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文档简介
浙江省金华市2024-2025学年高三上学期一模考试数学试题
学校:..姓名:.班级:考号:
一、单选题
1.已知集合M={R-2<X<2},N={—1,0,1,2,3},则()
A.{-1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0}D.{0,1}
若复数Z满足一[=i,
2.在复平面中,则忖=()
z-1
A.2B.1C.石D.72
3.若。beR,则同=同是2。=2"的(
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知点尸为抛物线C:9=2.(2>0)的焦点,点M(3,m)在抛物线C上,且|MF|=4,
则抛物线C的方程为()
A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=6x
已知+巳
5.tan]a=乖),贝Usina-cosa=()
1且-1
-c--D.B
A.4B.42
2
6.已知函数〃力=V一+bx+c的部分图像如图所示,则以下可能成立的是()
B.a=—1,b=2
C.a=-2,b=lD.a=2,b=—\
7.某高中高三(15)班打算下周开展辩论赛活动,现有辩题A、2可供选择,每位学生都
需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备,已知该班的女生人数多于男
生人数,经过统计,选辩题A的人数多于选辩题8的人数,则()
A.选辩题A的女生人数多于选辩题8的男生人数
B.选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数
C.选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数
D.选辩题A的男生人数多于选辩题8的女生人数
8.已知正方体ABCD-A片G2的棱长为4后,P为正方体内部一动点,球0为正方体内切
球,过点尸作直线与球。交于M,N两点,若△酸V的面积最大值为4,则满足条件的尸点
形成的几何体体积为()
32兀64rr
A.-----B.—。2兀
33
C.12872-—itD.12872-—n
33
二、多选题
9.已知向量工=(3,4),b=(4,m),则()
A.同=5B.\a-b\=1
IImin
C.若£〃凡贝!]m=3D.若£_1九则根=3
10.设函数〃x)=产n&,则()
sinxcosx
A.7(尤)的图象有对称轴B.是周期函数
C./("在区间]]上单调递增D.的图象关于点,中心对称
11.从棱长为1个单位长度的正四面体的一顶点A出发,每次均随机沿一条棱行走1个单位
长度,设行走〃次时恰好为第一次回到A点的概率为月(“wN+),恰好为第二次回到A点的
概率为0(〃eN+),则()
A.P=-B.
39
C.时,导为定值数列{}的最大项为,
D.0
rn
三、填空题
试卷第2页,共4页
12.已知数列{4}为等差数列,%=1,%+%=8,贝1]/=.
13.从1,2,3,4,5,6这六个数中任选三个数,至少有两个数为相邻整数的选法有种
14.己知双曲线C:x2-y2=l,歹为右焦点,斜率为&的直线/与C交于M,N两点,
设点”(网,%),N(x2,y2),其中为>马>0,过/且斜率为-1的直线与过N且斜率为1的
直线交于点T,直线ZF交C于A,3两点,且点T为线段48的中点,则点T的坐标为.
四、解答题
15.记VABC内角A,B,C的对边分别为“,b,c,已知(2C-A/§,COSB=ACOSA.
⑴求8;
(2)若VABC为等腰三角形且腰长为2,求VABC的底边长.
16.如图,三棱锥A-3CD中,平面BCD,AD=DB=DC=BC,E为A3中点,M
为OE中点,N为OC中点.
⑴求证:MN//平面ABC;
(2)求直线OE与平面A3C所成角的正弦值.
17.已知函数=g尤②-1nx+0-a)x,(a>0).
⑴若a=l,求的单调区间;
2
⑵若e求。的取值范围.
18.已知A(2,0)和B为椭圆C:1+《=1(“>6>0)上两点.
(1)求椭圆C的离心率;
⑵过点(T,。)的直线/与椭圆C交于。,E两点(。,E不在x轴上).
(i)若VADE的面积为石,求直线/的方程;
(ii)直线AD和AE分别与,轴交于M,N两点,求证:以MN为直径的圆被无轴截得的
弦长为定值.
19.已知正”边形的每个顶点上有一个数.定义一个变换T,其将正〃边形每个顶点上的数变
换成相邻两个顶点上的数的平均数,比如:
232
4323
记〃个顶点上的〃个数顺时针排列依次为4,则,i为整数,
2<i<n-l,T(q)=矢",7(%)=汽皿.设T'(q)=7(T(…7⑷))(共”个T,表示
〃次变换)
222
(1)若〃=4,a,=i,l<z<4,求『(q),T(a2),T(a3),T(tz4);
(2)对于正〃边形,若T(aJ=4,l<i<n,证明:%=…=%—I=4;
(3)设〃=4k+2,($N*,{4%…,4}={1,2,…,〃},证明:存在znwN*,使得
下(4强=1,2,…力不全为整数.
