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文档简介
备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用)
专题33四边形压轴综合问题
一、解答题
1.(2022•甘肃兰州•中考真题)综合与实践,【问题情境】:数学活动课上,老师出示了一个问题:如图1,
在正方形ABC。中,E是的中点,AE1EP,EP与正方形的外角△DCG的平分线交于尸点.试猜想AE
与EP的数量关系,并加以证明;
图1图2
图3
(1)【思考尝试】同学们发现,取A8的中点孔连接EF可以解决这个问题.请在图1中补全图形,解答老
师提出的问题.
(2)【实践探究】希望小组受此问题启发,逆向思考这个题目,并提出新的问题:如图2,在正方形ABC。
中,E为BC边上一动点、(点E,8不重合),△力EP是等腰直角三角形,^AEP=90°,连接CP,可以求出
NDCP的大小,请你思考并解答这个问题.
(3)【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题,发现并提出新的探究点:如图3,在正方形
ABCD^,E为BC边上一动点、(点E,B不重合),△4EP是等腰直角三角形,NAEP=90。,连接。P.知
道正方形的边长时,可以求出AADP周长的最小值.当力B=4时,请你求出AADP周长的最小值.
2.(2022・广东广州•中考真题)如图,在菱形ABCD中,ZBAD=120°,AB=6,连接8。.
⑴求的长;
(2)点E为线段8。上一动点(不与点8,。重合),点尸在边A。上,且8£=百。乩
①当CELA8时,求四边形ABEF的面积;
②当四边形A8E尸的面积取得最小值时,CE+BCT的值是否也最小?如果是,求CE+gCF的最小值;如
果不是,请说明理由.
3.(2022・上海.中考真题)平行四边形A8CD,若P为8c中点,4P交BD于点E,连接CE.
AA-------刁。
⑴若4E=CE,
①证明ABC。为菱形;
②若力B=5,AE=3,求8。的长.
(2)以4为圆心,4E为半径,B为圆心,BE为半径作圆,两圆另一交点记为点F,且CE=&4E.若F在直线
CE上,求黑的值.
4.(2022•黑龙江齐齐哈尔•中考真题)综合与实践
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学.数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中
去发现其中的位置关系和数量关系,让我们在学习与探索中发现数学的美,体会数学实践活动带给我们的
乐趣.
如图①,在矩形ABC。中,点、E、F、G分别为边3C、AB,的中点,连接斯、DF,X为。尸的中点,
连接GH.将ABEF绕点8旋转,线段。尸、GH和CE的位置和长度也随之变化.当△绕点B顺时针旋
转90。时,请解决下列问题:
(1)图②中,AB=BC,此时点E落在AB的延长线上,点厂落在线段3C上,连接猜想G8与CE之间的
数量关系,并证明你的猜想;
(2)图③中,AB=2,BC=3,贝|噂=_________;
CE
(3)当A5=m〃时.—=.
CE
(4)在(2)的条件下,连接图③中矩形的对角线AC,并沿对角线AC剪开,得△ABC(如图④).点M、N
分别在AC、BCE连接MN,将ACMN沿MN翻折,使点C的对应点P落在AB的延长线上,若平
分/APN,则CM长为.
5.(2022•吉林长春•中考真题)【探索发现】在一次折纸活动中,小亮同学选用了常见的A4纸,如图①,矩
形ABCD为它的示意图.他查找了A4纸的相关资料,根据资料显示得出图①中4D=/4B.他先将A4纸
沿过点A的直线折叠,使点B落在4。上,点2的对应点为点E,折痕为4F;再沿过点尸的直线折叠,使点
C落在EF上,点C的对应点为点X,折痕为FG;然后连结4G,沿4G所在的直线再次折叠,发现点。与点
尸重合,进而猜想ANDGmAaFG.
【问题解决】
(1)小亮对上面△力DG三AAFG的猜想进行了证明,下面是部分证明过程:
证明:四边形48CD是矩形,
/.BAD=NB=NC=ND=90°.
____-1
由折叠可知,/-BAF=-^BAD=45°,^BFA=^EFA.
:.AEFA=Z-BFA=45°.
-'-AF=42AB=AD.
请你补全余下的证明过程.
【结论应用】
(2)/D4G的度数为________度,梨的值为_________;
AF
⑶在图①的条件下,点P在线段4F上,且力P=\AB,点Q在线段4G上,连结FQ、PQ,如图②,设AB=a,
则FQ+PQ的最小值为.(用含a的代数式表示)
6.(2022•吉林长春•中考真题)如图,在回ABCD中,AB=4,4D=BD=点〃为边力B的中点,动点
产从点A出发,沿折线4。-以每秒同个单位长度的速度向终点B运动,连结PM.作点A关于直线PM
的对称点A,连结AP、A'M.设点尸的运动时间为f秒.
