中考数学必刷题分类专练：四边形压轴综合问题（原卷版+解析）

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）

专题33四边形压轴综合问题

一、解答题

1.（2022•甘肃兰州•中考真题）综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1,

在正方形ABC。中，E是的中点，AE1EP,EP与正方形的外角△DCG的平分线交于尸点.试猜想AE

与EP的数量关系，并加以证明；

图1图2

图3

（1）【思考尝试】同学们发现，取A8的中点孔连接EF可以解决这个问题.请在图1中补全图形，解答老

师提出的问题.

（2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2,在正方形ABC。

中，E为BC边上一动点、（点E,8不重合），△力EP是等腰直角三角形，^AEP=90°,连接CP,可以求出

NDCP的大小，请你思考并解答这个问题.

（3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3,在正方形

ABCD^,E为BC边上一动点、（点E,B不重合），△4EP是等腰直角三角形，NAEP=90。，连接。P.知

道正方形的边长时，可以求出AADP周长的最小值.当力B=4时，请你求出AADP周长的最小值.

2.（2022・广东广州•中考真题）如图，在菱形ABCD中,ZBAD=120°,AB=6,连接8。.

⑴求的长；

（2）点E为线段8。上一动点（不与点8,。重合），点尸在边A。上，且8£=百。乩

①当CELA8时，求四边形ABEF的面积；

②当四边形A8E尸的面积取得最小值时，CE+BCT的值是否也最小？如果是，求CE+gCF的最小值；如

果不是，请说明理由.

3.（2022・上海.中考真题）平行四边形A8CD,若P为8c中点，4P交BD于点E,连接CE.

AA-------刁。

⑴若4E=CE,

①证明ABC。为菱形；

②若力B=5,AE=3,求8。的长.

（2）以4为圆心，4E为半径，B为圆心，BE为半径作圆，两圆另一交点记为点F,且CE=&4E.若F在直线

CE上，求黑的值.

4.（2022•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）综合与实践

数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学.数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中

去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的

乐趣.

如图①，在矩形ABC。中，点、E、F、G分别为边3C、AB,的中点，连接斯、DF,X为。尸的中点，

连接GH.将ABEF绕点8旋转，线段。尸、GH和CE的位置和长度也随之变化.当△绕点B顺时针旋

转90。时，请解决下列问题：

(1)图②中，AB=BC,此时点E落在AB的延长线上，点厂落在线段3C上，连接猜想G8与CE之间的

数量关系，并证明你的猜想；

(2)图③中，AB=2,BC=3,贝|噂=_________；

CE

(3)当A5=m〃时.—=.

CE

(4)在(2)的条件下，连接图③中矩形的对角线AC,并沿对角线AC剪开，得△ABC(如图④).点M、N

分别在AC、BCE连接MN,将ACMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若平

分/APN,则CM长为.

5.(2022•吉林长春•中考真题)【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩

形ABCD为它的示意图.他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中4D=/4B.他先将A4纸

沿过点A的直线折叠，使点B落在4。上，点2的对应点为点E,折痕为4F；再沿过点尸的直线折叠，使点

C落在EF上，点C的对应点为点X,折痕为FG；然后连结4G,沿4G所在的直线再次折叠，发现点。与点

尸重合，进而猜想ANDGmAaFG.

【问题解决】

(1)小亮对上面△力DG三AAFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程:

证明：四边形48CD是矩形，

/.BAD=NB=NC=ND=90°.

____-1

由折叠可知，/-BAF=-^BAD=45°,^BFA=^EFA.

：.AEFA=Z-BFA=45°.

-'-AF=42AB=AD.

请你补全余下的证明过程.

【结论应用】

(2)/D4G的度数为________度，梨的值为_________；

AF

⑶在图①的条件下，点P在线段4F上，且力P=\AB,点Q在线段4G上，连结FQ、PQ,如图②，设AB=a,

则FQ+PQ的最小值为.(用含a的代数式表示)

6.(2022•吉林长春•中考真题)如图，在回ABCD中，AB=4,4D=BD=点〃为边力B的中点，动点

产从点A出发，沿折线4。-以每秒同个单位长度的速度向终点B运动，连结PM.作点A关于直线PM

的对称点A,连结AP、A'M.设点尸的运动时间为f秒.

(1)点。到边48的距离为；

(2)用含t的代数式表示线段OP的长；

(3)连结4。，当线段4。最短时，求ADPA的面积；

(4)当M、A、C三点共线时，直接写出t的值.

