苏科版七年级数学下册复习：三角形（五种模型）专项训练（解析版）

专题02三角形（五种模型）专项训练

题型一：“8”字模型题型二：飞镖模型

题型三：“A”字模型题型四：“老鹰捉小鸡”模型

题型五：（双）角平分线模型

题型一、“8”字模型

A

D乙----------

三角形三个内角的和等于180°

对顶角相等

一.填空题（共6小题）

1.（2022春•江都区月考）如图所示，Zb=60°,则44+/5+/。+/。+/£+//的度数为_240。

关BC

【分析】根据三角形内角和定理得到ZB与NC的和，然后在五星中求得N1与另外四个角的和，加在一起即

可.

【解答】解：由三角形外角的性质得：N3=NA+NE,Z2=ZF+ZD,

Zl+Z2+Z3=180°,4=60。，

/.Z2+Z3=120°,

即：ZA+ZE+ZF+ZD=120°,

ZB+ZC=120°,

7.ZA+NB+NC+ZD+N石+N尸=240。.

故答案为：240°.

B

【点评】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目中的六个角分成

两部分来分别求出来，然后在加在一起.

2.（2022春•东台市月考）NA+NB+NC+NO+NE+N尸的度数=_360。_.

【分析】连接CD,根据三角形的内角和定理即可证得ZA+ZB=ZBDC+ZACD,则

ZA+ZB+Z.C+ZD+ZE+ZF=ZBDC+ZACD+ZACF+ZBDE+ZE+ZF=ZEDC+ZFCD+ZE+ZF,根据四

边形的内角和定理即可求解.

【解答】解：连接8.

在ACDW和中，ZDMC=ZBMA,

:.ZA+ZB=ZBDC+ZACD,

:.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=ZBDC+ZACD+ZACF+ZBDE+ZE+ZF=ZEDC+ZFCD+ZE+ZF=360P

故答案为：360°

【点评】本题考查了三角形的内角和以及四边形的内角和定理，正确证明NA+NB=NBDC+NACD是关键.

3.（2022春•涟水县校级月考）如图，/4+々+/。+"+4+//的度数为_360。_

【分析】根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360。可得NA+NB+NC+ND+NE+N/的度数.

【解答】解:如图,

Z1=Z2+ZF=ZB+ZE+ZF,Z1+ZA+ZC+ZD=360°,

NA+4+NC+NO+NE+NF=360°,

故答案为：360°.

【点评】此题考查三角形的内角和，角的和与差，掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键.

4.（2022春•宜兴市校级月考）如图，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°.

【分析】如图根据三角形的外角的性质，三角形内角和定理可知：ZDNC+ZD+ZC=18Q°,由三角形外角

性质可知：ZAMB=ZA+ZE,ZDNC=ZB+ZAMB,根据三个等式即可求解.

【解答】解：如图，设线段%>,3E分别与线段AC交于点N,M.

ZAMB=ZA+ZE,ZDNC=ZB+ZAMB,Z£WC+ZD+NC=180°,

ZA+ZB+ZD+ZE+ZC^l80°,

故答案为：180.

【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟记三角形的外角定理及内角和是解题的关键.

5.（2022春•苏州月考）如图，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG=540°.

【分析】利用三角形外角性质得到Z1=ZB+ZF+ZC,然后利用五边形的内角和求

ZA+ZB+NC+"+ZD+NE+NG的度数.

【解答】解：如图,

Z1=ZB+Z2,

而N2=Nb+NC,

;.Z1=ZB+ZF+Z.C,

-ZA+Z1+ZD+ZE+ZG=ZA+ZB+ZC+ZF+ZD+ZE+ZG=(5-2)x180°=540°.

故答案为540.

【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理：（〃-2）.180（几.3）且〃为整数），此公式推导的

基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（w-3）条对角线，将n边形分割为（附-2）个三角形，这（n-2）个三

角形的所有内角之和正好是“边形的内角和.也考查了三角形外角性质.

6.（2023春•广陵区期中）如图所示，求Z4+NB+NC+ND+NE+Nb+NG=540度.

【分析】连接DG,根据多边形的内角和定理得出NA+NAGF+N1+N2+N田C+NC+ZB=54O。，根据三

角形内角和定理和对顶角相等求出Nl+N2=NE+Nb,代入求出即可.

【解答】解:

连接DG,

Zl+Z2+ZG(9D=180o,ZE+ZF+ZEOF=180°,

又iZ.GOD=ZEOF,

.-.Z1+Z2=ZE+ZF,

ZA+ZAGF+Zl+Z2+ZEE>C+ZC+ZB=（5-2）xl80°=540°,

ZA+ZB+ZC+ZEDC+ZE+ZF+ZAGF=540°,

故答案为：540.

