浙江省中考数学总复习：一次函数及其图象（讲解篇）

第13讲一次函数及其图象

1.一次函数与正比例函数的概念

考试

考试内容

要求

一般地，如果_____________(k、b是常数，kWO),那么y叫做X的

一次函数

一次函数.

b

特别地，当____________时，y=kx+b变为_____________(k是常数，

正比例函数

kWO),这时y叫做x的正比例函数.

2.一次函数的图象

考试

考试内容

要求

一次函数y=kx+b的图象是经过点(0,____________________)和

一次函数的(____________________,0)的一条_____________________.

b

图象特别地，正比例函数y=kx的图象是经过点(0,—)和(1,—)

的一条_________________.

直线y=kx

直线y=kx+b可以看成是由直线y=kx平移得到，b>0,向_____平

+b与y=kxC

移_______________个单位；b<0,向_________平移_______个单位.

之间的关系

3.一次函数y=kx+b的性质

考试

考试内容

要求

k>b符号图象形状经过的象限函数的性质

/

k>0,b>0—

0A

y随x的增大而

y

k>0,b<0一

~0

/

k<0,b>0

-0

y随x的增大而

k<0,b<0---------A

一次函数图象不经过第二象限是指图象经过第一、三、四象限或第一、

易错点

三象限.

4.确定一次函数的解析式

考试

考试内容

要求

常用方法待定系数法.

①已知两点坐标确定解析式；②已知两对函数对应值确定解析式；③b

常见类型

通过平移规律确定函数解析式.

5.一次函数与方程、不等式的关系

考试

考试内容

要求

一次函数与一元一次方程kx+b=O的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k

一次方程W0）的图象与____________轴交点的_____________坐标.

一次函数与一元一次不等式kx+b>0（或kx+bVO）（kWO）的解集可以看作一次C

一元一次不函数y=kx+b取____________值（或_________值）时自变量x的取值

等式范围.

一次函数与两直线的交点坐标是两个一次函数解析式y=kix+bi和y=k2x+b2b

方程组所组成的关于x、y的方程组___________________的解.

6.一次函数的实际应用

考试

考试内容

要求

将实际问题转化为数学问题，即数学建模.要做到这种转化，首先要

建模思想分清哪个量是自变量，哪个量是函数；其次建立函数与自变量之间的

关系，要注意自变量的取值范围.

C

实际问题中在实际问题中，可以根据自变量的取值求函数，或者由函数求自变量

一次函数的的值.由于自变量的取值范围一般受到限制，所以可以根据一次函数

应用的性质求出函数在某个范围的最值.

考试

考试内容

要求

1.待定系数法，是求一次函数解析式的常用方法，一般是先设待求的

函数关系式（其中含有未知常数），再根据条件列出方程或方程组，通

基本过解方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求函数解析式的方法.

C

方法2.利用函数图象解决实际问题时，要注意仔细分析图象中各点的含

义，尤其是图象与图象或坐标轴的交点，要善于运用数形结合思想从

图象中获取有用的信息.

1.（2017•温州）已知点（一1,yi）,（4,y》在一次函数y=3x—2的图象上，则y”yz,

0的大小关系是（）

A.0<yi<y2B.yi<0<y2C.yi<y2<0D.y2<0<yi

2.（2017•绍兴）某市规定了每月用水18立方米以内（含18立方米）和用水18立方米以

上两种不同的收费标准，该市的用户每月应交水费y（元）是用水量x（立方米）的函数，其图

象如图所示.

(1)若某月用水量为18立方米，则应交水费多少元?

(2)求当x>18时，y关于x的函数表达式，若小敏家某月交水费81元，则这个月用水

量为多少立方米？

【问题】如图，直线AB分别交x,y轴于点A,B.

⑴若点A(—1,0),写出一条直线AB的解析式；

⑵若点A(—2,0),B(0,1),请你尽可能多的写出关于直线AB的信息.

【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理一次函数概念以及图象与性质.

加磨,亲浙R

类型一一次函数的图象和性质

例1一次函数y=2x+6.

(1)图象经过第象限；

(2)图象与x轴的交点坐标为,与y轴的交点坐标为.

(3)当一1<XW1时，y的取值范围是；

⑷当点A(—5,y,和B(—2,y?)都在图象上，则yi与y?的关系是;

(5)图象与两坐标轴围成的三角形面积是.

【解后感悟】一次函数的图象与性质问题，数形结合思想是解题的关键.

例2如图，已知直线L：y=-2x+4与x,y轴分别交于点N,C,与直线lz：y=kx

+b(kWO)交于点M,直线12与x轴的交点为A(—2,0),

(1)若点M的横坐标为1,则4AMN的面积是；

⑵若点M在第一象限，则k的取值范围是.

