人教版八年级数学上册压轴题专练：轴对称压轴题考点训练（解析版）

第十三章轴对称压轴题考点训练

评卷人得分

1.如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是()

A.1+V2B.1+与C.2-V2D.V2-1

【答案】B

【详解】第一次折叠后，等腰三角形的底边长为1,腰长为正；

2

第一次折叠后，等腰三角形的底边长为巫，腰长为所以周长为工+工+也=1+且.

2*22222

故答案为B.

2.已知点M(2,2),且OM=20,在坐标轴上求作一点P,使回OMP为等腰三角形，则点P

的坐标不可能是()

A.(272,0)B.(0,4)C.(4,0)D.(0,872)

【答案】D

【分析】分类讨论：OM=OP；MO=MP；PM=PO,分别计算出相应的P点，从而得出答案.

【详解】回M(2,2),且OM=2夜，且点P在坐标轴上

当OM=OP=26时

P点坐标为：(±20,0),(0,±2应),A满足；

当VO=MP=2夜时：

P点坐标为：(4,0),(0,4),B满足；

当尸加=尸。时：

P点坐标为：(2,0),(0,2),C满足

故答案选：D

【点睛】本题考查动点问题构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质分类讨论是解题关键.

3.如图，0A8C中，AB=AC,回A4C=90。，点。在线段2c上，BEDB=^^ACB,BTE^DE,

DE与AB相交于点片若BE=4,则()

E

BDC

A.6B.8C.10D.12

【答案】B

【分析】过点。作AC的平行线交BE的延长线于“，交AB于G,则可得从而

BH=2BE,又可证明则DF=BH,从而可求得。尸的长.

【详解】过点。作AC的平行线交BE的延长线于H,交AB于G,如图所示

EIDHEL4C

^3\BDH=SACB

^EDB=^BDH

2

^EDB=^EDH

团BEWOE

^\DEB=^\DEH

mDBE=^\DHE

^\DB=DH

即明阳”是等腰三角形

0BH=2BE=2X4=8

0AB=AC,回BAC=90°

0[?L4CB=aABC=45o

^\EDB=^\EDH=!0ACB=22.5°

2

蒯现DE

mEBD=9O°-0E£>B=67.5°

^\HBG=^EBD-^\ABC=22.5O

^\HBG=^EDH

^\BDH=^ACB=^ABC=^5°

6GB=GD,团BGD=90°

在R咽HGB和Rf^FGD中

ZBGH=ZDGF=90°

<BG=DG

ZHBG=ZEDH

酿HG应回尸GO

⑦DF=BH=8

故选：B.

BDC

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，构造辅助线

得到全等三角形是问题的关键.

4.在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A(3,-g)和8(3,-y)是图形上的一对

对称点，若此图形上另有一点C(-2,-9),则C点对称点的坐标是()

33

A.(-2,1)B.(-2,--)C.(----9)D.(-2,-1)

22

【答案】A

【分析】先利用点A和点B的坐标特征可判断图形的对称轴为直线y=-4,然后写出点C关

于直线y=-4的对称点即可.

【详解】解：(3,-g)和8(3,-y)是图形上的一对对称点，

.,.点A与点3关于直线y=-4对称，

.•.点C(-2,-9)关于直线y=-4的对称点的坐标为(-2,1).

故选：A.

【点睛】本题考查了坐标与图形的变化，需要注意关于直线对称：关于直线x=m对称，则

两点的纵坐标相同，横坐标和为2m；关于直线y=n对称，则两点的横坐标相同，纵坐标和

为2n.

5.如图，N54C的角平分线与3c的垂直平分线DG交于点民DPLAC,垂足分

别为E、F,若AF=9,BC=10,则ABC的周长为()

A

【答案】B

【分析】连接BD、DC,证EIBDEEHCDF,可得CF=BE,根据角平分线性质可知AE=AF,即可求

周长.

【详解】解：连接BD、DC,

回AD平分回BAC,DE±AB,DFYAC,

I3DE=DF,

0AD=AD,

HRtEADEHRtfflADF,

团AE=AF=9,

0DG垂直平分BC,

0BD=DC,

0RtEBDE0Rt0CDF,

0BE=CF,

一ABC的周长=AB+AC+BC=AF-CF+AE+BE+BC=2AF+BC=28,

故选:B.

【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题

关键是依据已知条件，恰当作辅助线，构造全等三角形.