7.(2022•山东临沂•中考真题)已知AABC是等边三角形，点8,。关于直线AC对称，连接A。，CD.

(2)在线段AC上任取一点P(端点除外)，连接PD将线段尸。绕点P逆时针旋转，使点。落在8A延长线

上的点。处.请探究：当点尸在线段AC上的位置发生变化时，ADPQ的大小是否发生变化？说明理由.

(3)在满足(2)的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明.

8.(2022•内蒙古通辽•中考真题)已知点E在正方形A8CD的对角线4C上，正方形2FEG与正方形力BCD有公

共点4

(1)如图1,当点G在4。上，尸在4B上，求信的值为多少；

⑵将正方形力FEG绕4点逆时针方向旋转a(0。<a<90。)，如图2,求：器的值为多少；

Du

(3)48=8vLAG=~AD,将正方形力FEG绕4逆时针方向旋转a(0。<a<360°),当C,G,E三点共线时,

请直接写出DG的长度.

9.(2022・广西・中考真题)已知NMON=a,点A,8分别在射线。M,ON上运动，AB=6.

图①图②图③

⑴如图①,若a=90°,取AB中点D,点A,B运动时，点D也随之运动，点A,2,。的对应点分别为A,

连接。D,。。'.判断。。与。。有什么数量关系?证明你的结论：

(2)如图②，若a=60。，以A8为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC,求点。与点C的最大距离：

(3)如图③，若a=45。，当点A,2运动到什么位置时，△20B的面积最大?请说明理由，并求出△AOB面积

的最大值.

10.(2022・辽宁•中考真题)如图，在AZBC中，AB=AC=245,BC=4,D,E,尸分别为4C,4的中

点，连接DE,DF.

AAA

M

C

Q，NFZN

El图2图3

(1)如图1,求证：DF=-DE;

2

(2)如图2,将NEDF绕点。顺时针旋转一定角度，得到NPDQ,当射线0P交4B于点G,射线DQ交BC于点N

时，连接FE并延长交射线DP于点判断FN与EM的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,在(2)的条件下，当DPI4B时，求ON的长.

11.(2022・贵州贵阳・中考真题)小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.

如图，在口48。£＞中，2N为BC边上的高，^=m,点M在2D边上，且84=BM,点E是线段4M上任意一点，

AN

连接BE,将4ABE沿BE翻折得△FBE.

图①图②备用图

⑴问题解决：

如图①，当NB4D=60。，将AaBE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则警=______;

AN

(2)问题探究：

如图②，当乙82。=45。，将A4BE沿BE翻折后，使求乙48E的度数，并求出此时小的最小值；

(3)拓展延伸：

当NB力D=30。，将AABE沿BE翻折后，若EF1AD,且2E=MD,根据题意在备用图中画出图形，并求出

小的值.

12.(2022・辽宁营口・中考真题)如图1,在正方形2BCD中，点M为CD边上一点，过点M作MN1CDS.DM=

MN,连接DN,BM,CN,点、P,Q分别为BM,CN的中点，连接PQ.

(1)证明：CM=2PQ；

(2)将图1中的AOMN绕正方形ABC。的顶点。顺时针旋转a((T<a<360。).

①(1)中的结论是否成立？若成立，请结合图2写出证明过程；若不成立，请说明理由；

②若力B=10,DM=2近，在ADMN绕点。旋转的过程中，当8,M,N三点共线时，请直接写出线段PQ的

长.

13.(2022•福建・中考真题)已知△ABC三△DEC,AB=AC,AB>BC.

图1图2图3

(1)如图1,CB平分NACD求证：四边形A8OC是菱形；

(2)如图2,将(1)中的△CDE绕点C逆时针旋转(旋转角小于NBAC),BC,OE的延长线相交于点尸，用

等式表示/ACE与NEFC之间的数量关系，并证明；

(3)如图3,将(1)中的△CDE绕点C顺时针旋转(旋转角小于NA8C),若4BAD=4BCD,求NADB的度

数.

14.(2022・湖南永州•中考真题)为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地4、B、C、D四个位置安装四

个自动喷酒装置(如图1所示)，A、B、C、。四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管

将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）.

方案一：如图2所示，沿正方形4BCD的三边铺设水管；

方案二：如图3所示，沿正方形力BCD的两条对角线铺设水管.