(1)点。到边48的距离为;
(2)用含t的代数式表示线段OP的长;
(3)连结4。,当线段4。最短时,求ADPA的面积;
(4)当M、A、C三点共线时,直接写出t的值.
7.(2022•山东临沂•中考真题)已知AABC是等边三角形,点8,。关于直线AC对称,连接A。,CD.
(2)在线段AC上任取一点P(端点除外),连接PD将线段尸。绕点P逆时针旋转,使点。落在8A延长线
上的点。处.请探究:当点尸在线段AC上的位置发生变化时,ADPQ的大小是否发生变化?说明理由.
(3)在满足(2)的条件下,探究线段AQ与CP之间的数量关系,并加以证明.
8.(2022•内蒙古通辽•中考真题)已知点E在正方形A8CD的对角线4C上,正方形2FEG与正方形力BCD有公
共点4
(1)如图1,当点G在4。上,尸在4B上,求信的值为多少;
⑵将正方形力FEG绕4点逆时针方向旋转a(0。<a<90。),如图2,求:器的值为多少;
Du
(3)48=8vLAG=~AD,将正方形力FEG绕4逆时针方向旋转a(0。<a<360°),当C,G,E三点共线时,
请直接写出DG的长度.
9.(2022・广西・中考真题)已知NMON=a,点A,8分别在射线。M,ON上运动,AB=6.
图①图②图③
⑴如图①,若a=90°,取AB中点D,点A,B运动时,点D也随之运动,点A,2,。的对应点分别为A,
连接。D,。。'.判断。。与。。有什么数量关系?证明你的结论:
(2)如图②,若a=60。,以A8为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC,求点。与点C的最大距离:
(3)如图③,若a=45。,当点A,2运动到什么位置时,△20B的面积最大?请说明理由,并求出△AOB面积
的最大值.
10.(2022・辽宁•中考真题)如图,在AZBC中,AB=AC=245,BC=4,D,E,尸分别为4C,4的中
点,连接DE,DF.
AAA
M
C
Q,NFZN
El图2图3
(1)如图1,求证:DF=-DE;
2
(2)如图2,将NEDF绕点。顺时针旋转一定角度,得到NPDQ,当射线0P交4B于点G,射线DQ交BC于点N
时,连接FE并延长交射线DP于点判断FN与EM的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,在(2)的条件下,当DPI4B时,求ON的长.
11.(2022・贵州贵阳・中考真题)小红根据学习轴对称的经验,对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.
如图,在口48。£>中,2N为BC边上的高,^=m,点M在2D边上,且84=BM,点E是线段4M上任意一点,
AN
连接BE,将4ABE沿BE翻折得△FBE.
图①图②备用图
⑴问题解决:
如图①,当NB4D=60。,将AaBE沿BE翻折后,使点F与点M重合,则警=______;
AN
(2)问题探究:
如图②,当乙82。=45。,将A4BE沿BE翻折后,使求乙48E的度数,并求出此时小的最小值;
(3)拓展延伸:
当NB力D=30。,将AABE沿BE翻折后,若EF1AD,且2E=MD,根据题意在备用图中画出图形,并求出
小的值.
12.(2022・辽宁营口・中考真题)如图1,在正方形2BCD中,点M为CD边上一点,过点M作MN1CDS.DM=
MN,连接DN,BM,CN,点、P,Q分别为BM,CN的中点,连接PQ.
(1)证明:CM=2PQ;
(2)将图1中的AOMN绕正方形ABC。的顶点。顺时针旋转a((T<a<360。).
①(1)中的结论是否成立?若成立,请结合图2写出证明过程;若不成立,请说明理由;
②若力B=10,DM=2近,在ADMN绕点。旋转的过程中,当8,M,N三点共线时,请直接写出线段PQ的
长.
13.(2022•福建・中考真题)已知△ABC三△DEC,AB=AC,AB>BC.
图1图2图3
(1)如图1,CB平分NACD求证:四边形A8OC是菱形;
(2)如图2,将(1)中的△CDE绕点C逆时针旋转(旋转角小于NBAC),BC,OE的延长线相交于点尸,用
等式表示/ACE与NEFC之间的数量关系,并证明;
(3)如图3,将(1)中的△CDE绕点C顺时针旋转(旋转角小于NA8C),若4BAD=4BCD,求NADB的度
数.
14.(2022・湖南永州•中考真题)为提高耕地灌溉效率,小明的爸妈准备在耕地4、B、C、D四个位置安装四
个自动喷酒装置(如图1所示),A、B、C、。四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上,为了用水管
将四个自动喷洒装置相互连通,爸妈设计了如下两个水管铺设方案(各图中实线为铺设的水管).
