以根据ASA确定所画三角形与原三角形全等。故选D.

10.【答案】A

【解析】【解答】连接OP、OC>OA、OD、OB、CD、AB.；PC・PA=PD・PB（相交弦定理），PA=P析已知）,

二PC=PD,=AC=BD；在△AOC和△BOD中，

/ZAOC=ZBOD（等弦对等角）,OA=OB（半径）,OD=OC（半径）,/.&AOCV'BOD,/.③CA=BD；

OE=OF；X-.'OE±PA,OF±PB,

①OP是NAPB的平分线；二②PE=PF；在△PCD和4PAB中，PC：PA=PD：PB,ZDPC=ZBPA,

△PCD-△PAB,ZPDC=PBA,/.（4）CDIIAB；

综上所述，①②③④均正确，故答案选A.

【分析】①通过证明AAOCVABOD,再根据全等三角形的对应高相等求得OE=OF；再根据角平分线的性

质证明0P是NAPB的平分线；②由角平分线的性质证明PE=PF；③通过证明△A08△BOD,再根据全

等三角形的对应边相等求得CA=BD；④通过证明△PCD-△PAB,再根据相似三角形的性质对应角相等证

得NPDC=PBA；然后由平行线的判定得出结论CDIIAB.

11.【答案】D

【解析】【分析】①利用SAS证明△BA醛ACAE,可得到CE=BD；

③利用SAS证明△BAE合△BAD可得到NADB=ZAEB；

③利用平行四边形的性质可得AE=CD,再结合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形；

④利用已知得出NGFD=NAFE,以及NGDF+NGFD=90°,得出NGCD=NAEF,进而得出△CGD”△EAF,

得出比例式；即可得出结论.

【解答】

①ZBAC=NDAE=90°,

ZBAC+ZDAC=ZDAE+ZDAC,

即：ZBAD=ZCAE,

•••△ABC和4ADE都是等腰直角三角形，

AB=AC,AE=AD,

.〔ABAD叁△CAE(SAS),

CE=BD,

故①正确；

②：△ADC是等腰直角三角形，

ZCAD=45°,

ZBAD=90°+45°=135°,

•/ZEAD=ZBAC=90°,ZCAD=45°,

ZBAE=360°-90o-90o-45°=135<),

又AB=AB,AD=AE,

△BAEg&BAD(SAS),

ZADB=ZAEB；

故②正确；

③四边形ACDE是平行四边形，

ZEAD=ZADC=90°,AE=CD,

•••△ADE是等腰直角三角形，

：AE=AD,

AD=CD,

,AADC是等腰直角三角形，

③正确；

④：△BADM△CAE,ABAE2△BAD,

/.△CAE2△BAE,

/.ZBEA=ZCEA=ZBDA,

ZAEF+ZAFE=90°,

ZAFE+ZBEA=90°,

ZGFD=ZAFE,ZADB=ZAEB,

ZADB+ZGFD=90°,

/.ZCGD=90°,

,/ZFAE=90°,ZGCD=ZAEF,

△CGD〜△EAF,

CD=CG

EFAE'

CD»AE=EF«CG.

故④正确，

故正确的有4个.

故选：D.

「点刃此题主要考查了全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定与性质以及相似三角形的判定

与性质；本题综合性强，难度较大，注意细心分析，熟练应用全等三角形的判定以及相似三角形的判定

和性质是解决问题的关键.

12.【答案】A

【解析】【分析】由AO=BO,OC=OD,Z0=Z0,可证得②△AD。2△BC。，所以有NC0P=NDOP,又

OC=OD,OP=OP,可证得④△OCPV△ODP,所以有PC=PD,又NCAP=NDBP,NCPA=NDPB,可证得

①AAPC2△BPD,所以有PA=PB,又AO=BO,OP=OP,可证得③△AOP号△BOP.

【解答】；AO=BO,OC=OD,Z0=Z0

△AD。合△BCO(SAS),故②正确；

ZCOP=ZDOP

OC=OD,OP=OP

,AOCP^AODP(SAS),故④正确；

PC=PD

•••ZCAP=ZDBP,ZCPA=ZDPB

△APS△BPD(AAS),故①正确；

PA=PB

•，-AO=BO,OP=OP

△AOP2△BOP(SSS),故③正确.