6.如图，等边一ABC中，D、E分别为AC、边上的点，AD=CE,连接AE、BD交

于点F,NCBD、NAEC的平分线交于AC边上的点G,BG与AE交于点H,连接PG.下

列说法：®^ABD^..CAE；②NBGE=30°；③ZABG=NBGF；@AB=AH+FG-,其中

正确的说法有（）

A

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】A

【分析】根据等边三角形的性质，证明ABDACAE：即可得①正确；证明NME=60。，

/AEC=/FBE+64。,再由/兹=；/4欧=；/糜+30。,/颇=^/曲二；/9，即可得

②正确；先证Rt一的2Rt二的，得/BGF=60。-/FBG,再证/狈=60。-N&G,即可得

③正确；先证,6"白一颇，WGF=GC,再证AH=AG,由M+/=4G+6T=47=皿,

即可得④正确；

【详解】解：是等边三角形，

：.AB=AC=BGZACB=ZBAC=6Q°,

在△AB。和VC4E中，

AB=AC

<ZBAD=ZACE=60°,

AD=CE

「.△ABD丝ZXC4E,故①正确；

^ABD^CAE,

:./CAE=/ABD,

ZBFE=ZBAE+ZABD,

ZBFE=ZBAE+ZABD,

..ZBFE=ZBAE+ZCAE=ZBAC=60°,

ZAEC=ZEBF+ZBFE,

ZAEC=NFBE+60。,

.ZCBD.的平分线交于AC边上的点G,

:.4GEC=工4AEC=L4FBE+30°/GBE=LZCBD=14FBE,

2222

/GEC=NGBE+ZBGE,

:.ZBGE=300,故②正确；

如下图，过点G作GT_LBD于T,■于J,GKLBC于K,

A

BG平分/DBC,£G平分NAEC,

/.GT=GK=GJ,/FBG=/CBG,

ZGJF=ZGTF=90°,GF=GF,

「.RW^RWT1,

"GFJ=/GFT,

/BFE=60。,

:2GFJ=4GFT=6S,

:.ZBFG=120°,

ZBGF=180°-120°-AFBG=60°-AFBG,

.•AABG=AABC-ACBG=60°-ACBG,

/FBG=/CBG,

:.ZABG=ZBGF,故③正确；

4GFJ=4C=60。，/GJF=/GKC=90。,GJ=GK,

:.；.GJF\GKC,

:.GF=GC,

ZBAH+ZEAC=AEAC+ZAGF=60°,

:.ZBAH=ZAGF,

「ZAHG=AABG+/BAH/AGH=/BGF+/AGF/ABG=ZBGF,

:.ZAHG=ZAGH,

：.AH=AG,

:.AH+GF=AG+GC=AC=AB,

:.AB=AH+FG,故④正确；

综上：正确的有4个；

故选A.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，

三角形内角和定理，三角形的外角，解题的关键是证三角形全等.

7.如图，C为线段A石上一动点（不与点A,七重合），在AE同侧分别作等边她3c和等边国EC。,

AD与BE交于点O,AZ）与3C交于点P,5石与CD交于点Q连接尸Q.以下五个结论正确

的是()

®AD=BE；②尸Q0AE；(3)AP=BQ；④DE=DP；©ZAOB=60

A.①③⑤B.①③④⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤

【答案】C

【分析】①由于0A3C和EICDE是等边三角形，可知4C=BC,CD=CE,0ACB=0OC£=6OO,

从而证出EACD03BCE,可推知AZXBE；②由0ACDEH2CE■得团C3E=[3DAC,加之

EL4CB=EDCE=60°,AC=BC,得至胞CQBEBCB4(ASA),再根据I3PCQ=6O°推出回PCQ为等边三

角形，又由SPQC=aDCE,根据内错角相等,两直线平行，可知②正确；③根据②团CQB盟。4

(ASA),可知③正确；@^^DQE=SECQ+SCEQ=60°+^CEQ,SCDE=60Q,可知EIQQEHEICDE,

可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BCSDE,再根据平行线的性质得到国CBE=SDEO,

于^\AOB=^DAC+^BEC=SBEC+SDEO=SDEC^60°,可知⑤正确.

【详解】解：团等边0ABC和等边回CDE,

EAC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

田ZACB+/BCD=/DCE+/BCD,BPZACD=ZBCE,

0ACD^BCE(SAS),

^\AD=BE,

回①正确，

回VAC以V3CE,

EZCB£=ZZMC,

又回ZACB=ZDCE=60°,

回4CD=60°,BPZACP=ZBCQ,

又HAC=BC,

I3-CQB^CPA(ASA),

^CP=CQ,

又0BPCQ=6O。可知I3PCQ为等边三角形，

S^PQC=ZDCE=60°,

"Q3AE②正确，

aUCQBa3cg4,

^AP=BQ,③正确，

^\AD=BE,AP=BQf

^\AD-AP=BE-BQ,

即DP=QE,

0ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,/CDE=60。,

^IDQE^CDE,

团04。尸，故④错误；

mCB=0£>CE=6O°,

回团BCD=60°,

团等边回。CE,

0E£>C=6OO=[?]BCD,

0BC0DE,

00CBE=0DEO,

^\AOB=^DAC^BEC=^BEC^DEO=^\DEC=60°,

回⑤正确.

故选：c.

【点睛】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定

与性质等知识点的运用.要求学生具备运用这些定理进行推理的能力，此题的难度较大.

