云南中考数学热点题型之三角形的相关性质与判定（二）解析版

专题14三角形的相关性质与判定（二）

目录

热点题型归纳...........................................................................

题型01等腰三角形的性质与判定...........................................................................1

题型02等边三角形的性质与判定...........................................................................6

题型03直角三角形的性质与判定..........................................................................12

题型04勾股定理、勾股定理逆定理与网格问题.............................................................16

题型05赵爽弦图.........................................................................................18

题型06利用勾股定理解决实际问题........................................................................20

题型07与三角形有关的折叠问题..........................................................................24

中考练场.................................................................................................32

热点题型归纳

题型01等腰三角形的性质与判定

【解题策略】

等腰三角形性质:

1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角“）.

2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.

等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.

方法总结

1.等腰三角形的边有腰、底之分，角有顶角、底角之分，若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角,

需要分类讨论.

2.顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°.

3.等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴.

4.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.

5.等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为b,贝吟＜a.

6.等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为/A,底角为NB、ZC,则/A=180°-2NB,ZB=ZC=180^

7.底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形.（即顶角36。，底

角72°）.

8.等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要

依据.

【典例分析】

例1.（2023・山西）如图，在四边形4BCD中，/.BCD=90°,对角线力C,BD相交于点。,若AB=AC=5,BC=6,

乙ADB=24CBD,贝ijAD的长为

【答案】三

【解析】【分析】

过点4作AHLBC于点延长ZD,BC交于点E,根据等腰三角形性质得出=HC==3,根据勾股定理求出

AH=VAC2-CH2=4,证明NC8D=乙CED,得出DB=DE,根据等腰三角形性质得出CE=BC=6,证明CD//4H,

得出穿=黑，求出CD=*根据勾股定理求出DE=7CE2+CD2=I62+（如=根据得出普=笠,

AnncDA/V33ADCn

即业=3求出结果即可.

AD3

本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判

定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质.

【解答】

解：过点4作AH1BC于点H,延长2。，BC交于点E,如图所示:

A

则乙4HC=乙4HB=90°,

AB=AC=5,BC=6,

；.BH=HC=3BC=3,

•••AH=VAC2-CH2=4，

•・•Z-ADB=Z-CBD+Z-CED,Z-ADB=2乙CBD,

•••乙CBD=Z-CED,

・•.DB=DE,

•・•乙BCD=90°,

・•・DC1BE,

CE=BC=6,

・•.EH=CE+CH=9,

-DCVBE,AHVBC,

・•.CD//AH,

・•・△ECDsAEHA,

.CD_CE

•••AH=~HEf

即"=

149

解得：CD=l

DE=VCE2+CD2=J6?+（$2=27；,

•・.CD//AH,

・・・”=%

ADCH

2AT97

即二IZ=e,

AD3

解得：4。=等.

故答案为qz.

例2.（2024•江西模拟）已知点A在反比例函数y=苫。＞0）的图象上，点8在x轴正半轴上，若A。45为等腰三角

形，且腰长为5,贝必8的长为.

【答案】5或2西或同

【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可.

【详解】解：①当AO=AB时，AB=5；

②当A8=B0时，AB=5；

③当OA=OB时，贝!1。3=5,B(5,0),

设A(a,—)(a>0),

a

U：OA=5,

小+(挣=5,

解得：%=3,a2—4,

(3,4)或(4,3),

:.AB=1@-5尸+42=24或A3=J(4-5)2+32=V10；

综上所述，AB的长为5或或

故答案为：5或2有或4U.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当时，求出点的坐

标是解题的关键.

【变式演练】

1.（2023•上海）如图，在△力8c中，CD平分NACB,S.CDJ.48于点D,DE//BC交2C于点E,BC=3cm,AB=2cm,

那么△2DE的周长为cm.

【答案】4

【解析】【分析】

本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是掌握：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上

的高相互重合.

先根据等腰三角形三线合一的性质，求得AC-BC=3cm.AD=^AB=1cm,再根据平行线和角平分线，求得DE=

CE,后根据等角的余角相等，求得=即可求得。E=AE=CE==|cm,最后计算△4DE的周长.