【解后感悟】两条直线的相交问题，利用数形结合和图象的运动来解决.

变式柘屐

1.(1)(2017•海南模拟)一次函数y=mx+n与y=mnx(mn#O),在同一平面直角坐标

系的图象是()

⑵(2017•南京模拟)关于直线1：y=kx+k(kW0),下列说法正确的是

①点(0,k)在直线1上；②直线1经过定点(一1,0)；③当k>0时，y随x的增大而

增大；④直线1经过第一、二、三象限；⑤直线1经过第一、二、三象限，则k>0.

类型二一次函数的解析式

例3

(1)如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A,B两点，P是线段AB上任意一点(不

包括端点)，过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10,则该直线的函

数表达式是.

⑵一次函数y=2x+b与两坐标轴围成三角形的面积为4,则b=.

(3)已知一次函数图象交x轴于点(一2,0),与y轴的交点到原点的距离为5,则该一

次函数解析式为.

(4)在平面直角坐标系xOy中，己知一次函数y=kx+b(k#O)的图象过点P(l,1),与

x轴交于点A,与y轴交于点B,且1a〃NABO=3,那么点A的坐标是.

【解后感悟】待定系数法求一次函数解析式是本题的关键；注意数形结合、分类讨论思

想运用.

例4已知直线1：y=2x—1

(1)将直线1向上平移5个单位长度后再向左平移3个单位后所得的直线解析式为

(2)将直线1与直线m关于x轴对称，则直线m的解析式为

(3)将直线1绕原点顺时针旋转90°得到直线n,则直线n的解析式为.

【解后感悟】(1)求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化;

(2)根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点求解；(3)根据点(a,b)绕原点顺时针旋

转90°得到的点的坐标是(b,-a),得到它们绕原点顺时针旋转90°以后对应点的坐标，

然后根据待定系数法求解.

■变式拓式_______________

2.(1)(2017•温州模拟)根据下表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p

的值为.

X-201

y3P0

(2)(2017•南京市江宁区模拟)把一次函数y=kx+l的图象向上平移1个单位,再向右

平移3个单位后所得直线正好经过点(5,3),则该一次函数表达式为.

(3)(2017•绍兴模拟)把直线y=—x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点

在第一象限，则m的取值范围是.

(4)(2017•苏州模拟)如图，A(0,1),M(3,2),N(4,4).动点P从点A出发，沿y

轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线1：y=—x+b也随之移动，设移

动时间为t秒.

①当t=3时，求1的解析式；

②若点M,N位于1的异侧，确定t的取值范围；

③直接写出t为何值时，点M关于1的对称点落在坐标轴上.

类型三一次函数

（2）如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3,5）,则关于x的不等式x+b>kx

+6的解集是.

【解后感悟】（1）此题主要理解一次函数与一元一次方程关系，关键是正确求出一次函

数关系式；（2）从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=x+b的值大于丫=1«+6的值的自

变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=x+b在直线y=kx+6上方部

分所有的点的横坐标所构成的集合.解决此类问题一般方法为画出图象，仔细观察图象，根

据图象写出方程（组）解、不等式解集.注意不等式解集交点（公共点）处函数值相等，所以解

集要么在交点左侧要么在交点右侧.注意数形结合思想的运用.

■变式打屐_______________

3.（1）（2017•荷泽）如图，函数yi=—2x与y?=ax+3的图象相交于点A（m,2）,则关

于x的不等式一2x>ax+3的解集是（）

（2）（2017•潍坊模拟）如图，已知函数y=ax+b与函数y=kx—3的图象交于点P（4,

—6）,则不等式ax+bWkx—3<0的解集是.

第⑵题图

(3)(2017•潍坊模拟)如图，直线y=kx+b经过A(2,1),B(—1,—2)两点，则不等

式/x〉kx+b〉一2的解集为.

第⑶题图

(4)(2015•武汉)已知一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4).求这个一次函数的解析

式，并求关于x的不等式kx+3W6的解集.

类型四一次函数的应用

例6(2016•南京)如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y(单位：£/A血与速度x(单

位：七"/团之间的函数关系(30WxW120),已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每

增加\km/h,耗油量增加0.002L/km.

⑴当速度为50WA,100WA时，该汽车的耗油量分别为L/km、

L/km.

⑵求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式.

⑶速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？

>(L/km)c

A/­

0.15

0.12

306090120x(km/h)

【解后感悟】正确求出两线段的解析式是解好本题的关键，因为系数为小数，计算要格

外细心，容易出错；另外，此题中求最值的方法：两图象的交点，方程组的解；同时还有机

地把函数和方程结合起来，是数学解题方法之一，应该熟练掌握.