（1）请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短；

（2）小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示），

满足N4EB=乙CFD=120°,AE=BE=CF=DF,EFnAD,请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁

的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由.（参考数据：&=1.4,V3«1.7）

15.（2022.江苏常州•中考真题）在四边形48CD中，。是边BC上的一点.若AOABmAOCD,则点。叫做该

四边形的“等形点”.

（1）正方形“等形点”（填“存在”或“不存在”）;

（2）如图，在四边形4BCD中，边BC上的点。是四边形28CD的“等形点”.己知CD=4&，OA=5,BC=12,

连接AC,求AC的长；

（3）在四边形EFGH中，EH//FG.若边FG上的点。是四边形EFGH的“等形点”，求黑的值.

16.（2022・四川内江・中考真题）如图，在矩形ABC。中，AB=6,8c=4,点M、N分别在A8、AO上，且

点E为8的中点，连接BE交于点?

（1）当尸为BE的中点时，求证：AM=CE-,

⑵若%2,求黑的值;

（3）若MN〃BE,求瑞的值.

17.（2022.贵州铜仁•中考真题）如图，在四边形力BCD中，对角线力C与BD相交于点O,记AC。。的面积为S「

△4。3的面积为52.

（1）问题解决：如图①，若ABHCD,求证：?=鬻

>2U/i'UD

（2）探索推广：如图②，若48与CD不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说

明理由.

（3）拓展应用：如图③，在04上取一点E,使。E=OC,过点E作EF||CD交。。于点R点”为力B的中点,

OH交EF于点、G,且。G=2GH,若詈=|，求覆.

C

18.（2022•黑龙江哈尔滨.中考真题）已知矩形ABCD的对角线4&BD相交于点。，点E是边力。上一点，连

接BE,CE,OE,且BE=CE.

（1）如图1,求证：△BEOmACE。；

（2）如图2,设BE与力C相交于点尸，CE与BD相交于点H,过点。作4C的平行线交BE的延长线于点G,在不

添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（AAEF除外），使写出的每个三角形的面积都

与AaEF的面积相等.

19.(2022・四川成都・中考真题)如图，在矩形2BCD中，AD=>1),点E是4D边上一动点(点E不

与4,。重合)，连接BE,以BE为边在直线8E的右侧作矩形EBFG,使得矩形EBFG-矩形成。。，EG交直线

CD于点H.

⑴【尝试初探】在点E的运动过程中，AABE与ADEH始终保持相似关系，请说明理由.

(2)【深入探究】若n=2,随着E点位置的变化，”点的位置随之发生变化，当H是线段CD中点时，求tan/ABE

的值.

(3)【拓展延伸】连接FH,当ABF"是以FH为腰的等腰三角形时，求tan乙48E的值(用含n的代数式表

示).

20.(2022•内蒙古赤峰•中考真题)同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我

们研究过的两个图形.受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：

(1)【问题一】如图①，正方形4BCD的对角线相交于点。，点。又是正方形ABiQ。的一个顶点，。公交力B于

点E,0cl交BC于点F,贝田E与BF的数量关系为；

(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线加、门经过正方形48CD的对称中心。，直线小分别与

AD.BC交于点E、F,直线n分另I］与AB、CD交于点G、H,S.mln,若正方形4BCD边长为8,求四边形。E4G

的面积;

m

图③'

(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在

BC的延长线上，且8c=6,CE=2.在直线BE上是否存在点P,使AZP尸为直角三角形？若存在，求出BP

的长度；若不存在，说明理由.

图④

21.(2022•内蒙古包头•中考真题)如图，在平行四边形4BC。中，2C是一条对角线，且4B=4C=5,BC=6,

E,F是4。边上两点，点F在点E的右侧，AE=DF,连接CE,CE的延长线与84的延长线相交于点G.

(1)如图1,“是BC边上一点，连接AM,MF,MF与CE相交于点N.

①若2E=|,求4G的长;

②在满足①的条件下，若EN=NC,求证：AM1BC；

(2)如图2,连接GF,H是GF上一点，连接若乙EHG=LEFG+乙CEF,且HF=2GH,求EF的长.

22.(2022・海南・中考真题)如图1,矩形4BCD中，AB=6,4。=8,点尸在边BC上，且不与点8、C重合,

直线力P与DC的延长线交于点E.

