浙江省金华市2024-2025学年高三年级上册一模考试数学试题（含答案解析）

浙江省金华市2024-2025学年高三上学期一模考试数学试题

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一、单选题

1.已知集合M={R-2<X<2},N={—1,0,1,2,3},则()

A.{-1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0}D.{0,1}

若复数Z满足一［=i,

2.在复平面中,则忖=（）

z-1

A.2B.1C.石D.72

3.若。beR,则同=同是2。=2"的（

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知点尸为抛物线C：9=2.（2>0）的焦点，点M（3,m）在抛物线C上，且|MF|=4,

则抛物线C的方程为（）

A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=6x

已知+巳

5.tan]a=乖），贝Usina-cosa=()

1且-1

-c--D.B

A.4B.42

2

6.已知函数〃力=V一+bx+c的部分图像如图所示,则以下可能成立的是（）

B.a=—1,b=2

C.a=-2,b=lD.a=2,b=—\

7.某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、2可供选择，每位学生都

需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男

生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题8的人数，则（）

A.选辩题A的女生人数多于选辩题8的男生人数

B.选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数

C.选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数

D.选辩题A的男生人数多于选辩题8的女生人数

8.已知正方体ABCD-A片G2的棱长为4后，P为正方体内部一动点，球0为正方体内切

球，过点尸作直线与球。交于M,N两点,若△酸V的面积最大值为4,则满足条件的尸点

形成的几何体体积为（）

32兀64rr

A.-----B.—。2兀

33

C.12872-—itD.12872-—n

33

二、多选题

9.已知向量工=（3,4）,b=（4,m）,则（）

A.同=5B.\a-b\=1

IImin

C.若£〃凡贝！］m=3D.若£_1九则根=3

10.设函数〃x）=产n&,则（）

sinxcosx

A.7（尤）的图象有对称轴B.是周期函数

C./（"在区间］］上单调递增D.的图象关于点，中心对称

11.从棱长为1个单位长度的正四面体的一顶点A出发，每次均随机沿一条棱行走1个单位

长度，设行走〃次时恰好为第一次回到A点的概率为月（“wN+）,恰好为第二次回到A点的

概率为0（〃eN+）,则（）

A.P=-B.

39

C.时，导为定值数列｛｝的最大项为，

D.0

rn

三、填空题

试卷第2页，共4页

12.已知数列｛4｝为等差数列，％=1,%+%=8,贝1]/=.

13.从1,2,3,4,5,6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有种

14.己知双曲线C：x2-y2=l,歹为右焦点，斜率为&的直线/与C交于M,N两点，

设点”（网,％）,N（x2,y2）,其中为>马>0,过/且斜率为-1的直线与过N且斜率为1的

直线交于点T,直线ZF交C于A,3两点，且点T为线段48的中点，则点T的坐标为.

四、解答题

15.记VABC内角A,B,C的对边分别为“，b,c,已知(2C-A/§，COSB=ACOSA.

⑴求8；

（2）若VABC为等腰三角形且腰长为2,求VABC的底边长.

16.如图，三棱锥A-3CD中，平面BCD,AD=DB=DC=BC,E为A3中点，M

为OE中点，N为OC中点.

⑴求证：MN//平面ABC；

（2）求直线OE与平面A3C所成角的正弦值.

17.已知函数=g尤②-1nx+0-a)x,(a>0).

⑴若a=l,求的单调区间；

2

⑵若e求。的取值范围.

18.已知A（2,0）和B为椭圆C：1+《=1（“>6>0）上两点.

（1）求椭圆C的离心率；

⑵过点（T,。）的直线/与椭圆C交于。，E两点（。，E不在x轴上）.

(i)若VADE的面积为石，求直线/的方程；

(ii)直线AD和AE分别与，轴交于M,N两点，求证：以MN为直径的圆被无轴截得的

弦长为定值.

19.已知正”边形的每个顶点上有一个数.定义一个变换T,其将正〃边形每个顶点上的数变

换成相邻两个顶点上的数的平均数，比如：

232

4323

记〃个顶点上的〃个数顺时针排列依次为4,则,i为整数，

2<i<n-l,T(q)=矢"，7(%)=汽皿.设T'(q)=7(T(…7⑷))(共”个T,表示

〃次变换)

222

(1)若〃=4,a,=i,l<z<4,求『(q),T(a2),T(a3),T(tz4)；

(2)对于正〃边形，若T(aJ=4，l<i<n,证明：％=…=％—I=4；

(3)设〃=4k+2,($N*,{4%…,4}={1,2，…,〃},证明：存在znwN*,使得

下(4强=1,2,…力不全为整数.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案ADBCBCADABABD

题号11

答案ACD

1.A

【分析】根据集合的交集运算即可.

