锐角三角函数 过关检测-2024年中考数学一轮复习（全国解析版）

专题20锐角三角函数过关检测

（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。

1.在RtZUBC中，ZC=90°，BC=4,AB=5,那么sin5的值是（）

A.3B.3C.AD.A

5453

【答案】A

【解答】解：在Rt/X/BC中，由勾股定理，得

^C=VAB2-BC2=3-

sin8=^-=—.

AB5

故选：A.

2.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3,若它把物体从地面点4处送到离地面2米高的5处，则

物体从A到B所经过的路程为（）

A

A.6米B.百5米C.WI5米D.3百5米

【答案】C

【解答】解：如图：BFLAF,垂足为尸.

•:BF：AF=\t3,

：.2：AF=1：3,

••AF—6,

AB=^22+62=V40—2A/10-

故选：C.

3.tan30°的值是（）

A.-1B.近

22。■亨

【答案】D

【解答】解：tan30°=1.

3

故选：D.

4.如图，点/、B、C均在边长为1的正方形网格的格点上,则sinZBAC的值为（）

近

C近

2D.2

【答案】A

【解答】解：连接8C,如图3所示；

由勾股定理得：AC2=BC1=\1+22=5,432=12+32=10,

：.AC=BC,AC2+BC2=AB2,

AABC是等腰直角三角形，

；.NA4C=45°,

sin/BAC=^^~,

2

故选：A.

5.如图，在4X4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,△NBC的顶点都在这些小正方形的顶点上,

贝han/A4c的值为（

A.AB.AC.2D.3

32

【答案】B

【解答】解：由网格以及勾股定理可得，

AB=^2^+2^=2V2>BC=N]2+]2=<^,AC=V外+]2=>/T5,

/.AB2+BC2=8+2=10=42,

...△/5C是直角三角形，且//BC=90°,

tan/BAC=理_=JL,

AB2

故选：B.

6.如图，在矩形/BCD中，对角线/C、AD相交于点。，DE_LNC于点E,ZEDC：/EDA=1：2,且

DE=2煦，贝1Me的长度是（）

A.275B.2C.8D.5a

3

【答案】C

【解答】解：：四边形/BCD是矩形，

/.ZADC=90°,AC=BD,OA=OC=1-AC,OB=OD=1.BD,

22

：.OA=OD,

：.ZODC=ZOCD,

'：ZEDC：ZEDA=1：2,ZEDC+ZEDA=9Q°,

ZE,Z)C=30°,

"：DE±AC,

；.NDEC=90°，

鸡=4

V3

,•,3•2

：.AC=2OD=8.

故选：C.

7.“儿童放学归来早,忙趁东风放纸莺”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉

线与地面夹角为65°（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表

B.100cos65°C.100tan65°

【答案】A

【解答】解：如图，过点/作NC,8c于C,

AC

在RtZUBC中，sinB->

AB

则NC=/8・sin5=100sin65°(米),

8.如图，某商场准备将自动扶梯改造成斜坡式.已知商场的层高A8为6〃?，N4CB为45°,改造后扶梯

4D的坡比是1：2,则改造后扶梯AD相比改造前/C增加的长度是（）

(12-6V2)«C.(672-473)^D.(胞-啦)m

【答案】D

【解答】解：在RtZUBC中，//C8=45°,AB=6m,

解得NC=S历m,

;改造后扶梯40的坡比是1：2,

-AB_6_1

••丽丽W，

解得BD=12m,

AD=VAB2+BD2=^Jbm,

：.AD-AC=（6A/5-6&）m.

故选：D.

9.如图，大树48垂直于地面，为测树高，小明在D处测得N/£>2=30°,他沿3c方向走了16米，到达

C处，测得/NC3=15°,则大树的高度为（）

【答案】B

【解答】解：,N4CB=15°,

：.ZCAD=ZACD=i5°,

•；DC=16米，

..AD—16米，

9：ZADB=30°,垂直于地面，

杷4&=8米，

故选：B.