【解答】

解：•••△ABC中，CD平分乙4CB,且CD_LAB于D,

・•・Z-A=乙B,

•••AC=BC=3cm,

又•・•CDLAB,

CD是△ABC的中线，

1

:.AD=-AB=1cm,

DE“BC,CD平分乙4CB,

•••乙EDC=乙BCD=4ECD,

DE=CE,

又ZX+乙ECD=^ADE+乙EDC=90°,

•••Z-A=Z-ADE,

DE=AE,

/.DE=AE=CE.即E是AC的中点，

13

・•.DE=AE=^AC=^cm,

QQ

△力DE的周长为：1+-+-=4cm.

故答案为:4.

2.（2023•北京）如图，。4是。。的半径，BC是O。的弦，0418C于点D,4E是。。的切线，2E交OC的延长线于点

E若乙4OC=45。，BC=2,则线段2E的长为.

【答案】，攵

【解析】【分析】根据。4,8C,得出/。。。=90。，DC=2BC=1,根据等腰直角三角形的性质得出。C=/20C=

-2,即。4=0C=/2,根据ZQ4E=90°,AAOC=45°,得出△40E为等腰直角三角形，即可得出4E=OA=<2.

【详解】解：OA1BC,

•••乙ODC=90。，DC=^BC=1.

•••4Aoe=45°,

。。。为等腰直角三角形，

•••OC=yTl.DC=

・•・OA=OC=V-2.

・・・4E是。。的切线，

・•・Z.OAE=90°,

•・•^AOC=45°,

・•.△ZOE为等腰直角三角形，

••・AE=OA=y/~~2.

故答案为：-2

题型02等边三角形的性质与判定

【解题策略】

等边三角形的性质：1）等边三角形的三条边相等.

2）三个内角都相等，并且每个内角都是60°.

等边三角形的判定：1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形.

2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

方法总结

1.等边三角形具有等腰三角形的一切性质.

2.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.

3.等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合.

4.在等腰三角形中，只要有一个角是60°,无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形.

5.等腰（等边）三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重

合.

6.等边三角形面积的求解方法：S正三角形=竺边长2

4

【典例分析】

例1.（2023・湖北模拟）如图，有一个亭子，它的地基是边长为4根的正六边形，则地基的面积为（）

A.4V-3m2B.12ATWC.24m2D.24y/~3m2

【答案】D

【解析】【分析】

本题考查的正多边形和圆，理解正六边形被半径分成六个全等的等边三角形是解答此题的关键，先推出AOBC为等边

三角形，求出BP,OP,再求出SAOBC，即可求得正六边形的面积.

【解答】

解：••・六边形4BCDEF为正六边形，

360°

ABOC=嘤=60°,

6

•••OB=0C,

.*.△OBC为等边三角形，

••・OB=0C=BC=4m,乙BOP=30°,

・•・BP=2m,OP=2y/~3m,

•••S&OBC=^BC-OP=^X4X2/3=4<3(m2),

二正六边形的面积为6SAOBC=24V-3(m2),

故选：D.

例2.(2023•黑龙江模拟)如图，在矩形ABC。中，对角线4C,BD相交于点。，AB=6,ND4c=60。，点F在线段4。

上从点4至点。运动，连接。尸，以DF为边作等边三角形DFE,点E和点4分别位于DF两侧，下列结论：①乙BDE=乙EFC；

②ED=EC；③乙4DF=乙ECF；④点E运动的路程是245其中正确结论的序号为()

