山东省威海市2023-2024学年高二年级上册期末考试数学试题（解析版）

高一财当

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选

择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

A={z|z=i"+—,neN*}

1.已知集合i”,则A兀素个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的四则运算求出复数z,得出复数的周期性，即可判断集合中的元素个数.

1

【详解】当〃=1时，2=i+_二i—i=0,当〃=2时，2=i?9+方=-1-1=—2,

ii2

.31=—i—-=0,当〃=4时，z=i4+t

当〃=3时,Z=1+—=1+1=2,

i3ii4

.51=i+』=i-i=0,当〃=6时，z=i6+^-=i2+^_=—1—1=—2,

当〃=5时,Z=1+—

i5ii6i2

.1,11=丁+，/+：=1+1=2,

当〃=7时,Z=17+—=i+工=—i—=0,当〃=8时，2二

i7ii

L,可知以上四种情况循环，故集合A={0,-2,2},A的元素个数为3.

故选：C

2.已知等差数列{4}的公差dwO,且%,%，%成等比数列，则幺=()

d

A.2B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】根据等差数列和等比数列的知识列方程，化简求得正确答案.

【详解】依题意，{4}是等差数列，且%,。3，%成等比数列，

所以a；=q•%,(4+2d)-=q(q+6d),

2

a；+4qd+4d2=a；+6axd,2d=axd,

由于dwO,所以q=2d,幺=2.

d.

故选：A

3.设匕，彩分别是空间中的直线4，,2的方向向量，Ae/-Be。・记甲：匕，v2,AB不共面，乙:

与4异面，则()

A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件

C,甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】从充分性和必要性的角度，结合异面直线的定义，即可判断和选择.

【详解】对空间中的任意两条直线4,4，

若4，为，反不共面，显然乙,4不可能平行或相交，两直线异面，充分性成立；

若是异面直线，根据异面直线的定义，定有用，V；，他不共面，必要性成立；

故甲是乙的充要条件.

故选：c.

4.已知点A(—2,4),B(-l,-3),若直线丁=近与线段A3有公共点，则()

A.kG(-oo,-2]u[3,+oo)B.ke[-2,3]

,11

C.ke(-co,--]o[—,+co)D.ke[--,—]

2323

【答案】B

【解析】

【分析】作出图像，求斜率范围即可.

若y=Ax与线段AB有公共点，分析y=依必过(0,0),且自从=-2,脸=3,则左e[—2,3].

故选：B

5.已知直线%-丁+1=。与圆必+y2一4》一2〉+根=0交于八，8两点，且|AB|=2j5,则实数加=

()

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】

【分析】求出圆心到直线的距离，由垂径定理得到方程，求出根=1,验证后得到答案.

［详解］%2+y2_4工_2,+根=0变形为(％-2)2+(^-1)2=5-m,

故5—加＞0,解得加＜5,故圆心为(2,1),半径为后二？，

设圆心(2,1)到直线x—y+l=。的距离为d，则4="T+1A/2,

由垂径定理得215-/=2a，解得切=1，满足要求

故选：D

6.已知双曲线C与椭圆二+9=1有相同的焦点可，F2,且P为C与椭圆的一个交点，若/耳P月=120,

则C的方程为()

22222222

A.工-匕=1B.土-匕=1C.土-匕=1D.土-二=1

201212203553

【答案】D

【解析】

【分析】设P在第一象限，设双曲线方程，由题意可得c的值，且有|助|-|尸鸟|=2"，|尸£|+|「心|=6,

结合余弦定理即可求得/的值，求出即可求得答案.

【详解】由题意可设双曲线方程为二一1=1,(。＞0,b＞0),

ab

由于双曲线C与椭圆口+产=1有相同的焦点K，F2,故°2=9—1=8,即|丹乙|=4后，

不妨设尸在第一象限，可为左焦点,心为右焦点，则IWHP61=2%\PFl\+\PF2\=6,

以上两式平方后相加减，得|「耳『+|「居|2=2°2+18,|p/7||p/7|=9-«2,

由于N片/工=120。,故忸!尸耳2+|尸刃2_2「耳卜|尸局85120,

则32=2/+i8+9—a?,，。？=5,则^=C2_。2=3,

22

故双曲线方程为土-乙=1,

53

故选：D

7.已知在空间直角坐标系中，直线/经过A(3,3,3),3(0,6,0)两点，则点P(0,0,6)到直线/的距离为()

A.6亚B.2A/3C.2\f6D.6

【答案】C

【解析】

【分析】先求投影长度，然后结合勾股定理即可得解.