【详解】因为集合“=何-2Vx<2},N={-l,0,l,2,3},

所以{—1,0,1}.

故选：A.

2.D

【分析】由复数的计算化简得到复数z,再求模长.

【详解】,*,-=i,z-l=-=—i,z=l—i>|z|Vl2+11=A/2.

故选：D.

3.B

【分析】根据充分条件和必要条件概念，结合指数函数性质判断即可.

【详解】考虑条件时=瓦这意味着。和b要么相等，要么互为相反数.

考虑等式2"=2".由于>=2'是单调递增的，所以2。=2”当且仅当。=人

如果。=6,那么同=|向必然成立.但是，如果同=网，。和b可以互为相反数，此时2“=2"不

一定成立.

因此，我们得出结论：同=|可是2"=2"的必要不充分条件.

故选：B.

4.C

【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得P,即可求得抛物线方程.

【详解】根据题意，连接MF,过M作⑼/垂直于抛物线的准线x=-5,垂足为7/,作图

如下：

答案第1页，共13页

由抛物线定义可知物|=|网=无材+。=3+54,解得。=2,

故抛物线方程为：y2=4x.

故选：C.

5.B

【分析】根据两角和的正切公式可得tana的值，再将弦化切，即可求解.

石

（tana+——

\tana+tan=行，解得走,

【详解】由tan0+看=6得---------！J=6即3tana=

713

['1-tanatan1------tana

63

.sina・cosatana__A/1

所以sma•cosa=——---------=——万-------\2一，

sina+cosatana+1V34

+1

3

7

故选：B.

6.C

【分析】由图象可知：/（x）在（0,+8）内有两个极值点，即尸（无）=。有两个不同的正根，结

合二次函数的零点分布列式求解即可.

【详解】因为/'（尤）=/+以2+6x+c,贝U=+2av+6,

由图象可知：/（元）在（。,+"）内有两个极值点，即/''（x）=0有两个不同的正根,

△=4/-12b＞0

。＜一＜b3

财-*|＞。可得

b＞0

:（。）=6＞。

对比选项可知：ABD错误，C正确.

故选：C.

答案第2页，共13页

7.A

【分析】根据不等式的性质以及简单的逻辑推理，找出正确的选项即可.

【详解】设选辩题A的男生有无人，选辩题A的女生有y人，选辩题8的男生有机人，选

辩题B的女生有n人.

已知该班女生人数多于男生人数，即y+〃>x+〃2；又知选辩题A的人数多于选辩题8的人

数，即x+y>〃2+〃.

将这两个不等式相加得到：2y+x+n>2m+x+n,两边同时消去x+"得到2y>2机，即

y>m.

这就意味着选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数.

故选：A.

8.D

【分析】根据几何性质可得ON,则从而可得满足条件的尸点形成的几

何体，根据几何体的体积计算即可得结论.

【详解】

因为正方体ABCD-的棱长为40,则正方体内切球球。的半径R=gx4亚=2也,

所以S.OMN=^\OM\-\ON\-sinZMON=gx20x2拒xsinZMON=4sin/MON,

G

因为ZMON[0,乃],贝ij(sin/MON)111ax=1,

若△沏的面积最大值为4,即OAf_LON,由于尸在MV上，贝U|OP|21R=,X2忘=2,

则满足条件的尸点形成的几何体为正方体去掉以。为球心，2为半径的球体，故其体积为

(4A/2)3-^X23=128近一年兀.

故选：D.

9.AB

答案第3页，共13页

【分析】运用平面向量的模长计算公式计算，根据向量平行或垂直列等式求参数即可求解.

【详解】解：向量商=（3,4）,

A.|a|=A/32+42=5,故正确，符合题意;

B.v«=（3,4）,b=（4,7/1）,贝！|力一5=,

所以归一方卜^l+（4-m）2=^（m-4）2+1,

当〃z=4时，卜-同=1,正确，符合题意；

C.若则3m-16=0,解得机=?,故错误，不符合题意；

D.若则12+4m=0,解得加=-3,故错误，不符合题意；

故选：AB.

10.ABD

【分析】A选项由偶函数得到y轴是其中一条对称轴；B选项用周期的定义找到其中一个周

期为2兀；C选项通过两个特殊点函数值的大小判定函数在区间不是单调递增；D选

项由中心对称的定义验证是否成立即可.

sin5（-x）一sin5xsin5x

【详解】==〃x），

sin（一%）cos（-x）-sinxcosxsinxcosx

是偶函数，关于y轴对称，故A正确;

sin5（x+2?i）sin5x

：尤+2兀）==小）,

sin（x+2兀）cos（x+2兀）sinxcosx

.••T=2TI是函数的一个周期，故B正确;

2sin5x

sin2x

显然/（吉〉/周，故在区间/，［上不单调递增，故C错误;

cos5%+cos5x

=0

cosx-sinxcosx-（-sinx）

答案第4页，共13页

.../（元）的图象关于点［J,oj中心对称.