A.①④B.①②③C.②③④D.①②③④

【答案】D

【解析】解：①A.DAC=60°,OD=OA,

△CMD为等边三角形，

Z.DOA=Z.DAO=Z.ODA=60°,AD=OD,

・•・△QFE为等边三角形，

・•・乙EDF=Z.EFD=乙DEF=60°,DF=DE,

•・•乙BDE+乙FDO=AADF+乙FDO=60°,

Z.BDE=Z.ADF,

vZ.ADF+Z.AFD+Z.DAF=180°,

Z.ADF+Z.AFD=180°-^DAF=120°,

•・•乙EFC+Z.AFD+乙DFE=180°,

:.乙EFC+Z.AFD=180°-乙DFE=120°,

・•.Z.ADF=(EFC,

•••乙BDE=Z.EFC,

故结论①正确；

②如图，连接。凡

AD=OD

Z-ADF=Z.ODE,

DF=DE

•••△ZMFg2kDOE(S/S),

・•・乙DOE=乙DAF=60°,

•・•乙COD=180°-^AOD=120°,

・•・乙COE=乙COD一乙DOE=120°-60°=60°,

・•・Z-COE=乙DOE,

在△OOE和△OCE中，

OD=OC

Z-DOE=乙COE,

OE=OE

・•・△ODE^LOCE(S/S),

•••ED=EC,Z,OCE=乙ODE,

故结论②正确；

③乙ODE—Z.ADF,

•••AADF=^OCE,即44DF=NECF,

故结论③正确；

④如图，延长OE至E',使OE'=OD,连接DE',

DAF^ADOE,/.DOE=60°,

•••点尸在线段40上从点力至点。运动时，点E从点。沿线段。E'运动到E',

OE'-OD=AD=AB-tanZ-ABD-6-tan30°=2A/-3>

二点E运动的路程是2>O，

故结论④正确；

故选：D.

①根据ADAC=60。，OD=OA,得出△O4D为等边三角形，再由△DFE为等边三角形，得乙EDF=4EFD=4DEF=

60°,即可得出结论①正确；

②如图，连接。E,利用$4S证明ADaFgADOE,再证明△ODE四△OCE,即可得出结论②正确；

③通过等量代换即可得出结论③正确；

④如图，延长0E至E',使。E'=。。，连接。E',iljlADAF^^DOE,/.DOE=60°,可分析得出点尸在线段4。上从点

4至点。运动时，点E从点。沿线段0E'运动到E',从而得出结论④正确；

本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，点的运动轨迹

等，熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质等相关知识是解题关键.

【变式演练】

1.（2023•广东模拟）如图，等边AABC的三个顶点都在。。上，4D是。。的直径.若。4=3,则劣弧命的长是（）

B

D

A.]B.71C.yD.2n

【答案】B

【解析】【分析】

本题考查等边三角形及圆的弧长，解题的关键是掌握弧长公式并能熟练应用.

连接。B、BD,由等边△ABC,可得ND=NC=60°,且。B=OD,故4B。。是等边三角形，乙BOD=60°,又半径CM=

3,根据弧长公式即可得劣弧BD的长.

【解答】

解：如图，连接OB,BD.

•・•△ABC是等边三角形，

ZC=60°.

AB=AB>

•••Z-D—Z-C—60°,

又・・•OB=OD,

是等边三角形.

・•.Z,BOD=60°.

•・•半径。/=3,

•••劣弧BD的长为嚅=7T.

loU

故选8.

2.(2023・四川模拟)如图，在菱形4BCD中，乙4=60。，点E,F分别在边力B,BC上，AE=BF=2,ADEF的周长为

3门，则AD的长为

()

AC

C.AT3+1D.1

【答案】C

【解析】解：如图，连接BD,作垂足为“，

••・四边形4BCD是菱形，

•­.AB^AD,AD〃BC,

•••乙4=60°,

•••△4BD是等边三角形，乙ABC=180°一乙4=120°,

AD—BD,Z-ABD=乙4=Z.ADB=60°,

・•・(DBC=乙ABC-Z.ABD=120°-60°=60°,

vAE=BF,

•••△/0E^80F(S/S),

:.DE=DFfZ-FDB=Z.ADE,

・♦・Z-EDF=Z.EDB+乙FDB=乙EDB+Z-ADE=Z.ADB=60°,

.•.ADE尸是等边三角形，

•.•△。后F的周长是3-，

•••DE=7-6-

设力H=x,则HE=2-x,

vAD=BD,DH1AB,

1

AADH=^ADB=30°,

AD=2x,DH=7-3%,

在Rt△£)“£'中，DH2+HE2=DE2,

(Cx)2+(2-x)2=(O，

解得：x=l±p(负值舍去)，

AD=2%=1+A/-3>

故选：C.