8.如图，已知，点・A(0,0)、B(4g,0)、C(0,4),在13ABe内依次作等边三角形，使

一边在X轴上,另一个顶点在BC边上,作出的等边三角形分别是第1个国AAiBi,第2个回B1A2B2,

第3个加2A3B3,...则第2017个等边三角形的边长等于()

【答案】A

【详解】根据锐角三函数的性质，由OB=4括，OC=1,可得回OCB=90。，然后根据等边三角

形的性质，可知EIAiAB=60。，进而可得EICAAi=30。，ECAiO=90°,因此可推导出EIA2AIB=30。，同

理得至胞CA2BI=E1CA3B2=E1CA4B3=90。，I3A2AIB=I3A3A2B2=I3A4A3B3=30°,故可得后一个等边三角形

的边长等于前一个等边三角形的边长的一半，即以

OAI=OCCOSEICAAI=2A/LBIA2=1X2^,

此类推，可知第2017个等边三角形的边长为：§)2。"x4g=喜.

故选A.

【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，属于规律型题目，解题关键是仔细审图，得出:

后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半.

评卷人得分

二、填空题

9.如图，一ACD中AB垂直CO于点8,且他=CD,在直线。上方有一动点M满足

S^MCD=^S^CD,则点M到C、。两点距离之和最小时，ZMDB=度.

【答案】45

【分析】由三角形面积关系得出点"在与CZ)平行，且到CD的距离为;A8的直线/上，作

点。关于直线/的对称点。连接。。交/于点则。£＞，/,MDl=MD,此时点〃到

C、。两点距离之和最小，作MNLCD于N,则OD'=2MN=AB,证明△DDC是等腰直

角三角形，得出ND'=45。，由等腰三角形的性质得出NMD。="'=45。，从而即可得到

答案.

【详解】解：,S4MCD=ACD，

点M在与。平行，且到CD的距离为；AB的直线/上,

:.l//CD,

作点。关于直线/的对称点。连接。'。交/于点如图所示,

则MD'=MD,此时点M到C、。两点距离之和最小,

作M2V_LCD于N,则DD'=2A£V=AB,

ABLCD,AB^CD,

:.DU=CD,DD'±CD,

DOC是等腰直角三角形，

=45°,ZD'DB=90°,

MO=MD，

:.NMDD'=ND'=45。,

ZMDB=ZD'DB-ZMDD'=90°-45°=45°,

故答案为：45.

【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的

性质、三角形面积等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

10.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0,12）,点2为X轴上一动点，以AB

为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC.若点尸为。4的中点，连接尸C,则尸C的长的

最小值为.

【答案】9

【分析】如图所示，在x轴上取用T"0）,尸（4后,0）,连接AE,AF,CF,证明△的是

等边三角形，得到/=NAFE=NAEF=60。，贝！］NAEB=120°,再证明A朋E段.-.C4F,

得到NAFC=NA£B=120。，则点C的运动轨迹为直线（该直线经过点尸且与直线AF的夹

角为60度），设点C的运动轨迹所在的直线交y轴于H,过点尸作PC，FH交直线FH于C,

当点C运动到点C'时，PC的长有最小值，据此求解即可.

【详解】解：如图所示，在x轴上取网-46,0）,F（4A/3,0）,连接AE,AF,CF,

回OE=O尸=4有，

0EF=8A/3,

0A（O,12）,

回。4=12,

^AE=^OE1+O^=8A/3,

同理可得4尸=8有，

^AE^AF^EF,

回△AEF是等边三角形，

^\ZEAF=ZAFE=ZAEF^60°,

0ZAEB=120°,

fflABC是等边三角形，

回AB=AC,ZS4C=60°,

SZBAC-ZCAE=ZEAF-ZCAE,

SZBAE=ZCAF,

ElZXBAE丝△C4F（SAS）,

0ZAFC=ZAEB=12O°,

团点C的运动轨迹为直线（该直线经过点尸且与直线"的夹角为60度），

设点C的运动轨迹所在的直线交y轴于H,过点P作PC'±FH交直线FH于C,

回当点C运动到点C'时，PC的长有最小值，

0OF=4A/3,ZOFH=ZAFC-ZAFE=60°,ZFOH=90°,

ElZOHF=30°,

0HF=2OF=86,

回。”=^FH2-OF2=12，

团点P为。4的中点，

^\OP=-OA=6,

2

回产"=18,

SPC'±HC,NPHC'=30。,

SPC'=-PH=9,

2

回PC的最小值为9,

故答案为：9.

【点睛】本题主要考查了坐标与图形,等边三角形的性质与判定,全等三角形的性质与判定，

含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形，从而得到点

C的运动轨迹是直线是解题的关键.

11.如图，一和VADE都是等腰三角形，5.ZBAC=ZDAE=120°,AB=8,。是AC的

中点，若点。在直线上运动，连接OE,则在点D运动过程中，线段OE的最小值

为.

