高中数学2.2《基本不等式》第2课时教学设计

《基本不等式》第2课时教学设计教材分析本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节《基本不等式》第2课时。从内容上看是对基本不等式在实际问题中应用的学习，通过问题解决，发展学生数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等数学核心素养。在学法上要指导学生：从实际问题中列出数量关系式，进而运用基本不等式解应用题，数学建模能力也是本节要体现的重要素养。对例题的处理可让学生先思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤。教学目标与核心素养课程目标学科素养A．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题；B．围绕如何引导学生分析题意．设未知量．找出数量关系进行求解这个中心。例题的安排从易到难．从简单到复杂，适应学生的认知水平；C．进一步培养学生学习数学．应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性．a．数学抽象：在实际问题中抽象出不等式；b．逻辑推理：运用基本不等式求最值的条件；c．数学运算：灵活运用基本不等式求最值；d．直观想象：运用图像解释基本不等式；e.数学建模：将问题转化为基本不等式解决；教学重难点1．重点：在实际问题中建立不等关系，并能正确运用基本不等式求最值；2．难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件课前准备多媒体教学过程教学过程教学设计意图核心素养目标（一）、小试牛刀1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意的a，b∈R，若a与b的和为定值，则ab有最大值．()(2)若xy＝4，则x＋y的最小值为4.()(3)函数f(x)＝x2＋eq\f(2,x2＋1)的最小值为2eq\r(2)－1.()答案：（1）×（2）×（3）√2．已知x＋y＝1且x>0，y>0，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值是()A．2B．3C．4D．6解析：法一：eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(x＋y,xy)＝eq\f(1,xy)≥eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2)＝4。当且仅当x＝y＝eq\f(1,2)时取等号。法二：eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(x＋y,x)＋eq\f(x＋y,y)＝2＋eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)≥4，当且仅当x＝y＝eq\f(1,2)时取等号．答案：C（二）、探索新知问题1.用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？AABDC解：（1）设矩形菜园的长为m,宽为m,则篱笆的长为2（）m由。可得，2（）等号当且仅当，因此，这个矩形的长、宽为10m时。所用篱笆最短，最短篱笆为40m结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两变量值相等时取最值.简记“积定和最小”.问题2.用段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为m,宽为m,则2（）=36，=18，矩形菜园的面积为。由可得.可得等号当且仅当因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积为81结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两变量值相等时取最值.简记“和定积最大”.（三）典例解析均值不等式在实际问题中的应用例1、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800深为3m。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价为多少元？分析：若底面的长和宽确定了，水池的造价也就确定了，因此可转化为考察底面的长和宽各为多少时，水池的总造价最低。解：设底面的长为m,宽为m,水池总造价为元。根据题意，有由容积为4800可得由基本不等式与不等式性质，可得即，可得等号当且仅当所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低造价为297600元跟踪训练1.某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000m2，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2m，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米．(1)分别写出用x表示y和S的函数关系式(写出函数定义域)；(2)怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？[解析](1)由已知xy＝3000,2a＋6＝y。则y＝eq\f(3000,x)(6<x<500)。S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)·eq\f(y－6,2)＝(x－5)(y－6)＝3030－6x－eq\f(15000,x)(6<x<500)．(2)S＝3030－6x－eq\f(15000,x)≤3030－2eq\r(6x·\f(15000,x))＝3030－2×300＝2430．当且仅当6x＝eq\f(15000,x)，即x＝50时，“＝”成立，此时x＝50.y＝60。Smax＝2430.即设计x＝50m，y＝60m时，运动场地面积最大，最大值为2430m2．2．某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格为每件x(50≤x≤80)元时，每天销售的件数为eq\f(105,x－402)，若想每天获得的利润最多，则销售价应定为多少元？解析：方法一：设当销售价格为每件x元时，获得的利润为y，由题意知，y＝(x－50)·eq\f(105,x－402)＝(x－50)·eq\f(105,x－502＋20x－50＋100)＝eq\f(105,x－50＋\f(100,x－50)＋20).∵x－50≥0，∴x－50＋eq\f(100,x－50)≥20。∴y≤eq\f(105,20＋20)＝2500。当且仅当x－50＝eq\f(100,x－50)，即x＝60或x＝40(舍去)时，等号成立，ymax＝2500.方法二：由题意知，y＝(x－50)·eq\f(105,x－402)。令x－50＝t，x＝t＋50(t≥0)。则y＝eq\f(105t,t＋102)＝eq\f(105t,t2＋20t＋100)＝eq\f(105,t＋\f(100,t)＋20)≤eq\f(105,20＋20)＝2500。当且仅当t＝eq\f(100,t)，即t＝10时，等号成立。此时x＝60，ymax＝2500.答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多，最多利润为2500元．【归纳总结】求实际问题中最值的一般思路(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式．(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性．(4)正确写出答案．利用基本不等式证明简单的不等式例2已知a,b都是正数,且a+b=1.求证:1+1分析:结合条件a+b=1,将不等式左边进行适当变形,然后利用基本不等式进行证明即可.证明:因为a>0,b>0,a+b=1.所.同.故5+2ba+ab≥5+4所以跟踪训练1.已知：a，b，c∈R＋，求证：eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c.证明：由基本不等式：eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)≥2eq\r(\f(bc,a)·\f(ca,b))＝2c。同理：eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥2a，eq\f(ab,c)＋eq\f(bc,c)≥2b.三式相加即得：eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c(当且仅当a＝b＝c时取“＝”)．【归纳总结】利用不等式a2＋b2≥2ab和a＋b≥2eq\r(ab)(a＞0，b≥0)时，关键是对式子恰当地变形。合理造成“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用．