【点评】本题考查了多边形的内角和定理，能根据定理得出ZA+ZAGF+Z1+Z2+NEDC+NC+Z.B=540°

和4+N2=NE+NF是解此题的关键.

二.解答题（共2小题）

7.（2022春•靖江市校级月考）已知，如图，线段AD、CB相交于点O,连结AB、CD,NZMB和NBCD

的平分线"和CP相交于点P.试问“与ND、NB之间存在着怎样的数量关系，请说明理由.

【分析】根据“8字形”可得NaLB+N3=NOCD+ND,Z1+ZP=Z2+ZD,由角平分线的定义可得

ZOAB=2Z1,NOCD=2N2,整理可得结论.

【解答】解：2ZP=ZB+ZD,理由如下：

在AAOB和NCOD中，

ZAOB=NCOD,

:.ZOAB+ZB=ZOCD+ZD,

在AAEP和ACED中，

ZAEP^ZCED,

.-.Z1+ZP=Z2+ZD,

AP.CP分别是NZMB和NBCD的角平分线,

:.ZOAB=2Z1,NOCD=2/2,

:.2ZP-ZB=2ZD-ZD,

整理得，2ZP=ZB+ZD.

【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体

思想的利用是解题的关键.

8.(2023春•靖江市期末)小明在学习过程中，对一个问题做如下探究.

如图，在AABC中，射线交AC于点。，点E是线段AD上的任意一点，过点E作EP/ABC交直线

于点直线EG与射线交于点G.

(1)如图1,若Z4BC=50。，ZACB=60°,ZCBD=ZABD,ZFEG=ZCEG,则55。；

(2)如图2,若NA=70。，NCBD=2ZABD,NFEG=2NCEG,则NBGE=°；

(3)如图3,若NCBD=nZABD,NFEG=nNCEGQi..1),则探索NBGE与NA之间的数量关系，并说明理

由.

(4)如图4,在(3)的条件下，若点E在线段DC上运动(此时G在AABC外部)，或在线段DC的延长线

运动(此时G在AABC内部)，请在备用图中选择其中的一种情况画出示意图，探索N3GE与之间的数

量关系，并说明理由.

图1备用图？

【分析】(1)根据平行线的性质，求出4ED,NCBD的度数，再根据已知条件求出NEEG和N£FG,利

用外角性质即可求出;

(2)设NABD=x,NCEG=y,根据题意可得NCBD=2x,NFEG=2y,进而求出NFED=3y,NABC=3x,

根据三角形的内角和定理列出关于x,y的方程，求出x+y,利用外角性质即可求出；

(3)设=NCEG=y,根据题意可得NCBD="NASD,ZFEG=nZCEG,ZCBD=m,ZFEG=ny,

从而求出NEEG和NEFG,根据三角形的内角和定理列出关于x,y的方程，求出x+y,利用外角性质即

可求出；

(4)设ZABD=x,ZCEG=y,根据题意可得Z.CBD=nZABD,ZFEG=nZCEG,Z.CBD=nx,ZFEG=ny,

从而求出“EG和NEFG,根据外角性质把x+y用N3EG表示出来，利用NCEG,NFEG与NFEC的和是

周角即可求出.

【解答】解：(1)EF//BC,

:.NFED=ZACB=6O0,

ZABC^5O°,ZACB=G0°,ZCBD=ZABD,ZFEGZCEG,

ZCBD=ZABD=-ZABC=25°,ZFEG=ZCEG=-ZFED=30°,

22

EF!IBC

:.AEFG=NCBD=25°,

ZBGE=ZFEG+ZEFG=300+25。=55。,

故答案为55；

(2)设=NCEG=y,贝ljNC60=2x,ZFEG=2y,

ZCEG+ZFEG=ZFED=3y,ZABD+Z.CBD=ZABC=3x,

ZABC+ZACB=180°-ZA,ZA=70°,

/.3x+3.y=110°,

x+y=(^)°，

EF/IBC,

:.ZEFG=ZCBD=2x,

NBGE=NFEG+ZEFG=2x+2y=2(x+y)=(冒)。,

故答案为(2|2)；

(3)T^ZABD=X,ZCEG=y,

Z.CBD=nZABD,AFEG=nZ.CEG,

:.Z.CBD=nx,NFEG=ny,

EF//BC,

:.NEFG=/CBD=nx,

/.ZCEG+NFEG=ZFED=(〃+l)y,ZABD+ZCBD=ZABC=(〃+l)x,

EFIIBC,

/.ZFED=ZACB=(〃+l)y,

ZBGE=/FEG+NEFG=nx+=心+y),

ZBGE

x+y=--------,

n

ZABC+ZACB=180°-ZA,

(n+I)x+(n+l)y=180°—ZA,

.'.x+y=l80°—ZA—(nx+ny),

180°-ZA-NBGE=ZBGE,

n

..〃GE="(180-A)；

(4)如图所示：若点E在线段DC上运动(此时G在AABC外部),

图1

设=NCEG=y,

Z.CBD=nZABD,ZFEG=n/CEG,

Z.CBD=nx,/FEG=ny,

/.ZABC=(n+T)x,

ZA+ZABC+ZC=180°.