连接BD,作。垂足为H,先证明△ZB。是等边三角形，再根据S4S证明△ZDE也△得到是等边三

角形，根据周长求出边长DE=/%,设/月=第，则HE=2—%,DH=<3%,在中，根据勾股定理列方程求

出工,进而得到4。=2%的值.

本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是构造直角三角

形，根据勾股定理求出4乩

题型03直角三角形的性质与判定

【解题策略】

【典例分析】

例1.（2022•浙江）如图，在RtZkABC中，AACB=90°,ZX=30°,BC=2cm.把△力BC沿4B方向平移1cm,得到△

A'B'C,连结则四边形的周长为cm.

c

【答案】8+2V3

【分析】通过勾股定理，平移的特性，特殊角的三角函数，分别计算出四边形的四条边长，再计算出周长即可.

【详解】解：VZ4CB=90°,ZX=30°,BC=2cm,

：.AB=2.BC=4,

：.AC=y/AB2-BC2=V16-4=2A

,把△ABC沿48方向平移lcm,得到AA'B'C',

：.CC'=1,XB,=4+1=5,B'C'=BC=2,

四边形的周长为：2百+l+5+2=8+2V3,

故答案为：8+2V3.

【点睛】本题考查勾股定理，平移的特性，特殊角的三角函数，能够熟练掌握勾股定理是解决本题的关键.

2.(2022・甘肃)如图，菱形A8C。的对角线AC与8。相交于点O,E为的中点，连接OE,^ABC=60°,BD=

4V3,贝!]OE=()

A.4B.2V3C.2D.V3

【答案】C

【分析】根据菱形的性质得出ZB=AD=DC=BC,ACLBD,再由△40。直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得

出OE=\AD.利用菱形性质、直角三角形边长公式求出4。=4,进而求出0E=2.

【详解】•••12285是菱形，E为A。的中点，

•••AB=AD=DC=BC,AC1BD.

AAOD是直角三角形，OE=加.

•••NABC=60°,BD=4V3,

AADO=-AADC=-AABC=30°,OD=-BD=-x4A/3=2>/3.

2222

•••AD2--AD2=OD2,BP-TID2=12,

44

AD=4,OE=-AD=4x4=2.

22

故选：c.

【点睛】本题主要考查菱形、直角三角形的性质的理解与应用能力.解题关键是得出。并求得4D=4.求解

本题时应恰当理解并运用菱形对角线互相垂直且平分、对角相等，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质.

【变式演练】

1.（2023•广东模拟）下列各组线段a、b、c中不能组成直角三角形的是（）

A.a=7,b=24,c=25B.a=40,b=50,c=60

C-a=lb=Lc=|D.a=CLb=4,c=5

【答案】B

【解析】解：4、72+242=252,故是直角三角形，不符合题意；

B、402+502^602,故不是直角三角形，符合题意；

C、号）2+12=《）2,故是直角三角形，不符合题意；

。、42+52=（E）2,故是直角三角形，不符合题意.

故选B.

如果三角形的三边长a,b,c满足。2+炉=。2,那么这个三角形就是直角三角形.根据勾股定理的逆定理进行计算分

析即可.

此题主要考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理逆定理计算分析是解题的关键.

2.（2023・辽宁模拟）如图，在口A8CD中，过点C作CE14B,交84的延长线于点E,若NR4D=48。，则NBCE的度数为

D.132°

【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，求出NB的度数是解决问题的关键.

由平行四边形的性质得出48=L.EAD=48。，由直角三角形的性质得出NBCE即可.

【解答】

解：••・四边形4BCD是平行四边形，

AD//BC,

乙B=Z.EAD=48°,

CE1AB,

：.乙E=90°,

Z.BCE=90°一4B=42°.

3.（2023•江苏模拟）如图，在RtA4BC中,3842=90。,将△2BC绕点2顺时针旋转90。后

得到△AB'C'（点B的对应点是点B',点C的对应点是点C'）,连接CC',若NB=80。，则NCC0

的大小是（）

A.25°

B.30°

C.35°

D.40°

【答案】C

【解析】解：••・将AABC绕点4顺时针旋转90。后得到A

•••AC=AC,NSC'=90。，Z-ACC'=^AC'C=45°,乙AB'C'=AB,

■.乙B=80°,

.­./.AB'C=48=80°,

vNAB'C'是△CB'C'三角形的外角，

乙CC'B'=乙AB'C'-/.ACC=35°.