方案一:如图2所示,沿正方形4BCD的三边铺设水管;
方案二:如图3所示,沿正方形力BCD的两条对角线铺设水管.
(1)请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短;
(2)小明看了爸妈的方案后,根据“蜂集原理”重新设计了一个方案(如图4所示),
满足N4EB=乙CFD=120°,AE=BE=CF=DF,EFnAD,请将小明的方案与爸妈的方案比较,判断谁
的方案中铺设水管的总长度更短,并说明理由.(参考数据:&=1.4,V3«1.7)
15.(2022.江苏常州•中考真题)在四边形48CD中,。是边BC上的一点.若AOABmAOCD,则点。叫做该
四边形的“等形点”.
(1)正方形“等形点”(填“存在”或“不存在”);
(2)如图,在四边形4BCD中,边BC上的点。是四边形28CD的“等形点”.己知CD=4&,OA=5,BC=12,
连接AC,求AC的长;
(3)在四边形EFGH中,EH//FG.若边FG上的点。是四边形EFGH的“等形点”,求黑的值.
16.(2022・四川内江・中考真题)如图,在矩形ABC。中,AB=6,8c=4,点M、N分别在A8、AO上,且
点E为8的中点,连接BE交于点?
(1)当尸为BE的中点时,求证:AM=CE-,
⑵若%2,求黑的值;
(3)若MN〃BE,求瑞的值.
17.(2022.贵州铜仁•中考真题)如图,在四边形力BCD中,对角线力C与BD相交于点O,记AC。。的面积为S「
△4。3的面积为52.
(1)问题解决:如图①,若ABHCD,求证:?=鬻
>2U/i'UD
(2)探索推广:如图②,若48与CD不平行,(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说
明理由.
(3)拓展应用:如图③,在04上取一点E,使。E=OC,过点E作EF||CD交。。于点R点”为力B的中点,
OH交EF于点、G,且。G=2GH,若詈=|,求覆.
C
18.(2022•黑龙江哈尔滨.中考真题)已知矩形ABCD的对角线4&BD相交于点。,点E是边力。上一点,连
接BE,CE,OE,且BE=CE.
(1)如图1,求证:△BEOmACE。;
(2)如图2,设BE与力C相交于点尸,CE与BD相交于点H,过点。作4C的平行线交BE的延长线于点G,在不
添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中的四个三角形(AAEF除外),使写出的每个三角形的面积都
与AaEF的面积相等.
19.(2022・四川成都・中考真题)如图,在矩形2BCD中,AD=>1),点E是4D边上一动点(点E不
与4,。重合),连接BE,以BE为边在直线8E的右侧作矩形EBFG,使得矩形EBFG-矩形成。。,EG交直线
CD于点H.
⑴【尝试初探】在点E的运动过程中,AABE与ADEH始终保持相似关系,请说明理由.
(2)【深入探究】若n=2,随着E点位置的变化,”点的位置随之发生变化,当H是线段CD中点时,求tan/ABE
的值.
(3)【拓展延伸】连接FH,当ABF"是以FH为腰的等腰三角形时,求tan乙48E的值(用含n的代数式表
示).
20.(2022•内蒙古赤峰•中考真题)同学们还记得吗?图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我
们研究过的两个图形.受这两个图形的启发,数学兴趣小组提出了以下三个问题,请你回答:
(1)【问题一】如图①,正方形4BCD的对角线相交于点。,点。又是正方形ABiQ。的一个顶点,。公交力B于
点E,0cl交BC于点F,贝田E与BF的数量关系为;
(2)【问题二】受图①启发,兴趣小组画出了图③:直线加、门经过正方形48CD的对称中心。,直线小分别与
AD.BC交于点E、F,直线n分另I]与AB、CD交于点G、H,S.mln,若正方形4BCD边长为8,求四边形。E4G
的面积;
m
图③'
(3)【问题三】受图②启发,兴趣小组画出了图④:正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上,顶点E在
BC的延长线上,且8c=6,CE=2.在直线BE上是否存在点P,使AZP尸为直角三角形?若存在,求出BP
的长度;若不存在,说明理由.
图④
21.(2022•内蒙古包头•中考真题)如图,在平行四边形4BC。中,2C是一条对角线,且4B=4C=5,BC=6,
E,F是4。边上两点,点F在点E的右侧,AE=DF,连接CE,CE的延长线与84的延长线相交于点G.
(1)如图1,“是BC边上一点,连接AM,MF,MF与CE相交于点N.
①若2E=|,求4G的长;
②在满足①的条件下,若EN=NC,求证:AM1BC;
(2)如图2,连接GF,H是GF上一点,连接若乙EHG=LEFG+乙CEF,且HF=2GH,求EF的长.