试卷第4页,共4页
参考答案:
题号12345678910
答案ADBCBCADABABD
题号11
答案ACD
1.A
【分析】根据集合的交集运算即可.
【详解】因为集合“=何-2Vx<2},N={-l,0,l,2,3},
所以{—1,0,1}.
故选:A.
2.D
【分析】由复数的计算化简得到复数z,再求模长.
【详解】,*,-=i,z-l=-=—i,z=l—i>|z|Vl2+11=A/2.
故选:D.
3.B
【分析】根据充分条件和必要条件概念,结合指数函数性质判断即可.
【详解】考虑条件时=瓦这意味着。和b要么相等,要么互为相反数.
考虑等式2"=2".由于>=2'是单调递增的,所以2。=2”当且仅当。=人
如果。=6,那么同=|向必然成立.但是,如果同=网,。和b可以互为相反数,此时2“=2"不
一定成立.
因此,我们得出结论:同=|可是2"=2"的必要不充分条件.
故选:B.
4.C
【分析】根据抛物线的定义,结合已知条件,求得P,即可求得抛物线方程.
【详解】根据题意,连接MF,过M作⑼/垂直于抛物线的准线x=-5,垂足为7/,作图
如下:
答案第1页,共13页
由抛物线定义可知物|=|网=无材+。=3+54,解得。=2,
故抛物线方程为:y2=4x.
故选:C.
5.B
【分析】根据两角和的正切公式可得tana的值,再将弦化切,即可求解.
石
(tana+——
\tana+tan=行,解得走,
【详解】由tan0+看=6得---------!J=6即3tana=
713
['1-tanatan1------tana
63
.sina・cosatana__A/1
所以sma•cosa=——---------=——万-------\2一,
sina+cosatana+1V34
+1
3
7
故选:B.
6.C
【分析】由图象可知:/(x)在(0,+8)内有两个极值点,即尸(无)=。有两个不同的正根,结
合二次函数的零点分布列式求解即可.
【详解】因为/'(尤)=/+以2+6x+c,贝U=+2av+6,
由图象可知:/(元)在(。,+")内有两个极值点,即/''(x)=0有两个不同的正根,
△=4/-12b>0
。<一<b3
财-*|>。可得
b>0
:(。)=6>。
对比选项可知:ABD错误,C正确.
故选:C.
答案第2页,共13页
7.A
【分析】根据不等式的性质以及简单的逻辑推理,找出正确的选项即可.
【详解】设选辩题A的男生有无人,选辩题A的女生有y人,选辩题8的男生有机人,选
辩题B的女生有n人.
已知该班女生人数多于男生人数,即y+〃>x+〃2;又知选辩题A的人数多于选辩题8的人
数,即x+y>〃2+〃.
将这两个不等式相加得到:2y+x+n>2m+x+n,两边同时消去x+"得到2y>2机,即
y>m.
这就意味着选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数.
故选:A.
8.D
【分析】根据几何性质可得ON,则从而可得满足条件的尸点形成的几
何体,根据几何体的体积计算即可得结论.
【详解】
因为正方体ABCD-的棱长为40,则正方体内切球球。的半径R=gx4亚=2也,
所以S.OMN=^\OM\-\ON\-sinZMON=gx20x2拒xsinZMON=4sin/MON,
G
因为ZMON[0,乃],贝ij(sin/MON)111ax=1,
若△沏的面积最大值为4,即OAf_LON,由于尸在MV上,贝U|OP|21R=,X2忘=2,
则满足条件的尸点形成的几何体为正方体去掉以。为球心,2为半径的球体,故其体积为
(4A/2)3-^X23=128近一年兀.
故选:D.
9.AB
答案第3页,共13页
【分析】运用平面向量的模长计算公式计算,根据向量平行或垂直列等式求参数即可求解.
【详解】解:向量商=(3,4),
A.|a|=A/32+42=5,故正确,符合题意;
B.v«=(3,4),b=(4,7/1),贝!|力一5=,
所以归一方卜^l+(4-m)2=^(m-4)2+1,
当〃z=4时,卜-同=1,正确,符合题意;
C.若则3m-16=0,解得机=?,故错误,不符合题意;
D.若则12+4m=0,解得加=-3,故错误,不符合题意;
故选:AB.
10.ABD
【分析】A选项由偶函数得到y轴是其中一条对称轴;B选项用周期的定义找到其中一个周
期为2兀;C选项通过两个特殊点函数值的大小判定函数在区间不是单调递增;D选
项由中心对称的定义验证是否成立即可.
sin5(-x)一sin5xsin5x
【详解】==〃x),
sin(一%)cos(-x)-sinxcosxsinxcosx
是偶函数,关于y轴对称,故A正确;
sin5(x+2?i)sin5x
:尤+2兀)==小),
sin(x+2兀)cos(x+2兀)sinxcosx
.••T=2TI是函数的一个周期,故B正确;
2sin5x
sin2x
显然/(吉〉/周,故在区间/,[上不单调递增,故C错误;
cos5%+cos5x
=0
cosx-sinxcosx-(-sinx)
答案第4页,共13页
.../(元)的图象关于点[J,oj中心对称.