【答案】2

【分析】取A3的中点为点。，连接OQ,^^^AQD^AOE,得出QD=OE,根据点到

直线的距离可知当。时，。。最小，然后根据30。所对的直角边等于斜边的一半求得

QDLBC时的QD的值，即可求得线段OE的最小值.

【详解】解：取A3的中点为点。，连接。。，

ZBAC=ZDAE=120°,

ABAC-ADAC=ZDAE-ZDAC,

即N54O=NC4E,

AB=AC=8,。为AC中点,

/.AQ=AO=4,

在‘A。。和"。石中，

AQ=AO

</QAD=/OAE,

AD=AE

-.AAQD^AAOE(SAS),

QD=OE,

「点O在直线BC上运动，

.•.当QD,8c时，QO最小，

ABC是等腰三角形，NS4c=120。

.-.ZB=30°,

QD1BC,

;.QD=；QB=：AB=2,

.•・线段OE的最小值是为2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、30。所对的直角边等于斜边的一半、三角形全等的

判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线构建全等三角形，学会利用

垂线段最短解决最值问题.

12.如图，四边形ABCD中，0BAC=9O°,AB=AC,0AOC=45。，若EIBCD的面积是18,则

CD长为—.

【答案】6

【分析】过点A作AEIBAD,交DC延长线于点E,连接BE；可证EACDEEA2E,可得BE=CD,

BESCD,垂足为E,由三角形面积公式可求BExCD=36,可求解.

【详解】解：如图，过点A作AE鼬D,交DC延长线于点E,连接BE；

回AE回AD,

S[?]£)AE=90o,

团团3AC=90°,

^\BAE=^\CAD,

团团ZME=90°,[W)C=45O,

幽AED=妫。C=45°,

团AE=AD,

在回BAE和mCAO中，

AB=AC

<ZBAE=ZCAD,

AE=AD

酿3A况团CAO(SAS),

团B£=CD,0A£3=0X00459,

H3AEO=45°,

团姐她£0=90°,

^\SABCD=BExCD=18,

国BE=CD,

回CD=36,

团CD>0

回CO=6,

故答案为：6.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构

造全等三角形是本题的关键.

13.如图，点E是等边内部一点，以AE为边，在AE的左边作等边VAD£,M为BC

的中点，连接石M,若N3EC=120。，EM=6,则A石的长为.

【答案】273

【分析】将财BE旋转至EL4CF处，延长EM至EAf=MG,连接CG,通过依次证明HABEEEHAFC、

^iBMESBCMG,SEGC^EECF即可得出AE=EF=EG=2ME=2#>.

【详解】解：将0ABE旋转至妫中处，延长至EM=MG,连接CG

^EABES^AFC,

SAF=AE,EBAC=0CAF,^ABE^ACF,

回0ABC为等边三角形，

EEL4CB=EBAC=60°=EIBAE+EEAC,

ra0EAF=0EAC+fflC4F=6O°,

回0AE尸为等边三角形，

^\AE=EF,

团M为BC的中点，

WM=MC,

又回EN=MG,^\EMB=^GMC,

^BMES^CMG(SAS),

^\EBC=^\BCG,BE=CG

^\BEC=12Q°,

团团防C+团ECB=60°,

00ECG=6O°,^ACE=^BCG=^\EBC,

EEI£CF=EACF+a4C£=ElABE+0£BC=6O°,

0CF=BE=CG,回ECF=EIECG=60°,EC=EC,

^EGCS^ECF(SAS),

SAE=EF=EG=2ME=2下1

故答案为：26.

【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，旋转综合题，全等三角形的性质和判定，三角

形内角定理等.正确作出辅助，构造全等三角形和等边三角形是解题关键.

14.如图，ABC为等腰三角形，AB=AC,ZA=100°,。为8C的中点，点E在AB上,

ZBDE=15°,尸是等腰，1BC腰上的一点，若是以。E为腰的等腰三角形，则/EDP

的大小为.

【分析】根据题意，分为点P在上和点尸在AC上两种情况，根据等腰三角形的定义，

点尸在上有两种情况，点P在AC有两种情况，一共四种情况，进行分类讨论，即可求

解.

【详解】解：①当点P在上，DE=DP时,

raZB=1(180o-100°)=40°

0ZBDE=15°,

EZDEP=ZBDE+ZB=15°+40°=55°,

aZEDP=180°-2x55°=70°；

②当点尸在AB上，DE=PE时，

团AB=AC,ZA=100°,

团ZB=80。—100。)=40°

团NBDE=15。,

0ZDEP=ZBDE4-ZB=15O+4OO=55°,

团/EDP=(180°-55°)=62.5°；

③当点尸在AC上，尸时，

连接AD,过点。作于点M,ON/AC于点N,

0AB=AC,ZA=100°,

团N5=；(180。—100。)=40。，

团NBDE=15。,

o

^ZDEM=ZBDE+ZB=15+40°=55°f

团/EDM=90°-55°=35°,

回。为5C的中点，AB=AC,

团平分/84C,

^DM±AB,DN1AC,

^DM=DN,

在RtADME和RCVDNP中，

(DM=DN

[DE=DP'