/.ZC=180°-(n+l)x-ZA,

EFIIBC,

ZFEC+ZC=180°,ZEFG=/CBD=nx,

o

.•.ZJFEC=180°-ZC=180-180°+(n+l)x+ZA=ZA+(n+l)x,

ZBGF+ZEFG+NFEG=180。,

Z.BGF+nx+=180°,

180°-ZBEG「厂

,\x+y=-----------------,nx+ny=118O0MQ—NBGF,

n

NCEG+/FEG+ZFEC=(〃+l)y+y+180°-ZC=360°,

/.y+ny+ZA+(n+l)x=360°,

:.nx-\-nyx+y+ZA=360°,

nZA~(n+1)ZBEG=180°(n-1).

【点评】本题主要考查了平行线的性质和三角形外角性质，解题关键是识别图形，找出角与角之间的相互关

系.

题型二、飞镖模型

三角形三个内角的和等于180°

三角形的外角等子与它不相邻的两个内角的和.

选择题（共2小题）

1.（2021春•盐湖区校级期末）如图，ZBDC=98°,ZC=38°,ZA=3T,NB的度数是（)

【分析】延长8交加于E,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出N1,再利用

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.

【解答】解:如图，延长CD交于E,

NC=38°,ZA=37°,

.•.Nl=NC+ZA=38°+37°=75°,

ZBDC=98。,

NB=ZBDC-Z1=98°—75°=23°.

【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键.

2.（2020春•沙坪坝区校级期中）如图，AABC中，Z4=3O。，。为CB延长线上的一点，于点E,

ZD=40°,则/。为（）

【分析】由于点E,ZD=40°,由三角形内角和定理可求出NABO=50。，再由三角形外角定理可

得NC=ZASD—ZA=50°—30°=20°.

【解答】解：DEYAB,

:.ZDEB=9Q°,

ZD=40°,

ZABD=180°-ZD-ZDEB=50°,

ZABD=ZA+ZC,ZA=30°,

ZC=ZABD-ZA=50°-30°=20°.

故选：A.

【点评】这道题考查的是三角形内角和定理及三角形的外角定理，一定要熟记定理.

填空题（共1小题）

3.（2023春•高新区校级期中）如图，作CELAF于点E,CE与斯相交于点。，若NF=45。，ZC=30°,

则Z4=60。,ZDBC=°.

【分析】首先利用垂直的定义和三角形的内角和定理可以求出N4,然后利用三角形的外角和内角的关系可

以求出ND3C.

【解答】解：CEYAF,

ZAEC^ZFEC=90°,

ZC=30°,

,-.ZA=90°-30°=60°,

y.ZDBC=ZF+ZA,"=45°

ZDBC=60°+45°=105°

故答案为：60；105.

【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关

键.

三.解答题（共4小题）

4.（2022春•衡山县期末）RtAABC中，NC=90。，点£＞、E分别是AA5c边AC、3c上的点，点P是一

动点.令NPDA=NI,NPEB=N2,ZDPE=a.

（1）若点尸在线段回上，如图（1）所示，且Na=60。，则4+/2=_150。_；

（2）若点尸在线段至上运动，如图（2）所示，则/a、/I、N2之间的关系为—；

（3）若点尸运动到边他的延长线上，如图（3）所示，则/&、Nl、N2之间有何关系？猜想并说明理由;

（4）若点P运动到AA5c形外，如图（4）所示，则/o、N1、N2之间有何关系？猜想并说明理由.

c

图1图2

【分析】(1)由平角的定义得出，ZCDP=180-Zl,ZCEP=180-Z2,最后用四边形CDPE的内角和是

360。即可求得4+N2.

(2)同(1)的方法.

(3)利用三角形的外角的性质即可得出结论.

(4)利用外角的性质和对顶角相等即可得出结论.

【解答】解：(1)由平角的定义知，

Zl+NCDP=180°,Z2+ZCEP=180°,

在四边形CD尸E中，NCDP+Ne+NPEC+NC=360。，

即(180。-Zl)+Z«+(180°-Z2)+ZC=360°,

180°-Zl+Za+180°-Z2+90°=360°,

.•.Zl+Z2=90°+a.

当ct=60。时，Zl+Z2=150°.

故答案为：150°.

(2)由(1)知，Zl+Z2=90°+cr.