\AB-AP\|9-9-9|

【详解】由题意第=(-3,3,-3),取=(一3,—3,3),所以=6,

网36

ABAP

所以点尸(0,0,6)到直线/的距离为,尸(

AB

故选：C.

8.一个边长为1的正方形被等分成9个相等的正方形，将中间的一个正方形挖掉如图(1)；再将剩余的每个

正方形都等分成9个相等的正方形，将中间的一个正方形挖掉如图(2),如此继续操作下去，到第九次操作

结束时，挖掉的所有正方形的面积之和为()

图⑴图(2)图⑶

9"_8"„8"—3"8"-18"-7"

A.B.--------D.

9"5・3"7-9"9"

【答案】A

【解析】

【分析】构造第九次新挖掉的面积为数列{4},结合等比数列的前九项和公式，即可求得结果.

【详解】设第九次新挖掉的面积为明,则第〃+1次新挖掉的面积为4+1，

Q2

根据题意可得，。〃+1=5。〃，又勾

I,公比为g的等比数歹U；

故数列｛q,｝是首项为

设第n次操作后，挖掉的面积之和为Sn,

n

18

1-

故+%++%=99"-8"

9"

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9.在复平面内，复数z对应的点的坐标是（_g,弓），则（）

A.z2+z+1^0B.z2二-zC.z3+1^0D.z=(z)2

【答案】AD

【解析】

【分析】根据题意,求得Z,结合复数的运算法则，逐个判断即可.

1

【详解】根据题意,Z=-----F乌.1

2V,

\2/

(11—iVl=0,故A正确;

对A：Z2+Z+」.L乌+——+乌3.1+一+

22)22J22)22J

13一二一旦,显然

对B：由A知，z2-------------1，Xzz2-Z,故B错误;

2222

【一乌

32

对C：Z=Z•Z=「5一丁+—i=1,故Z3+1=2,故C错误;

2

7

\2

16.——+-^-i=z,故D正确.

对D：-------------1

2222

7

故选:AD.

10.己知A,5是平面内两个定点，且|AB|=6,则满足下列条件的动点P的轨迹为圆的是（

A.\PA\+\PB\^6B.PAPB=-1

C.\PA\=2\PB\D.IPA|2+|P5|2=18

【答案】BC

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，分析求出轨迹方程即可.

【详解】对于A,\PA\+\PB\=6=\AB\,显然P的轨迹是线段A5,故A错误；

以A5中点。为原点，建立平面直角坐标系，设A(—3,0),3(3,0),设P(x,y),

则PA=(x+3,y),PB=(x-3,y),

对于B,已知PA.p5=—l，则/+丁=8,所以，点P的轨迹是圆，故B正确；

22

对于C,由两点间距离公式得|P4|=J(x+3y+y2,|PB|=^(X-3)+J,

2

代入|PA\=2\PB\中化简得/一10%+/+9=0,即(%-5)+/=16,

故P的轨迹是圆，故C正确；

对于D,代入|「4|2+|尸5|2=18中化简得犬+｝72=0,显然尸的轨迹是一个点，故D错误.

故选：BC

11.记S,为数列｛氏｝的前九项和,若S,+i=4a“+2,q=l,则()

A.｛。用-2%｝为等比数列B.为等差数列

仁］为等比数列D.2S”+2｝为等差数列

【答案】AB

【解析】

【分析】根据数列递推式S,+i=44+2,可得〃时，S〃=4a,T+2,采用两式相减的方法可推出

an+l-2an=2(an-2anJ,结合等比数列定义，可判断A；继而求出。用-2。"=3x2"i,可得

税-黑=1,根据等差数列定义判断B；继而求出％的表达式，可得S,，即可求出［与2］以及

｛S"+|-2S"+2｝的通项公式，结合等比数列以及等差数列定义，即可判断C,D.

【详解】由题意知S“M=44+2,%=1,

故2时,S”=4%+2,则%=4(1—心,gpan+l-2an2(an-2an_1),

由S〃+i—44+2,q=1,得q+a2=4q+2.%=5,a2—2q=3w0,

a,1—2〃

故"+i"=2,(〃22),故｛a.+i—2a“｝为等比数列，A正确；

an-

由以上分析知a“+i—24=3x2"“，则一会=：,

故为以&=，为首项,公差为』的等差数列,B正确；

[2)224

Q133131„

则吩=5+4"_1-即4=(1九_^>2'

31

则3+1=44+2=4(—“__)•2"+2=(3“—1)•2〃+2,

44

即S“=(3”—4)-2"T+2,则^^=(3〃4>2"T

2"2"2

S.+「2

<)n+i3〃-13fS—21

则[c=：—-=1+--;不为常数，故当「不为等比数列，c错误；

一23〃-43M-412J

2"