团RtVDME9RtVDA^(HL),

团ZEDM=ZPDN=35°,

在四边形4WDN中，ZMDN=360°-100°-90°x2=80°,

团/EDP=ZEDM+ZPDN+ZMDN=35°+35°+80。=150°,

④当点尸在AC上，月时，

由③可得ZEDM=ZPZ)N=35。，NMDV=80。，

0ZEDP=ZEDM+ZMDP=ZPDN+ZMDP=ZMDN=80°,

故答案为：70。或62.5°或150。或80°.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握"等边

对等角"，三角形的一个外角等于于它不相邻的两个内角之和，三角形的内角和为180。.

15.如图，在AABC中，ZABC=2ZC,8。和AP分别为/ABC和/54C的角平分线，若

AAB。的周长为20,BP=4,则AB的长为

【答案】8

【分析】如图（见解析），过点P作尸D//BQ,交AC于点D,先根据角平分线的定义、等腰

三角形的性质得出CQ=3Q,从而得出Afi+AC=20,再根据平行线的性质、三角形的外角

性质得出。尸==然后根据角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性

质得出钻=4£>,8尸=。尸，从而得出AC=AB+4,最后联立求解即可得.

【详解】由题意得：AB+AQ+BQ=7.Q

3Q为/ABC的角平分线，ZABC=2ZC

ZCBQ=^ZABC=ZC

：.CQ=BQ

:.AB+AQ+BQ=AB+AQ+CQ=AB+AC=20

过点P作尸。//BQ,交AC于点D

:.ZDPC=ZCBQ=ZC

:.DP=CD,NADP=ZDPC+ZC=2ZC=ZABP

AP为/BAC的角平分线

.-.ZBAP=ZDAP

ZABP=ZADP

在4AB尸和AADP中，■NBAP=ZDAP

AP=AP

ABP=ADP(AAS)

:.AB=AD,BP=DP

:.AC=AD+CD=AB+DP^AB+BP^AB+4

AB+AC=20AB=8

联立AC=A3+4'解得

AC=12

即AB的长为8

故答案为：8.

【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、三角形全

等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键.

16.如图，在△ABC中，AD1BC,点E在线段上，ZAC£=45",ZABC=2ZECB,

若80-0=2,AE=6,贝.

【分析】延长2C至足使DF=DB,延长至G,使AG=AB,连接ARCG.设MCB

=a,则0B=2a,根据题意可求出SDEC=90Ja.根据作图结合线段垂直平分线的性质可证

E0AB=AF,^\BAD=SFAD,0B=0F=2a.由三角形外角性质可求出El£)AC=45°-a.由EID4F

=90°-2a,从而得出IBC4f'=45°-a,即证明回。AC=E1R1C,从而易证AGACEEIEIC(SAS),得

出EIG=iaF=2a,GC=CF=2.再根据回6n=180°-03-团。£(?,即可求出EIGCE=90°-a,即得

出EIGCE=EIGEC,从而得出GC=GE=2,即可求出AG=AB=8.

【详解】解：延长BC至尸，使。尸=。8,延长AO至G,使AG=AB,连接AF,CG.

设EIECB=a,则回B=2a,

E1ADEBC,00DEC=90°-a,

WD^DF,^\AB=AF,^\BAD=^FAD,M33=ELF=2a,

00£>EC=9O°-a,0ACE=45°,EHZMC=90°-a-45°=45°-a,

00£)AF=9O0-0F=90°-2a,EG)CAF=90°-2a-(45°-a)=45°-a,00DAC=0MC,

AC=AC

在△△GAC和ARIC中，<ZGAC=ZFAC,fflGAC00MC(SAS),

AG=AF

H3G=团尸=2a,GC=CF=DF-CD=BD-CD=2,

EEIGC£=180o-EIG-[3D£C=180o-2a-(90°-a)=90°-a,fflGC£=EGEC,

SGC=GE=2,SAG=AF=AB=2+6=S.

故答案为：8.

【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，三

角形内角和定理以及三角形全等的判定和性质.正确的作出辅助线是解题的关键.

评卷人得分

三、解答题

17.如图1,。是等边三角形ABC内一点，DB=DC,NBDC=90°,连结AD.

B

图1

（1）证明NBAD=NC4T>.

（2）如图2,以AB为斜边在AABC外作等腰直角AABE,连结DE.请判断AAZ组的形状,

并说明理由.

（3）在（2）的条件下，若3c=4,求点E到AD的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）等腰三角形，证明见解析；（3）73+1.