故答案为：90°+«.

(3)Zl=90°+Z2+Z«.理由如下：

由三角形的外角的性质知，

ZDMC=Z2+Za,

Z1=ZC+ADMC,

.-.Zl=ZC+(Z2+Za),

SPZl=90o+Z2+Za.

(4)Z2=90°+Zl-Z«.理由如下：

由三角形的外角的性质知，

Z2=Z.CFE+ZC,

Z1=ZPFD+Za,

■ZCFE=ZPFD,

.-.Z2-ZC=Zl-Za,

.-.Z2=ZC+Z1-Z«,

即Z2=90°+Zl-Za.

【点评】本题的考点是三角形内角和定理，主要考查了三角形的内角和、四边形的内角和、三角形的外角的

性质、平角的定义，解本题的关键是把/I,N2,4转化到一个三角形或四边形中.

5.（2022春•乐平市期末）在AABC中，两条高3D、CE所在的直线相交于点O.

（1）当4L4c为锐角时，如图1,求证：ZBOC+Zfi4C=180o.

（2）当N54C为钝角时，如图2,请在图2中画出相应的图形（用三角尺），并回答（1）中结论是否成立？

不需证明.

图1图2

【分析】（1）利用直角三角形的两个余角相等、同角的余角相等，得出NBAC=NBOE,把NBOC+44c

转化为平角NCOE.

（2）根据题意，分别作出AB、AC边上的高，根据（1）的证明思路得出（1）的结论在㈤C为钝角时依

旧成立.

【解答】解：（1）证明：BD、CE是AABC的两条高，

:.ZADB=ZCEB=90°

ABAC+ZABD=90°,

ZBOE+ZABD=90°,

;.ZBAC=ZBOE（同角的余角相等），

ZBOC+ZBAC=ZBOC+Z.BOE（等量代换），

ZBOC+ZBOE=180°（平角的定义），

ZBOC+ZBAC=1SQ0.

（2）

、/

力s

B

成立.

理由:

BD、CE是AABC的两条高，

:.NOEB=ZBDC=90。

:.ZBOC+ZOBE=90°,

ZDAB+ZOBE=90°

:.ZBOC=ZDAB（同角的余角相等），

ABOC+ZBAC=ZDAB+ABAC（等量代换），

ZDAB+ABAC=180°（平角的定义），

:.ZBOC+ZBAC=\SO°.

【点评】本题考查了三角形内角和定理，综合运用了直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、平角的

定义.

6.（2021秋•安宁市校级期中）如图，求证：ZBDC=ZA+ZB+ZC.

【分析】作射线AD,根据三角形的外角性质得到N3=N3+N1,Z4=ZC+Z2,两式相加即可得到结论;

【解答】证明：作射线AD,如图，

Z3=ZB+Z1,Z4=ZC+Z2,

Z3+Z4=ZB+ZC+Z1+Z2,

:.ZBDC=ZB+ZC+ZA.

【点评】本题考查了三角形的外角性质：三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和.也考查了三角形

内角和定理.

7.（2020春•锡山区期中）探究与发现：

如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个

简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：

（1）观察“规形图”，试探究N叨C与N4、NB、NC之间的关系，并说明理由；

(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题:

①如图2,把一块三角尺X1Z放置在AABC上，使三角尺的两条直角边XT、AZ恰好经过点3、C,若

ZA=50°,则NA£X+NACX=40。；

②如图3,DC平分NAD3,EC平分ZAEB,若NZME=5O。，ZDBE=130°,求NDCE■的度数；

③如图4,ZABD,NACD的10等分线相交于点GrG?…、G,,若N3DC=14O。，ZBG1C=77°,求

的度数.

图(1)图(2)图(3)图(4)

【分析】(1)根据题意观察图形连接4)并延长至点P，由外角定理可知，一个三角形的外角等于与它不相

邻的两个内角的和，则容易得到NeOF=NS4T>+Nfi,ZCDF=ZC+ZCAD,相加即可得结论；

(2)①由(1)的结论可得NABX+NACX+NA=/BXC,然后把NA=50。，N5XC=90。代入上式即可得

到NABX+NACX的值.

②结合图形可得NDBE=NZME+/4QB+/4EB,代入NZME=5O。，NDBE=13O。即可得到Z4DB+N/回

的值，再利用上面得出的结论可知ZDCE=g(NAD8+ZAEB)+NA,易得答案.

③由(2)的方法，进而可得答案.

【解答】解：(1)连接4)并延长至点

由外角定理可得NBDF=/a4£>+NB,Z.CDF=AC+ACAD

且ZBDC=ZBDF+/CDF及ZBAC=ZBAD+ACAD；

相加可得NBDC=44C+NB+NC；

(2)①由(1)的结论易得：ZABX+ZACX+ZA^ZBXC,

又因为NA=50。，ZBXC=90°,

所以ZABX+ZACX=90°-50°=40°；

故答案为：40.