■变式拓展

4.（2017•宁波模拟）某种汽车油箱加满油并开始行驶，油箱中的剩余油量y（升）与行

驶的里程x（雨）之间的关系为一次函数，如图:

（1）求y与x的函数关系式;

（2）加满一箱油汽车可行驶多少千米?

【阅读理解题】

在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标

三角形.例如，图中的一次函数的图象与X,y轴分别交于点A,B,则AOAB为此函数的坐

标三角形.

3

(1)求函数y=—]x+3的坐标三角形的三条边长；

(2)若函数y=-]x+b(b为常数)的坐标三角形周长为16,求此三角形面积.

【方法与对策】解本题的关键是理解坐标三角形，利用一次函数图象与坐标轴的交点进

行求解；由于b的不确定性，导致图象的位置不同，解题就需要分类讨论：b>0和b<0两

种情况.该题型是中考命题趋势.

【不能明确X、y取值范围的几何意义】

一次函数y=kx+b(kW0)的图象如图所示，当y>3时，x的取值范围是()

A.x<0B.x>0C.x<2D.x>2

参考答案

第13讲一次函数及其图象

【考点概要】

b

1.y=kx+bb=0y=kx2.b—r直线0k直线上b下|b|3.一、

K

[y=kix+bi

二、三一、三、四增大一、二、四二、三、四减小5.x横正负《

[y=k?x十bz

【考题体验】

1.B2.(1)由纵坐标看出，某月用水量为18立方米，则应交水费45元；(2)由81元

>45元，得用水量超过18立方米，设函数解析式为丫=1«+13年218),♦.•直线经过点(18,

[18k+b=45,[k=3,

45),(28,75),...”，「、解得，c二函数的解析式为y=3x—9(x218),当y

[28k+b=75,[b=-9,

=81时，3x—9=81,解得x=30,答：这个月用水量为30立方米.

【知识引擎】

【解析】⑴不唯一.如y=-x—l；(2)解析式为y=|x+l；y随x的增大而增大；

图象经过一、二、三象限等.

【例题精析】

例1⑴一、二三(2)(-3,0),(0,6)⑶4<yW8(4)yi<y2(5)9例2(1)4；

(2)0<k<2

例3

55

(l)y=5—x；(2)±4；(3)y=]x+5或y=—]x—5；(4)在^^AOB中，由3〃NAB0=

3,可得0A=30B,则一次函数y=kx+b中k=±；.•一次函数y=kx+b(kW0)的图象过点

12141

p(l,1),，当k=a时，求可得b=a；k=一3时，求可得b=w.即一次函数的解析式为y=w

O0OuJ

214.

x+鼻或y=—评+鼻.令y=0,则x=—2或4,・,•点A的坐标是(一2,0)或(4,0).故答案

JUO

为：(-2,0)或(4,0).例4(l)y=2x+10；(2)y=—2x+l；(3)y=—gx—例5

[b=2,[a=-2,

(1)由一次函数y=ax+b,・.・x=0时,y=2,x=2时,y=-2,解得七o

[2a+b=-2,[b=2,

・•・一次函数解析式为y=—2x+2,・,•方程ax+b=0变为一2x+2=0,解得：x=l.同理不

等式ax+b>2的解集是xVO.故答案为：x=l；x<0.(2)当x>3时，x+b>kx+6,即

不等式x+b>kx+6的解集为x>3.故答案为：x>3.例6(1)设AB的解析式为：y=kx

[30k+b=0.15,[k=-0.001,

+b,把(30,0.15)和(60,0.12)代入y=kx+b中得：,解得

[60k+b=0.12,〔b=0.18,

AAB：y=-0.001x+0.18,当x=50时，y=-0.001X50+0.18=0.13,由线段BC上一点

坐标(90,0.⑵得:0.12+(100-90)X0.002=0.14,故答案为：0.13,0.14；

⑵由⑴得:线段AB的解析式为：y=—O.OOlx+O.18；(3)设BC的解析式为：y=kx

[90k+b=0.12,1k=0.002,

+b,把(90,0.12)和(100,0.14)代入y=kx+b中得：,解得

[100k+b=0.14,[b=—0.06,

[y=-0.001x+0.18,[x=80,

・・・BC：y=0.002x-0.06,根据题意得解得答：速度是80knj//i

ty=O.002x-0.06,[y=Q.1.

时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1〃版.

【变式拓展】

1.(I)C⑵①②③⑤

2.(1)1(2)y=0.5x+l(3)m>l(4)①直线y=—x+b交y轴