由于S.—2s〃+2=(3〃—1)•2"—2(3〃-4)-2向=3・2",

故(S“+2—2sz+2)—(S“M—2S”+2)=3•2n+1-3-2"=3-2"不为常数，

故母M—2S“+2｝不为等差数列，D错误，

故选：AB

12.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为。，AB为底面直径，ZAPB=12Q°,Q4=2,点。在底面圆周上,

且点。到平面PAC的距离为也，则()

2

A.该圆锥的体积为3兀B.直线0P与平面PAC所成的角为45°

C.二面角P—AC—o为45°D.直线上4与5C所成的角为60°

【答案】BCD

【解析】

【分析】取线段AC的中点M，连接PW，过。作ON,0垂足为N,可证明ON上面PAC,即

可得卯=交，对于A：求出底面圆半径，然后用圆锥的体积公式求解；对于B：直线。尸与平面PAC

2

所成的角为NO/W,在直角三角形OPN中求解即可；对于C：二面角尸一AC—O的平面角为NPMO,

在直角三角形中求解即可；对于D：取线段PC的中点。，连接。航,。0DM,DO,OM,直线

E4与所成的角为N0MO或其补角，求出0Mo的三边，然后利用余弦定理求解.

【详解】取线段AC的中点M,连接PW，过。作ON,0垂足为N,

又OMcPM=M,面PM。，

所以AC上面又ONu面PMO,

所以ACLON,又ONLPM,且ACPM=M,AC,PMu面PAC,

所以ON，面PAC,所以线段QV的长为点。到平面PAC的距离，

即0N=",

对于A：在等腰三角形APB中，NAPO=60，PA=2,

所以尸O=2cos60=l,AO=2sin60=也,

所以该圆锥的体积为:义兀＞＜（6『＞＜1=兀，A错误；

对于B：由ON，面上4C可得直线0尸与平面PAC所成的角为ZOPN,

在直角三角形OPN中，sinZOP^=—＞所以NOPN=45°,B正确；

OP2

对于C：由AC上面巴川可得二面角P—AC—O的平面角为/加0,

在直角三角形中，cosZPMO=cosZPON^—=^,所以/«00=45°,C正确;

0P2

对于D：取线段尸。的中点。，连接DM,。。DM,DO,OM,

明显有3C〃OM,AP〃必），

则直线与BC所成的角为NOMO或其补角，

因为NPW=45°,则OM=O尸=1,PM=血，

在直角三角形POC中，。。=工尸。=1,

2

在直角三角形尸MC中，MD=-PC=1,

2

MD?+MO?-DO。1+1-11

在LDMO中,cosZDMO=

2MDM0―_2-2

所以/DMO=60°,D正确.

P

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量a=(l,x,2),=(2,2,0),c=(-l,0,2),若a,反c共面，贝！］x=.

【答案】2

【解析】

【分析】由题意a=/U?+〃c,解方程组即可得解.

22—ju=1

【详解】由题意设a=XZ7+〃c,所以12/l=x,解得;l=〃=l,x=2.

2〃=2

故答案为：2.

14已知数列{a“},对\/m,“eN都有Um+Un=,且4=1,则出+%++=

【答案1n2+n

【解析】

【分析】分析题意，构造等差数列，求其前〃项和即可.

【详解】令〃2=1，可得4+1-4=q=1,

故｛可｝是以1为首项，1为公差的等差数列，则4=1+n—1=",故%,=2〃=2,

d+i=2〃+2,%-2=2,4=2’

故｛么｝是以2为首项，2为公差的等差数列，

设耳前〃项和为%则出+&++/=4+=+〃.

故答案为：n2+n

15.已知圆(龙-ay+y2=32上恰有三个点到直线x—y—2=0距离等于2&，则实数。的一个取值为

【答案】6或—2其中一个

【解析】

【分析】根据圆的几何性质以及点到直线的距离公式求得正确答案.

【详解】圆(》-4+>2=32的圆心为(a,0),半径r=4后，

由于圆上恰有三个点到直线x-y-2=0的距离等于2a，

所以(a,0)到直线x—y—2=。的距离等于2夜，

即=2夜，解得。=6或。=-2.

V2

故答案为：6或-2其中一个

22

16.已知A,8分别为椭圆C：土+匕=1的左、右顶点，尸为椭圆C上异于A,B的点，若直线Q4,

94

P3与直线x=6交于N两点，贝叶加用的最小值为.