(1)当点P是BC的中点时，求证：4ABP34ECP；

⑵将△力PB沿直线4P折叠得到点8'落在矩形4BCD的内部，延长PB'交直线4。于点尸.

①证明R4=FP,并求出在(1)条件下力F的值；

②连接B'C,求APCB，周长的最小值；

③如图2,BB'交AE于点H,点G是4E的中点，当/瓦48'=2N4EB，时，请判断与HG的数量关系，并说

明理由.

23.(2022.黑龙江绥化•中考真题)我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两

腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题.

(1)如图一，在等腰A/IBC中，AB=AC,BC边上有一点。，过点。作DE14B于E,DF1F,过点C

作CG148于G.利用面积证明：DE+DF=CG.

(2)如图二，将矩形ABCD沿着EF折叠，使点A与点C重合，点B落在B'处，点G为折痕EF上一点，过点G

作GMJ.FC于M,GN1BC于N.若BC=8,BE=3,求GM+GN的长.

(3)如图三，在四边形4BCD中，E为线段BC上的一点，EALAB,ED1CD,连接BD,且差=翌，BC=同，

CDDE

CD=3,BD=6,求ED+EA的长.

24.(2022.河南•中考真题)综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.

(1)操作判断

操作一：对折矩形纸片A8CD,使与8c重合，得到折痕EF,把纸片展平；

操作二：在上选一点P,沿8尸折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM,BM.

根据以上操作，当点〃在环上时，写出图1中一个30。的角：.

(2)迁移探究

小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片ABCO按照(1)中的方式操作，并延长PM交。于点°,连接8。.

①如图2,当点M在上时，NMBQ=°,ZCBQ=°；

②改变点P在上的位置(点P不与点A，。重合)，如图3,判断与的数量关系，并说明

理由.

(3)拓展应用

在(2)的探究中，已知正方形纸片ABC。的边长为8cm,当FQ=lcm时，直接写出AP的长.

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）

专题33四边形压轴综合问题

一、解答题

1.（2022.甘肃兰州•中考真题）综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个

问题：如图1,在正方形A8CD中，E是8c的中点，AELEP,EP与正方形的外角△DCG的

平分线交于尸点.试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；

图3

（1）【思考尝试】同学们发现，取的中点R连接斯可以解决这个问题.请在图1中补

全图形，解答老师提出的问题.

（2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2,在

正方形A8CD中，E为边上一动点（点E,B不重合），△力EP是等腰直角三角形，4AEP=

90。，连接CP,可以求出4DCP的大小，请你思考并解答这个问题.

（3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如

图3,在正方形ABC。中，E为8C边上一动点（点E,B不重合），A2EP是等腰直角三角

形，乙AEP=90°,连接。尸.知道正方形的边长时，可以求出AADP周长的最小值.当月B=4

时，请你求出△力DP周长的最小值.

【答案】（1）答案见解析

（2）45°,理由见解析

(3)4+4而，理由见解析

【解析】

【分析】

(1)取的中点F，连接EE利用同角的余角相等说明/PEC=/8AE,再根据ASA证

明AAFE丝得AE=EP；

(2)在AB上取AF=EC,连接ER由(1)同理可得NCEP=NE4E,则△R4E02XCEP

(SAS),再说明△2所是等腰直角三角形即可得出答案；

(3)作。GLCP,交BC的延长线于G,交CP于。，连接AG,则△DCG是等腰直角三角

形，可知点。与G关于CP对称，则4尸+。尸的最小值为AG的长，利用勾股定理求出AG,

进而得出答案.

(1)

解：AE=EP,

理由如下：取的中点R连接ER

E分别为AB、BC的中点,

：.AF=BF=BE=CE,

：.ZBFE=45°,

：.ZAF£=135°,

:。平分N£>CG,

：.ZDCP=45°,

/.Z£CP=135°,

ZAFE=ZECP,

'：AE±PE,

：.ZAEP=90°,

：.ZAEB+ZPEC^90°,

:ZAEB+ZBAE=90°,

：.ZPEC=ZBAE,

：.AAFE^AECP(ASA),

：.AE=EP；

(2)

解：在AB上取AF=EC,连接EF,

图2

由(1)同理可得/CEP=N/^E,

'：AF=EC,AE=EP,

：.^\FAE^/\CEP(SAS),

：.ZECP=ZAFE,

\"AF=EC,AB=BC,

：.BF=BE,

NBEF=NBFE=45。,

：.ZAFE=135°,

AZ£CP=135°,

：.ZDCP=45°；

(3)

解：作。GLCP,交8c的延长线于G,交CP于O,连接AG,

图3

由(2)知，Z£>CP=45°,

：.ZCDG=45°,

...△OCG是等腰直角三角形，

...点。与G关于CP对称，

：.AP+DP的最小值为AG的长,

'：AB=4,

，BG=8,

由勾股定理得AG=4V5，

.♦.△AZ)尸周长的最小值为AZ)+AG=4+4V5.