②由(1)的结论易得NDBE=/4+/4DB+NAEB,易得/403+//回=80。；

而NDCE=1(ZADB+ZAEB)+ZA,

代入NZME=50°,ZDBE=130°,易得4>CE=90°；

③NBG、C=看(^ABD+ZACD)+ZA,

N3Gle=77。，

二.设NA为工。，

ZABD+ZACD=lAO°-jf

「•吃(140—x)+x=77,

14-----x+%=77,

10

x=70

:.ZA^J7O0.

【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系.

题型三、“A”字模型

A

/\

BC

三角形三个内角的和等于180°

三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和.

一.选择题（共1小题）

1.（2023春•吴江区月考）已知如图，AABC为直角三角形，NC=90。，若沿图中虚线剪去NC,则N1+N2

等于（）

B

二

CA

A.315°B.270°C.180°D.135°

【分析】利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答.

【解答】解：N2是ACDE的外角，

.-.Z1=Z4+ZC,Z2=Z3+ZC,

即Z1+Z2=2ZC+(Z3+Z4),

Z3+Z4=180°-ZC=90°,

Z1+Z2=2x90°+90°=270°.

故选：B.

【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和.

二.填空题（共4小题）

2.（2023春•常熟市期末）如图，在AABC中，点。、E分别是他，AC的中点，若AABC的面积为2,则

四边形DBCE的面积是-.

-2-

【分析】由三角形中位线定理可得DE//BC,BC=2DE,通过证明AABC^^ADE,可得黑些=（―）2=-,

S*BC4

即可求解.

【解答】解：D、E分别是钻、AC的中点，

:.DE//BC,BC=2DE,

AABC^AADE,

.5AAp月_2_1

~BC-"

AABC的面积为2,

•S-2」」，

…0AA£>£一,4一2

/.四边形NCE的面积=2——=-,

22

故答案为：

2

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的面积比=相似比的平

方是解题的关键.

3.（2023春•天宁区校级期中）如图，在AA5c中，ZA=irf,NABC和NACD的平分线交于点儿，得幺,

幺2C和）的平分线交于点为，得N4,…，4％203c和N&ozoC。的平分线交于点A。》，得N&m，

N4⑼BC和乙42MCD的平分线交于点&侬，得乙421H2,则4/22=一3—度•

【分析】根据角平分线的性质可得N&CD=,ZAlBD=^ZABC,再根据外角的性质可得幺=；NA,

找出规律即可求出乙为必.

【解答】解：3平分NABC,A。平分NACD,

:.ZAlCD=^ZACD,幺SD=gzABC,

.-.ZA=ZAlCD-ZAlBD^^ZACD-^ZABC=^ZA,

同理可得N4=g44,=（g）2ZA,

"4。22=§产4,

ZA=jrf，

•/\=1n。

一0门2022—22022，

故答案为：萦.

【点评】本题考查了角平分线的性质与规律的综合，涉及三角形外角性质，找出乙4,和NA之间的规律是解

题的关键.

4.（2023春•江阴市期中）如图所示，AABC中，D、E为BC,上的两点，且AB=3BE,,

若AABC面积为30,则四边形ODBE的面积为」

A

;

BDC

【分析】过E作所//CD交AD于尸，连接DE,首先利用已知条件求出ABEC的面积，然后利用

SMBD=无皿得到BD=CD,接着证明AAEF^AABD.,AEFO^ACDO,利用相似三角形的性质即可求解.

【解答】解：过E作EF//CD交/1D于尸，连接DE,

AABC面积为30,AB=3BE,

'''SmEC=1。，

:.BD=CD,

一S岫ED=S&EDC=5

AB=3BE,BD=CD,EF//CD,

:.AAEF^AABD,A£F*ACDO,

,EF_AE_2

而一花一W'

.EF_EO_2

”而一次-3'

22

'''S皿D=《0c=《x5=2,

四边形ODBE的面积=S^ED+S^OD=5+2=7.

故答案为：7.

【点评】此题主要考查了三角形的面积，同时也利用了相似三角形的性质与判定，有一定的综合性，对于学

生的能力要求比较高.

5.（2023春•南京期末）如图，四边形ABOC中，44c与NBOC的角平分线相交于点P,若NB=16。，

ZC=42°,则/P=13°.

【分析】本题求々的度数需构造三角形，利用三角形的外角等于不相邻的两个内角的和表示角同时根据内

角和定理进而作答.

