湘教版七年级数学下册解题技巧之平方差公式与完全平方公式的灵活运用 压轴题六种模型（原卷版）

专题07解题技巧专题：平方差公式与完全平方公式的灵活运

用压轴题六种模型全攻略

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目录

尸;I

事【典型例题】.............................................................................1

【考点一项的位置变换】.......................................................................1

【考点二项数的变换】.........................................................................1

【考点三简便运算变换】.......................................................................3

【考点四新定义型乘法公式运算】...............................................................3

【考点五连续相乘应用】.......................................................................4

【考点六整体代换应用】.......................................................................6

Li事【典型例题】

【考点一项的位置变换】

例题：（2023上•福建莆田,八年级校考期末）计算：（2y+x）（x-2y）=

【变式训练】

1.（2022上•八年级单元测试）计算：（-l-2a）（2a-l）.

2.（2023下•湖南娄底•七年级统考期末）计算：（4a+6）（-6+4a）=.

3.（2022上•上海黄浦•七年级统考期中）计算：（2a—b）（b+2a）=.

4.（2022上•上海宝山•七年级校考期中）计算：L-lV-a-lL；

【考点二项数的变换】

例题：（2023上•全国•八年级课堂例题）利用乘法公式简化运算:

⑴(a+2b+c)z；

(2)(x-2y+3z)(x+2y-3z).

【变式训练】

1.(2023上•河南信阳•八年级校考阶段练习)用乘法公式计算

(l)(x+y+z)2

⑵(2x-3+y)(2x-y+3)

2.(2023上•天津和平•八年级天津市第二南开中学校考开学考试)运用乘法公式计算:

(1)(X+J+1)(X+J-1)

(2)3+26-1)2

3.(2023上•全国•八年级专题练习)计算：

(l)(a+6+l)(o+6—1)

(2)(m—2"+p)~

4.(2023上•全国•八年级专题练习)计算题：

(1)(。—2b—3c)-；

(2)(x+2y—z)(x—2y—z)—(x+y—z)2.

【考点三简便运算变换】

例题：(2024下,全国•七年级假期作业)计算：

(1)298x302；

⑵20032.

【变式训练】

1.(2022下•湖南郴州•七年级校考期中)用简便方法计算下列各题.

(1)197x203；

(2)9982.

2.(2023上•吉林长春•八年级校考期中)用简便方法计算：

(1)20232-2022x2024

(2)982+4x98+4

3.(2024下•全国•七年级假期作业)用简便方法计算：

(1)10.2x9.8；

(2)1992-199x201;

(3)999x1001+1.

【考点四新定义型乘法公式运算】

例题：(2023上•甘肃兰州•七年级兰州市第五十五中学校考开学考试)对于任意的代数式a,b,c,d,我们

ab(x-y)2x

规定一种新运算：，="d-be.根据这一规定，计算:、=_____________.

ca-3y(x+刃

【变式训练】

ab

1.（2023下•重庆南岸•七年级校联考期中）对于实数。、b、c、d,规定一中运算jad—bc,那么当

ca

x+1x+2

=2023时，x=.

x-3x-1

2.（2023下广东揭阳七年级统考期中）现定义一种运算他，对任意有理数相，w规定：m㊉"=

如：1㊉2=lx2（l-2）=-2,则（。+3㊉（。一切的值是.

【考点五连续相乘应用】

例题：（2023下•湖南常德•七年级统考期中）计算：211+［。+/1+31+^|+击=

【变式训练】

1.（2023上,天津和平•八年级天津市第二南开中学校考开学考试）如图，在边长为。的正方形上裁去边长为

（1）图1,阴影面积是;

（2）图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式

（3）运用得至ij的公式，计算：

2.（2023上•河南新乡•八年级校考阶段练习）观察下面解题过程，解答问题：

题目：化简（2+1）X（22+1）X（24+1）

解：原式=（2—1）X（2+1）X（22+1）X（24+1）

=（22-1）X（22+1）X（24+1）

=（24-1）X（24+1）

=28-1

问题：化简（3+l）x（32+1）x04+1）x08+l）x…xF+l）.

3.(2023上•福建泉州,八年级校考阶段练习)乘法公式的探究及应用.

⑴如图1,可以求出阴影部分的面积是(写成两数平方差的形式)；

⑵如图2,若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是,长是,面积是

.(写成多项式乘法的形式)

(3)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式.(用式子表达)

⑷运用你所得到的公式，计算下列各题：

①10.3x9.7；

②(2m+n-p)(2m-n+p).

③计算卜卜

4.(2023上•四川内江•八年级四川省内江市第二中学校考阶段练习)对于一些较为复杂的问题，可以先从简

单的情形入手，然后归纳出一些方法，再解决复杂问题.

【简单情形】化简

(1)(x-l)(x+l)=；

(2)(X-1)(%2+x+l)=；

(3)(兀-1)(%3+%2+%+])=.

【复杂问题】化简

(4)(x-l)(^2023+x2022+^2021++x+l)=；

【总结规律】

(5)观察以上各式，可以得到：(无一1乂尤"一+尤T+L+尤+1)=；

【方法应用】

(6)利用上述规律，计算223+22侬+22。。++2+1，并求出该结果个位上的数字.

【考点六整体代换应用】

例题：(2023上•甘肃平凉•八年级统考期末)阅读理解:

已知a+Z?=5,ab=3,求标+/的值.

解:团a+〃=5,

团(Q+Z?)2=25,BPa2+2ab+b2=25，

ab=3,

^\a2+b2=(a+Z?)2—2ab=19,

参考上述过程解答：

⑴若无7=-3,xy=-2.

@x2+y2=；

②求(尤+丫)？的值；

(2)已知x+y=7,x2+y2=25,求(x-y)2的值.

【变式训练】

1.(2023上•四川内江•八年级校考期中)已知：(2a+26+l)(2a+26—1)=99,则。+〃的值为

2.(2023上•山东临沂•八年级校考阶段练习)如果(/+〃+2)(标+廿—2)=45,贝。?+/的值为.

3

3.(2023上•甘肃天水•八年级校联考期中)(1)已知a-b=5,ab=],求的值.

(2)已知(a+6)2=36,3-6)2=4求:1+力,和曲的值.

4.(2023上•上海浦东新•七年级统考期中)已知x-y=-5,孙=3,求下列各式的值：

⑴♦+:/；

⑵(3x+2)(3y-2)；

(3)(x+y)2.

5.(2023上•湖北武汉・八年级校考阶段练习)(1)计算：(a