【点睛】

本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，全等三角形的判

定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.

2.(2022.广东广州.中考真题)如图,在菱形ABC。中,ZBAD=120°,AB=6,连接8。.

⑴求2。的长；

⑵点E为线段8。上一动点(不与点8,。重合)，点尸在边上，且BE二回F,

①当CELAB时，求四边形ABE尸的面积；

②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+gCP的值是否也最小？如果是，CE+V3CF

的最小值；如果不是，请说明理由.

【答案】(1)8。=6V3;

⑵①四边形ABEF的面积为7百；②最小值为12

【解析】

【分析】

(1)证明△ABC是等边三角形，可得20=3V3,即可求解；

(2)过点E作的垂线，分别交AD和BC于点M,N,根据菱形的面积可求出MN=3百，

设BE=x,贝从而得到EM=MN-EN=3V^-再由8日=我。死可得。尸=当%，

从而得到四边形的面积s=S^ABD-SQEF=置万一3V3)2+等,①当CELAB时，

可得点£是△ABC重心，从而得到8E=CE=|B0qx3禽=2后即可求解；②作C/1_LAD

于“，可得当点E和尸分别到达点。和点H位置时，Cb和CE分别达到最小值；再由s=

g(x-3V3)2+^,可得当％=3H，即BE=38时，s达到最小值，从而得到此时点E

恰好在点。的位置，而点尸也恰好在点〃位置，即可求解.

(1)

解：连接AC,设AC与8。的交点为O,如图，

:四边形ABC。是菱形，

：.AC±BD,OA=OC,AB//CD,AC平分NZMB,

'：zBAD^no°,

：.ZCAB=60°,

.♦.△ABC是等边三角形，

：.BO=ABsm600=6x圾3小

2

BD=2BO=6y/3;

(2)

解：如图，过点E作AO的垂线，分别交AO和于点M,N,

「△ABC是等边三角形，

：.AC=AB=6f

由（1）得：BD=643;

菱形ABC。中，对角线8。平分NA8C,AB//CD,BC=AB=6,

；・MN工BC,

・・・ZBAD=120°,

：.ZABC=60°,

：.ZEBN=30°；

：

.EN=2-BE

••,5菱形48口=之40.80=用'.8配

:.MN=3W，

设BE=x,贝i]EN=|x,

EM=MN-EN=3W--x,

2

,**S菱形ABCD=ADaMN=6X3V5=18V5，

S^ABD=芦菱形ABCD=9y[^,

,:BE=WDF,

、l

.,.DrF=-B=E=—\]3x,

V33

SADEF=（DF・EM=^•如%（3百_4）=-^x2+-x,

223\27122

记四边形A3切的面积为s,

22

.*.5=SAABD-SADEF=943-（--%+-X）=-（X-3V3）+-）

12212v74

•.•点E在2。上，且不在端点，...（KB欣BD,即0<x<6次；

①当CE_LA8时，

'：OB±AC,

；.点E是小ABC重心，

：.BE=CE=lBO=lx3V3=2V3,

此时s-g（2V3-3V3）2+竽=7g，

.•.当CEL4B时，四边形ABE尸的面积为7百；

②作于X,如图，

'JCOLBD,CHLAD,而点E和尸分别在8。和A。上，

，当点E和尸分别到达点。和点”位置时，CF和CE分别达到最小值;

在菱形A8CD中，AB//CD,AD=CD,

'：ZBAD=12Q°,

：.ZADC=6G°,

...△AC。是等边三角形，

：.AH=DH=3,

.,.C//=3A/3,

•••s聋（x-3遮）2+竽

.•.当X=3V5，即8£=3旧时，S达到最小值，

:BE5DF,

：.DF=3,

此时点E恰好在点。的位置，而点尸也恰好在点H位置，

当四边形面积取得最小值时，CE和CB也恰好同时达到最小值，

/.CE+V3CF的值达至I］最小，

其最小值为CO+^CH=3+V3x3b=12.

