数据的分析重难点题型专训（解析版）

2022-2023学年八年级数学下册重难点提升精讲精练《人教版》

专题18数据的分析重难点题型专训

国【题型目录】

题型一求一组数据的平均数或加权平均数

题型二利用平均数做决策

题型三求中位数并用中位数做决策

题型四求众数并用众数做决策

题型五求方差并用方差做决策

题型六极差、标准差的相关问题

题型七数据的集中趋势大题专训

题型八数据的波动程度大题专训

,31经典例题一求一组数据的平均数或加权平均数】

【解题技巧】

平均数，统计学术语，是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组

数据的个数。它是反映数据集中趋势的一项指标。

加权平均值即将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数。加权平均值

的大小不仅取决于总体中各单位的数值（变量值）的大小，而且取决于各数值出现的次数（频数），由于

各数值出现的次数对其在平均数中的影响起着权衡轻重的作用，因此叫做权数。

【例1】（2023春・浙江•八年级专题练习）在风凰山教育共同体数学学科节中，为展现数学的魅力，〃老师

组织了一个数学沉浸式互动游戏：随机请4B,C,D,£五位同学依次围成一个圆圈，每个人心里先想好

一个实数，并把这个数悄悄的告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均

数报出来.若/,B,C,D,E五位同学报出来的数恰好分别是1,2,3,4,5,则。同学心里想的那个数

是（）

1

A.—3B.-4C.5D.9

【答案】D

【分析】设报D的人心里想的数是x,则再分别表示报4,C,E,8的人心里想的数，最后通过平均数列出

方程，解方程即可.

【详解】解：设。同学心里想的那个数是x,报/的人心里想的数是10-x,报C的人心里想的数是x-6,

报E的人心里想的数是14-x,报B的人心里想的数是x-12,

所以有x-12+x=2x3,

解得:x=9.

故选：D.

【点睛】本题考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用，把题中的等量关系全部展示出来，再

结合题意进行整合，问题即可解决.

■【变式训I练】

【变式1］（2023春•八年级课时练习）本学期，学校对学生的学业成绩从平时作业、期中考试、期末考试

三个方面评分，各项成绩均按百分制计，然后再按扇形图中的占比，计算学生的综合成绩（百分制）.李

明同学的各项成绩如下，则他本学期的综合成绩是（）

平时作业期中考试期末考试

李明

908588

D.87.8

【答案】A

【分析】先从统计图得到数据，再利用加权平均数的计算方法求解.

【详解】解：根据题意李明本学期的综合成绩是：90><20%+85x30%+88x50%=87.5,

故选：A.

【点睛】本题考查了加权平均数的求法和从不同的统计图中获取信息的能力，解题的关键是掌握加权平均

数的求法，知道扇形统计图能反映各部分所占的百分比.

【变式2］（2023春・浙江杭州•八年级校考期中）甲、乙、丙三种糖果的售价分别为每千克6元、每千克7

元、每千克8元，若将甲种糖果6千克，乙种糖果10千克，丙种糖果4千克混合在一起，则混合后的糖果

的售价应定为每千克元.

【答案】6.9

【分析】先根据甲种糖果6千克，乙种糖果10千克，丙种糖果4千克求出混合后的糖果甲、乙、丙比，再

用各自所占比乘各自的售货单价相加即可.

【详解】解：若将甲种糖果6千克，乙种糖果10千克，丙种糖果4千克混合在一起，

则混合后的糖果甲、乙、丙比为3:5:2,

352

••.混合后的糖果的售价每千克应定为正x6+而x7+历x8=6.9（元），

故答案为：6.9.

【点睛】本题考查了加权平均数，读懂题意，熟练运用加权平均数是解题的关键.

【变式3］（2023•浙江嘉兴・统考一模）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态

度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行测试，测试成绩如下表.

应聘者

项目

甲乙丙

学历988

经验869

能力788

态度575

（1）若将学历、经验、能力和态度四项得分按的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者,

则谁将被录用？

（2）如果这家公司较看重员工的学历和态度，且学历与态度的得分比例相同，经验与能力的得分比例相同，

请你帮该公司设计一个四项得分的比例，并以此为依据确定录用者，则谁将被录用？

【答案】（1）录用丙

（2）学历、经验、能力和态度四项得分按4：1：1：4的比例确定，录用乙

【分析】（1）运用加权平均数公式计算，择优录用.