【解答】解：延长CO交至于点D,OC与AP交于点E,

根据三角形的外角的性质，

ZBDC=ZC+ZBAC=42?+2ZBAP,

ZBOC=ZB+ZBDC=58°+2ZBAP则ZCOP=29°+ZBAP,

根据三角形的内角和定理，

ZCOP+ZP=ZC+ZBAP,

所以NP=NC+NH4P-NCO尸=13°,

故答案为：13.

【点评】本题考查三角形的外角性质和三角形的内角和定理，解题的关键是构造三角形并根据等量变换进行

计算.

三.解答题(共3小题)

6.(2023春•丹阳市校级期末)【问题背景】

AA5c中，班>是角平分线，点E是AB边上的一动点.

【初步探索】

如图1,当点E与点A重合时，ZBED的平分线交于点O.

(1)若44C=50。，ZABC=60°,则N£OD=55。；

图1图2图3

【变式拓展】

当点E与点A不重合时，连接ED,设NADE=(z,ZACB=J3.

(1)如图2,/BED的平分线交8D于点O.

①当<z=50°,£=80°时，ZEOD=°；

②用£、尸的代数式表示/£OD=；

(2)如图3,NACB的平分线与BD相交于点O,与的平分线所在的直线相交于点尸(点、F与点、E

不重合)，直接写出点尸在不同位置时NF与NCOD之间的数量关系.(用含，、£的代数式表示)

【分析】【初步探索】

(1)根据已知条件，求出NABO,ZBEO,再利用外角性质求出即可；

(2)方法如(1),把度数换成〃即可；

【变式拓展】

(1)①根据三角形内角和定理把NABC+NACB用NA表示出来，再利用外角性质，把/跖D用表示出

来，求出NEOD即可；

②方法如①，把度数换成C,力即可；

(2)分两种情况讨论：①当点P在AABC内部时，②当点尸在AABC的外部时，利用角平分线的性质和三

角形外角性质和三角形内角和定理，把NCOD,NF用含有ZADE,NACB的式子表示出来，再进行

代换即可.

【解答】解：【初步探索】

(1)当点E与点A重合时，

是角平分线，N3ED的平分线交于点O,NBEC=50。,NABC=60。，

ZABO=-ZABC=30°,ZBEO=-ZBEC=25°,

22

ZEOD=ZABO+ZBEO=30°+25°=55°；

故答案为：55°；

(2)ZABC+ZC+ZBAC=180°,ZC=nf,

ZABC+ABAC=(180-m)°,

BD,EO平分NABC和44C,

ZABO=-ZABC,ZBAO=-ABAC,

22

NEOD=ZABO+ZBEO=1(ZABC+ZBAC)=1(180-m)°=(90-1m)°；

故答案为：(90-grri)°;

【变式拓展】

(1)当点E与点A不重合时，

①。BD,EO平分NABC和NBAC,

NEBO=|ZABC,NBEO=|ABED,

NC=£=80。，

ZA+ZABC=180°-ZC=100°,

:.ZABC=100°-ZA,

ZBED=ZA+ZADE,ZADE=a=50°,

:.ZBED=ZA+5Q0,

ZEOD=ZEBO+ZBEO=1ZABC+1ABED=1(100°-ZA)+1(ZA+50°)=75°,

故答案为：75°;

②-BD,EO平分NABC和NfiAC,

NEBO=~ZABC,NBEO=|ABED,

/C=B,

.\ZA+ZABC=180°-^,

ZABC=180°-^-ZA,

XBED=XA+AADE,XADE=a，

/.ABED=ZA+a,

ZEOD=ZEBO+ZBEO,

=g(ZABC+ZBEO),

=1(18O°-/7-ZA+ZA+a),

故答案为：(90-1^+|a)°;

(2)分两种情况讨论：①当点尸在AABC内部时，如图所示:

BO,CO分别平分NABC,ZACB,

ZOBC=-ZABC,NOCB=-ZACB,

22

ZCOD=ZOBC+Z.OCB,

=-ZABC+-ZACB,

22

=^(ZABC+ZACB),

=1(180°-ZA),

=90°--ZA,

2

ZA=180°-2ZCOD,

EF平分ZAED,

:.ZFEG=-ZAED,

2

ZF=180°-ZFEG-ZFGE,

NFGE=NDGE,ZDGE=ZADE-ZACG=ZADE--ZACB,

ZF=180°--ZAED-ZADE+-ZACB,

22

=180°--(180°-ZA-ZADE)-ZAD£,+-ZACB,

22

=9Q°+-ZA--ZADE+-ZACB,

222

=90°+1(180°-2ZCOD)-1«+|^,

=180°-ZCOD--a+-G,

22

ZF+ZCO£>=180°-1(«-/?)；

②当点P在AABC的外部时，如图所示：

CO平分NACB,EG平分

ZOCD=-ZACB=~B,ZAEG=-ZAED,

222

在ACOD中，

ZCOD+ZDCO+ZODC=180°,

ZCOD=180°-NOCD—NODC,

=180°-1^-(ZA+ZABD)

