人教版八年级数学上册 第十二章 全等三角形（压轴题专练）（原卷版）

第十二章全等三角形(压轴题专练)

全等三角形压轴题题型

专练

ITIT1

❶四边形中构造全等三角形❷一线三等角模型❸三垂直模型O倍长中线模型❺旋转模型

【题型一四边形中构造全等三角形】

方法模型总结：若四边形中有两对邻边

相等(如图)，常连接这两对邻边的交点

构造全等三角形解题.

例题：如图，在四边形A8CD中，于点B,8,AD于点。，点E,尸分别在AB,上，AE=AF,

CE=CF.

(1)若AB=8,CD=6,求四边形AECP的面积;

(2)猜想//MB,ZECF,NOPC三者之间的数量关系，并证明你的猜想.

【变式训练】

1.在四边形ABOC中，AC=AB,DC=DB,ZCAB=60°,ZCDB=120°,E是AC上一点，尸是AB延长线上

一点，且

(1)试说明：DE=DF：

(2)在图中，若G在AB上且NE£>G=60。，试猜想CE,EG,BG之间的数量关系并证明所归纳结论.

⑶若题中条件"/CAB=60。，/CA8=120。改为/CA8=a,ZCZ)B=180°-a,G在AB上，NEDG满足什么条

件时，(2)中结论仍然成立？

【题型二一线三等角模型】

方法模型总结：如图，NB=NC=

N1,由三角形内角和及平角的有

关性质易得N2=N3,/4=/5,

再加上任一组对应边相等，易证两三角形全等.

例题：【探究】如图①，点2、C在NM4N的边AM、AN上，点E、/在NM4N内部的射线AD上，/I、Z2

分别是VC4F的外角.若AB=AC,Z1=Z2=ZBAC,求证：VABE丝VC4P.

【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，AB^AC,AB>3C,点。在边BC上，CD=2BD,点、E、F在

线段AD上，Z1=Z2=ZBAC,若ABC的面积为9,贝『ABE与11cop的面积之和为.

【变式训练】

1.(1)问题发现：如图1,射线AE在NM4N的内部，点8、C分别在NM4N的边AM、©V上，且AB=AC,

若NBAC=NBFE=NCDE=90°,求证：ABF^CAD；

(2)类比探究：如图2,AB=AC,且ZBAC=NBFE=NCDE.(1)中的结论是否仍然成立，请说明

理由；

(3)拓展延伸：如图3,在ABC中，AB^AC,AB>BC.点E在3C边上，CE=2BE,点、D、尸在线

段AE上，ZBAC=ZBFE=ZCDE.若，1BC的面积为15,DE=2AD,求△台跖与_CDE的面积之比.

2.在直线加上依次取互不重合的三个点。AE,在直线上方有Afi=AC,且满足

ZBDA=ZAEC=ZBAC=a.

(1)如图1,当。=90。时，猜想线段。£32CE之间的数量关系是；

(2)如图2,当0<勿<180。时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明

理由；

(3)应用：如图3,在3ABe中，ZBAC是钝角，AB=AC,^BAD<ZCAE,ABDA=ZAEC=ABAC,直线机

与CB的延长线交于点/，若BC=3FB,ABC的面积是12,求_m。与的面积之和.

【题型三三垂直模型】

方法模型总结：在三垂直模型中，利用余角的性质寻求

两直角三角形中一组角相等，再加上任一组对边相等，

易证两直角三角形全等，常见的模型如下：

例题：问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1,ZACB=9Q°,AC=BC,BE±MN,ADA.

MN,垂足分别为E、D.图中哪条线段与AD相等？并说明理由.

问题2：试问在这种情况下线段。E、AD,BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由.

问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线的位置时，试问DE、AD.8E具有怎样的等量关系？请

写出这个等量关系，并说明理由.

【变式训练】

1.在A4BC中,/BAC=90。，AC=AB,直线MV经过点A,且C£)_LMN于。，BE_LMN于E.

图1图2

(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，ZEAB+ZDAC=度;

(2)求证：DE^CD+BE-

(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问。从8、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系,

并加以证明.

【题型四倍长中线模型】

例题：阅读理解

在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法.

如图1,是,ABC的中线，AB=7,AC=5,求的取值范围.我们可以延长AD到点"，使DM=AD,

连接易证△ADC丝所以3A/=AC.接下来，在，中利用三角形的三边关系可求得All

的取值范围，从而得到中线AO的取值范围是；

类比应用

如图2,在四边形ABCD中，AB//DC,点E是3C的中点.若AE是44。的平分线，试判断A3,AD,

DC之间的等量关系，并说明理由；

拓展创新

如图3,在四边形A3CD中，AB//CD,AF与。C的延长线交于点歹，点E是BC的中点，若AE是N友S的

平分线，试探究AB,AF,C尸之间的数量关系，请直接写出你的结论.

图2图3

图1

【变式训练】

1.为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1,在

中，AD是边上的中线，延长AD到^_DM=AD,连接

图1图2图3

【探究发现】

(1)图1中AC与敏的数量关系是，位置关系是.

【初步应用】

(2)如图2,在中，若钻=12,AC=8,求BC边上的中线的取值范围.

【探究提升】

(3)如图3,AD是的中线，过点A分别向外作北,他、AF±AC,使得AE=AB,AF=AC,延长

DA交EF于点P,判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由.

【题型五旋转模型】

例题：【尝试探究】如图1,已知在正方形ABCD中(四边相等，四个内角均为90。)，点E、下分别在边BC、

DC上运动，当㈤F=45。时，探究。尸、BE和EF的数量关系，并加以说明；

【模型建立】如图2,若将直角三角形ABC沿斜边翻折得到△ADC,且々="=90。，点E、尸分别在边。C、

BC上运动，S.ZEAF=^ZBAD,试猜想(2)中的结论还成立吗？请加以说明；

【拓展应用】如图3,已知,ABC是边长为8的等边三角形(三边相等，三个内角均为60。)，BD=CD,

ZBDC=120°,/DBC=/BCD=30。,以。为顶点作一个60。角，使其角的两边分别交边AB、AC于点E、

F,连接用，直接写出尸的周长.

【变式训练】

1.如图，在△ABC中，AB=BC,NABC=120。，点。在边AC上，且线段绕着点B按逆时针方向旋转

120。能与BE重合，点尸是即与的交点.

(1)求证：AE^CD；

(2)若/DBC=45。，求的度数.

A

D

E

B

2.在四边形ABCD中，AB=AD,/BAD=120。，ZB=ADC=90°,E、P分别是3C,CD上的点，且ZE4F=60。,

在探究图1中线段BE,EF,ED之间的