（2）先根据题意，确定比值，后运用加权平均数公式计算，择优录用.

【详解】（1）根据题意，得膈=9x1+8：1+5x1=725,

中1+1+1+1

_8xl+6xl+8xl+7xl

x=--------------------------=7.25,

乙71+1+1+1

_9xl+8xl+8xl+5xl一

寸一百而一”

丙的平均分最高，

故录用丙.

（2）学历、经验、能力和态度四项得分按4：1：1：4的比例确定,

9x4+8xl+7xl+5x4…

根据题意，得工甲=---------------------------=7.1,

4+1+1+4

8x4+6x1+8x14-7x4…

--------------------------=7.4,

4+1+1+4

8x4+9x1+8x14-5x4f

次丙---------------------------=6.9,

4+1+1+4

乙的平均分最高,

故录用乙.

【点睛】本题考查了加权平均数的计算与运用，熟练掌握平均数的计算是解题的关键.

41经典例题二利用平均数做决策】

【例2】（九年级单元测试）某校九（1）班和九（2）班各有5人参加了数学竞赛的初赛，成绩如下（单位：分）:

（1）班：80,45,89,40,98；（2）班：78,90,60,75,69.从能够获奖的角度来看，你认为应派（）参加

复赛.

A.⑴班B.（2）班C.都可以D.不能确定

【答案】A

【分析】重新由大到小排列两个班学生的成绩，分别比较两个班中高分同学的高分成绩及平均成绩，从而

进行判断即可.

【详解】解：观察两个班的学生成绩情况，重新由大到小排列分别是：

⑴班：98,89,80,45,40,

（2）班：90,78,75,69,60,

第一名成绩比较：98>90；

前两名平均成绩比较：1（98+89）=93.5>1（90+78）=84:

前三名平均成绩比较：|（98+89+80）=89>1（90+78+75）=81；

综上，故从能够获奖的角度来看，应派（1）班参加复赛，

故选择A.

【点睛】从能够获奖的角度来看，高分越多的班级，其越能够获奖.

W【变式训练】

【变式1］（2022秋•八年级课时练习）某校参加数学竞赛的选手平均分数是75分，其中参赛男选手比女选

手人数多80%,而女选手的平均分比男选手的平均分高20%,那么女选手的平均分是（）

A.81B.82C.83D.84

【答案】D

【分析】根据已知得出男生数：女生数=180：100=9：5,男生平均分：女生平均分=100：120,进而得出全

班平均分是男生平均分的即可得出答案.

14

【详解】由题意可得：男生数：女生数=180：100=9：5,

男生平均分：女生平均分=100：120,

209」

iooxi4-i4'

即全班平均分比男生平均分高1,

14

所以全班平均分是男生平均分的登，

14

即男生平均分为争7514=70分，

女生平均分为：70x1.2=84分，

故选D.

【点睛】本题考查了百分比的应用，能根据题意，列出关系式得出全班平均分是男生平均分的?是解题的

关键.

【变式2］（2022•广西・中考真题）为落实立德树人，发展素质教育，加强美育，需要招聘两位艺术老师，

从学历、笔试、上课和现场答辩四个项目进行测试，以最终得分择优录取，甲、乙、丙三位应聘者的测试

成绩（10分制）如表所示，如果四项得分按照“1：1：1：1”比例确定每人的最终得分，丙得分最高，甲与

乙得分相同，分不出谁将被淘汰；鉴于教师行业应在“上课”项目上权重大一些（其他项目比例相同），为此

设计了新的计分比例，你认为三位应聘者中（填：甲、乙或丙）将被淘汰.

成绩应聘者甲乙丙

学历989

笔试879

上课788

现场答辩898

【答案】甲

【分析】设新的计分比例为1：1：X：1（X>1），再分别计算出三人的总分进行比较即可得到结论.

【详解】解：设新的计分比例为1:1:X:1G>1），则:

11x14

甲的得分为:9x--------+8x--------+7x--------+8x--------=7+——<8（分）；

1+1+x+1l+1+x+1l+1+x+1l+1+x+13+x

11y1

乙的得分为:8x--------+7x--------+8x--------+9x--------=8（分）；

l+1+x+ll+1+x+l1+1+%+1l+1+x+l

9x—1—+9x---+8x--—+8x---=8+^->8（分）；

丙的得分为:

l+1+x+1l+1+x+l1+1+x+11+1+x+13+x

所以，甲将被淘汰,

故答案为：甲.