故选A.

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA和

HL,做题时，要根据已知条件结合图形进行思考.

二、填空题

13.【答案】△ADF2△BEC

【解析】【解答】解：..•四边形ABCD是平行四边形，

AD=BC,ZDAC=ZBCA,

,/BEIIDF,

NDFC=ZBEA,

/.ZAFD=ZBEC,

在4ADF与仆CEB中，

[NDAC=ZBCA

NJFZ)=£BEC，

IAD=BC

：.△AD0△BEC(AAS),

故答案为：△ADFMABEC.

【分析】由平行四边形的性质，可得到等边或等角，从而判定全等的三角形.

14.【答案】OB=OD

【解析】【解答】解：添加条件OB=OD,

在小ABO和4CDO中，

'/B=/D

•B0=D0,

ZA0B=ZC0D

...AAOBVACOD(ASA)，

故答案为：OB=OD.

【分析】添加条件OB=OD,可利用ASA定理证明小AOBV△COD.

15.【答案】40

【解析】【解答】因为NBAC：ZACB：ZABC=4：3：2,所以NBAC=80°,ZACB=60°ZABC=40°；又因

为XAB8&DEF,所以NDEF=NABC=40°

【分析】首先根据三角形内角和可求得三个角的度数，再根据全等三角形对应角对应相等，即可解得角的

度数.

16.【答案】AD=AE

【解析】【解答】解：添加条件：AD=AE,在AABE和AACD中，

ZLA，

I4R=4C

：.△AD醒△AEB(SAS),

故答案为：AD=AE.

【分析】△ADC和△AEB中，己知的条件有AB=AC,ZA=ZA；要判定两三角形全等只需条件一组对应角

相等或AD=AE即可.

17.【答案】2

【解析】【解答】解：作NHAD,垂足为F,连接DDTND，，

%.........................:C

••,将正方形纸片ABCD折叠，使得点D落在边AB上的D，点，折痕为MN,

/.DD'_LMN,

-/ZA=ZDEM=90°,NADD'=NEDM,

△DAD'-△DEM,

ZDDzA=ZDME,

在^NFM和^DAD，中

乙NMF

乙NFM，

NF=D4

ANFM空△DADZ(AAS),

FM=AD=2cm,

又；在RtAMNF中,FN=6cm,

•••根据勾股定理得：MN=出+2?=2J10

故答案为：2Iit.

【分析】作NFLAD,垂足为F,连接DD-ND一1,将正方形纸片ABCD折叠，使得点D落在边AB上的D，

点，折痕为MN,二DD，J_MN,由NA=NDEM=90。，ZADDz=ZEDM,得△DAD，DEM再由相似三角形

对应角相等得出NDDzA=ZDME,再由角角边得到4NFM合△DAD，由全等三角形对应边相等得出FM=ADZ,

在RtAMNF中，FN=6cm,由勾股定理得出MN的长度。

18.【答案】2

【解析】【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带

它们去，

只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA,满足题目要求的条件，是符合题意的.

故答案为：2.

【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证.

19.【答案】70°

【解析】【解答】解：根据三角形内角和可得N2=180。-50。-60。=70。，因为两个全等三角形，

所以N1=Z2=70°,

故答案为：70。.

【分析】根据三角形内角和定理计算出N2的度数，然后再根据全等三角形的对应角相等可得

Z1=Z2=70°.

20.【答案】25

【解析】【解答】：ZA=ZD,OA=OD,ZAOB=ZDOC,/.△AOB^*DOC(ASA),OB=OC,/.△BOC

是等腰三角形,ZDBC=ZACB；.-ZDOC=50°/.ZDBC=25".

【分析】结合图形和所给条件可判定两三角形全等，再根据全等三角形的性质得出对应角对应相等，利用

等腰三角形的性质和外角就可解得此题.

21.【答案】

11

【解析】【解答】解：过点D作DF_LBE于点F,如图1所示.

•••△ADE是等边三角形,

AD=DE=AE,ZADE=60°.