故选:ABD.
11.ACD
【分析】还原情境,求出?和逐项判断即可求解.
【详解】由题意得对于任意一次行走,到达其他三个点概率均为:,
若要行走3次时恰好第一次回到A点,则第1、2次均不到点A,
212
所以月=§x§=,,故A选项正确;
若要行走4次时恰好第二次回到A点,则第2次必须回到点A,概率为Q=gxg=*,故B
选项错误;
若要行走〃次时恰好为第一次回到A点,则1次均未到达点A,所以与
所以委=:为定值,故C选项正确;
当〃<3时,。〃=。;
当"24时,设第左(24左<〃-2)次第一次到达点A,第〃次恰好第二次到达点A,
由于第1次和第%+1次的行走不用限制,所以此时概率为
所以3m=(所3闾]|)(心4),
O,2n-21
令7^-x=可---7-1>解得"W5,
Q„3n-3
所以0<。4<。5=以,。5=26>。7>2"-,
4
所以Q和。6为最大值方,故D选项正确.
故选:ACD.
【点睛】关键点点睛:本题关键在于理解题意还原情境求出匕和
12.11
【分析】根据等差数列的公式求解公差d,即可得&的值.
答案第5页,共13页
【详解】设等差数列{%}的公差为d,
因为4=1,所以%+生=2%+3d=2+3d=8,解得d=2,
所以〃6=4+5d=1+5x2=11.
故答案为:11.
13.16
【分析】由组合数公式计算出所有选法,减去三个数都不相邻的选法即可.
【详解】从1,2,3,4,5,6这六个数中任选三个数,共有C:=20种选法,
其中三个数都不相邻的,有135,136,146,246这4种,
所以至少有两个数为相邻整数的选法有20-4=16种.
故答案为:16
14.(272,2)
【分析】设丁(为,%),加(为,另),根据题意可得直线7M,77V的方程,从而得
/(%+々)+(%一%)(占-%)+(凶+必)]、几”“人上以「,八7m
T-----y--------------y-------.设肱V中点为G,则后G-卜01二0从而知
I22)
O,G,T三点共线,再根据题中数据进行计算即可.
【详解】
设T(王,%),"(%,%),N(x2,y2),
则直线7M:y-yt=-(x-xl),直线力V:,一%=了一%,
答案第6页,共13页
两直线联立,解得2即“a+%):”%),任一%):(%.%)
(芯-%)+(%+%)I22
r=2,
设跖V中点为G,则G[土产,七及1,
(占-9)+(%+%)
因为k0G—kOT=——
2)+(%-%)
石+x2(玉+尤
二(3+%)[(占+工2)+(%-%)]-(占+/)[(4-%)+(%+%)]
(x1+x2)[(x1+x2)+(y1-y2)]
=(%+%)(%-3)-(%+/)(占-3)
(玉+尤2)[(占+%)+(%-%)]
_(yf~y2)~(xi~x2)_(x:_考)_0
(玉+%)[(西+%)+(%-%)](再+%)[(%+%)+(%-%)]
所以O,G,T三点共线.
因为*/=q-q=0Ar*T)=i,且心”血,
西+%2王一X?玉一九2%—%2
所以七G=,,所以七,=¥.
同理知kOT-kAB=l,即kOT-kTF=\,
叵t
设Tt,^-t,贝&[=],解得"20,
<>2t-y[2
所以r(20,2).
故答案为:(2五2).
TT
15.(1)8二
O
⑵卡-夜或2石
【分析】(1)根据正弦定理边化角化简可得3;
(2)分别讨论当8为顶角和8为底角时的底边长即可.
【详解】(1),•,(2c-V3a)cosB=A/3Z?COSA,由正弦定理得:
2sinC-gsinA)cosB=>/3sinBcosA
答案第7页,共13页
/.A^sinC=2sinCcosB,*.*sinCw0
cosB————,
2
VBG(O,^),:.B=-
6
(2)当区为顶角,贝U底边402=4+4—2x2x2xcos5=8—4g,
6
A.C--,
当8为底角,则该三角形内角分别为则底边为26
663
故VABC的底边长为痛-④或2相.
16.(1)证明见解析;
⑵半
【分析】(1)连EC,利用三角形中位线性质,线面平行的判定推理即得.
(2)根据给定条件,作出三棱锥O-ABC底面上的高,利用几何法求出线面角的正弦.
【详解】(1)连EC,由M为DE中点,N为。C中点,得MN//EC,
又ECu平面ABC,平面ABC,
所以MN//平面ABC.