故选：c.

由△ABC绕点4顺时针旋转90。后得到AaB'C',可知AC=AC',/.CAC'=90。,所以乙4CC'=£.AC'C=45。,乙48'（7'=乙B,

根据外角性质即可求解.

本题主要考查了旋转的性质，外角的性质，通过三角形旋转找到对应相等的边和对应相等的角是解决问题的关键.

题型04勾股定理、勾股定理逆定理与网格问题

【解题策略】

1）因为正方形网格中的每一个角都是直角，所以在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两个格点之间的长度问题,

一般情况下都是设每一个小正方形的边长为1,然后应用勾股定理来进行计算.

2）网格中，求顶点在格点上的四边形或五边形等几何图形的面积，可利用外部补法，转化成用长方形（或正方形）的面

积减去直角三角形面积.

【典例分析】

例1.（2024•陕西模拟）如图，在9x5的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，若BZ）是/

ABC的平分线，则8。的长为（）

「3V10

C.-------D.3V10

2

【答案】A

【分析】利用勾股定理求出4B、BC、AC的长，可得△力BC为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一可得AD的值，继

续用勾股定理即可求出BC的值.

【详解】解：由题可知，AB=5,BC=V32+42=5,AC=V92+32=3V10,

•*.AB-BC,

又•・•80平分乙

・•.AD=^AC=^Y-,且801AC,即三角形A3。是直角三角形，

...BD=ylAB2—AD2=J52—（当'=半.

故选：A.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的三线合一，熟练掌握相关定理是解题的关键.

例2.（2023•北京模拟）图所示的正方形网格内，点A,B,C,D,E是网格线交点，那么NECD+NEDC=

【答案】90

【分析】由题意设出网格边长，根据勾股定理分别表示出DE2,CE2,再利用勾股定理逆定理可得结论.

【详解】解：设正方形网格边长为m

由勾股定理求得CD?=20a2,DE2=18a2,CE2=2a2,

CD2=DE2+CE2

.♦.△CDE为直角三角形，

即NEC。+乙EDC=90°

故答案为：90.

【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，表示出各边的平方是解答本题的关键.

【变式演练】

1.（2023•吉林）图①、图②、图③均是5x5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段4B的端点均在格

点上.在图①、图②、图③中以4B为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，

且所画三角形的顶点均在格点上.

【答案】见解析

【分析】根据勾股定理可得48=花，结合题意与网格的特点分别作图即可求解.

【详解】解：如图所示,

如图①，AC=AB=Vl2+22=V5,则AABC是等腰三角形，且AZBC是锐角三角形,

如图②，AD=AB=Vl2+22=V5,BD=Vl2+32=V10,则力。2十人8？=BZ)2,则△2BD是等腰直角三角形,

如图③，AE=AB=Vl2+22=V5,则△ABE是等腰三角形，且△力BE是钝角三角形，

【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

题型05赵爽弦图

【解题策略】

赵爽弦图的几何意义：

1)证明勾股定理：c2=a2+b2

2)IJ=b-a

3)S正方形EFGH=C2=a2+b2,S正方形IJKL=(b-a)2

4)S阴影二S正方形EFGH-S正方形IJKL=2ab

【典例分析】

例1.(2024•湖北模拟)如图1,四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉

代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影

部分的面积为S「空白部分的面积为S2,大正方形的边长为小正方形的边长为n,若S]=S2,则3的值为.

【答案】三

【分析】如图(见解析)，设48=CD=a,先根据直角三角形的面积公式、正方形的面积公式求出S],S2的值，再根

据a=S2建立等式，然后根据&+S2=62建立等式求出a的值，最后代入求解即可.