【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义.

【变式3］（2023春・浙江•八年级专题练习）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力

和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表.

应聘者

项目

甲乙丙

学历988

经验869

能力788

态度575

（1）如果将学历、经验、能力和态度四项得分按的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用

者，那么谁将被录用？

（2）如果你是这家公司的招聘者，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的比例，以此为依据确定录用

者，并说一说你这样设计比例的理由.

【答案】（1）丙将被录用

（2）见解析

【分析】（1）计算算术平均数即可;

（2）计算加权平均数即可.

【详解】（1）解：依题意,

9+8+7+5…

甲的平均分为------------=7.25,

4

8+6+8+7…

乙的平均分为------------=7.25,

4

8+9+8+5r「

丙的平均分为------------=7.5,

4

则丙的平均分最高，因此丙被录用.

（2）解：如果将学历、经验、能力和态度四项得分按323:2的比例确定每人的最终得分,

9x3+8x24-7x3+5x2_.

则甲的得分为------------------------------=7.4,

10

8x3+6x2+8x34-7x2_.

乙的得分为------------------------------=7.4，

10

8x3+9x24-8x3+5x2_.

比丙的得分为------------------------------=7.6,

10

丙的得分最高，因此丙被录用.

理由：因为数据中的“权”反映数据的相对“重要程度”，权越大，该数据占的比重越大，反之则越小.

【点睛】本题考查了算术平均数、加权平均数，熟练掌握加权平均数的意义和计算公式是解答的关键.

31经典例题三求中位数并用中位数做决策】

【解题技巧】

中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数。

【例3】（2023•江苏宿迁・统考二模）已知一组数据：6,3,8,x,7,它们的平均数是6,则这组数据的中

位数是（）

A.6B.2C.8D.7

【答案】A

【分析】首先根据平均数为6求出x的值，然后根据中位数的概念求解.

【详解】解：•••数据6,3,8,x,7的平均数是6,

J.6+3+8+X+7=6X5,

解得：x=6,

这组数据按照从小到大的顺序排列为：3,6,6,7,8,

则中位数为6.

故选：A.

【点睛】本题考查中位数和平均数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数

据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个

数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.掌握中

位数和平均数的定义是解题的关键.

V【变式训练】

【变式1】2023春・浙江•八年级阶段练习）若3个正数%,电，%的平均数是0,且可＞出＞的，则数据卬,%，。，%

的平均数和中位数是（）

3ao+&-3生3a,+a.

A.B.—a,---------C.-a,—D.一a,二一1

424242

【答案】B

【分析】根据平均数和中位数的定义计算即可.

【详解】:3个正数％,%，%的平均数是。，

g+刍+2=3a,

[3

,-.a},a2,0,a3的平均数为反％+a2+0+a3）=-a,

,•,3个正数%,2，的，且％＞的＞。3

把数据%,出，。，a3从大到小排列为，°，

中位数为t3

故选：B.

【点睛】此题主要考查了中位数和算术平均数，正确掌握定义是解题关键.

【变式2]（2023春•浙江杭州•八年级校考期中）如果一组数据由四个整数组成，其中三个分别是2,4,6,

且这组数据的中位数也是整数，那么这组数据的中位数是

【答案】3或4或5

【分析】找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数或偶数个数来确定中位数，如果数据有奇数

个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个，则找中间两位数的平均数；第四个整数可能情况有：小于

或等于2；大于2且小于4；等于4；大于4且小于6；大于6,分几种情况进行求解即可.

【详解】解：①当第四个整数小于或等于2时，中位数为：（2+4）+2=3,满足题意；

②当第四个整数大于2且小于4时，此时第四个整数是3,中位数为：（3+4）+2=3.5,中位数不是整数,

不满足题意；

③当第四个整数等于4时，中位数是：（4+4）+2=4,满足题意；

④当第四个整数大于4且小于6时，只有5这一个整数，而中位数不是整数，不满足题意；

⑤当第四个整数大于或等于6时，中位数是：（4+6）+2=5,满足题意，

所以它们的中位数是3或4或5.

故答案为：3或4或5.