故选：ABD.

11.ACD

【分析】还原情境，求出?和逐项判断即可求解.

【详解】由题意得对于任意一次行走，到达其他三个点概率均为:，

若要行走3次时恰好第一次回到A点，则第1、2次均不到点A,

212

所以月=§x§=,,故A选项正确；

若要行走4次时恰好第二次回到A点，则第2次必须回到点A,概率为Q=gxg=*,故B

选项错误；

若要行走〃次时恰好为第一次回到A点，则1次均未到达点A,所以与

所以委=:为定值，故C选项正确；

当〃＜3时，。〃=。；

当"24时，设第左（24左＜〃-2）次第一次到达点A,第〃次恰好第二次到达点A,

由于第1次和第％+1次的行走不用限制，所以此时概率为

所以3m=（所3闾］|）（心4）,

O,2n-21

令7^-x=可---7-1＞解得"W5,

Q„3n-3

所以0＜。4＜。5=以，。5=26＞。7＞2"-，

4

所以Q和。6为最大值方，故D选项正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解题意还原情境求出匕和

12.11

【分析】根据等差数列的公式求解公差d,即可得&的值.

答案第5页，共13页

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,

因为4=1,所以％+生=2%+3d=2+3d=8,解得d=2,

所以〃6=4+5d=1+5x2=11.

故答案为：11.

13.16

【分析】由组合数公式计算出所有选法，减去三个数都不相邻的选法即可.

【详解】从1,2,3,4,5,6这六个数中任选三个数，共有C：=20种选法，

其中三个数都不相邻的，有135,136,146,246这4种，

所以至少有两个数为相邻整数的选法有20-4=16种.

故答案为：16

14.（272,2）

【分析】设丁（为,%），加（为,另），根据题意可得直线7M,77V的方程，从而得

/（%+々）+（%一%）（占-%）+（凶+必）］、几”“人上以「,八7m

T-----y--------------y-------.设肱V中点为G,则后G-卜01二0从而知

I22）

O,G,T三点共线，再根据题中数据进行计算即可.

【详解】

设T（王，％），"（%，%）,N（x2,y2）,

则直线7M：y-yt=-（x-xl）,直线力V：，一%=了一%,

答案第6页，共13页

两直线联立，解得2即“a+%）：”%）,任一%）：（%.%）

（芯-%）+（%+%）I22

r=2，

设跖V中点为G,则G［土产，七及1，

(占-9)+(%+%)

因为k0G—kOT=——

2)+(%-%)

石+x2(玉+尤

二(3+%)[(占+工2)+(%-%)]-(占+/)[(4-%)+(%+%)]

(x1+x2)[(x1+x2)+(y1-y2)]

=(%+%)(%-3)-(%+/)(占-3)

(玉+尤2)[(占+%)+(%-%)]

_(yf~y2)~(xi~x2)_(x：_考)_0

(玉+%)[(西+%)+(%-%)](再+%)[(%+%)+(%-%)]

所以O,G,T三点共线.

因为*/=q-q=0Ar*T)=i，且心”血，

西+%2王一X?玉一九2%—%2

所以七G=,，所以七,=¥.

同理知kOT-kAB=l,即kOT-kTF=\,

叵t

设Tt,^-t,贝&[=],解得"20，

<>2t-y[2

所以r(20,2).

故答案为：(2五2).

TT

15.(1)8二

O

⑵卡-夜或2石

【分析】（1）根据正弦定理边化角化简可得3；

（2）分别讨论当8为顶角和8为底角时的底边长即可.

【详解】（1）,•,（2c-V3a）cosB=A/3Z?COSA,由正弦定理得:

2sinC-gsinA）cosB=>/3sinBcosA

答案第7页，共13页

/.A^sinC=2sinCcosB，*.*sinCw0

cosB————，

2

VBG(O,^),:.B=-

6

(2)当区为顶角，贝U底边402=4+4—2x2x2xcos5=8—4g,

6

A.C--,

当8为底角，则该三角形内角分别为则底边为26

663

故VABC的底边长为痛-④或2相.

16.(1)证明见解析;

⑵半

【分析】(1)连EC,利用三角形中位线性质，线面平行的判定推理即得.

(2)根据给定条件，作出三棱锥O-ABC底面上的高，利用几何法求出线面角的正弦.

【详解】(1)连EC,由M为DE中点，N为。C中点，得MN//EC,

又ECu平面ABC,平面ABC,

所以MN//平面ABC.

