《对数运算与对数函数》知识要点整合

高中数学精选资源3/3《对数运算与对数函数》知识要点整合知识要点整合一、对数的基本运算1.对数运用应遵循的原则：对数式的运算要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.2.对于底数相同的对数式的化简，常用方法有：（1）“收”，将同底的两个对数的和（差）收成积（商）的对数；（2）“拆”，将积（商）的对数拆成对数的和（差）.例1计算：.解析运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式进行对数计算.答案原式.例2设，则的值为（）A.6B.3C.2D.1解析由得，答案D二、与对数函数有关的函数图象1.对数型函数图象过定点：求函数的图象过定点，令，求出x，即得定点为.2.根据对数函数图象判断底数大小：作直线y=1与所给图象相交，交点的横坐标即为各底数，依据在第一象限，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大.3.一般地，函数（a，b为实数）的图象是由函数的图象沿x轴向左或向右平移，再沿y轴向上或向下平移得到的；含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.4.函数的图象与函数的图象关于x轴对称.例3若函数的图象如图所示，则下列函数正确的是（）A.B.C.D.解析由已知函数图象可得，，所以.A项，函数解析式为，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为，当时，，这与图象不符；D项中函数解析式为，在上为单调递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为，与图象相符.答案B例4函数的图象一定经过点（）A.（1，1）B.（1，0）C.（2，1）D.（2，0）解析把的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得到的图象，故其经过点（2，1）.答案C三、与对数函数有关的函数的单调性及应用1.复合函数的单调性.（1）单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域；（2）单调性相同，则为增函数，单调性相异，则为减函数，简称“同增异减”.2.比较对数值大小常用的四种方法：（1）同底数的利用对数函数的单调性；（2）同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化；（3）底数和真数都不同，找中间量；（4）若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.3.对数不等式.（1）根据和去掉对数符号，注意不等号的方向；（2）加上使对数式有意义的约束条件.4.对数方程式.含有对数的方程式，一般把方程左右两边表示成同底的对数式，然后根据真数相等得出新的方程，即可求解，注意所求的未知数要保证对数式有意义.例5若，则（）A.B.C.D.解析因为，则对于A，函数在R上单调递增，故，A错误，对于B，根据底数a对对数函数的影响：当时，在上“底小图高”，又因为，所以，B错误，对于C，函数在上单调递增，故，C正确，对于D，函数在R上单调减，故答案C例6已知函数，解关于x的不等式.解析将不等式左右两边化为同底对数，再利用函数单调性解不等式.答案因为，所以，所以，所以，所以不等式可化为.所以即所以，所以不等式的解集为.四、与对数函数有关的值域与最值求函数值域或最值常用的方法：（1）直接法：根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数的值域.（2）配方法：当所给的函数是可化为二次函数形式的，求值域可用配方法.（3）单调性法：根据在定义域（或定义域的某个子集）上的单调性，求出函数的值域.（4）换元法：求形如型函数的值域，①换元，令，利用函数图象和性质求出u的范围；②利用的单调性、图象求出y的取值范围.例7已知且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1.（1）求a的值；（2）若，求函数的值域.解析（1）利用单调性求解；（2）利用配方法求值域.答案（1）因为，所以在上为增函数.又在上的最大值与最小值之差为1，所以，即，所以.（2）函数.令，因为所以，即.所以，所以所求函数的值域为.例8求下列函数的值域：（1）；（2）.解析先求函数的定义域，再结合单调性求解.答案（1）函数的定义域为R.因为，所以，所以函数的值域为.（2）设，又，所以.因为在（0，+∞）上为减函数，所以，所以的值域为.五、对数型函数的应用及幂函数、指数函数、对数函数的增长差异1.线性函数模型的增长特点是直线上升，其增长速度不变.2.指数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.3.对数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.例9声强级Y（单位分贝）由公式给出，其中Ⅰ为声强（单位：）.（1）平常人交谈时的声强约为，求其声强级；（2）一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少；（3）比较理想的睡眠环境要求声强级分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为，问这两位同学是否会影响其他同学休息？解析（1）把代入公式，即可求解；（2）把代入公式，即可求解；（3）把代入公式，求出Y，再与50比较，可得结论.答案（1）当声强为时，由得（分贝）.（2）当时，由得.所以，即.则最低声强为.（3）当声强为时，，因为，所以这两位同学会影响其他同学休息.例10某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据：给出以下3个函数模型：①；②；③.（1）选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；（2）试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型.解析（1）利用待定系数法代入部分数值求出解析式，然后验证是否符合题意，选出恰