【分析】（1）依据题意先求出AABD三AACD,得出NR4D=NC4D,即可求出；

（2）先求出AA£B=ACDB,得到AEBD是等边三角形，求出NAED=30。，即可判断三角

形的形状；

（3）过A作于点歹，过E作神，A£>于点H,延长A£>交3c于点尸，由题意得

AE=CD=ED=2A/2,由ZAED=30°得AF=再根据△ABC是等边三角形、

NBAT>=/C4D和ABCD是等腰直角三角形，得AD1BC,从而求得4。=26-2,

再根据等积法即可求得EH.

【详解】（1）AABC是等边三角形，

AB=AC,ZABC=ZACB=ABAC=60°,

在AABD和AACD中，

AB=AC

<DB=DC,

AD=AD

:.AABD=AACD（SSS）,

:.NBAD=NCAD.

（2）DB=DC,NBDC=90°,

；.ABCD是等腰直角三角形，NDBC=NDCB=45。,

MBE是以AB为斜边的等腰直角三角形，

ZEBA=ZEAB=45°,ZAEB=90°,

ZEBA=/EAB=ZDBC=ZDCB,

AABC是等边三角形，

AB=BC,ZABC=60°,ABAC=60°,

：.AAEB=ACDB（ASA）,

BE=BD,ZABD=ZABC-ZCBD=60°-45°=15,,

ZEBD=ZEBA+ZABD=45。+15。=60°,

.•.AEB。是等边三角形，ZBDE=ZBED=60°,

ZAED=30。，

由⑴得NR4D=NG4D,

ZBAD=30°,ZEAD=/EAB+/BAD=450+30°=75°,

/.ZEDA=ISO-ZAED-ZEAD

=180-300-75°

=75，

/.AEAD=NEDA,

?.AE=ED,

AADE是等腰三角形.

（3）3c=4,ABC。是等腰直角三角形，AADE是等腰三角形，

.•。=隼=4=2应，

V2V2

AE=CD=2A/2,ED=AE=20,

由（2）得/A£D=30。，

如图，过A作AF_LED于点尸，过E作于点”，延长AD交BC于点尸,

AF=-AE=42,

2

—ABC是等边三角形，N加。=NC4D,ABC。是等腰直角三角形,

AD±BC,BP=CP=BC=2,AP=y/3BP=2y/3,

PD=BP=2,

AD=AP-PD=2y/3-2,

zvizizj=—2xEDxAF=—2xADxEH,

.-.1X2>/2XV2=1X（2A/3-2）XEH,

解得即=出+1,

点E到AD的距离为V3+1.

【点睛】此题考查等边三角形及等腰三角形的性质和判定，熟记概念是解题的关键，重点是

辅助线的正确添加.

18.已知在等腰ABC中，AB=AC,点。在CB的延长线上，过点C作于点E

与AD交于点F.

⑴如图1,若—ADU45。，求证：AB=CF-,

⑵在（1）的条件下，如图2,点G为"C内一点，AG=CG,/AGC40。，若NABG=ZBCG,

求证：BC=2BD.

【答案】⑴见解析；（2）见解析

【分析】（1）如图1,过点A作AH0CZ）于X,先根据三角形的内角和定理得〃4H=45。，

由等腰三角形三线合一的性质得/班〃=0，由8字形可知aft4"=aDCF,由三角形

的外角的性质和角和和可得：0C4F=a4FC,由等腰三角形的判定可得结论；

（2）如图2,连接FG并延长交CD于P,连接AP,证明朋BGEBCFG和EAGPEHCGB,并

得SBG”是等腰直角三角形，由三角形的中位线定理知：BP=BD,最后由等腰三角形的三

线合一的性质可得结论.

【详解】（1）证明：如图L过点A作A/MCD于区

A

^\ZAHD=ZAHC=9Q°,

^\ZADC=45°,

回NZMH=45。,

0AB=AC,A/ffiCD,

^\ZBAH=ZCAH,

回CF1AB,

0ZAEC=9O°,

0ZAEC=ZAWC,

国NBAH=NDCF,

^1ZCAH=ZDCF,

国NAFC=ND+NDCF=45。+NDCF,ZCAF=ZDAH+ZCAH=45°+ZCAH,

团NC4r=NAFC,

团AC=CF,

0AB=AC,

回AB=CF；

(2)如图2,连接尸G并延长，交CD于P,连接AP,AG与CF交于点、N,

图2

团0AEC=0AGC=9O°,SANE二团CNG,

^\BAN^GCF,

^AB=CF,AG=CG,

回团回CTG(SAS),

SFG=BG,aCFG=EL4BG/,

^\BGF=^\BEF=90°f

^\BGP=90°,

^AB=ACf

函43c=0ACB,

WCBG^BG=BBCG+^ACG,

^\ABG=^BCG9

团团C3G=MCG=45°,

^\CBG=^\D,

^AD^BG,

丽3Gp是等腰直角三角形，

团BG=GP,

MG=GP,

⑦BD=BP,

^BGP=^AGC=90°,

团团5GC=IMGP,

E1AG=CG,BG=GP,

团［2AGPMICG3(SAS),

团0APG=团CBG=45°,

团MP3=90。，

I3AP0BC,

^AB=AC,

回BC=2BP,

^BC=2BD.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关

键是正确作出辅助线，利用三角形全等解决问题.

