2021北京清华附中朝阳学校高一(上)10月月考数学(教师版)

2/22021北京清华附中朝阳学校高一（上）10月月考数学一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（4分）设集合，，则下列各式中不正确的是A． B． C． D．，2．（4分）已知命题，，则是A．， B．， C．， D．，3．（4分）设，，，则A． B． C． D．4．（4分）下列不等式中成立的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则5．（4分）已知全集，1，且，则集合的真子集共有A．3个 B．4个 C．5个 D．6个6．（4分）若函数，则（5）等于A． B．4 C．2 D．7．（4分）下列函数中哪个与函数相等A． B． C． D．8．（4分）函数是A．偶函数 B．奇函数 C．既不是奇函数，也不是偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数9．（4分）已知定义在上的偶函数在上是减函数，则A．（3） B．（3） C．（3） D．（3）10．（4分）已知且，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

11．（4分）直角梯形中，，，，直线截该梯形所得位于左边图形面积为，则函数的图象大致为A． B． C． D．12．（4分）对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B．， C．， D．，二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）.13．（4分）函数的定义域是．14．（4分）已知函数，若，则．15．（4分）不等式的解集是，则，．16．（4分）已知实数，则的最小值是．17．（4分）已知函数，且在，上恒成立，则的取值范围是．18．（4分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出20种商品，第二天售出14种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有5种，后两天都售出的商品有4种，则该网店．①第一天售出但第二天未售出的商品有种；②这三天售出的商品最少有种．三、解答题共6小题，共78分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.19．（13分）已知集合，或，．（Ⅰ）求和；（Ⅱ）若，求实数的取值范围．20．（13分）解下列不等式．（1）；（2）．

21．（13分）已知函数，且（1）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）判断并证明的奇偶性；（Ⅲ）判断函数在，上是单调递增还是单调递减？并证明．22．（13分）如图，某学校准备修建一个面积为600平方米的矩形活动场地（图中的围栏，按照修建要求，中间用围墙隔开，使得为矩形，为正方形，设米，已知围墙（包括的修建费用均为每米800元，设围墙（包括的修建总费用为元．（1）求出关于的函数解析式及的取值范围；（2）当为何值时，围墙（包括的修建总费用最小？并求出的最小值．23．（13分）设集合，．关于的不等式的解集为．（Ⅰ）若，求实数的值；（Ⅱ）若，求实数的取值范围；（Ⅲ）若，求实数的取值范围．

24．（13分）对于集合，定义函数，对于两个集合，，定义集合．已知，2，3，4，5，，，3，9，27，．（Ⅰ）写出（2）与（2）的值，并用列举法写出集合；（Ⅱ）用表示有限集合所含元素的个数，求的最小值；（Ⅲ）有多少个集合对，满足，，且．

