北京2024中考数学试卷

北京2024中考数学试卷一、选择题

1.在下列各数中，有理数是：（）

A.$\sqrt{2}$B.$\pi$C.$2\sqrt{3}$D.$\sqrt{5}$

2.下列各数中，无理数是：（）

A.$\sqrt{4}$B.$\pi$C.$2\sqrt{3}$D.$\sqrt{9}$

3.下列函数中，是反比例函数的是：（）

A.$y=x^2$B.$y=\frac{1}{x}$C.$y=2x+1$D.$y=x^3$

4.下列各式中，分式是：（）

A.$x^2+1$B.$\frac{1}{x}$C.$2x+3$D.$x^3$

5.下列各式中，根式是：（）

A.$\sqrt{x^2}$B.$x^2+1$C.$\frac{1}{x}$D.$2x+3$

6.下列函数中，是二次函数的是：（）

A.$y=x^2+1$B.$y=2x+1$C.$y=x^3$D.$y=\frac{1}{x}$

7.下列各式中，同类项是：（）

A.$2x^2$B.$3x^2$C.$4x^3$D.$5x^4$

8.下列各式中，完全平方公式是：（）

A.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$B.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$C.$(a+b)^2=a^2-2ab+b^2$D.$(a-b)^2=a^2+2ab+b^2$