【点睛】本题侧重考查中位数的相关知识，熟练掌握中位数的定义及特征是解题的关键.

【变式3］（2023•北京•统考一模）在第四个国际数学日（2023年3月14日）到来之际，燕山地区举办了“数

学节”，通过数学素养竞赛、数学创意市集、数学名师讲座等活动，展现数学魅力、传播数学文化.为了解

学生数学素养竞赛的答题情况，从甲、乙两校各随机抽取了20名学生成绩（单位：分）的数据，并对数据

进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息：

a.乙校学生成绩数据的频数分布直方图如下图所示

（数据分为四组：60Vx<70,70Mx<80,80Mx<90,904x4100）

b.乙校学生成绩数据在80Mx<90这一组的是：

8081818285868888

c.甲、乙两校学生成绩数据的平均数、中位数、众数如下:

学校平均数中位数众数

甲79.27978

乙79.7m76

根据以上信息，回答下列问题：

⑴写出表中加的值；

(2)在甲、乙两校抽取的学生中，记成绩高于各自学校平均分的人数分别为p,q,则pq(填

“>,,,“<”或,理由是.

(3)若乙校共有160名学生参加了该数学素养竞赛，且成绩不低于80分的学生可获得“学生之星”的称号，估

计乙校获得“数学之星”称号的学生有人.

【答案】⑴80.5

(2)<,理由见解析

(3)88

【分析】(1)根据中位数的定义进行求解即可；

(2)根据甲校的中位数低于其平均成绩，乙校的中位线高于其平均成绩进行求解即可；

(3)用160乘以样本中成绩不低于80分的学生人数占比即可得到答案.

【详解】(1)解:由题意得，乙校一共有3+6+8+3=20人，

将乙校学生成绩按照从低到高排列，处在第10名和第11名的成绩分别为80,81,

乙校学生的中位数%=吧!巴=80.5；

(2)解：p〈q,理由如下：

•••甲校成绩的中位数为79,低于其平均数79.2,而乙校的中位数为80.5,高于其平均成绩79.7,

乙校高于平均成绩的人数更多，即。<4；

(3)解：160'面-=88人，

.•・估计乙校获得“数学之星”称号的学生有88人，

故答案为：88.

【点睛】本题主要考查了求中位数，用平均数和中位数做决策，用样本估计总体，灵活运用所学知识是解

题的关键.

41经典例题四求众数并用众数做决策】

【解题技巧】

众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。

【例4】（2023•河南新乡•校考二模）某校八年级（3）班50名学生自发组织献爱心捐款活动.班长将捐款

情况进行了统计，并绘制成了如图所示的统计图（不完整）.根据图中提供的信息，捐款金额的众数是（）

A.10元B.20元C.30元D.50元

【答案】c

【分析】首先可求得捐款30元的人数，再根据众数的定义，即可求解.

【详解】解：捐款30元的人数为50-6-13-8-3=20（人），

•••30出现的次数最多，出现了20次，

二捐款金额的众数是30元.

故选：C.

【点睛】本题考查了频数分布直方图及众数的求法，准确求得捐款30元的人数是解决本题的关键.

V【变式训练】

【变式1］（2023・上海•模拟预测）为了制定切合本校学生的体能训练标准，某校从九年级随机抽取30名男

生进行引体向上测试，每人测试一次，记录有效引体向上次数如表所示，那么这30名男生此次测试中引体

向上次数的众数和中位数分别是（）

次数67891011

人数3109521

A.7,7B.7,8C.8,7D.8,8

【答案】B

【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；先将数据从大到小从新排列，然后根据众数及中位数

的定义求解即可.

【详解】解：:7出现了10次，出现的次数最多，

二这30名男生此次测试中引体向上次数的众数是7；

••,共有30名男生，中位数是低15、16个数的平均数，

OIO

•••中位数为下=8；

2

故选：B.

【点睛】本题考查了众数及中位数的知识，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最

中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把

数据按要求重新排列，就可能会出错.

【变式2］（2023春・全国•八年级专题练习）两组数据：3,a,2b,5与a,6,6的平均数都是6,若将这

两组数据合并为一组数据，则这组新数据的众数为.

【答案】8

【分析】根据平均数的意义，求出。、6的值，进而确定两组数据，再合并成一组，找出出现次数最多的数

据即可.