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心,

解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质,

三角形的重心，解直角三角形等知识是解题的关键.

3.（2022・上海・中考真题）平行四边形48CD,若P为BC中点，4P交BD于点E,连接CE.

⑴若4E=CE,

①证明48CD为菱形；

②若AB=5,AE=3,求BD的长.

（2）以4为圆心，4E为半径，8为圆心，BE为半径作圆，两圆另一交点记为点F,且CE=

V2AE.若F在直线CE上，求黑的值.

DC

【答案】（1）①见解析；②6a

⑵手

【解析】

【分析】

（1）①连接AC交于。，证440E之ACOMSSS）,得/AOE=/COE,从而得NCOE=90。，

则ACL8D,即可由菱形的判定定理得出结论；

②先证点E是"BC的重心，由重心性质得BE=2OE,然后设OE=x,贝UBE=2x,在Rt^AOE

中，由勾股定理，得042=4屏0E2=32_X2=9-X2,在放"OB中，由勾股定理，得

。42=482_082=52一（3尤）2=25-9/,从而得9-N=25-9N,解得：下鱼,即可得O8=3x=3VL再由平

行四边形性质即可得出3。长；

（2）由。A与。B相交于£、F,得ABLER点E是△ABC的重心，又F在直线CE上，则

CG>AABC的中线,则AG=BG=-AB,根据重心性质得GE=-CE=^AE,CG=CE+GE=^AE,

2222

在MAAGE中，由勾股定理，得一GEE=AE2一（当E）2=UE2,则AG=^AE,所以

222

AB=2AG=^AE,在RdBGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=UE2+（越人石）2=5AE2,

22

则BC=^AE,代入即可求得黑的值.

t>C

（1）

①证明：如图，连接AC交8£）于O,

:平行四边形4BCD,

OA=OC,

；AE=CE,OE=OE,

AAOE^ACOE(SSS),

ZAOE^ZCOE,

ZAOE+ZCOE=180°,

ZCOE=90°,

：.AC±BD,

;平行四边形4BCD,

，四边形4BCD是菱形；

@'：OA=OC,

：.。8是AABC的中线，

；P为中点，

尸是△ABC的中线，

...点E是AABC的重心，

：.BE=2OE,

设OE=x,贝ijBE=2x,

在RfAAOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-无2=9一无2,

在R/AAO8中，由勾股定理，得OA2=AB2_0B2=52_(3X)2=25-9X2,

9-x2-25-9x2,

解得：x=V2,

OB=3x=3版,

:平行四边形ABC。,

:.BD=2OB=6近;

(2)

解：如图,

:。A与。2相交于E、F,

：.AB.LEF,

由(1)②知点E是AABC的重心，

又尸在直线CE上，

，CG是AABC的中线，

：

.AG=BG=2-AB,GE=2-CE,

•/C£=V2AE,

：.GE=^AE,CG=CE+GE=^AE,

22

在汝A4GE中，由勾股定理，得

AG2=AE2-GEE=AE2-(^AE)-=^AE2,

.\AG=^AE,

2

：.AB=2AG=y/2AE,

在放A8GC中，由勾股定理，得

BC2=BG2+CG2=-AE2+(延AE)2=5AE2,

22

:・BCXAE,

・AB__五AE_V10

'.BC-\[SAE~5

【点睛】

本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，重心的性质，勾股定理，相交两圆的公共弦的性

质，本题属圆与四边形综合题目，掌握相关性质是解题的关键，属是考常考题目.

4.（2022•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）综合与实践

数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学.数学实践活动有利于我们在图形运动

变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体

会数学实践活动带给我们的乐趣.

如图①，在矩形ABC。中，点、E、F、G分别为边BC、AB,的中点，连接ERDF,H

为。尸的中点，连接GH.将ABEF绕点B旋转,线段。RGH和CE的位置和长度也随之

变化.当ABEF绕点8顺时针旋转90。时，请解决下列问题：

②

⑴图②中，AB=BC,此时点E落在AB的延长线上，点尸落在线段BC上，连接AF,猜想

GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；

（2）图③中，AB=2,BC=3,贝1」整=__________；

CE

⑶当"时.—=.