2021北京清华附中朝阳学校高一（上）10月月考数学参考答案一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．【分析】由元素与集合的关系和集合与集合的关系可判断，，由集合元素互异可判断，由条件可得错误．【解答】解：由元素与集合的关系和集合与集合的关系可得，，正确，，正确，由集合元素互异，可得正确，由题意，，故错误，故选：．【点评】本题考查元素与集合的关系和集合与集合的关系，考查集合元素互异性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定为：，，故选：．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．3．【分析】欲求两个集合的交集，先得求集合，再求它与的交集即可．【解答】解：对于，因此，故选：．【点评】这是一个集合的常见题，属于基础题之列．4．【分析】运用列举法和不等式的性质，逐一进行判断，即可得到结论．【解答】解：对于，若，，则，故不成立；对于，若，比如，，则，故不成立；对于，若，比如，，则，故不成立；对于，若，则，，即有，即，则，故成立．故选：．【点评】本题考查不等式的性质和运用，注意运用列举法和不等式的性质是解题的关键．5．【分析】根据题意，易得，，由集合的元素数目与集合子集数目的关系，可得其子集的数目，排除其本身这个子集后可得其真子集的数目，即可得答案．【解答】解：根据题意，全集，2，，且，则，，的子集有个，其中真子集有个；故选：．【点评】本题考查集合的元素数目与集合子集数目的关系：若中有个元素，则有个子集．6．【分析】把代入函数，能求出（5）的值．【解答】解：函数，（5）．故选：．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．【分析】已知函数的定义域是，分别判断四个函数的定义域和对应关系是否和已知函数一致即可．【解答】解：．函数的定义域为，两个函数的定义域不同．．函数的定义域为，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．．函数的定义域为，，对应关系不一致．．函数的定义域为，两个函数的定义域不同．故选：．【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致，否则不是同一函数．8．【分析】利用奇函数与偶函数的定义判断即可．【解答】解：因为函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为偶函数．故选：．【点评】本题考查了奇函数与偶函数定义的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．9．【分析】定义在上的偶函数在上是减函数，由偶函数的性质可得出，它在上是增函数，由此得到函数图象的变化规律，由此规则比较出（3）、、的大小，得出正确选项【解答】解：定义在上的偶函数在上是减函数此函数在上是增函数由此知，函数图象上的点离轴越近，函数值越大（3）观察四个选项知，选项是正确的故选：．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，解题的关键是熟练掌握函数的奇偶性与函数单调性的关系，从而研究出函数在定义域上的单调性，比较出函数值的大小，本解法巧妙利用函数的性质得出函数图象的变化规律，由此得出三个函数值的大小，规律性强，值得借鉴10．【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由得或，由得或，则“”是“”的必要不充分条件，故选：．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系是解决本题的关键，是基础题．11．【分析】本题考查的是函数的图象和分段函数的综合类问题．在解答的过程当中，首先应该直线的运动位置分析面积的表达形式，进而得到分段函数：然后分情况即可获得问题的解答．【解答】解：由题意可知：当时，，当时，；所以．结合不同段上函数的性质，可知选项符合．故选：．【点评】本题考查的是函数的图象和分段函数的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分段函数的知识、分类讨论的思想以及函数图象的知识．值得同学们体会和反思．12．【分析】当时，不等式恒成立，当时，则有恒成立，故大于或等于的最大值．再利用基本不等式求得得最大值，即可得到实数的取值范围．【解答】解：当时，不等式恒成立，当时，则有，故大于或等于的最大值．由基本不等式可得，，即的最大值为，故实数的取值范围是，，故选：．【点评】本题主要考查函数的恒成立问题，基本不等式的应用，求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）.13．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0列式求解的范围得答案．【解答】解：由题意，，解得．函数的定义域是．故答案为：．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．14．【分析】当时，；当时，，由此能求出结果．【解答】解：函数，，当时，，解得或（舍；当时，，解得，不合题意．综上，．故答案为：．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．【分析】不等式的解集是，故3，2是方程的两个根，由根与系数的关系求出，可得．【解答】解：由题意不等式的解集是，故3，2是方程的两个根，，，故答案为：5；．【点评】本题考查一元二次不等式的应用，解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值．16．【分析】根据题中所给的式子进行构造，然后利用不等式性质可求最值．【解答】解：因为，可得，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是3．故答案为：3．【点评】本题考查基本不等式，注意合理构造，属于基础题．17．【分析】由题意可得，，，再运用基本不等式即可得到最小值，进而得到的范围．【解答】解：函数，且在，上恒成立，，，，，当且仅当，即时取等号，，，，即的取值范围是，．故答案为：，．【点评】本题考查函数恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题．18．【分析】①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数．【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为，第二天售出商品的种类集为，第三天售出商品的种类集为，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有种；②由①知，前两天售出的商品种类为种，第三天售出但第二天未售出的商品有种，当这14种商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为：①15；②29．【点评】本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生的逻辑思维能力，是中档题．三、解答题共6小题，共78分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.19．【分析】（Ⅰ）先解一元二次不等式求出集合，再根据集合的基本运算即可求解（Ⅱ）根据，建立条件关系即可求实数的取值范围．【解答】解：，或，，（Ⅰ）或，，（Ⅱ），或，，或，或，实数的取值范围，，．【点评】本题主要考查集合的基本运算，子集的应用，属于中档题．20．【分析】（1）不等式化为，求出解集即可；（2）不等式化为，求出不等式对应方程的两根并比较大小，从而求出不等式的解集．【解答】解：（1）不等式可化为，解得或，所以不等式的解集为或；（2）不等式可化为，不等式对应方程的两根为和，时，，不等式的解集为；时，，不等式的解集为或；时，，不等式的解集为或．【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式解法与应用问题，是基础题．21．【分析】（1）根据题意，将代入函数解析式，求解即可；（2）利用奇函数的定义判断并证明即可；（3）利用函数单调性的定义判断并证明即．【解答】解：（1）根据题意，函数，且（1），则（1），解得；（2）由（1）可知，，其定义域为，关于原点对称，又由，所以是奇函数；（3）在上是单调递增函数．证明如下：设，，因为，所以，，则，即，所以在上是单调递增函数．【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的判断，注意先求出函数的解析式，属于基础题．22．【分析】（1）根据面积确定的长，利用围墙（包括的修建费用均为每米800元，即可求得函数的解析式．（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：（1）设，则由题意可得，，且，故，解得，，故关于的函数解析式为，．（2），当且仅当，即时等号成立，故当为20米时，围墙（包括的修建总费用最小，最小值为96000元．【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式是解本题的关键，属于中档题．23．【分析】（Ⅰ）先求出集合，利用交集的定义可知，，从而求出的值，然后进行验证即可；（Ⅱ）由题意可知，然后分，，，，四种情况分别求解即可；（Ⅲ）先确定集合不是空集，然后利用，得到且，列出不等式组求解即可．【解答】解：（Ⅰ）集合，，因为，则，，又集合，则，整理可得，解得或，当时，，，符合题意；当时，，符合题意．综上所述，或；（Ⅱ）由题意，，因为，则，①当时，关于的方程无解，所以△，解得；②当时，，无解；③当时，，解得；④当，时，，无解．综上所述，实数的取值范围为，．（Ⅲ）关于的不等式的解集为，因为△，又，所以△，故，因为，则且，所以，解得或，故实数的取值范围为．【点评】本题考查了集合的综合应用，涉及了集合交集、并集、子集定义的理解与应用，元素与集合关系的应用，空集定义的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．24．【分析】（Ⅰ）直接利用新定义写出（2）和（2）的值，并用列举法写出集合；（Ⅱ）要使的值最小，1，3一定属于集合，不能含有以外的元素，所以当集合为，4，5，6，9，27，的子集与集合，的并集时，从而得出的最小值；先验