【详解】如图，由题意得：AC=m,BD=n,AB=CD,A4BC是直角三角形，且m,n均为正数

则大正方形的面积为4c2=m2

小正方形的面积为BO?="

设力B=CD=a(a>0)

则S[=4SRt“BD+n2—4X^AB-BD+n2—2an+n2

1,

S2—4sA=4X2CD,AB=2a

S]=S2

A2an+n2=2a2

22

又Sr+S2=m,即2s2=m

.・.4a2-m2

解得a=£或a=—£（不符题意，舍去）

2

22

将a=1代入2cm+n=2a2得：mn4-n=

两边同除以与得：生+2（q2=1

2m

令巴=X>0

m

贝lj2%+2x2=1

解得X=等或X=［二<0（不符题意，舍去）

即巴的值为第

m2

故答案为：誓.

【点睛】本题考查了一元二次方程与几何图形、勾股定理、三角形全等的性质等知识点，理解题意，正确求出S1，S2的

值是解题关键.

【变式演练】

1.（2023•山东模拟）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”.将两个“赵爽弦

图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形MNPQ,记空隙处正方形力BCD,正方形

EFGH的面积分别为Si，S2（Si>S2）,则下列四个判断：①Si+S2=?四边形②DG=2XF；③若4EMH=30。，

则SI=352；④若点A是线段GF的中点，则3sI=4S2，其中正确的序号是

Qp

图1图2

【答案】①②③

【分析】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为a,较长直角边为b,斜边为c,则小正方形的边长为b-a,正

方形力BCD的边长为6,正方形EFGH的边长为a,正方形MNPQ的边长为2c,由正方形面积公式，勾股定理逐项进行

判断即可.

【详解】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为a,较长直角边为b,斜边为c,则小正方形的边长为b-a,正

方形力BCD的边长为6,正方形EFGH的边长为a,正方形MNPQ的边长为2c,

2222

；.Si-b,S2—a,S四边形MNPQ=(2c)=4c.

222

..•Si+S2=a+b=c.

+S2=1S四边形MNPQ.

故①正确；

AF=b—a,

••AG=FG-AF=CL—(b-CL)=2a-b.

•**DG=AD-AG=b—(2a—b)=2(b—a).

：.DG=2AF.

故②正确；

=30°,/LMHE=90°,

：.MH=y/3HE.

即£>=V3a.

AZ?2=3a2.

..•Si=3s2.

故③正确；

•・•点A是线段GF的中点，

：.AG=AF.

即2a—b=b—a.

/.2b=3a.

.*.462=9a2.

・・・4Si=9s2.

故④不正确；

故答案是①②③.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，关键是设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为Q,较长直

角边为山斜边为C,用表示出相关线段的长度，从而解决问题.

题型06利用勾股定理解决实际问题

【解题策略】

利用勾股定理解决实际问题的一般步骤:

1）将实际问题转化为数学问题；

2）明确已知条件及结论；

3）利用勾股定理解答，并确定实际问题的答案.

【典例分析】

例1.（2023・四川）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点4处有一滴蜂

蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁4处所走

【答案】10

【分析】如图(见解析)，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点夕，根据两点之间线段最短可知49的长度即为

所求，利用勾股定理求解即可得.

【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点?，作夕D14E,交力E延长线于点£>,连接4B，，

由题意得：DE=[BB，=1cm,Xf=9-4=5(cm),

・•.AD=AE+DE=6cm,

,底面周长为16cm,

B'D=^x16=8(cm),

AB'=y/AD2+B'D2=10cm,

由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁4处所走的最短路程为=10cm,

故答案为：10.

【点睛】本题考查了平面展开一最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关

键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.

2.(2023•山东)一艘船由A港沿北偏东60。方向航行30km至2港，然后再沿北偏西30。方向航行40km至C港，则

A,C两港之间的距离为km.

【答案】50

【分析】根据题意画出图形，易证△力BC是直角三角形，利用勾股定理即可求解.

【详解】如图，根据题意，得4NIIBM,ANAB=60°,NMBC=30。，AB=30km,BC=40km

'：AN\\BM

=180°-4NAB=180°-60°=120°

：.^ABC=^ABM-乙MBC=120°-30°=90°

在RtAABC中，AC=>JAB2+BC2=V302+402=50（km）

即A,C两港之间的距离为50km.

故答案为：50

【点睛】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明AABC是直角三角形是解题的关键.