22.(2022・海南・中考真题)如图1,矩形4BCD中,AB=6,4。=8,点尸在边BC上,且不与点8、C重合,
直线力P与DC的延长线交于点E.
(1)当点P是BC的中点时,求证:4ABP34ECP;
⑵将△力PB沿直线4P折叠得到点8'落在矩形4BCD的内部,延长PB'交直线4。于点尸.
①证明R4=FP,并求出在(1)条件下力F的值;
②连接B'C,求APCB,周长的最小值;
③如图2,BB'交AE于点H,点G是4E的中点,当/瓦48'=2N4EB,时,请判断与HG的数量关系,并说
明理由.
23.(2022.黑龙江绥化•中考真题)我们可以通过面积运算的方法,得到等腰三角形底边上的任意一点到两
腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系,并利用这个关系解决相关问题.
(1)如图一,在等腰A/IBC中,AB=AC,BC边上有一点。,过点。作DE14B于E,DF1F,过点C
作CG148于G.利用面积证明:DE+DF=CG.
(2)如图二,将矩形ABCD沿着EF折叠,使点A与点C重合,点B落在B'处,点G为折痕EF上一点,过点G
作GMJ.FC于M,GN1BC于N.若BC=8,BE=3,求GM+GN的长.
(3)如图三,在四边形4BCD中,E为线段BC上的一点,EALAB,ED1CD,连接BD,且差=翌,BC=同,
CDDE
CD=3,BD=6,求ED+EA的长.
24.(2022.河南•中考真题)综合与实践
综合与实践课上,老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.
(1)操作判断
操作一:对折矩形纸片A8CD,使与8c重合,得到折痕EF,把纸片展平;
操作二:在上选一点P,沿8尸折叠,使点A落在矩形内部点M处,把纸片展平,连接PM,BM.
根据以上操作,当点〃在环上时,写出图1中一个30。的角:.
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片,继续探究,过程如下:
将正方形纸片ABCO按照(1)中的方式操作,并延长PM交。于点°,连接8。.
①如图2,当点M在上时,NMBQ=°,ZCBQ=°;
②改变点P在上的位置(点P不与点A,。重合),如图3,判断与的数量关系,并说明
理由.
(3)拓展应用
在(2)的探究中,已知正方形纸片ABC。的边长为8cm,当FQ=lcm时,直接写出AP的长.
备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用)
专题33四边形压轴综合问题
一、解答题
1.(2022.甘肃兰州•中考真题)综合与实践,【问题情境】:数学活动课上,老师出示了一个
问题:如图1,在正方形A8CD中,E是8c的中点,AELEP,EP与正方形的外角△DCG的
平分线交于尸点.试猜想AE与EP的数量关系,并加以证明;
图3
(1)【思考尝试】同学们发现,取的中点R连接斯可以解决这个问题.请在图1中补
全图形,解答老师提出的问题.
(2)【实践探究】希望小组受此问题启发,逆向思考这个题目,并提出新的问题:如图2,在
正方形A8CD中,E为边上一动点(点E,B不重合),△力EP是等腰直角三角形,4AEP=
90。,连接CP,可以求出4DCP的大小,请你思考并解答这个问题.
(3)【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题,发现并提出新的探究点:如
图3,在正方形ABC。中,E为8C边上一动点(点E,B不重合),A2EP是等腰直角三角
形,乙AEP=90°,连接。尸.知道正方形的边长时,可以求出AADP周长的最小值.当月B=4
时,请你求出△力DP周长的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2)45°,理由见解析
(3)4+4而,理由见解析
【解析】
【分析】
(1)取的中点F,连接EE利用同角的余角相等说明/PEC=/8AE,再根据ASA证
明AAFE丝得AE=EP;
(2)在AB上取AF=EC,连接ER由(1)同理可得NCEP=NE4E,则△R4E02XCEP
(SAS),再说明△2所是等腰直角三角形即可得出答案;
(3)作。GLCP,交BC的延长线于G,交CP于。,连接AG,则△DCG是等腰直角三角
形,可知点。与G关于CP对称,则4尸+。尸的最小值为AG的长,利用勾股定理求出AG,
进而得出答案.