CE

⑷在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC,并沿对角线AC剪开，得AABC（如图

④）.点M、N分别在AC、BC±,连接MN,将ACMN沿MN翻折，使点C的对应点尸落

在4B的延长线上，若PM平分/APN,则CM长为.

【答案】（1）GH=|CE,证明见解析

⑷源

【解析】

【分析】

（1）先证明得AF=CE,再根据中位线性质得（?”三力尸，等量代换即可;

(2)连接A凡先证明△ABK-ACBE,得到A”"的比值，再根据中位线性质得GH^AF,

等量代换即可；

(3)连接AH先证明△ABFs^cBE,用含相、"的代数式表达出AF：CE的比值，再根据

中位线性质得等量代换即可；

(4)过M作于H,根据折叠性质得/C=/MPN,根据角平分线证明出/C=/PA〃/,

设CM=PM=x,HM=y，根据三角函数定义找到x、y之间的关系，再利用△AMWSZ\ABC,

得到翳=槊，代入解方程即可.

(1)

解：GH=^CE,理由如下：

•：AB=BC,四边形A3CZ)为矩形，

.••四边形ABCZ)为正方形，

ZABC=ZCBE=90°,

,:E、F为BC,A8中点，

：.BE=BF,

：.&ABF丝KCBE,

：.AF^CE,

为DP中点,G为AD中点，

：.GH^-AF,

2

：.GH=-CE.

2

(2)

解AT,:而GH=?1

连接AF如图所示，

11R

由题意知，BF=j715=1,B£=|BC=|,

.AB_BF_2

**BC~BE~3f

由矩形ABC。性质及旋转知，ZABC=ZCBE=90°,

bABFsxCBE,

：.AF：CE=2:3,

为A。中点，H为DE中点,

：.GH^-AF,

2

.GH_1

••——.

CE3

故答案为：，

(3)

解：苗=手,

连接AF如图所示,

由题意知，BF=^AB=^,BE=^BC=^,

・AB_BF_m

*9BC~BE~n9

由矩形ABC。性质及旋转知，ZABC=ZCBE=90°,

，八ABFs^CBE,

•'•AF：CE=m：n,

：G为AO中点，”为。尸中点，

：.GH=-AF,

2

•.G•H-=—m.

CE2n

故答案为：京

(4)

解：过M作于"，如图所示，

由折叠知，CM=PM,ZC=ZMPN,

:PM平分/APN,

：.ZAPM=ZMPN,

：.ZC=ZAPM,

\"AB=2,BC=3,

•'-AC=V22+32=A/13,

设尤，HM=y,

ADLIl\A

由sin4c=sin乙4PM知，一=—，

ACPM

即言w，厂备，

,:HM〃BC,

：.AAHMSAABC,

,HM_AM

••—，

BCAC

即2=小，y=*x3,

3V13V13

.V13-Xc2x

•,^rx3=^'

解得：x=^i,

故答案为：哼1

【点睛】

本题考查了正方形性质、三角形中位线性质、折叠性质、全等三角形判定与性质、相似三角

形的性质与判定、三角函数定义等知识点，找到相似三角形是解题关键.

5.(2022・吉林长春•中考真题)【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4

纸，如图①，矩形力BCD为它的示意图.他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图

①中AD=VL4B.他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点8落在力D上，点8的对应点为

点、E,折痕为4F；再沿过点尸的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点X,折痕

为FG；然后连结4G,沿4G所在的直线再次折叠，发现点。与点尸重合，进而猜想AADG三

LAFG.

【问题解决】

(1)小亮对上面AADG三AAFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：

证明：四边形4BCD是矩形，

；.4BAD=NB=NC=ND=90°.

由折叠可知，4BAF=^BAD=45°,Z.BFA=^EFA.

：./-EFA=A.BFA=45°.

'-AF=42,AB=AD.

请你补全余下的证明过程.

【结论应用】

(2)zn4G的度数为________度，募的值为_________；

AF

⑶在图①的条件下，点P在线段力F上，且2P=^4B,点。在线段力G上，连结FQ、PQ,

如图②，设48=a,则FQ+PQ的最小值为.(用含。的代数式表示)

【答案】(1)见解析

⑵22.5。，V2-1.

(3号a

【解析】

【分析】

(1)根据折叠的性质可得AD=AF,/.AFG=AO=90°,由HL可证明结论；

(2)根据折叠的性质可得Nn4G=1H4F=22.5。；证明AGCF是等腰直角三角形，可求出

G尸的长，从而可得结论；

(3)根据题意可知点尸与点。关于AG对称，连接P£>,则PD为尸。+尸。的最小值，过点

尸作PRLAD,求出PR=AR=0a,求出。R,根据勾腰定理可得结论.