【详解】解：由题意得，

3+a+26+5=4x6

a+6+6=3x6

这两组数合并成一组新数据为：3,8,86,8,6,4,

在这组新数据中，出现次数最多的是8,因此众数是8,

故答案为：8.

【点睛】此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数.

【变式3］（2023春・北京东城•八年级北京一七一中校考期中）2023年4月24日是我国第八个“中国航天

日”，今年航天日的主题是“格物致知，叩问苍穹”.设立“中国航天日”，就是要铭记历史、传承精神，激发

全民尤其是青少年崇尚科学、探索未知、敢于创新的热情.某校开展了一次航天知识竞赛（竞赛成绩为百

分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩，经过收集数据、整理数据，得到以下信息：

a：50名学生竞赛成绩的频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（数据分成5组：

50Vx<60,60Vx<70,70Mx<80,80Mx<90,90Vx<100),

b：第三组的成绩（单位：分）为：71,72,73,73,74,74,75,75,75,78,79,79

根据以上信息解答下列问题：

（1）补全频数分布直方图（直接在图中补全）；

（2）第三组竞赛成绩的众数是分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是.分;

（3）若该校共有1000名学生参赛，估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数.

【答案】（1）见解析

（2）75,79

（3）估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数约为480人.

【分析】（1）计算出第2组的人数，即可补全频数分布直方图；

（2）根据中位数、众数的意义，分别求出第3组的众数，样本中位数;

（3）利用样本估计总体，即可求解.

【详解】（1）解：第2组的人数为：50-4-12-20-4=10（人），

补全频数分布直方图如图所示：

（2）解：第3组数据出现次数最多的是75,共出现3次，因此众数是75；

抽取的50人的成绩从小到大排列处在第25、26位的两个数即79、79,

则样本中位数为（79+79）+2=79（分），因此中位数是79,

故答案为：75,79；

（3）解：1000x^-=480（人），

估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数约为480人.

【点睛】本题考查频数分布直方图、中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的意义是求出答案的前提，

理解频数分布直方图的意义是解决问题的关键.

41经典例题五求方差并用方差做决策】

【解题技巧】

方差的定义

在一组数据4,%,…，X“中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即S2=

-I-+1"；一:兀；力来描述这组数据的离散程度，并把S2叫做这组数据的方差。

n

一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大；一组数据的方差越小，说明这组数据的离散程

度越小。

【例5】（2023•河北保定・统考一模）白老师在黑板上计算一组数据时，列式如下：

S2=（3一4）一+（4一4）一+（4一4）一+（5—4）一，由公式提供的信息，下列关于这组数据的说法错误的是（）

n

A.中位数是4B.众数是4C.平均数是4D.方差是!

4

【答案】D

【分析】根据方差的计算公式可得这组数据为3,4,4,5,再分别根据中位数与众数的定义、平均数和方差公

式计算即可得.

【详解】解：由题意得：这组数据为3,4,4,5,

4+4

则中位数是一1=4,选项A正确，不符合题意；

因为4出现的次数最多，

所以众数是4,选项B正确，不符合题意：

平均数是23-+4-+——4+5=4,选项C正确，不符合题意；

4

方差是d=G-4）2+（4-4）2+（4-4）2+（5-4）2=口,选项D错误，符合题意；

42

故选：D.

【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数、方差，熟记各定义和公式是解题关键.

.■【变式训练】

【变式1](2023春・河南周口•九年级校联考阶段练习)测试某款纯电动汽车低速工况和高速工况的能耗情

况，为了更接近真实的日常用车环境，低速工况的平均时速在30km/h左右，包括城市一般道路、环路等路

况；高速工况的平均时速保持在90km/h左右，路况主要是高速公路.设低速工况时能耗的平均数为方

差为S：;高速工况时能耗的平均数为兀，方差为S]，则下列结论正确的是()

高速工况能耗测试

能耗(KWh/100km)

20一班3一」21」恿6/圣&」86

18,118.618.918.718.6

10

°20406080100120140160180200路程(km)

低速工况能耗测试

能耗(KWh/100km)

L89…472__1.7_____________

20-V716.516.7

18818.774IT1/",♦一

16.616.4

10

°20406080100120140160180200路程(km)

2>22

A.>x2,51^S2B.X1>X2,<S2

222

C.Xj<x2,51>S2D.x1<x2,S；<S2

【答案】C

【分析】根据平均数和方差的定义与公式解答即可.