(1)
解:AE=EP,
理由如下:取的中点R连接ER
E分别为AB、BC的中点,
:.AF=BF=BE=CE,
:.ZBFE=45°,
:.ZAF£=135°,
:。平分N£>CG,
:.ZDCP=45°,
/.Z£CP=135°,
ZAFE=ZECP,
':AE±PE,
:.ZAEP=90°,
:.ZAEB+ZPEC^90°,
:ZAEB+ZBAE=90°,
:.ZPEC=ZBAE,
:.AAFE^AECP(ASA),
:.AE=EP;
(2)
解:在AB上取AF=EC,连接EF,
图2
由(1)同理可得/CEP=N/^E,
':AF=EC,AE=EP,
:.^\FAE^/\CEP(SAS),
:.ZECP=ZAFE,
\"AF=EC,AB=BC,
:.BF=BE,
NBEF=NBFE=45。,
:.ZAFE=135°,
AZ£CP=135°,
:.ZDCP=45°;
(3)
解:作。GLCP,交8c的延长线于G,交CP于O,连接AG,
图3
由(2)知,Z£>CP=45°,
:.ZCDG=45°,
...△OCG是等腰直角三角形,
...点。与G关于CP对称,
:.AP+DP的最小值为AG的长,
':AB=4,
,BG=8,
由勾股定理得AG=4V5,
.♦.△AZ)尸周长的最小值为AZ)+AG=4+4V5.
【点睛】
本题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质,轴对称-最短路线问题,全等三角形的判
定与性质,等腰直角三角形的判定与性质等知识,作辅助线构造全等三角形是解题的关键.
2.(2022.广东广州.中考真题)如图,在菱形ABC。中,ZBAD=120°,AB=6,连接8。.
⑴求2。的长;
⑵点E为线段8。上一动点(不与点8,。重合),点尸在边上,且BE二回F,
①当CELAB时,求四边形ABE尸的面积;
②当四边形ABEF的面积取得最小值时,CE+gCP的值是否也最小?如果是,CE+V3CF
的最小值;如果不是,请说明理由.
【答案】(1)8。=6V3;
⑵①四边形ABEF的面积为7百;②最小值为12
【解析】
【分析】
(1)证明△ABC是等边三角形,可得20=3V3,即可求解;
(2)过点E作的垂线,分别交AD和BC于点M,N,根据菱形的面积可求出MN=3百,
设BE=x,贝从而得到EM=MN-EN=3V^-再由8日=我。死可得。尸=当%,
从而得到四边形的面积s=S^ABD-SQEF=置万一3V3)2+等,①当CELAB时,
可得点£是△ABC重心,从而得到8E=CE=|B0qx3禽=2后即可求解;②作C/1_LAD
于“,可得当点E和尸分别到达点。和点H位置时,Cb和CE分别达到最小值;再由s=
g(x-3V3)2+^,可得当%=3H,即BE=38时,s达到最小值,从而得到此时点E
恰好在点。的位置,而点尸也恰好在点〃位置,即可求解.
(1)
解:连接AC,设AC与8。的交点为O,如图,
:四边形ABC。是菱形,
:.AC±BD,OA=OC,AB//CD,AC平分NZMB,
':zBAD^no°,
:.ZCAB=60°,
.♦.△ABC是等边三角形,
:.BO=ABsm600=6x圾3小
2
BD=2BO=6y/3;
(2)
解:如图,过点E作AO的垂线,分别交AO和于点M,N,
「△ABC是等边三角形,
:.AC=AB=6f
由(1)得:BD=643;
菱形ABC。中,对角线8。平分NA8C,AB//CD,BC=AB=6,
;・MN工BC,
・・・ZBAD=120°,
:.ZABC=60°,
:.ZEBN=30°;
:
.EN=2-BE
••,5菱形48口=之40.80=用'.8配
:.MN=3W,
设BE=x,贝i]EN=|x,
EM=MN-EN=3W--x,
2
,**S菱形ABCD=ADaMN=6X3V5=18V5,
S^ABD=芦菱形ABCD=9y[^,
,:BE=WDF,
、l
.,.DrF=-B=E=—\]3x,
V33
SADEF=(DF・EM=^•如%(3百_4)=-^x2+-x,
223\27122
记四边形A3切的面积为s,
22
.*.5=SAABD-SADEF=943-(--%+-X)=-(X-3V3)+-)
12212v74
•.•点E在2。上,且不在端点,...(KB欣BD,即0<x<6次;
①当CE_LA8时,
':OB±AC,
;.点E是小ABC重心,
:.BE=CE=lBO=lx3V3=2V3,
此时s-g(2V3-3V3)2+竽=7g,
.•.当CEL4B时,四边形ABE尸的面积为7百;
②作于X,如图,
'JCOLBD,CHLAD,而点E和尸分别在8。和A。上,
,当点E和尸分别到达点。和点”位置时,CF和CE分别达到最小值;
在菱形A8CD中,AB//CD,AD=CD,
':ZBAD=12Q°,
:.ZADC=6G°,
...△AC。是等边三角形,
:.AH=DH=3,
.,.C//=3A/3,
•••s聋(x-3遮)2+竽
.•.当X=3V5,即8£=3旧时,S达到最小值,
:BE5DF,
:.DF=3,
此时点E恰好在点。的位置,而点尸也恰好在点H位置,
当四边形面积取得最小值时,CE和CB也恰好同时达到最小值,
/.CE+V3CF的值达至I]最小,
其最小值为CO+^CH=3+V3x3b=12.
