2025年新湘教版数学七年级下册课件 4.5 垂线 第2课时 垂线段与点到直线的距离

垂线段与点到直线的距离④第2课时垂线段与点到直线的距离情境导入在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？河第2课时垂线段与点到直线的距离问题1：如图，任画一条直线l，作l的垂线.这样的垂线能画出几条？可以画无数条新课探究第2课时垂线段与点到直线的距离问题2：任画一条直线l，用三角板或量角器过任意一点P

画直线l

的垂线.(1)若直线l

经过点P

，这样的垂线能画几条？可以画一条一“靠”二“过”三“画”第2课时垂线段与点到直线的距离(2)若直线l

不经过点P

，这样的垂线能画几条？可以画一条b根据以上操作，你能得出什么结论?问题2：任画一条直线l，用三角板或量角器过任意一点P

画直线l

的垂线.第2课时垂线段与点到直线的距离在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

b注意:①“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外.②“有且只有”中,“有”指存在，“只有”指唯一性.第2课时垂线段与点到直线的距离如图，设PO垂直于直线l，O为垂足，线段PO叫作点P到直线l的垂线段．经过点P的其他直线分别交直线l于A，B，C，D···，线段PA，PB，PC，PD，···都不是垂线段，称为斜线段．垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足.第2课时垂线段与点到直线的距离①用刻度尺量，发现垂线段PO

最短.说一说比较图中PA，PB，PO，PC，PD

五条线段的长度，哪条线段最短？②用圆规比较垂线段PO和斜线段PA，PB，PC，PD

的长度，可知线段PO最短.第2课时垂线段与点到直线的距离从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.简单说成：垂线段最短．如图：垂线段PO的长度叫作点P到直线l的距离.特别规定：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.第2课时垂线段与点到直线的距离(1)量出图中点P

到直线AB

的距离.做一做第2课时垂线段与点到直线的距离(2)某单位要在河岸l

上建一个水泵房引水到C处，

如图，问建在哪个位置才最节省水管？为什么？如图，垂线段最短．做一做第2课时垂线段与点到直线的距离(3)由(1)(2)你会发现可以怎样求点到直线的距离？做一做求点到直线的距离可以转化为求点到点的距离.第2课时垂线段与点到直线的距离如图，在△ABC

中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为点D，AB=5，BC=12，AC=13.求：(1)点A

到直线BC的距离；解：

因为∠ABC=90°，所以AB⊥BC，点B为垂足，所以线段AB即为点A

到直线BC的垂线段.因为AB=5，所以点A到直线BC的距离为5.第2课时垂线段与点到直线的距离解：因为BD⊥AC，垂足为点D，所以线段BD

的长度即为点B

到直线AC

的距离.等面积法因为S△ABC=·BC·AB=·AC·BD,所以BD=.所以点B到直线AC的距离为.如图，在△ABC

中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为点D，AB=5，BC=12，AC=13.求：(2)点B

到直线AC

的距离.第2课时垂线段与点到直线的距离[选自教材P118练习]1.如图，在△ABC

中，∠A=90°，AB=3，AC=4，BC=5，求点A到BC

的距离，点C

到AB

的距离.解:作AD⊥BC，垂足为点D.D所以线段AD

的长度即为点A

到直线BC

的距离.因为S△ABC=·AC·AB=·BC·AD,所以AD=.因为∠BAC=90°，所以AC⊥AB，点A为垂足，所以线段AC

的长度即为点C到直线AB

的距离，则距离为4.第2课时垂线段与点到直线的距离[选自教材P118练习]提示:用直尺量出图中点P到各直线的距离,再按比例尺换算成实际距离.2.某公园的

4条纵横交错的人行道和一喷泉的示意图如图所示（比例尺为：1∶5000），其中直线a，b，c，d表示人行道，点P表示喷泉.

量出点P

到4条直线的距离，并求出其实际距离．第2课时垂线段与点到直线的距离3．如图，体育课上应该怎样测量同学们的跳远成绩？解:体育课上，测量同学们的跳远成绩的方法:先分别过落地点作起跳线的垂线，然后分别量取这些落地点到起跳线的垂线段的长度，这些长度就分别是同学们各自的跳远成绩.[选自教材P118练习]第2课时垂线段与点到直线的距离1.如图，①过点

Q

作

QD⊥AB，垂足为

D，②过点

P

作

PE⊥AB，垂足为

E，③过点

Q

作

QF⊥AC，垂足为

F，④连

P、Q

两点，⑤

P、Q

两点间的距离是线段______的长度，⑥点

Q到直线

AB

的距离是线段_______的长度，⑦点

Q

到直线

AC

的距离是线段_______的长度，⑧点P到直线AB的距离是线段________的长度.解：①②③④

作图如图所示PQQDQFPE随堂演练第2课时垂线段与点到直线的距离2.如图，∠C=90°，AB=5，AC=4，BC=3，则点

A

到直线

BC

的距离为_____，点

B

到直线

AC

的距离为______，点A、B间的距离为______.435第2课时垂线段与点到直线的距离3.如图所示，火车站、码头分别位于A，B两点，直线

a和

b分别表示河流与铁路.(1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；(2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；(3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由.解：如图所示:(1)沿AB走，两点之间线段最短；(2)沿

BD走，垂线段最短；(3)沿

AC走，垂线段最短.火车站码头河流铁路第2课时垂线段与点到直线的距离4.如图所示，已知∠AOB=∠COD=90°，(1)若∠BOC=45°，求∠AOC与∠BOD的度数；(2)若∠BOC=25°，求∠AOC与∠BOD的度数；(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？说说其中的道理.解：(1)因为∠AOB=∠COD=90°，且∠BOC=45°，所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=45°，∠BOD=∠COD-∠BOC=45°.(2)因为∠AOB=∠COD=90°，且∠BOC=25°，所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=65°，∠BOD=∠COD-∠BOC=65°.(3)∠AOC=∠BOD，等角的余角相等.第2课时垂线段与点到直线的距离5.如图，OF

平分∠AOC，OE⊥OF，AB与

CD相交于

O，∠BOD=130°，求∠EOB的度数.解：因为∠AOC=∠BOD，∠BOD=130°，所以∠AOC=130°.因为OF平分∠AOC，所以∠AOF=∠FOC=65°.因为OE⊥OF，所以∠EOF=90°.所以∠BOE=180°-∠AOF-∠EOF=180°-65°-90°=25°.