【答案】473

【解析】

4

【分析】根据题意可知直线E4和直线尸3的斜率存在，且斜率之积为即屋左依=-§，设出两直线方程解

出M,N两点坐标，即可得|肱V|的表达式，利用基本不等式即可求出其最小值.

【详解】如下图所示：

22

设？(%,%),则£+?=1,易知4(—3,0),5(3,0),直线和直线PB的斜率存在,

且斜率之积为kPA・怎8==一:•

%Q+3XQ—3%Q—99

设直线的方程为丁=左（1+3）,则M（6,9Z）,

4x-3),则N6,一,

直线PB的方程为y=

9k

所以|MN|=9左+(

=|9A;I+-；—7>2/|9A;|■■；—:=4出.

11|3^|V”3H

当且仅当|94|=百，即左=±孚时，等号成立，故|4例的最小值为46.

9

故答案为：46

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知等比数列｛4｝的前几项和为公比4=2,$3=14.

（1）设（nqqq4T,/，求】；

74Q”

（2）设求数列也,｝的前几项和4.

【答案】（1）丁=22

1

(2)4=1-2用_]

【解析】

【分析】（1）根据等比数列前n项和求出％,再结合指数运算律计算即可;

（2）应用裂项相消结合指数运算律即可求和.

【小问1详解】

由题意知,喑工14,

解得％=2,

所以%=2",

彳匚]5+1”

所以T=2ix22x23xx2n=2^~=2丁

【小问2详解】

six：：")=2(2—1),

1—2

44_2®_11

,n+1--+1

SnS„+i~(2'-l)(2-l)2"-l2"-l'

_J_____1_____1_____1_11

4-^122-l+22-l23-l++2"-l2,,+1-1

18.如图，在三棱柱ABC-ABJG中，侧面A4]B]3和55]GC为正方形，AB=4,AC=472>E,F

分别为AC,4片的中点.

(1)求直线AG与所所成角的余弦值；

(2)求直线AG与平面ABG所成角的大小.

【答案】(1)叵

15

(2)30°

【解析】

【分析】(1)先得到A3，BBI，两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线线角;

(2)利用空间向量法求解线面角.

【小问1详解】

证明：因为侧面A41AB和为正方形，

所以BC=AB=BB[=4,AB1BBy,BBJBC,

又AC=4A历，所以A32+5C2=AC?，可得

所以A3,BBl,两两垂直，

以8为原点，BC,BA>6用的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系.

则E(2,2,0),F(0,2,4),A(0,4,0),C/4,0,4),4(0,4,4)

所以E/=(—2,0,4),AC；=(4,—4,4),

所以AC「EP=-8+16=8,|EF|=^/4+16=2A/5,|AC1|=J16+16+16=48

可得cos(EF,AC,\=—―产=—，

\/275x47315

所以直线CD与所所成角的余弦值为叵；

15

【小问2详解】

BA=(0,4,0),BCX=(4,0,4),4G=(4，一4,0)，

设平面ABCX的一个法向量为n=(x,y,z),

4y=0

则“二c，令z=l，可得”=(—1,0,1),

设直线AG与平面ABG所成角为。，

则sin6=

2

所以直线AQ与平面ABC,所成角的大小为30°.

19.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为尸，过点尸的直线与圆V+(y—2『=3相切于点且

\MF\^y/2.

(1)求P；

(2)若点A3在抛物线C上，且线段A3的中点为(1」)，求|AB|.

【答案】(1)2(2)V15

【解析】

【分析】⑴由题意得歹［goj,设圆心。，由己知有口求解即可得出答案；

（2）直线A3的斜率存在，设4（%,%）,5（々，%），方法一：利用直线与抛物线方程联立，利用中点

坐标公式、韦达定理，及弦长公式计算即可得出答案；方法二：利用点差法计算，即可得出答案.

【小问1详解】

由题意知，抛物线的焦点pq,。

圆炉+“一2产=也的圆心设为0（0,2）,半径厂=6，

贝|」3+2=（?+4,

又。＞0,可得夕=2.

【小问2详解】

法一：由题意知，直线A3存在斜率，设A3的方程为y-l=Mx-1）,

A6(%,%)，

y1=4x

由《；7/〜可得62_4y+4-4左=0,

y_]=Z(%—1)

4

所以A=16(左之—左+1)>0,%+%=——9

k

因为线段A5的中点为(11)，

所以贵手=1,

2

4

即一=2,所以左=2,

k

所以X,%=-2，

所以

法二：设4（王，%），B（x2,y2）,

由”“I,可得（%-%）（%+%）=4（々一为），

也=4%

为一口4

即一-二------

%2一%%+%

因为线段A3的中点为(U)，

所以X+乃_],司+/,],

22

所以二乜

由%i+x2=],由>2=4%，可得：%：%=2,所以+=2,所以％・%=-2,

所以|AB|=J(l+；)x(4+8)=715.