(2)设AD=DB=DC=BC=a,由ADJ_平面BC。，平面BCD,

得AD，BC,AgDB,贝!|r)E=J_AB=2^1a,取BC中点/，则上_L8C,

22

又A£>n。尸=D,A£>,£>尸U平面ADb,则BC_L平面ADP,

又3Cu平面ABC,于是平面4*_L平面ABC,又平面ADFc面ABC=AF,

过点。在平面A"内作DH_LAF于”，于是平面ABC,连EH,

则ZDEH为直线QE与平面ABC所成的角,

答案第8页，共13页

在RtAAD/中，AD=a,DF=^-a,AF=^a2+(^-a)2DH=AD^F=^-

在RtZVDE//中，sinZDEH=——=-—,

DE7

所以直线DE与平面ABC所成角的正弦值这.

7

17.(1)单调增区间为(1,y)，减区间为(0,1)

(2)(0,e]

【分析】(1)代入参数值，求导函数，解导函数大于。的不等式，得出增减区间;

(2)求导函数，得到增减区间，求得最小值；由题意建立不等式，构建对应函数，由导函

数求得单调区间得最小值再建立不等关系，得到范围.

【详解】(1)当。=1时，f'(x)=x--=—=+

XXX

.,.xe(0,l)时，尸(%)<0,*6(1,+8)时，/O)>0；

f(X)的单调增区间为(1,+8),单调减区间为(0,1)

/、,/x(x-a}(x+\)

(2)f(x)=^————1

时，((%)<0,X£(〃,+8)时，/(%)>0

〃2

/.f(x：=/(〃)=一-~—+a

222

*.*/ix)-------f--------uXwci+aN------

v7222

〃2

令h(a)=----alna+a

则〃(a)=_q_lna,显然〃⑷单调递减，且/出>0,/⑴<0

■.必然存在唯一«0eg,“使得//(%)=0

当。£(0,4),h\a)>0,0(a)单调递增，

当a£(%+8),"(a)<0,"(a)单调递减

由于a£(0,l]时，/z(a)=—Ina+11〉0〉——,成立

2

当aw。,+8)时，力⑷单调递减，且/?仁)=-彳，因此ae(l,e]成立

综上，。成立的范围为(0,e]

答案第9页，共13页

18.⑴宁

⑵（i）x±Cy+l=O；（ii）证明见解析

【分析】（1）根据给定的点A和8在椭圆上，以及椭圆的离心率公式求出椭圆的离心率；

（2）（i）借助韦达定理和面积公式计算即可；（ii）可借助韦达定理和圆的弦长公式计算即

可.

【详解】（1）由4（2,0）可知4=4,求出。=2,

代入Mg,得「小1，八1,

则，=4-1=3,C=y/3,

可知椭圆C的离心率为三邛

（2）（i）由（1）可知椭圆C的方程为三+丁=1,

4

设£)(%,%),E(X2，y2),过点(-1,0)的直线/为x=myT,

与宁+V=1联立得：(m2+4)y2-2my-3=0,A=4m2+12+4)>0恒成立.

二匚2m-3

所以必+为=门'*乃=门

Sm

.ADE=；3口一%|=；3・=61l=也

ZZm+4

得加2=2,所以加=±行，直线的方程/为：x±0y+l=O.

(ii)由(i)可知，+x=m(^+y)-2=—一~-

22m+4

2/\-4"+4

xx=my2一加(％+%)+11=-

c2m+4

直线AD的方程为y、(尤-2),令x=o,得加=二驾

直线AE的方程为>="^(》-2),令*=0,得%=二冬

X?一乙尤2一/

记以跖V为直径的圆与X轴交于尸，Q两点,

答案第10页，共13页

2\2、2

p

由圆的弦长公式可知,\Q\y”一%I

2J2}

-2%-2%=_______4%•%

玉一2x2-2石•%—2(玉+%)+4

—12—12

=________/+4______=m2+4=1

―-4m2+416「36—§

5------+—^——+4—~~T

m+4m+4m+4

所以|PQ|=半，为定值.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法:

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关;

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题

合理的进行转化，转化成易于计算的方向.

22

19.⑴1⑷=2,T(0,)=3,〃(％)=2,T(a4)=3.

(2)证明见解析

⑶证明见解析

【分析】(1)涉及到根据给定的变换规则进行多次变换的计算，按照变换公式逐步计算即可.

(2)需要利用假设和变换公式进行推导，结合等差数列性质公式，证明所有数相等.

(3)运用反证法，要结合整数整除性质来证明存在这样的，

【详解】(1)当场=4时，T2(aJ的变换如下:

所以72(%)=2,〃(％)=3,T2(%)=2,r⑷=3.

(2),"(4)=4.,%丁加1=%,(2<z