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质,等边三角形的判定和性质,二次函数的性质,三角形的重心,
解直角三角形等知识,熟练掌握菱形的性质,等边三角形的判定和性质,二次函数的性质,
三角形的重心,解直角三角形等知识是解题的关键.
3.(2022・上海・中考真题)平行四边形48CD,若P为BC中点,4P交BD于点E,连接CE.
⑴若4E=CE,
①证明48CD为菱形;
②若AB=5,AE=3,求BD的长.
(2)以4为圆心,4E为半径,8为圆心,BE为半径作圆,两圆另一交点记为点F,且CE=
V2AE.若F在直线CE上,求黑的值.
DC
【答案】(1)①见解析;②6a
⑵手
【解析】
【分析】
(1)①连接AC交于。,证440E之ACOMSSS),得/AOE=/COE,从而得NCOE=90。,
则ACL8D,即可由菱形的判定定理得出结论;
②先证点E是"BC的重心,由重心性质得BE=2OE,然后设OE=x,贝UBE=2x,在Rt^AOE
中,由勾股定理,得042=4屏0E2=32_X2=9-X2,在放"OB中,由勾股定理,得
。42=482_082=52一(3尤)2=25-9/,从而得9-N=25-9N,解得:下鱼,即可得O8=3x=3VL再由平
行四边形性质即可得出3。长;
(2)由。A与。B相交于£、F,得ABLER点E是△ABC的重心,又F在直线CE上,则
CG>AABC的中线,则AG=BG=-AB,根据重心性质得GE=-CE=^AE,CG=CE+GE=^AE,
2222
在MAAGE中,由勾股定理,得一GEE=AE2一(当E)2=UE2,则AG=^AE,所以
222
AB=2AG=^AE,在RdBGC中,由勾股定理,得BC2=BG2+CG2=UE2+(越人石)2=5AE2,
22
则BC=^AE,代入即可求得黑的值.
t>C
(1)
①证明:如图,连接AC交8£)于O,
:平行四边形4BCD,
OA=OC,
;AE=CE,OE=OE,
AAOE^ACOE(SSS),
ZAOE^ZCOE,
ZAOE+ZCOE=180°,
ZCOE=90°,
:.AC±BD,
;平行四边形4BCD,
,四边形4BCD是菱形;
@':OA=OC,
:.。8是AABC的中线,
;P为中点,
尸是△ABC的中线,
...点E是AABC的重心,
:.BE=2OE,
设OE=x,贝ijBE=2x,
在RfAAOE中,由勾股定理,得OA2=AE2-OE2=32-无2=9一无2,
在R/AAO8中,由勾股定理,得OA2=AB2_0B2=52_(3X)2=25-9X2,
9-x2-25-9x2,
解得:x=V2,
OB=3x=3版,
:平行四边形ABC。,
:.BD=2OB=6近;
(2)
解:如图,
:。A与。2相交于E、F,
:.AB.LEF,
由(1)②知点E是AABC的重心,
又尸在直线CE上,
,CG是AABC的中线,
:
.AG=BG=2-AB,GE=2-CE,
•/C£=V2AE,
:.GE=^AE,CG=CE+GE=^AE,
22
在汝A4GE中,由勾股定理,得
AG2=AE2-GEE=AE2-(^AE)-=^AE2,
.\AG=^AE,
2
:.AB=2AG=y/2AE,
在放A8GC中,由勾股定理,得
BC2=BG2+CG2=-AE2+(延AE)2=5AE2,
22
:・BCXAE,
・AB__五AE_V10
'.BC-\[SAE~5
【点睛】
本题考查平行四边形的性质,菱形的判定,重心的性质,勾股定理,相交两圆的公共弦的性
质,本题属圆与四边形综合题目,掌握相关性质是解题的关键,属是考常考题目.
4.(2022•黑龙江齐齐哈尔•中考真题)综合与实践
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学.数学实践活动有利于我们在图形运动
变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系,让我们在学习与探索中发现数学的美,体
会数学实践活动带给我们的乐趣.
如图①,在矩形ABC。中,点、E、F、G分别为边BC、AB,的中点,连接ERDF,H
为。尸的中点,连接GH.将ABEF绕点B旋转,线段。RGH和CE的位置和长度也随之
变化.当ABEF绕点8顺时针旋转90。时,请解决下列问题:
②
⑴图②中,AB=BC,此时点E落在AB的延长线上,点尸落在线段BC上,连接AF,猜想
GH与CE之间的数量关系,并证明你的猜想;
(2)图③中,AB=2,BC=3,贝1」整=__________;
CE
⑶当"时.—=.