19.如图，点A(a,0),3(0”)，且〃，b满足(a-l)2+|2b-2|=0.若尸为x轴上异于原点。和

点A的一个动点，连接依，以线段所为边构造等腰直角二友石(尸为顶点)，连接A£.

(2)如图2,当点尸在点O,A之间时，连接BE,AE,证明比1LAE；

⑶如图3,点P在x轴上运动过程中，若AE所在直线与y轴交于点尸，请直接写出/点的

坐标为,当OE+BE的值最小时，请直接写出此时OE与旗之间的数量关系

【答案】⑴(L0),(0,1)

(2)见解析

(3)(0,-1),BE=2OE

【分析】(1)根据非负数的性质得到a=1,b=l,得到。4=1,OB=1,于是得到结果；

(2)过点E作由，X轴于H,证明△BO尸/APHRAAS),由全等三角形的性质得出

OB=PH=OA=i,OP=EH,由等腰直角三角形的性质得出NQ钻=45。，证出/E4B=90。，

则可得出结论；

(3)由直角三角形的性质证出。4=Ob=1,则可得出F(0,-l)；取点G(l,-1),连接FG,OG,

。与G关于直线AF对称，连接BG交AF于E,连接OE,则OE=EG,根据三角形的面积

关系可得出BE=2OE.

【详解】(1)解：(a-l)2+|2b-2|=0,

二.a—1=0,2b—2=0,

—1,Z7=1,

"(1,0)、5(0,1),

故答案为:(1,0),(o,1)；

(2)证明：过点E作由，x轴于H,

图2

-BPE是等腰直角三角形，

:.BP=PE,/BPE=90。，

:.NBPO+NEPH=90。,

ZOBP^-ZBPO=90°,

.\ZOBP=ZEPH,

又、ZBOP=ZPHE=90°,

.-.△BOP^APHE(AAS),

..OB=PH=OA=1,OP=EH,

:.OP+PA=PA+AH,

:.OP=AH,

:.EH=AH,

又ZAHE=90°,

：.ZHAE=45°,

OA=OB,ZAOB=9Q°,

.•.NOAB=45。，

.\ZEAB=90°,

:.BA±AE；

(3)BALAE,

:.ZBAF=90°,

OA=OB,

.-.ZBAO=45°,

\?OAF45?,

NAOb=90。，

.\ZOAF=ZOFA=45°f

OA=OF=1,

取点G(l,-1),连接尸G,OG,

F(O,-1),Z.OFA=ZAFG=45°,

,。与G关于直线AF对称，连接8G交AF于E,连接0E,则OE=EG,

此时OE+3E最小，OE+BE=EG+BE=BG,

E到EB,尸G的距离相等，BF=2,FG=l,

一^ABFE=2SAGFE,

:.BE=2EG,

BE=2OE.

故答案为：(0,-D,BE=2OE.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，，等

腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键.

20.如图，在13ABe中，AC=BC,0ACB=9O°,点D为EIABC内一点，且BD=AD,

(1)求证：CD0AB；

(2)0CAD=15°,E为AD延长线上的一点，且CE=CA,

①求证：DE平分E1BDC；

②若点M在DE上，且DC=DM,请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；

③若N为直线AE上一点，且回CEN为等腰三角形，直接写出国CNE的度数.

上RA

【答案】(1)详见解析；(2)①详见解析；②：ME=BD,证明详见解析；③回CNE的度数

为7.5。、15。、82.5。、150°.

【分析】(1)根据中垂线的判定定理"与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂

直平分线上”可得出结论.

(2)①由团CAD=15。，与直角等腰三角形的性质可知，则可得

EBDE=30o+30o=60°,又根据SSS可证△AOCEHBDC,贝ija4cz)=回8。=45。，可知

ECDE=a4CD+fflCAD=45o+15°=60°,故OE平分EIBDC.

②连接MC,由0c=OM,I3CDE=6O。，可知AMCD为等边三角形，^\ECM^CMD-SCAD=45a

则根据SAS可证△BOCiaaEMC,得出结论ME=BD.

③根据题意可知，分类：当EN=EC时；当EN=CN时；当C£=CN时三种情况求出团CNE

的度数.

【详解】(1)证明：SCB=CA,DB=DA,

回C。垂直平分线段A2,

ECDEL4B,

故答案为CDEAB.

(2)①证明：SAC=BC,

EBCBA=EICAB,

又EEACB=90°,

EI?ICBA=0CAB=45",

又13在AADC和△BDC中，

AC=BC

{CD=CD,

AD=BD

SSADCSBBDCQSSS),

SB\CAD=SCBD=15°,

^\DBA=^DAB=30°,

00BDE=3O°+3O°=6O°,

aaACB=90°,E1ACD=0BC£),

0EIAC£)=0BCD=45°,

aaCr>E=EACD+ElCA£)=45°+：L5°=60°,

^3\CDE=SBDE=60Q,

EIQE平分回BOC；

故答案为DE平分asnc.