【变式演练】

1.（2023・陕西模拟）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容

器底部3cm的点8处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行

的最短路径是—.

蚂蚁力

B

【答案】13cm/13厘米

【分析】如图，将容器侧面展开，作点A关于EF的对称点4,根据两点之间线段最短可知4B的长度即为所求.

【详解】解：如图：

•.•高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点2处有一饭粒，

此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，

二将容器侧面展开，作A关于EF的对称点4,连接4B,贝IJ4B即为最短距离，

：.A'D=5cm,BD=12-3+AE=12(cm),

J.A'B=>JA'D2+BD2=V52+122=13(cm),

即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是13cm.

故答案为：13cm

【点睛】本题考查了轴对称的性质、平面展开一最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开图、熟练运用

相关知识是解题的关键.

2.(2023•北京模拟)一块木板如图所示，已知2B=4,BC=3,DC=12,AD=13,ZB=90°,求此木板的面

积.

【答案】24

【分析】连接4C,利用勾股定理解出直角三角形48c的斜边，通过三角形2CD的三边关系可确定它为直角三角形，木

板面积为这两三角形面积之差.

【详解】解：如图所示，连接4C,

•・,乙B=90°,AB=4,

AC=y/AB2+BC2=5,

vDC=12,AD=13,

DC2+AC2=52+122=169=132,

.•.△4DC是直角三角形，

11

S木板=SAADC—SMBC=3X5x12-5X3x4=24.

故答案为：24.

【点睛】本题考查正确运用勾股定理及其勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

题型07与三角形有关的折叠问题

【解题策略】

利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤:

1）运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；

2）在图形中找到一个直角三角形（选不以折痕为边的直角三角形），然后设图形中某一线段的长为x,将此直角三角

形的三边长用数或含有x的代数式表示出来；

3）利用勾股定理列方程求出x；

4）进行相关计算解决问题.

【典例分析】

1.（2024・四川模拟）如图，AABC中，N4CB=90。,4。=8,BC=6,将AADE沿。E翻折，使点A与点8重合，贝U

CE的长为（）

AA.—19B.2D

8c?-；

【答案】D

【分析】先在网1BC中利用勾股定理计算出AB=10,再利用折叠的性质得到AE=8E,AD=BD=5,设AE=_r,则

CE=AC-AES-x,BE=x,在尺公BCE中根据勾股定理可得到/=62+（8-x）2,解得x,可得CE.

【详解】解：VZACB=90°,AC=8,BC=6,

：.AB=>JAC2+BC2=10,

△AQE沿OE翻折，使点A与点8重合,

・•.但BE,AD=BD^AB=5,

设AE=x,贝!ICE=AC-AE=8-无，BE=x,

在RtXBCE中

222

"：BE=BC+CE,

.*.X2=62+(8-X)2»解得x=空,

4

257

・•・CE=8--=-

44

故选：D.

【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等.也考查了勾股定理.

2.（2024.重庆模拟）如图，在放△ABC中，ZACB=90°,AB=5,AC=3,点。是8C上一动点，连接A。，将4

AC。沿折叠，点C落在点E处，连接。E交4B于点尸，当/。胡是直角时，。尸的长为（）.

c

33

A.5B.3C.-D.-

24

【答案】c

【分析】如图，由题意知乙4ED=NC=90。，AE=AC=3,DE=CD,AAED=Z.DEB=90°,可知4、E、B三点共

线，E与尸重合，在RtAABC中，由勾股定理得BC=7AB2-4c2,求BC的值，设DF=DE=CD=x,BD=4-x,

在RtABDE中，由勾股定理得BE?=B"一。52,计算求解即可.

【详解】解：如图，

是直角

:.乙DEB=90°

由题意知N4ED=ZC=90°,AE=AC=3,DE=CD

：.^AED=乙DEB=90°

二力、E、B三点共线

...E与F重合

在RtAABC中，由勾股定理得BC=7AB2-4(72=4

设DF=DE=CD=x,BD=4-x

在Rt△BDE中，由勾股定理得8产=BD2-DE2^22=(4-x)2-x2

解得X=I

.♦.OF的长为|

故选C.