=180°-1^-ZA-|zABC

=180°--^-ZA--(180°-ZA-ZACB)

22

=180°--^-ZA-90°+-ZA+-^

222

=90°--ZA,

2

在AC尸G中，,N尸+NFCG+NFGC=180。，

ZF=180°-ZFCG-ZFGC

=180°-1zACB-(ZA+ZAEG)

=18O°-1y0-ZA-ZAEG

=180°--/?-ZA--ZAED

22

=18O°-1/7-ZA-1(18O0-ZA-ZAEr))

=180°--^-ZA-90°+-ZA+-a

222

=90°+-a--/7--ZA,

222

ZCOD-ZF=90°-1zA-(90°+|a-1/7-|zA)

=90°--ZA-90°--«+-^+-ZA

2222

=：('-")，

综上可知：/尸与NCOE>之间的数量关系为：ZF+ZCO£>=180°-1(6Z-7?)^4ZCOD-ZF=.1(/?-«)；

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和三角形外角性质，解题的关键是识别图形，能够找出角与角之

间的关系.

7.(2023春•南京期末)如图，D、E、F、G是AABC边上的点，DE//BC,Z1=Z2.求证：DG//FC.

【分析】先由DE//3C得NAED=NACB,再利用三角形的外角性质证明NAGD=NACF即可.

【解答】证明：DE//BC,

:.ZAED=ZACB,

ZAGD=ZAED-Z1,ZACF=ZACB-Z2,Z1=Z2,

:.ZAGD=ZACF,

:.DG//FC.

【点评】本题主要考查了平行线的性质及判定、三角形的外角性质，熟练掌握各知识点是解决本题的关键.

8.（2023春•南京期中）如图，在AABC和AFBC中，幺,/尸.点尸与A位于线段BC所在直线的两侧,

若=时，请尝试探究：

（1）当尸在内部时，请直接写出NECF、NDB尸与NA的数量关系为_NECF+NDB尸=2NA_；

（2）当尸在外部时，请直接写出NECF、NDB尸与NA的数量关系为；

（3）若CG平分ZECF,BH平分■NFBD.无论点P在NA内部（如图③）还是44外部（如图④）时，都

有CGIIBH,请选择一幅图进行证明；

说明：选择图③证明得3分，选择图④证明得4分.

【一般化探究】

若/时，请尝试探究：

（4）若射线CG、BH分别是ZECF,/DB厂的〃等分线（“为大于2的正整数），且NECG=L/ECF,

n

ZHBD=~ZDBF.当CG//3”时，直接写出Z4与NF需满足的条件：.

n

【分析】（1）根据三角形内角和定理及平角的定义得到NECF+NDBA=NA+N/，再根据4=NB,即可

得出结论；

（2）根据三角形内角和定理及平角的定义得到NECF-NDB/=NA+N尸，再根据NA=NR,即可得出结

论；

（3）选图3证明，根据角平分线的定义及（1）中的结论得出NGCF+NHB尸=”,再根据平行线的性质

与判定证明即可；

（4）先根据平行公理的推论得到F7W//9,再根据平行线的性质及角平分线的定义即可得出与々的

关系.

【解答】解：(1)在AA5c中，ZA+ZABC+ZACB=180°,

在AFBC中，"+〃BC+NFC5=180。，

/.ZABC+ZACB+ZFBC+ZFCB=360°-(ZA+ZF),

ZECF+ZACB+ZFCB=180。,ZDBF+ZABC+ZFBC=180°,

/.ZABC+ZACB+ZFBC+ZFCB=360°-(ZECF+/DBF),

二ZECF+ZDBF=ZA+NF,

ZA=ZF,

:.NECF+ZDBF=2ZA,

故答案为：ZECF+ZDBF=2ZA；

(2)在AABC中，ZA+ZABC+ZACB=180°,

在AFBC中，ZF^ZFBC^-ZFCB=180o,

ZABC+ZACB+ZFBC+ZFCB=360°-(ZA+ZF),

ZECF+ZACB+ZFCB=184。,ZFBC-ZDBF+ZABC=180°,

/.ZABC+ZACB+ZFBC+ZFCB=360°-(ZECF-/DBF),

ZECF-ZDBF=ZA+ZFf

ZA=ZF,

:.ZECF-ZDBF=2ZA,

故答案为：AECF-ZDBF=2ZA^

(3)选择图③，

证明：如图，

E

③

过点尸作EA///CG,

ZGCF=ZCFM,

CG平分NECF,BH平分NDBF,

ZGCF=-ZECF,ZHBF=-ZDBF,

22

由(1)知ZECF+ZDBF=2ZA=2NF,

ZGCF+ZHBF=1(ZECF+/DBF)=ZF,

:.ZCFM+ZHBF=ZF,

ZCFM+ZBFM=ZF,

:.ZHBF=ZBFM,

:.CG//BH;