②结论：ME=BD,

理由：连接MC,

^\DC=DM,团C£)E=60°,

瓯Men为等边三角形，

SCM=CD,ECMD=60°,

又EIEC=C4,fflC4D=15°,

RHECM=[BCMD-13cAz）=45°,

在△2£>C和中，

DC=MC

{ZBCD=ZECM,

BC=EC

^BDC^EMC（.SAS）,

B1ME=BD,

故答案为ME=BD.

③当EN=EC时，团ENC=7.5。或82.5°；

当EN=CN时,0£7VC=15O°；

当CE=CN时，0C7V£=15O,

故答案为团CNE的度数为7.5。、15。、82.5。、150°.

【点睛】本题考查了中垂线的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定、外角的性质运

用及动点问题.（1）熟悉垂直平分线的判定定理是解题关键.（2）灵活运用等腰三角形的性

质与外角的性质是解题关键.如果不确定等腰三角形的腰与底边（顶角与底角）的情况下，

要注意分类讨论.

21.在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,3。是，ABC的角平分线，DE^AB于点、E.

（1）如图1,连接EC,求证：EBC是等边三角形；

⑵点M是AC边上一个动点（不与点。重合），以为一边，在2M的下方作/BMG=60°,

MG交射线DE于点G.请画出完整图形，探究MD,DG与数量之间的关系，并说明理

由.

【答案】⑴见详解

⑵画图见详解，当分M点在线段AD上时，AD+MD=DG；当M点在线段。C上时，

AD-MD=DG.

【分析】（1）根据含30。角的直角三角形的性质可得NABC=60。，BC=^AB,根据8。是

..Me的角平分线，可得NASD=NCB£>=30。，即有可得△ABD是等腰三角形，结合

DE1AB和DE是的中线，可得4片=3£=’48,问题随之得解；

2

(2)分M点在线段AD上和M点在线段QC上两种情况来补全图形：当分M点在线段AD

上时，延长BD至N点，使得MD=ND,连接MN,先证明。肱⑦是等边三角形，再证明

VMZVBgVMDG(ASA),即可得解；当M点在线段。C上时，延长GD至区使得DH=MD,

连接,BD与MG交于点、Q,先证明JWDH是等边三角形，再证明VHMG丝VZ)MB(AAS),

即可得解.

【详解】(1)回在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,

0ZABC=6O°,BC=-AB,

2

回8。是，ABC的角平分线，

回ZABD=NCBD=30°,

^ZABD=ZA,

0AD=BD,

回是等腰三角形，

^DE.LAB,

13OE是△ABD的中线，

SAE=BE=-AB,

2

EBC=-AB,

2

@BC=BE,

0ZABC=60°,

队£BC是等边三角形；

(2)补全图形如下：(分M点在线段AD上和M点在线段0c上两种情况)

当分M点在线段AD上时，延长3D至N点，使得MD=ND,连接MN,如图,

在（1）中求得：ZABD=ZCBD=30°=ZA,

0ZDE4=Zr）£B=9O°,

国NEDA=NEDB=60。,

团N5MG=60。，

国NEDA=NEDB=60。=ZBMG,

团ZNDM=1800-ZEDB-NEDA=60°,

©MD=ND,

队肱VD是等边三角形，

田MD=ND=MN,ZNMD=60°=ZN,

RZNMB=ZNMD+/DMB=NGMB+NDMB=/GMD,

^\ZADE=60°=ZN,MD=MN,

⑦YMNBAMDG（AS0,

国NB=DG,

⑦DB+ND=DG,

根据（1）可知人£=3石=；43,DE±AB,

团OG是线段AB的垂直平分线，

0AD=BD,

⑦MD=ND,

国AD+MD=DG；

当M点在线段DC上时，延长GO至从使得DH=MD,连接胸，3D与MG交于点。,

如图，

fflNEDA=Z.EDB=60°=ZBMG,

^\ZHDM=ZEDA=60°,ZMDB=1800-ZEDA-ZEDB=60°,

SDH=MD,

回MD”是等边三角形，

^DM=HM,N”=60°,

回ZEDB=60°=ZBMG,NDQG=ZBQM,

^ZDGQ=ZQBM,

SZH=ZMDB,DM=HM,

回VHMGADMB(AAS),

团HG=BD,

^HD=MD,AD=BD,

SAD=BD=HG=HD+DG=MD+DG,

^\AD-MD=DG；

综上:当分M点在线段AD上时，AD+ME»=DG；当M点在线段。C上时，AD-MD=DG.

【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判

定与性质，根据已知正确作出辅助线是解题关键.

22.如图所示，已知8(-2,0),C(2,0),A为y轴正半轴上的一点，点。为第二象限

一动点，点E在8。的延长线上，