【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识.解题的关键在于明确2、E、B三点共线，E与尸重合.

【变式演练】

1.（2024•广东模拟）如图，在△A8C中，ZC=90°,AC=8,AB=10,。是AC上一点，且CO=3,E是BC边上一

点，将△DCE沿。E折叠，使点C落在点尸处，连接BR则8尸的最小值为_____

:

cEB

【答案】3西一3/-3+3西

【分析】先由折叠判断出产的运动轨迹是为以。为圆心，CD的长度为半径的圆，当8、D、b共线且尸在8、。之间

时8尸最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时8。、8月的长度即可.

【详解】解：由折叠知，尸点的运动轨迹为：以。为圆心，C。的长度为半径的圆,如图所示，

CB

可知，当点8、D、F共线，且尸在2、。之间时，取最小值，

,/ZC=90°,AC=8,AB=10,

：.BC=6,

在Rt/\BCD中，由勾股定理得：BD=y/CD2+BC2=V32+62=3V5,

:.BF=BD-DF=3乘-3,

故答案为：一3.

【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中考常考题

型，根据折叠确定出厂点运动轨迹是解题关键.

2.(2023・安徽模拟)如图，在直角三角形纸片ABC中，乙4cB=90。，AC=3,BC=4,点。在边上，以CD为折

痕将△CBD折叠得到△CDF,CF与边4B交于点E,当DF14B时，BD的长是.

【答案】|

【分析】作CH1AB于H,由勾股定理得4B=5,由等面积法可得CH=芳，由同角的余角相等可得4力CH=KB,由

折叠的性质可得ZB=NF,4DCE=3CB,由等角的余角相等可得乙F=NHCE,从而得出乙4cH=NHCE,进而得

出NHCD=45。，△”(?£)为等腰直角三角形，则C”=DH=苦，由勾股定理可得AH=g,最后由BD=-4H-

进行计算即可得到答案.

【详解】解：如图，作CH1AB于H,

在RtAACB中，AC=3,BC=4,

•••AB=yJAC2+BC2=V32+42=5,

•••ShABC=\AC-BC=\AB-CH,

…rACBC3X412

・•・CH=---=——=—,

AB55

•・・乙ACB=Z.AHC=90°,

・•・乙ACH+乙BCH=90°,Z.BCH+=90°,

・•・Z,ACH=乙B,

由折叠的性质可得：乙B=LF,ADCE=/.DCB,

:.Z-ACH=(B=Z-F,

•・•FD1AB,

・•・乙FDE=90°,

・•.Z.F+乙FED=90°,

•・・Z-HCE+MEH=90°,乙FED=乙CEH,

・•・乙F=乙HCE,

・•・Z,ACH=乙HCE,

•・•乙DCE=乙DCB,4ACH+乙HCE+乙DCE+乙DCB=90°,

-1-1

乙HCD=乙HCE+Z.DCE=+乙BCE)=^ACB=45°,

CDH为等腰直角三角形，

12

:.HC=HD=y,

•••AH=y/AC2-CH2=J32-(蓑7=

9174

BD=AB-AH-DH=5----=-

555f

故答案为：

【点睛】本题主要考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质、同角或等角的余角相等、勾股定理，熟练掌握

折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质、同角或等角的余角相等，是解题的关键.

中考练场

1.（2023・天津）如图，在正方形ABCD中，点、E,N,P,G分别在边AB,BC,CD,D4上，点M,F,Q都在对角线BD

S/

上，且四边形MNPQ和4EFG均为正方形，则卢里丝丝的值等于.

正方形AEFG

【答案w

【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的面积的计算，熟练掌握等腰直角三角形

的性质是解题的关键.根据辅助线的性质得到N4BD=MBD=45°,四边形MNPQ和4EFG均为正方形，推出△3即与4

BMN是等腰直角三角形，于是得到FE=BE=AE=^48,BM=MN=QM,同理。Q=MQ,即可得到结论.

【解答】

解：由题意易得DQ=PQ=QM=MN=MB=DG=GF=GA=AE=BE=^AB.

S正方形MNPQ=MN2=-AB2,

S正方形AEFG二.

c

.正方形MNPQ_21_8

S