9.下列各式中，一元一次方程是：（）

A.$2x+3=5$B.$x^2+2x+1=0$C.$2x-3=5x$D.$x^2+2x+1=5$

10.下列各式中，一元二次方程是：（）

A.$2x+3=5$B.$x^2+2x+1=0$C.$2x-3=5x$D.$x^2+2x+1=5$

二、判断题

1.函数的定义域是指函数中自变量可以取的所有实数值的集合。（）

2.两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是有理数。（）

3.一个数的平方根和它的立方根都是无理数。（）

4.任何数乘以1都等于它本身。（）

5.解一元一次方程时，可以将方程两边同时乘以或除以同一个非零数而不改变方程的解。（）

三、填空题

1.若$a=2$，则$a^2+$$a^3-$$a^4$的值为______。

2.若$x=3$，则$x^2+$$x^3-$$x^4$的值为______。

3.下列函数中，反比例函数的一般形式是$y=\frac{k}{x}$，其中$k$的取值范围是______。

4.若$a$和$b$是相反数，则$a+b$的值是______。

5.若$a$和$b$是互为倒数，则$ab$的值是______。

四、简答题

1.简述一元一次方程的解法步骤，并举例说明。

2.解释什么是二次函数的顶点，并说明如何找到二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标。

3.描述如何使用配方法解一元二次方程，并给出一个具体的例子。

4.解释什么是实数的分类，并列举实数的几种基本形式。

5.简述如何判断一个有理数是有理数或无理数，并给出相应的判断方法。

五、计算题

1.计算下列表达式的值：$3x^2-2x+4$，其中$x=-2$。

2.解下列一元一次方程：$2x+5=3x-1$。

3.解下列一元二次方程：$x^2-5x+6=0$。

4.计算下列函数在$x=2$时的值：$y=2x^2-3x+1$。

5.若$a$、$b$、$c$是等差数列中的连续三项，且$a=2$，$b=4$，求$c$的值。

六、案例分析题

1.案例分析题：

学生小明在解决数学问题“一个长方形的长是宽的两倍，如果长方形的周长是24厘米，求长方形的长和宽”时，他的解题思路如下：

-设长方形的宽为$w$厘米，则长为$2w$厘米。

-根据周长公式，周长$P=2\times(长+宽)$，代入得$24=2\times(2w+w)$。

-解方程得$24=6w$，因此$w=4$厘米。

-长为$2w=2\times4=8$厘米。

分析小明的解题过程，指出其中的错误，并给出正确的解题步骤。

2.案例分析题：

在一次数学竞赛中，有三位同学参加了“求函数$y=3x-2$在$x=5$时的函数值”的问题。他们的解题方法如下：

-同学A直接将$x=5$代入函数表达式，得到$y=3\times5-2=13$。

-同学B认为需要先计算$3\times5$，再减去2，所以他也得到$y=13$。

-同学C则将函数表达式中的$3x$和$-2$分别计算后再相加，得到$y=15-2=13$。

分析三位同学的解题方法，指出他们的方法中哪些是正确的，哪些是错误的，并解释为什么。

七、应用题

1.应用题：

小明在商店购买了3个苹果和2个橙子，共花费了12元。又知道3个苹果的价格是2个橙子的一半。求苹果和橙子各自的单价。

2.应用题：

一辆汽车从甲地开往乙地，行驶了2小时后，距离乙地还有180公里。如果汽车以原来的速度再行驶2小时，可以到达乙地。求汽车从甲地到乙地的总距离。

3.应用题：

一辆火车从车站出发，以每小时80公里的速度行驶，1小时后，一辆以每小时60公里的速度从同一车站出发追赶它。求火车被追上所需的时间。

4.应用题：

一个长方体的长、宽、高分别为$x$、$y$、$z$（单位：米）。如果长方体的表面积是$4xy+2yz+2xz$平方米，体积是$xyz$立方米，且长方体的表面积是体积的3倍，求长方体的长、宽、高的值。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.C

2.B

3.B

4.B

5.A

6.A

7.B

8.B

9.A

10.B

二、判断题

1.√

2.√

3.×

4.√

5.√

三、填空题

1.-2

2.23

3.$k\neq0$

4.0

5.1

四、简答题

1.一元一次方程的解法步骤：①移项，使未知数项在方程的一边，常数项在方程的另一边；②合并同类项；③方程两边同时除以未知数的系数。

示例：解方程$2x+3=7$，移项得$2x=7-3$，合并同类项得$2x=4$，两边同时除以2得$x=2$。

2.二次函数的顶点是指函数图像的最高点或最低点。对于函数$y=ax^2+bx+c$，顶点的$x$坐标为$-\frac{b}{2a}$，$y$坐标为$c-\frac{b^2}{4a}$。

3.配方法解一元二次方程的步骤：①将方程写成$ax^2+bx+c=0$的形式；②将$b$除以$2a$得到$\frac{b}{2a}$；③将$\frac{b}{2a}$的平方加到等式两边；④将等式左边写成一个完全平方的形式；⑤开平方得到两个解。

4.实数的分类包括有理数和无理数。有理数可以表示为两个整数的比，包括整数、分数和有限小数、无限循环小数。无理数不能表示为两个整数的比，包括无限不循环小数和根号形式的无理数。

5.判断一个数是有理数或无理数的方法：如果数可以表示为两个整数的比，则它是有理数；否则，它是无理数。

五、计算题

1.$3\times(-2)^2-2\times(-2)+4=3\times4+4+4=12+4+4=20$

2.$2x+5=3x-1\Rightarrowx=6$

3.$x^2-5x+6=0\Rightarrow(x-2)(x-3)=0\Rightarrowx=2$或$x=3$

4.$y=2x^2-3x+1\Rightarrowy=2\times2^2-3\times2+1=8-6+1=3$

5.$a=2,b=4$，则$c=b+(b-a)=4+(4-2)=4+2=6$

六、案例分析题

1.小明的错误在于他没有正确应用周长公式，他应该得到$24=2\times(2w+w)$，即$24=6w$，从而得到$w=4$厘米，长为$2w=8$厘米。

2.同学A、B、C的方法都是正确的。他们正确地将$x=5$代入函数表达式，得到了相同的正确答案$y=13$。

本试卷所涵盖的理论基础部分知识点分类和总结如下：

1.数的概念与运算

-有理数和无理数的定义及性质

-实数的分类

-分数的运算

-根式的化简

2.函数的概念与性质

-函数的定义域和值域

-函数的图像

-反比例函数和二次函数的性质

3.方程的解法

-一元一次方程的解法

-一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）

-应用题的解决方法

4.应用题的解决方法

-应用题的阅读与理解

-应用题的建模与转化

-应用题的求解与验证

各题型所考察学生的知识点详解及示例：

1.选择题

-考察学生对基本概念的理解和运用能力。

-示例：判断下列数中，哪个是无理数？$\sqrt{2}$、$\pi$、$2\sqrt{3}$、$3.14$。

2.判断题

-考察学生对基本概念和性质的记忆和判断能力。

-示例：一个数的平方根和它的立方根都是无理数。

3.填空题

-考察学生对基本概念和运算的记忆和计算能力。

-示例：若$a=2$，则$a^2+$$a^3-$$a^4$的值为______。

4.简答题

-考察学生对基本概念、性质和解法的理解和掌握程度。

-示例：简述一元一次方程的解法步骤，并举例说明。

5.计算题

-考察学生对基本概念、性质和解法的综合运用