人教版高一数学上学期期末复习：二次函数与一元二次方程、不等式（原卷版）

二次函数与一元二次方程、不等式

（个考点梳理+题型解读+提升训练）

考点侪单

1;;■二■一元二次不等式的概念

二次（函数，方程，不等式）也・三个二次之间的关系

不含参数的一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法

函参数的一元二次不等式的解法

【清单01】四个二次的关系

判别式△=/—4acA>0A=0A<0

二次函数y-ax1++c（a〉01LL卫

的图象Xi\to/x2X

有两个相等的实数根

一元二次方程有两个不相等的实数

b没有实数根

ax1+bx+c=0（a>0）的根根石，x（x<x）

2121-la

!b、

2(

ax+&v+c>0(a>0)的解集{x\x<玉或X>x2}{x\x^--}R

2a

2

ax++c<0(a>0)的解集{x\xr<x<x2}00

【清单02]一元二次不等式的解法

（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；

（2）写出相应的方程"2+乐+C=0（。>0）,计算判别式A：

①A>0时，求出两根西、x2,且再</（注意灵活运用十字相乘法）；

②A=0时，求根X]=x=—■—；

22a

③A<0时，方程无解

（3）根据不等式，写出解集.

【清单03】分式不等式的解法

①移项化零：将分式不等式右边化为0：

②用<0=/(力g(合0

③黑>0o/(x).g(x)>0

/(x)-g(x)<0

g(x)g(x)丰0

/(x)-g(x)>0

g(x)g(x)丰0

量型精单

【考点题型一】一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数不含参数）

形如:x2+mx+〃<0（x2+mx+n<0）或—+加x+〃〉o（x2+mx+n>0）

核心方法：十字相乘法+分类讨论法

【例1】1.（24-25高一上•甘肃武威•期中）解下列不等式：

（1）-2X2+5X+7>0;

【变式1-1］（24-25高一上・甘肃白银・期中）解不等式:

(1)2X2-X-3>0

【变式1-2］（24-25高一上•四川成都•期中）求解不等式X2-4X+3<0,并利用数轴表示解集.

【考点题型二】一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数含参）

形如：ax2+mx+72<0（ax2+mx+M<0）或ax2+mx+«>0（ax2+mx+?/>0）

核心方法：十字相乘法+分类讨论法

【例2】（24-25高一上•上海嘉定•期中）（1）已知实数加<0,解关于x的不等式

mx2+（1-m）x+m-2<m-\.

【变式2-1］（24-25高一上•北京•期中）分别求下列关于x的不等式的解集：

（1）x?+（a—2）x—2aW0.

【变式2-2］（24-25高一上•福建漳州•期中）已知/■（x）=ax2-（a+2）x+b（a,beR）

⑴若不等式〃幻<0的解集为（T3）,求a,方的值；

（2）若42,且">0求关于x的不等式〃x）>0的解集.

【变式2-3］（24-25高一上•广西南宁•阶段练习）解关于x的不等式ax2-（a+4）x+420（aeR）.

【考点题型三】一元二次不等式（含参）的求解（不能十字相乘法）

核心方法：A法

【例3】（24-25高一上•广东广州•期中）设函数/（X）—%2+（JX+3-a,

⑴对Vxe［-2,1］,/（x”0恒成立，求”的取值范围.

（2）解不等式/（x）+（a-1）/+a>0.

【变式3-1］（24-25高一上•四川成都•阶段练习）已知函数/■（x）=ax2+2x+3（aeR）.

⑴若关于x的不等式/（x）>（a-l）x+3-«解集为R,求实数a的取值范围；

（2）解不等式/（x）>0.

【考点题型四】一元二次不等式与对应函数、方程的关系

b

X］+I2=---------

核心方法：根与系数的关系：a

C

X1X2~一

Ia

【例4】（多选）（24-25高一上•广东潮州•期中）已知不等式尔+反_6<0的解集为卜卜3<x<2},下列

说法正确的是（）

A.。<0；

B.-3,2是方程办2+法一6=0的两个实数根；

C.b=l；

D.不等式/_法-2心0的解集为{x|x4-l或尤22}.

【变式4-1］（24-25高一上•上海•期中）已知关于x的不等式^z+bx+cNO的解集为,2,求不等式

ex2+bx+a<0的解集.