CE
⑷在(2)的条件下,连接图③中矩形的对角线AC,并沿对角线AC剪开,得AABC(如图
④).点M、N分别在AC、BC±,连接MN,将ACMN沿MN翻折,使点C的对应点尸落
在4B的延长线上,若PM平分/APN,则CM长为.
【答案】(1)GH=|CE,证明见解析
⑷源
【解析】
【分析】
(1)先证明得AF=CE,再根据中位线性质得(?”三力尸,等量代换即可;
(2)连接A凡先证明△ABK-ACBE,得到A”"的比值,再根据中位线性质得GH^AF,
等量代换即可;
(3)连接AH先证明△ABFs^cBE,用含相、"的代数式表达出AF:CE的比值,再根据
中位线性质得等量代换即可;
(4)过M作于H,根据折叠性质得/C=/MPN,根据角平分线证明出/C=/PA〃/,
设CM=PM=x,HM=y,根据三角函数定义找到x、y之间的关系,再利用△AMWSZ\ABC,
得到翳=槊,代入解方程即可.
(1)
解:GH=^CE,理由如下:
•:AB=BC,四边形A3CZ)为矩形,
.••四边形ABCZ)为正方形,
ZABC=ZCBE=90°,
,:E、F为BC,A8中点,
:.BE=BF,
:.&ABF丝KCBE,
:.AF^CE,
为DP中点,G为AD中点,
:.GH^-AF,
2
:.GH=-CE.
2
(2)
解AT,:而GH=?1
连接AF如图所示,
11R
由题意知,BF=j715=1,B£=|BC=|,
.AB_BF_2
**BC~BE~3f
由矩形ABC。性质及旋转知,ZABC=ZCBE=90°,
bABFsxCBE,
:.AF:CE=2:3,
为A。中点,H为DE中点,
:.GH^-AF,
2
.GH_1
••——.
CE3
故答案为:,
(3)
解:苗=手,
连接AF如图所示,
由题意知,BF=^AB=^,BE=^BC=^,
・AB_BF_m
*9BC~BE~n9
由矩形ABC。性质及旋转知,ZABC=ZCBE=90°,
,八ABFs^CBE,
•'•AF:CE=m:n,
:G为AO中点,”为。尸中点,
:.GH=-AF,
2
•.G•H-=—m.
CE2n
故答案为:京
(4)
解:过M作于",如图所示,
由折叠知,CM=PM,ZC=ZMPN,
:PM平分/APN,
:.ZAPM=ZMPN,
:.ZC=ZAPM,
\"AB=2,BC=3,
•'-AC=V22+32=A/13,
设尤,HM=y,
ADLIl\A
由sin4c=sin乙4PM知,一=—,
ACPM
即言w,厂备,
,:HM〃BC,
:.AAHMSAABC,
,HM_AM
••—,
BCAC
即2=小,y=*x3,
3V13V13
.V13-Xc2x
•,^rx3=^'
解得:x=^i,
故答案为:哼1
【点睛】
本题考查了正方形性质、三角形中位线性质、折叠性质、全等三角形判定与性质、相似三角
形的性质与判定、三角函数定义等知识点,找到相似三角形是解题关键.
5.(2022・吉林长春•中考真题)【探索发现】在一次折纸活动中,小亮同学选用了常见的A4
纸,如图①,矩形力BCD为它的示意图.他查找了A4纸的相关资料,根据资料显示得出图
①中AD=VL4B.他先将A4纸沿过点A的直线折叠,使点8落在力D上,点8的对应点为
点、E,折痕为4F;再沿过点尸的直线折叠,使点C落在EF上,点C的对应点为点X,折痕
为FG;然后连结4G,沿4G所在的直线再次折叠,发现点。与点尸重合,进而猜想AADG三
LAFG.
【问题解决】
(1)小亮对上面AADG三AAFG的猜想进行了证明,下面是部分证明过程:
证明:四边形4BCD是矩形,
;.4BAD=NB=NC=ND=90°.
由折叠可知,4BAF=^BAD=45°,Z.BFA=^EFA.
:./-EFA=A.BFA=45°.
'-AF=42,AB=AD.
请你补全余下的证明过程.
【结论应用】
(2)zn4G的度数为________度,募的值为_________;
AF
⑶在图①的条件下,点P在线段力F上,且2P=^4B,点。在线段力G上,连结FQ、PQ,
如图②,设48=a,则FQ+PQ的最小值为.(用含。的代数式表示)
【答案】(1)见解析
⑵22.5。,V2-1.