,/ZCBE=60°,

/.ZADE=ZDBF=60°,

/.BD=2BF,ZADC+ZBDE=ZDEF+ZBDE=120°,

/.ZADC=ZDEF.

[CAbC=士DEF

o

在AACD和ADFE中，ZJCD=ZZ>F£=90-

IAn=nr

：.AAC醛△DFE(AAS),

AC=DF,CD=FE.

BC=7,BE=4,

...设CD=FE=x,贝l|：BD=7-x,BF=4-x.

BD=2BF,

7-x=2(4-x),

/.x=l.

CD=FE=1,BD=6,BF=3.

AC=DF=BF=3,;.

由勾股定理可得：AD=DE=AE=屈三访^2Jj,AB=-BC'=2斤.

过点E作EG±AB于点G,如图2所示.

AE2-AG2=BE2-BG2

•・（访，-2=42一（］丽_9j,

AG=22板,EG=d后.-.d=生I，

19V19

一£r

.-.tanzEAB=-=：_=、".

三叵—

故答案为：亚.

11

【分析】过点D作DFLBE于点F,由等边三角形的性质结合角的计算即可得出AD=DE、NADC=NDEF,利

用全等三角形的判定定理AAS即可证出△ACD2△DFE,由此即可得出AC=DF、CD=FE,由BC=7,BE=4,可

设CD=FE=x,贝lj：BD=7-x,BF=4-x.根据BD=2BF即可得出关于x的方程，解之即可得出X的值，再根据

勾股定理即可得出AD、AB的长度，过点E作EGLAB于点G,由勾股定理可得AE2-AG2=BE2-BG2,代

入数据可得出AG、EG的长度，利用正切的定义即可得出NEAB的正切值.

22.【答案】①、②、④

【解析】【解答】解：NBEF=NADF=90°,NBFE=NAFD

①NABE=ZBAD正确

•/Z1+Z2=90°Z2+ZCAD=90°

Z1=ZCAD

又NE=ZADC=90°,AC=BC

（2）ACEB号△ADC正确

CE=AD,BE=CD

④AD-BE=DE.正确

而③不能证明，

故答案为①、②、④.

故填①、②、④.

【分析】首先由△AEF与^ADF中分别有两个直角及对顶角得到①是正确的，利用等腰三角形的性质及其

它条件，证明△CEBV△ADC,则其他结论易求，而无法证明③是正确的.

三、解答题

23.【答案】证明：---AB±BD,ED±BD,

ZABC=ZD=90°,

在4ABCEDC中

'use=2D

BC=DC,

ZACB^ZECD

ABCV△EDC(ASA)

AB=DE

【解析】【分析】首先根据垂直可得NABC=ND=90。，再有条件NACB=NDCE,CB=CD,可以用ASA证明

△ABCV△EDC,再根据全等三角形对应边相等得到结论AB=DE.

24.【答案】证明：在平行四边形ABCD中，

ADIIBC,AD=BC,

ZACB=ZCAD.

文:BEIIDF,

ZBEC=ZDFA,

[/<C5=LDAC

在ABEC与ADFA中，£BEC乙DFd，

IAD^RC

：.△BEC合△DFA,

/.CE=AF.

【解析】【分析】先证NACB二NCAD,再证出△BECM△DFA,从而得出CE二AF.

25.【答案】证明：：四边形ABCD是矩形，

/.AEIIDF,ZBAD=90°,

,/EFIIAD,

「•四边形AEFD是矩形，

/.AE=DF,ZAEM=ZDFM=90°,

.「M为EF的中点,

/.EM=FM,

[A£=DF

在4AEM和4DFM中，N.小'/=乙DFM，

IFA/=FA/

/.△AEM之△DFM(SAS),

AM=DM.

【解析】【分析】由矩形的性质得出AEIIDF,NBAD=90。，再由EFIIAD,证出四边形AEFD是矩形，得出

AE=DF,ZAEM=ZDFM=90",由SAS证明△AEM2△DFM,得出对应边相等即可.

26.【答案】(1)解：如图,

AB=AC,ZBAE=ZACD=60°,

又AE=CD,

△BAE2△ACD,

Z1=Z2,

•/