——1

【详解】石=—X(18.8+18.9+18.7+17.2+17.1+17+16.6+16.5+16.4+16.7)=17.39(KWh/100km)；

—1

x2=—x(18.1+18.3+18.6+19.1+18.9+18.6+18.7+18.8+18.6+18.6)=18.63(KWh/100km)；

**«X]<%?，

由折线波动可知，野＞邑2,

故选：C.

【点睛】本题考查了算术平均数和方差的定义：一般地设〃个数据，孙孙…当的平均数为则方差

n

222

5=-[--)+(x2--)+...+(x„它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之

nnnn

也成立.

【变式2］（2023春・浙江•八年级专题练习）已知一组数据再,马,七户4户5的平均数是3,方差为:，那么另

一组数据3网-2,3%-2,3%-2,3x4-2,3x5-2的平均数和方差分别是，.

【答案】73

【分析】根据一组数据占,乙,鼻,尤4，%的平均数是上方差为S2,根据数据经过6+6变形后，平均数变为

ai+b，方差变为a2s2,进行计算即可.

【详解】解：•••数据%,马，£户4，尤5的平均数是3,

・,・数据3%-2,3%2-2,3%3-2,3%4-2,3/-2的平均数是3x3-2=7；

数据再,％,*3，、4，，5的万差为§，

2

数据3%-2,3x2-2,3%-2,3X4-2,3x5-2的方差是3x1=3；

故答案为：7,3.

【点睛】本题考查平均数和方差.熟练掌握一组数据%…的平均数是方差为$2,根据数据

经过依+6变形后，平均数变为痴+6,方差变为a2s2,是解题的关键。

【变式3］（2020秋•贵州贵阳•九年级校考阶段练习）某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集

训I,两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表,

并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）.

甲、乙两人射箭成绩统计表甲、乙两人射箭成绩折线图

第1次第2次第3次第4次第5次/'成绩/环

10----1L---

----,--—---甲

甲成绩94746—

8---—

V"—一乙

I.

6....

1么-

4——■

-I--1—

—

乙成绩757a72---

----'——

—___4

0

12345翳箭次序

小宇的作业：

—1

解：理=二（9+4+7+4+6）=6,

S1=：［（9_6）2+（4一6『+（7_6『+（4_6）2+（6_6）1

=3.6.

⑴"，"=;

(2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线.

(3)①观察图，可看出的成绩比较稳定(填“甲”或“乙”)，参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方

差，并验证你的判断.

②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中.

【答案】(1)4,6

(2)见解析

(3)①乙，^=1.6,验证见解析；②乙被选中，分析见解析

【分析】(1)根据甲的平均数计算公式求出射箭5次的总环数，进而求出a的值，再根据平均数的定义求

出乙的平均数即可；

(2)根据(1)所求结合表格中的数据补全统计图即可；

(3)①根据折线图可知乙的波动小，乙更稳定，然后根据方差计算公式求出乙的方差验证即可;②平均数

相同，乙的方差小，则乙被选择.

【详解】(1)解：9+4+7+4+6=30环，

.•・甲、乙两人射箭5次的总环数都为30环，

.-.fl=30-7-5-7-7=4,

——1

r.x乙=g(7+5+7+4+7)=6

故答案为：4,6；

(2)解：如图所示，即为所求;

（3）解：①观察折线统计图可知，甲的成绩波动比乙的成绩波动大，故乙的成绩比较稳定;

=1[（7-6）2+（5-6）2+（7-6）2+（4-6）2+（7-6）2]

=1（1+1+1+4+1）

=1.6,

.•展

・••乙的成绩比较稳定；

②从平均数来看，两人的平均数相同，从方差来看，乙的方差小于甲的方差，即乙的成绩比甲稳定，因此

应选择乙，即乙被选中.

【点睛】本题主要考查了折线统计图，平均数和方差，灵活运用所学知识是解题的关键.