【变式4-2］（24-25高一上•陕西西安•期中）若不等式x2+ax+b<0的解集为卜卜1<工<2},则4+6=_

不等式以+办+1<0的解集为

【考点题型五】解分式不等式

【解题方法】转化为一元二次不等式

【例5】（24-25高一上•吉林•期中）不等式二<2的解集是（）

x+2

A.（-8,-2）B.（-«>,-8）U（-2,+«）

C.（-8,+co）D.（-co,-2）U（8,+<»）

【变式5-1］（24-25高一上•福建三明•期中）不等式”2r-l20的解集是（）

x+4

A.{X\-4<X<MB.{x\x<-4^x>-}

22

C.{x|x<-4^x>|}D.{x\-4<x<^}

【变式5-2]（24-25高一上•上海•期中）不等式子士>。的解集为____.

2x+5

【考点题型六】一元二次不等式在人上恒（能）成立

核心方法：△判别法+分类讨论法

【例6】（24-25高三上•内蒙古鄂尔多斯•期中）已知关于x的不等式V-20>0的解集为R,则实数。

的取值范围是.

3

【变式6-1]（24-25高一上•广东深圳•期中）一元二次不等式2区2+质-2<0对一切实数x都成立，则人的

O

取值范围是.

【变式6-2]（24-25高一上•福建厦门•期中）“不等式-2/+丘一?<0对一切实数x都成立，，，则左的取值范

O

围为_______.

【考点题型七】不等式在区间。上恒（能）成立

核心方法：变量分离法+基本不等式+对勾函数

【例7-1]（24-25高一上•湖南长沙•期中）若不等式/一笈+1<0对一切恒成立，则实数，的取值

范围为（）

55八10

A.tN—B.t>—C.£22D.t>—

223

【例7-2]（24-25高三上•四川成都•阶段练习）已知关于x的不等式ax2—2x+3a<0在（0,2]上有解，则实

数”的取值范围是（）

【变式7-1]（24-25高一上•北京大兴•期中）若不等式V-伍+2）》+20〈0对任意的工€[-1,1]恒成立，贝！

的取值范围是（）

A.[-1,1]B.[-1,+<»）C.[-1,2]D.（-«>,-1]

【变式7-2]（24-25高一上•北京•期中）命题"Vxw[l,2],x1-ax+\<0”为假命题的一个充分不必要条件

是.

【考点题型八】一元二次不等式的实际问题

核心方法：分解因式解不等式

【例8】（24-25高一上•全国•课后作业）单板滑雪是北京冬奥会比赛项目之一，如图，若&）=48m,某运

动员自起跳点3起跳后的运动轨迹（虚线部分）可近似看作一元二次函数图象，运动员竖直高度了（单位:

m）与距离起跳点的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系式y=-由/+%+48（x>0）,则运动员竖

直高度不低于48m时，水平距离最多为m.

个竖直高度训'm

出发点....

3起跳点\

48m

D水平距毒£1

【变式8-1](23-24高一上・陕西•阶段练习)某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的

租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10%元(14x420,

xeZ),则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼

服租赁公司每套礼服每天的租价应定为()

A.220元B.240元C.250元D.280元

【变式8-2](23-24高一上•湖南株洲•阶段练习)某公司生产某种产品，其年产量为x万件时利润为R(x)

万元.

⑴当0<xW35时，年利润为R(x)=-gx2+20x+250,若公司生产量年利润不低于400万时，求生产量x

的范围；

(2)在(1)的条件下，当x>35时，年利润为R(x)=-gx-?+520.求公司年利润及(x)的最大值.

【考点题型九】一元二次不等式中的新定义问题

【例9】(23-24高一•江苏)定义两个函数的关系，函数加(x),"(x)的定义域为N,B,若对任意的

X^A,均存在使得,="(%)，我们就称加(x)为“(X)的“子函数”.

(1)^/(X)=X2-X(O<X<2),g(x)=x+l(-2<x<2),判断/(x)是否为g(x)的“子函数”,并说明理由;

[1X>1

⑵若尸(耳=/-2办+l(OVxV2)是G@)=尤'•一的“子函数”，求a的取值范围.

|x+l|,-5<x<\

【变式9-1](23-24高三下•四川)设M表示函数/(x)=--4x+2|在闭区间/上的最大值.若正实数

满足叫。,“小2M[郎],则正实数a的取值范围是()

A.2—^3,—B.12-6,1]C.[2,2+6]D.[2+V3,4]

\b,a>b

【变式9-2](23-24高二上•广东广州)对任意实数a,b,定义函数/(。*)=/已知函数

[a,a<b

f(x)=x2-mx+n,g(x)=2|x-11,记H(x)二尸(/(现g(x)).