20.如图，已知正方形A3CD与矩形ACEb所在的平面互相垂直，AB=AF=2>M,N分别为BF，

ER的中点.

(1)证明：MN//平面AOF；

(2)求二面角C—BN—。的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

⑵①

5

【解析】

【分析】(1)构造与平面E4。平行的平面QMN,通过证明面面平行从而证明线面平行；

(2)以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面CBN.BND的法向量，再求二面角的余弦值即可.

【小问1详解】

设AC与5D相交于点Q,连接MQ,NQ,

因为A3CD为正方形，所以。为6D的中点,

N

因为M,N分别为BF，EF的中点,

故MQ〃阳,MQ<Z面A£>尸，EDu面AD尸，故MQ〃面AD尸;

又NQ〃E4,NQ<Z面AD尸，E4u面AD尸，故NQ〃面AD产;

又MQcNQ=Q,MQ,NQu面MNQ,故平面MNQ〃面ADF；

又MNu面MNQ,故MN〃面AD尸.

【小问2详解】

因为四边形ACER是矩形，所以E4LAC,

又面ABCD面ACEb=AC,E4u面ACW,面ABCD1面ACEF,

所以E4L平面A3CD,可得E4LA5，FA±AD,

以A为原点，AB，A£>,AF的方向分别为了轴、y轴、z轴正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系.

因为NQ〃Ab,所以NQL平面A3CD,ACu面ABCD,所以NQLAC,

因为正方形A3CD,所以5DJ.AC,又NQBD=Q,NQ,BDu面NBD,所以AC,平面NBD,

所以AC=（2,2,0）为平面NBD的一个法向量

由题意知，3(2,0,0),C(2,2,0),E(2,2,2),F(0,0,2),N(l,l,2),

所以BC=(O,2,O),BN=(—1,1,2),

设平面NBC的一个法向量为n=(x,y,z),

则Lf2+y=y0+2z=。’令z=l,可得I，故〃=(2,。,1),

4

所以cos<AC,〃>=

2行x百3

所以二面角C—BN—。的余弦值为亚.

5

21.甲、乙两家企业同时投入生产，第1年的利润都为。万元(。>0),由于生产管理方式不同，甲企业

前〃年的总利润为(1-2〃+2)a万元，乙企业第九年的利润比前一年的利润多彳广9万元，设甲、乙

两家企业第〃年的利润分别为a„万元，b„万元.

(1)求华,,%；

(2)当其中某一家企业的年利润不足另一家企业同年的年利润的25%时，该家企业将被另一家企业兼并

收购.判断哪一家企业有可能被兼并收购，如果有这种情况，出现在第几年.

fa,n=l「(2丫「「

［答案］(1)4=C八年=3—2彳a

\2n-3)a,n>2(3J

(2)在第8年甲企业兼并收购乙企业

【解析】

【分析】(1)根据前n项和公式求通项结合累加计算即可；

(2)根据数列的单调性判断即可.

【小问1详解】

当时，

2

an=^n-2n+2^a--2(n-l)+2a=(2〃-3)a,

所以、，

［2n-3)a.n>2

由题意知，bn—bn-=《)〃—％(H>2),

所以

相加得a=a(n>2),

当〃=1时也满足上式，所以a二a.

【小问2详解】

当〃=2时，a2=a,/72=—ci,可得1人2=%，

因此当〃=1或2时，不可能出现兼并收购的情况，

当〃23时，a”三3a,bn<3a,所以%>为,

由题意知，甲企业可能兼并收购乙企业，

如果出现兼并收购的情况，n必满足工>bn,

4

由J(2〃-3)a>[3-24)"T]a,化简得正生仁]<1,

4312

令"胃"

当〃28时，f(n)<Q,所以满足

15—2“3丫17—2〃(3丫T_1,3丫t

/(«)-/(«-1)12uJ「⑸-24uJ(n-2"),

当4V〃W5时，/(«)-/(M-1)>0,即/(〃)>/(八一1),

QI

所以〃5)>〃4)>/(3)=啦>1,

当“26时，/(«)-/(77-1)<0,即/(n)</("一1),

/(6)>/(7)=f|>L

综上可知，当时，15-2“.<i,

所以在第8年甲企业兼并收购乙企业.

22.已知椭圆C：，+i=l(a>6>0)的离心率为乎，点［在C上.

(1)求C的方程；

(2)若A为C的右顶点，点尸，。在。上，直线AP与AQ的斜率之和为-工，AMLPQ,