10.如图，在Rt448C中，ZACB=90°,CE是斜边N8上的中线，过点£作交4C于点?若

2C=4,尸的面积为5,则sin/CEF的值为（

A.3B.恒c.AD.2后

5555

【答案】A

【解答】解：连接8尸，

:CE是斜边48上的中线，EFLAB,

:.EF是AB的垂直平分线，

:.S“FE=SABFE=5,NFBA=NA,

尸B=10=L户5C,

2

\'BC=4,

；.AF=5=BF,

在RtZ^BC尸中，BC=4,BF=5,

•■-C77==V52-42=3,

♦:CE=AE=BE=LB,

2

・•・ZA=ZFBA=ZACE,

XVZBCA=90°=/BEF,

：.ZCBF=90°-ZBFC=9Q°-2N4

/CEF=90°-ZBEC=90°-2N4

:・/CEF=NFBC,

：.sinZCEF=sinZFBC=空=3,

BF5

二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分)。

11.计算：2cos60°=1

【答案】见试题解答内容

【解答】解：・.・cos600,

2

A2cos60°=L

故答案为1.

12.在RtZ\/8C中，ZC=90°，siiL4=A,则

5一

【答案】见试题解答内容

【解答】解：由sirt4=>^知，可设。=4x,则c=5x,b=3x.

5

•*.tanA=—=©

b3x3

故答案为：A.

3

13.如图，坡面CZ)的坡比为1：M,坡顶的平地BC上有一棵小树N8,当太阳光线与水平线夹角成60°

时，测得小树的在坡顶平地上的树影2C=3米，斜坡上的树影CD=百米，则小树的高是_4百米

【答案】见试题解答内容

【解答】解：由已知得Rt^/ED,RtACED,如图，且得：ZADF=60°,FE=BC,BF=CE,

在RtZ\CED中，设CE=x米，由坡面CD的坡比为1：V3,得：

DE=Jjx,则根据勾股定理得：

一+(V§x)2=(V3)2'

得X=±逞_,-退_不合题意舍去，

22

所以，C£=1米，则，皮>=3米，

22

那么，FD=FE+ED=BC+ED=3+3=9米,

22

在RtZ\4FD中，由三角函数得：

-^-=tanZADF,

FD

：.AF^FD'tan60°=且义a=必应米，

22

：.AB=AF-BF=AF-CE=述_一运=4百米,

22

故答案为：4仃米.

14.计算：2cos30°+tan45°-tan60°+(V2-1)—-

【答案】见试题解答内容

【解答】解：原式=2X近+1-g+1=2.

2

故答案为：2.

15.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园“六•一”前新增设的一台滑梯,该滑梯高度/C=2〃z,

滑梯N8的坡比是1：2,则滑梯的长是_2返_米.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：由题意知，AC：BC=1；2,且NC=2"?,故3c=4机.

在RtZUBC中，福=y/22+42=2V5(m),

即滑梯的长度为2烟m.

故答案为：2遥.

16.如图，小明在距离地面30米的P处测得/处的俯角为15°,8处的俯角为60°.若斜面48的坡角为

30°,则斜坡的长是20JC米.

p

【答案】2073.

【解答】解：如图:

由题意得：PC//HE,

：.ZPBH=ZCPB=60°,

在R3HB中，*7=30米，

：.PB=-—=-$-=20V3（米），

sin600返

2

:NABE=3Q°,

NPA4=180°-NPBH-NABE=90°,

'：ZCPA=15°,

：.ZAPB=ZCPB-ZCPA=45°,

在RtZUPB中，48=3P・tan45°=20«（米）,

斜坡的长是20百米，

故答案为：20«.

三、解答题（本题共7题，共58分）。

17.（8分）求下列各式的值

⑴-^-cos300-H^-COS450+sin600cos600;

（2）V2sin30°+tan600-cos45°+tan300•

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）原式=上义近+返■义返■+近义工

222222

=1W3

"I-

(2)原式=企义工+愿-”+1_

223

=473

3

18.(8分)如图，在RtZ\48C中，ZACB^90°，CD,S分别是边上的中线和高，BC=6,cosZACD

【答案】N5=10,CH=Zk.