51经典例题六极差、标准差的相关问题】

【解题技巧】

极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。

极差=最大值一最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。

标准差

方差的算术平方根，即用s=，［片_；尸+:,来描述这一组数据的离散程度,

..I、I，，XnrJ

Vn

并把它叫做这组数据的标准差。

【例6】（2022秋•八年级课时练习）泰安市某学校学生会为了贯彻“减负增效”精神，了解九年级学生每天

的自主学习情况，随机抽查了九年级一班10名学生每天自主学习的时间情况，得到的数据如表所示，下列

说法正确的是（）

自主学习时间/h0.511.522.5

人数/人12421

A.本次调查学生自主学习时间的中位数是4

B.本次调查学生自主学习时间的平均数是1

C.本次调查学生自主学习时间的方差是0.3

D.本次调查学生自主学习时间的标准差是还

5

【答案】C

【分析】根据中位数的含义可判断A,根据平均数的含义可判断B,根据方差的含义可判断C,根据标准差

的含义可判断D,从而可得答案.

【详解】解：A、由题意可知，本次调查学生自主学习时间的中位数是工手=1.5,故该说法不符合题意；

B、本次调查学生自主学习时间的平均数是（1x0.5+2xl+4x1.5+2x2+lx2.5）-10=1.5,故该说法不符合题意

C、本次调查学生自主学习时间的方差是：

。邕0.5-1.5『+2,（1-l.5y+4<1.5-1.5y+242-1.5）?+（2.5-1.5）%=0.3,故该说法符合题意；

D、本次调查学生自主学习时间的标准差是/=柏=噂，故该说法不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查数据的收集与整理，熟练掌握中位数、平均数、方差、标准差的求法是解答此题的

关键.

,【变式训练】

【变式1］（2023秋•湖南长沙•九年级校考期末）在学校数学学科知识竞赛中，我班“rros”组的6个同学

获得的分数分别为：95、97、97、96、98、95,对于这6个同学的成绩下列说法正确的是（）

A.众数为95B.众数为97C.平均数为96D.极差为3

【答案】D

【分析】根据一组数据中出现次数最多的为众数，所有数据和除以数据的个数为平均数，最大数减最小数

为极差，逐一进行判断即可.

【详解】解：A、95,97两个数据各出现两次，众数为95,97,选项错误，不符合题意；

B、95,97两个数据各出现两次，众数为95,97,选项错误，不符合题意；

_1

C、x=-（95+97+97+96+98+95）«96.3,选项错误，不符合题意；

6

D、极差为：98-95=3,选项正确，符合题意；

故选D.

【点睛】本题考查平均数，众数，极差.熟练掌握平均数，众数，极差的计算方法，是解题的关键.注意,

众数不唯一.

【变式2］（2023•全国•八年级专题练习）某学生记录了家中六个月的用电情况，六个月缴纳的电费依次为

（单位：元）：69,77,85,90,73,98,这组数据的中位数是,极差是，平均

数是.

【答案】812982

【分析】根据中位数、平均数、极差的定义分别求解即可；

【详解】解：把这组数据从小到大排列为：69,73,77,85,90,98,

所以这组数据的中位数是（77+85）+2=81；

极差是98-69=29；

平均数是（69+73+77+85+90+98）+6=82；

故答案为：81,29,82

【点睛】本题考查了极差、平均数与中位数的意义.中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列

后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数.极差反映了一组数据变化范围

的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值.

【变式3］（2021秋・甘肃兰州•八年级兰州市第十四中学校考期末）一次期中考试中，48,C,O,E五位同

学的数学、英语成绩（单位：分）等有关信息如下表所示.

ABCDE平均分标准差

数学7172696870V2

英语888294857685

（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差，并将上表补充完整；

（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是标准分=

（个人成绩-平均成绩）+成绩的标准差.从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中,

数学与英语哪个学科考得更好？

【答案】（1）表中填：70,6；（2）A同学在本次考试中，数学考得更好.

【分析】（1）由平均数、标准差的公式进行计算即可；

（2）代入公式：标准分=（个人成绩-平均成绩）+成绩标准差计算，再比较即可.

【详解】（1）数学成绩的平均分为71+72+:+68+70=70（分），

英语成绩的标准差为『8一8»*&_8»+出个5了+（85-8»+（76+85）、6,

故表中填：70,6；

（2）数学标准分为：（71一70）+&=等（分）,

英语标准分为：（88-85）+6=0.5（分）

因为正分>0.5分，所以数学考得更好，

2

即A同学在本次考试中，数学考得更好.