(3号a
【解析】
【分析】
(1)根据折叠的性质可得AD=AF,/.AFG=AO=90°,由HL可证明结论;
(2)根据折叠的性质可得Nn4G=1H4F=22.5。;证明AGCF是等腰直角三角形,可求出
G尸的长,从而可得结论;
(3)根据题意可知点尸与点。关于AG对称,连接P£>,则PD为尸。+尸。的最小值,过点
尸作PRLAD,求出PR=AR=0a,求出。R,根据勾腰定理可得结论.
4
(1)
证明:四边形力BCD是矩形,
:./.BAD=NB=NC==90°.
由折叠可知,/-BAF=^ABAD=45°,Z.BFA=Z.EFA.
:.^EFA=4BFA=45°.
'-AF=V2XB=AD.
由折叠得,4CFG=乙GFH=45°,
:.^AFG=^AFE+AGFE=45°+45°=90°
:.^AFG=ND=90°
XAD=AF,AG=AG
:.^ADG三△4FG
(2)
由折叠得,ZBAF=Z.EAF,
又NBAF+AEAF=90°
NEAF=-^BAE=-X90°=45°,
22
由AADGmAAFG得,ZDAG=/.FAG=^Z.FAD=[x45°=22.5",
ZAFG=^ADG=90°,
又NAFB=45°
:.ZGFC=45°,
,ZFGC=45°,
GC=FC.
设48=x,则BF=x,AF=缶=AD=BC,
'-FC=BC-BF=V2x-x=(V2-l)x
GF=V2FC=(2-V2)x
:.牝=^^=&一1.
AFy[2x
(3)
如图,连接FD,
YDG=FG
;.AG是五。的垂直平分线,即点尸与点D关于AG轴对称,
连接PD交AG于点。,则产0+歹。的最小值为PD的长;
过点尸作PR14。交AD于点R,
':ADAF=Z.BAF=45°
/.ZAPR=45°.
:.AR=PR
又4R2+PR2=AP2=C)2=《
-'•AR=PR=-a,
4
•'•DRAD-AR=V2a--a=-V2a
44
在RtADPR中,DP2=AR?+PR2
:,DP=V4R2+pR2=J亭/+(呼a)2=ya
;.PQ+FQ的最小值为fa
【点睛】
本题主要考查了折叠的性质,全等三角形的判定与性质,最短路径问题,矩形的性质以及勾
股定理等知识,正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键.
6.(2022•吉林长春•中考真题)如图,在团4BCD中,AB=4,AD=BD=履,点M为边力B
的中点,动点尸从点A出发,沿折线AD-DB以每秒旧个单位长度的速度向终点8运动,
连结PM.作点A关于直线PM的对称点4,连结AP、A'M.设点尸的运动时间为/秒.
D
/2WMB
⑴点。到边AB的距离为;
(2)用含t的代数式表示线段DP的长;
⑶连结AD,当线段4。最短时,求ADPA的面积;
⑷当M、4、C三点共线时,直接写出f的值.
【答案】(1)3
(2)当0SE1时,DP-V13-V13t;当1<江2时,PD=V13t-V13;
(3)|
/八2T20
(4年或五
【解析】
【分析】
(1)连接根据等腰三角形的性质可得ZJMLAB,再由勾股定理,即可求解;
(2)分两种情况讨论:当0W日1时,点P在4。边上;当1〈日2时,点尸在8。边上,即
可求解;
(3)过点尸作PELQM于点E,根据题意可得点A的运动轨迹为以点M为圆心,AM长为
半径的圆,可得到当点。、A'、M三点共线时,线段4D最短,此时点尸在A。上,再证明
APDE^£\ADM,可得DE=3-3t,PE=2—2t,从而得到4E=DE-4。=2-33在
七△4PE中,由勾股定理可得t=|,即可求解;
(4)分两种情况讨论:当点4位于M、C之间时,此时点尸在上;当点A(2")位于C
M的延长线上时,此时点P在BD上,即可求解.
(1)
解:如图,连接AM,
':AB=4,AD=BD=同,点M为边4B的中点,
:.AM=BM=2,DMLAB,
-'-DM=y/AD2-AM2=3,
即点。到边AB的距离为3;
故答案为:3
(2)
解:根据题意得:当把区1时,点P在AO边上,
DP=V13-V13t;
当1<E2时,点P在2。边上,PD=Vnt—VI^;
综上所述,当0SV1时,£)P=V13-V13t;当1c仁2时,PD=V13C-V13;
(3)
1/作点A关于直线PM的对称点4,
:.A'M=AM=2,
,点A的运动轨迹为以点M为圆心,AM长为半径的圆,
,当点D、A'、M三点共线时,线段4D最短,此时点尸在AQ上,
:.A'D=1,
根据题意得:A'P=AP=V13t,£>P=V13-VT3t,
由(1)得:DMLAB,
':
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