(2)设AD=DB=DC=BC=a,由ADJ_平面BC。,平面BCD,
得AD,BC,AgDB,贝!|r)E=J_AB=2^1a,取BC中点/,则上_L8C,
22
又A£>n。尸=D,A£>,£>尸U平面ADb,则BC_L平面ADP,
又3Cu平面ABC,于是平面4*_L平面ABC,又平面ADFc面ABC=AF,
过点。在平面A"内作DH_LAF于”,于是平面ABC,连EH,
则ZDEH为直线QE与平面ABC所成的角,
答案第8页,共13页
在RtAAD/中,AD=a,DF=^-a,AF=^a2+(^-a)2DH=AD^F=^-
在RtZVDE//中,sinZDEH=——=-—,
DE7
所以直线DE与平面ABC所成角的正弦值这.
7
17.(1)单调增区间为(1,y),减区间为(0,1)
(2)(0,e]
【分析】(1)代入参数值,求导函数,解导函数大于。的不等式,得出增减区间;
(2)求导函数,得到增减区间,求得最小值;由题意建立不等式,构建对应函数,由导函
数求得单调区间得最小值再建立不等关系,得到范围.
【详解】(1)当。=1时,f'(x)=x--=—=+
XXX
.,.xe(0,l)时,尸(%)<0,*6(1,+8)时,/O)>0;
f(X)的单调增区间为(1,+8),单调减区间为(0,1)
/、,/x(x-a}(x+\)
(2)f(x)=^————1
时,((%)<0,X£(〃,+8)时,/(%)>0
〃2
/.f(x:=/(〃)=一-~—+a
222
*.*/ix)-------f--------uXwci+aN------
v7222
〃2
令h(a)=----alna+a
则〃(a)=_q_lna,显然〃⑷单调递减,且/出>0,/⑴<0
■.必然存在唯一«0eg,“使得//(%)=0
当。£(0,4),h\a)>0,0(a)单调递增,
当a£(%+8),"(a)<0,"(a)单调递减
由于a£(0,l]时,/z(a)=—Ina+11〉0〉——,成立
2
当aw。,+8)时,力⑷单调递减,且/?仁)=-彳,因此ae(l,e]成立
综上,。成立的范围为(0,e]
答案第9页,共13页
18.⑴宁
⑵(i)x±Cy+l=O;(ii)证明见解析
【分析】(1)根据给定的点A和8在椭圆上,以及椭圆的离心率公式求出椭圆的离心率;
(2)(i)借助韦达定理和面积公式计算即可;(ii)可借助韦达定理和圆的弦长公式计算即
可.
【详解】(1)由4(2,0)可知4=4,求出。=2,
代入Mg,得「小1,八1,
则,=4-1=3,C=y/3,
可知椭圆C的离心率为三邛
(2)(i)由(1)可知椭圆C的方程为三+丁=1,
4
设£)(%,%),E(X2,y2),过点(-1,0)的直线/为x=myT,
与宁+V=1联立得:(m2+4)y2-2my-3=0,A=4m2+12+4)>0恒成立.
二匚2m-3
所以必+为=门'*乃=门
Sm
.ADE=;3口一%|=;3・=61l=也
ZZm+4
得加2=2,所以加=±行,直线的方程/为:x±0y+l=O.
(ii)由(i)可知,+x=m(^+y)-2=—一~-
22m+4
2/\-4"+4
xx=my2一加(%+%)+11=-
c2m+4
直线AD的方程为y、(尤-2),令x=o,得加=二驾
直线AE的方程为>="^(》-2),令*=0,得%=二冬
X?一乙尤2一/
记以跖V为直径的圆与X轴交于尸,Q两点,
答案第10页,共13页
2\2、2
p
由圆的弦长公式可知,\Q\y”一%I
2J2}
-2%-2%=_______4%•%
玉一2x2-2石•%—2(玉+%)+4
—12—12
=________/+4______=m2+4=1
―-4m2+416「36—§
5------+—^——+4—~~T
m+4m+4m+4
所以|PQ|=半,为定值.
【点睛】方法点睛:求定值问题常见的方法:
(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个定值与变量无关;
(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.解题时,要将问题
合理的进行转化,转化成易于计算的方向.
22
19.⑴1⑷=2,T(0,)=3,〃(%)=2,T(a4)=3.
(2)证明见解析
⑶证明见解析
【分析】(1)涉及到根据给定的变换规则进行多次变换的计算,按照变换公式逐步计算即可.
(2)需要利用假设和变换公式进行推导,结合等差数列性质公式,证明所有数相等.
(3)运用反证法,要结合整数整除性质来证明存在这样的,
【详解】(1)当场=4时,T2(aJ的变换如下:
所以72(%)=2,〃(%)=3,T2(%)=2,r⑷=3.
(2),"(4)=4.,%丁加1=%,(2<z
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