4

(1)

证明：四边形力BCD是矩形，

：./.BAD=NB=NC==90°.

由折叠可知，/-BAF=^ABAD=45°,Z.BFA=Z.EFA.

：.^EFA=4BFA=45°.

'-AF=V2XB=AD.

由折叠得，4CFG=乙GFH=45°,

：.^AFG=^AFE+AGFE=45°+45°=90°

：.^AFG=ND=90°

XAD=AF,AG=AG

：.^ADG三△4FG

(2)

由折叠得，ZBAF=Z.EAF,

又NBAF+AEAF=90°

NEAF=-^BAE=-X90°=45°,

22

由AADGmAAFG得,ZDAG=/.FAG=^Z.FAD=[x45°=22.5",

ZAFG=^ADG=90°,

又NAFB=45°

：.ZGFC=45°,

，ZFGC=45°,

GC=FC.

设48=x,则BF=x,AF=缶=AD=BC,

'-FC=BC-BF=V2x-x=(V2-l)x

GF=V2FC=(2-V2)x

：.牝=^^=&一1.

AFy[2x

（3）

如图，连接FD,

YDG=FG

；.AG是五。的垂直平分线，即点尸与点D关于AG轴对称，

连接PD交AG于点。，则产0+歹。的最小值为PD的长；

过点尸作PR14。交AD于点R,

'：ADAF=Z.BAF=45°

/.ZAPR=45°.

：.AR=PR

又4R2+PR2=AP2=C）2=《

-'•AR=PR=-a,

4

•'•DRAD-AR=V2a--a=-V2a

44

在RtADPR中,DP2=AR?+PR2

:,DP=V4R2+pR2=J亭/+（呼a）2=ya

；.PQ+FQ的最小值为fa

【点睛】

本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾

股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键.

6.（2022•吉林长春•中考真题）如图，在团4BCD中，AB=4,AD=BD=履，点M为边力B

的中点，动点尸从点A出发，沿折线AD-DB以每秒旧个单位长度的速度向终点8运动,

连结PM.作点A关于直线PM的对称点4,连结AP、A'M.设点尸的运动时间为/秒.

D

/2WMB

⑴点。到边AB的距离为；

(2)用含t的代数式表示线段DP的长；

⑶连结AD,当线段4。最短时，求ADPA的面积；

⑷当M、4、C三点共线时，直接写出f的值.

【答案】(1)3

(2)当0SE1时，DP-V13-V13t；当1＜江2时，PD=V13t-V13；

(3)|

/八2T20

(4年或五

【解析】

【分析】

(1)连接根据等腰三角形的性质可得ZJMLAB,再由勾股定理，即可求解；

(2)分两种情况讨论：当0W日1时，点P在4。边上；当1〈日2时，点尸在8。边上，即

可求解；

(3)过点尸作PELQM于点E,根据题意可得点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为

半径的圆，可得到当点。、A'、M三点共线时，线段4D最短，此时点尸在A。上，再证明

APDE^£\ADM,可得DE=3-3t,PE=2—2t,从而得到4E=DE-4。=2-33在

七△4PE中，由勾股定理可得t=|,即可求解；

(4)分两种情况讨论：当点4位于M、C之间时，此时点尸在上；当点A(2")位于C

M的延长线上时，此时点P在BD上，即可求解.

(1)

解：如图，连接AM,

'：AB=4,AD=BD=同,点M为边4B的中点,

：.AM=BM=2,DMLAB,

-'-DM=y/AD2-AM2=3,

即点。到边AB的距离为3；

故答案为：3

(2)

解：根据题意得：当把区1时，点P在AO边上，

DP=V13-V13t;

当1<E2时，点P在2。边上，PD=Vnt—VI^；

综上所述，当0SV1时，£)P=V13-V13t;当1c仁2时，PD=V13C-V13;

(3)

1/作点A关于直线PM的对称点4,

：.A'M=AM=2,

，点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，

，当点D、A'、M三点共线时，线段4D最短，此时点尸在AQ上,

：.A'D=1,

根据题意得：A'P=AP=V13t,£>P=V13-VT3t,

由(1)得：DMLAB,

'：