【点睛】本题考查的是标准差的计算，计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：①计算数据的平

均数已②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数.标

准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数.

j【经典例题七数据的集中趋势大题专训】

【例7】（2023•山东临沂•统考一模）为了解双减政策实施以来同学们的学习状况，某校调研了七、八年级

部分学生完成作业的情况.从七、八年级中各抽取20名学生作业完成时间数据（单位：分钟）进行整理和

分析，共分为四个时段（x表示作业完成时间，x取整数）：A.x<60；B.60<x<70；C.70<x<80；

D.80<x<90,完成作业不超过80分钟为时间管理优秀，部分信息如下：七年级抽取20名学生完成作业

时间为：55,58,66,65,64,66,60,60,83,78,70,75,70,78,70,88,82,85,85,82.

八年级抽取20名学生中完成作业时间在C时段的所有数据为：72,74,74,76,75,74,78,75.

七、八年级抽取学生完成作业时间统计表：

年级平均数中位数众数

七年级7270b

八年级75a74

⑴q=，b=；

(2)请补全条形统计图；

(3)根据以上数据分析，双减政策背景下作业时间管理，哪个年级落实得更好？请说明理由；(写出一条即

可)

(4)该校七年级共有学生600人，八年级共有学生400人，估计七、八年级时间管理优秀的学生共有多少

人？

【答案】(1)74,70

(2)见解析

(3)七年级落实的好，见解析

(4)720人

【分析】(1)根据中位数、众数的意义求解即可；

(2)按给出数据计算出B时段的数据然后补全即可；

(3)从平均数、中位数、众数方面比较得出答案；

(4)分别求出求出七，八年级时间管理优秀的人数，再相加即可.

【详解】(1)将八年级抽取20名同学的完成作业时间按从小到大的顺序，第10,11个数均在C时段，

而C时段的所有数据为：72,74,74,76,75,74,78,75,

按从小到大排列为：72,74,74,74,75,75,76,78,

则第10,11个数均为74,所以中位数。=7三4+二74=74.

将七年级抽取20名同学的完成作业时间出现次数最多的是78分，因此众数是70分，即：6=70.

故答案为：74,70.

(2)由题可得在8时段人数为：20-3-8-5=4(人)，

补全频数分布直方图如下：

八年级作业时间情况条形统计图

(3)七年级落实的好，理由：七年级学生完成作业的平均时间为72分钟，比八年级的少；(答案不唯一)

1415

(4)600x—+400x—=420+300=720

2020

答：估计七、八年级时间管理优秀的学生共有720人.

【点睛】本题考查了条形统计图，熟练掌握中位数，平均数的相关概念是解题关键.

+【变式训练】

【变式1】(2023•陕西西安・陕西师大附中校考模拟预测)为了解我区八年级学生数学学科期末质量监测情

况，某数学兴趣小组进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整：

收集数据：随机抽取甲、乙两所学校的20名学生的数学成绩进行分析.

甲：9189778671319793729181928585958888904491

乙：8493666976877782858890886788919668975988

整理、描述数据：按如下数据段整理、描述这两组数据.

学校30<x<3940<x<4950<x<5960<x<6970<x<7980<x<8990<x<100

甲1100378

乙00142a5

分析数据：两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表:

统计量学校平均数中位数众数方差

甲81.85b91268.43

乙81.958688115.25

根据以上信息回答下列问题：

（1）填表：a的值是；b的值是.

⑵得出结论：

①若甲学校有600名初二学生，请估计这次考试成绩在80分及以上的人数.

②请推断哪所学校学生的数学学科质量监测成绩较高，并说明理由.

【答案】（1）8,88；

（2）①450人；②甲校学生的数学水平较高，理由见解析；

【分析】（1）整理频数分布表可得。的值，再结合中位数的含义可得6的值；

（2）①由总人数乘以80分及以上的人数的占比即可得到答案；②从中位数与众数的角度出发分析可得答

案.

【详解】（1）解：由乙组数据可得：80VXV89的有8487828588888888,

..a=8,

由表格信息可得：甲组排在最中间的两个数据分别是第10个，第11个，落在80VXV89,

而这一组的数据为：81858586888889

第10个，第11个分别是88,88,

•••中位数为：6=；（88+88）=88；

（2）①甲学校有600名初二学生，估计这次考试成绩在8