(1)若对于任意实数x,不等式〃》)28(2)+〃-5恒成立，求实数，〃的取值范围；

⑵若2m-〃=2,且加w[6,+8),求使得等式H(x)=/(x)成立的x的取值范围；

(3)在(2)的条件下，求"(x)在区间[0,6]上的最小值.

提升训练

一、单选题

1.(24-25高一上•陕西宝鸡•期中)若不等式ax^bx+oO的解集为门卜2<x<1},则不等式ax2+bx+c>0

的解集为()

A.{止l<x<2}B.{止C.{x|-2<x<2}D.{x|-l<x<3}

2.(24-25高一上•北京•期中)已知不等式x>”对任意的xe[1,2卜恒成立，则实数"的取值范围是

a—\

()

A.B.(-2,1)

C.(-oo,-2)U(l,+oo)D.

3.(24-25高一上•云南文山•阶段练习)已知关于x的一元二次不等式Y+乐+。K0的解集为{^|2<x<4},

则关于x的不等式cf+bx+iwo的解集为()

A.\——x<――B.1x|2<x<4j

C.{x\-4<x<-2}D.

4.（24-25高一上•河北石家庄•期中）若存在xwR,使得不等式以厂户成立,则实数胆的取值范围

x—2x+3

为（）

A.{m|m>2}B.{m|m<0}C.{m\m<2}D.{m|m<2}

5.（24-25高一上•福建泉州•期中）已知不等式ax2-10x+6a<0的解集为{x[2<x<3},且不等式

（加、2加-3b2+（"?+1卜+。>0对于任意的xeR恒成立，则实数机的取值范围为（）

6.（24-25高一上•广东珠海•期中）命题“WeR,使加x；-（加+3）x0+加<0”是假命题，则实数，"的取值

范围为（）

A.m<0B.m<—\C.m>3D.m>3

7.（24-25高一上•吉林长春•期中）若两个正实数x,V满足4x+y=2盯，且不等式x+-加有解，

4

则实数机的取值范围是（）

A.-1<m<2B.m<-2,或加>1

C.-2<m<1D.m<-l9或根>2

8.（24-25高一上•河南驻马店•阶段练习）已知关于x的不等式（/_1卜2_2办+1<0恰有3个整数解，则实

数〃的取值范围是（）

14,5—5,4〕f3/4T4/31

A.Sa—一<a<—一或一WQ<一,B.Sa一一

1344,3J|2

—"1或D.k一43〕

-<a<一]或1«（2<—>

二、多选题

9.（24-25高一上•湖南长沙•阶段练习）不等式-法+c>0的解集是卜卜2<》<1},则下列选项正确的

是（）

A.b<0且c>0

B.不等式6x-c>0的解集是{x|x>2}

C.a+b+c>0

D.不等式蹂2+式+c>0的解集是{止l<x<2}

10.（24-25高一上•全国•期中）已知关于x的不等式尔+bx+c>0解集为{42<无<3},则（）

A.a<0B.a+b+c〉O

C.b-\—N2-\/6D.CY+6X+Q>O的解集为

c

三、填空题

3X_1

11.(24・25高一上•湖南长沙•阶段练习)不等式—>1的解集为_______.

2-x

12.(24-25高一上•云南昆明•期中)若“土41,2],f一⑪+此。，，为假命题，则实数。的取值范围为一

四、解答题

13.(24-25高一上•江苏南京•阶段练习)已知函数/(0=亦2+2x+6+l,a,beR,g(x)=x-l.

⑴若关于x的不等式/(x)>。的解集为{x|x<-4或无>2},求实数。，6的值；

(2)当6=0时，〃x)图像始终在g(x)图象上方，求实数。的取值范围；

(3)当a=l时，若对任意王e[-2,2],总存在马4-2,2],使得g(再)=/(%)成立，求实数6的取值范围.

14.(24-25高一上•浙江杭州•期中)设函数/