选择图④，

证明：如图，设班'与CG交于点N,

CG平分NECF,BH平分ZDBF,

ZGCF=-ZECF,ZHBF=-ZDBF,

22

同(2)可得：ZDBF-ZECF=2ZA,

ZA=ZF,

ZDBF-ZECF=2ZF,

ZHBF-ZGCF=1(ZDBF-ZECF)=ZF,

NRVG是AFCN的一个外角，

:.ZFNG=ZGCF+ZF,

即ZFNG-ZGCF=ZF,

:.ZFNG=ZHBF,

:.CG//BH；

(4)证明：ZA<ZF,

.♦.尸只能在ZA内部,

如图，过点尸作WW//CG,

E

:.FM/IBH,

连接AF,

FMUCG,

:.ZGCF=ZCFM,

又-FM//BH,

:.ZHBF=ZBFM,

又ZECG=-ZECF,ZHBD=-ZDBF，

nn

n—\n—1

...ZGCF=——ZECF,ZHBF=——ZDBF,

nn

:.ZBFC=NCFM+ZBFM

=NGCF+HBF

=NECF+ZDBF

nn

〃一1

=——(ZECF+ZDBF),

n

又ZECF=Z.CAF+ZAFC,ZDBF=ZBAF+ZAFB,

ZECF+ZDBF=ZCAF+ZAFC+ZBAF+ZAFB=ZBAC-bZBFC,

—1

..ZBFC=——(ZBAC+ZBFC),

n

1n—1

—NBFC=——ZBAC,

nn

:.ZBFC=(n-l)ZBAC,

即ZF=(/J-1)ZA.

故答案为：ZF=(M-1)ZA.

【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质及角平分线的定义，熟记三角形内角和是180。是解

题的关键，同时应熟练掌握平行线的性质与判定及角平分线的定义.

题型四、“老鹰捉小鸡”模型

A

三角形三个内角的和等于180°

三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和.

选择题(共4小题)

1.(2023春•滨湖区期中)如图，把AABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形3CDE内时，则Z4与N1+N2

之间有始终不变的关系是()

A.ZA=Z1+Z2B.2zl4=Zl+Z2C.3ZA=Z1+Z2D.3ZA=2(Z1+Z2)

【分析】根据N1与4㈤□的2倍和N2与Z4DE的2倍都组成平角，结合A曲的内角和为180。可求出答

案.

【解答】解：AABC纸片沿DE折叠，

Zl+2.ZAED=180°,Z2+1ZADE=180°，

ZAED=1(180°一Zl),NADE=1(180°-Z2),

ZAED+ZADE=-(180°-Zl)+-(180°-Z2)=l80°--(Z1+Z2)

222

MDE中，ZA=180°-(ZAED+ZADE)=180°-[l80°-1(Z1+Z2)]=1(Z1+Z2),

即2N4=N1+N2.

故选：B.

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180。及图形翻折变换的性质是解答此

题的关键.

2.(2023春•巨野县期末)如图，在三角形纸片ABC中，ZA=60°,ZB=70°,将纸片的一角折叠，使点C

落在AABC外，若N2=18。，则/I的度数为()

B

A.50°B.118°C.100°D.90°

【分析】在AABC中利用三角形内角和定理可求出NC的度数，由折叠的性质，可知：ZCDE=ZC'DE,

ZCED=ZCED,结合N2的度数可求出NCED的度数，在ACDE■中利用三角形内角和定理可求出NCDE

的度数，再由/1=180。-/8£1-N。。式即可求出结论.

【解答】解：在AABC中，ZA=60°,ZB=70°,

ZC=180°-ZA-ZB=50°.

由折叠，可知：ZCDE=ZC'DE,ZCED=ZC'ED,

180°+N2

ZCED==99°,

2

ZCDE=180°-ZCED-ZC=31°,

Z1=180°-ZCDE-ZCDE=1800-2ZCDE=118°.

故选：B.

【点评】本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，利用三角形内角和定理及折叠的性质求出NCDE

的度数是解题的关键.

3.（2023春•定陶区期末）如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形3CDE外部时，则Z4

与Nl、N2之间的数量关系是（）

A.2ZA=Z1-Z2B.3ZA=2（Z1-Z2）C.3ZA=2Z1-Z2D.Z4=Z1-Z2

【分析】根据折叠的性质可得N4'=N4,根据平角等于180。用/I表示出/4ZM,根据三角形的一个外角等

于与它不相邻的两个内角的和