5

【解答】解：是Rt^/BC的斜边中线，

：.AD=BD=CD,

：.NA=NACD,

..4

,,cosA=ccis/ACD)，

D

VZACB=90°,在RtZ\45C中，

由干A_AC4

cosA-AB

可设4C=4x,则4S=5x,

由勾股定理得：BC=VAB2-AC2W(5X)2-(4X)2=3X，

3x=6,

即x=2,

.9.AB=5x=10,4C=4x=8,

•：SMBC=LC・BC=LB,CH,

22

_lx8X6=上义10XCH,

22

解得CH=21.

5

答：AB=10,CH=^..

5

19.(8分)如图，已知在△N8C中，CDLAB,垂足为点。，AD=2,BD=6,tanS=^.，点£是边8c的

中点.

(1)求边NC的长；

(2)求/E/8的正弦值.

；./\ACD、△BCD均为直角三角形.

在RtACDB中，

,:BD=6,tanS=^5.=—,

BD3

：.CD^4.

在RtACD^中，

^C=VCD2+AD2

=^42+22

=275.

(2)过点E作ER14B,垂足为尸.

"：CD±AB,EFLAB,

J.CD//EF.

又：点E是边BC的中点，

:.EF是LBCD的中位线.

：.DF=BF=3,EF=1CD=2.

2

：.AF^AD+DF=5.

在RtZ\4跖中,

20.（8分）如图，一艘轮船位于灯塔尸的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的/处，此时船长接到台风

预警信息，台风将在7小时后袭来，他计划沿正北方向航行，去往位于灯塔尸的北偏东45。方向上的避

风港3处.

（1）问避风港8处距离灯塔尸有多远？（结果精确到0.1海里）

（2）如果轮船的航速是每小时20海里，问轮船能否在台风到来前赶到避风港8处？（参

考数据：加仁1.414,百Q1.732）

【答案】（1）2处距离灯塔尸约70.5海里；

（2）轮船能在台风到来前赶到避风港8处.

【解答】解：过点尸作于C,

在RtZUC尸中，ZA=30°,

Z.PC^PA-siiL4=100X50（海里），

2

在RtZXBC尸中，48=45°,

:.PB=®PC=5Q版FQ7海里，

答：8处距离灯塔尸约70.7海里；

（2）：依=50我海里，

二2。=亚P5=50（海里），

2

•.•尸/=100海里，N/=30°,

:.AC=^-PA=50M，

2

；.AB=（50+50爪）海里，

;轮船的航速是每小时20海里，

...50+50V=6.8<7,

20

轮船能在台风到来前赶到避风港8处.

21.（8分）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成

功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站.如图，在发射的过程中，飞船从地面。处

发射，当飞船到达/点时，从位于地面C处的雷达站测得/C的距离是8而?，仰角为30°；10s后飞船

到达3处，此时测得仰角为45°.

（1）求点/离地面的高度/。；

（2）求飞船从/处到8处的平均速度.（结果精确到参考数据：V3^1.73）

【答案】(1)4km；

(2)03kmis.

【解答】解：(1)在RtZX/OC中，VZAOC=90°,ZACO=30°,AC=8bn,

.'.AO=-l-AC=—x2=4.(km),

22

(2)在RtZUOC中，VZAOC=90°,ZACO=30°,AC=8km,

：.OC=^~AC=4M(km),

2

在Rt^BOC中，VZ50C=90°,ZBCO=45°,

:.NBCO=NOBC=45°,

：.OB=OC=4-j3(km),

：.AB=OB-OA=（4A/3-4）kni,

.•.飞船从/处到B处的平均速度=至巨二1六0.3（km/s）.

10

22.（8分）如图是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与

地面的夹角，使其由45。改为30°,已知原传送带长为4祀米.

（1）求新传送带NC的长度;

（2）如果需要在货物着地点C