高二数学讲义（人教A版2019）421等差数列的概念（八大题型）

4．2．1等差数列的概念目录TOC\o"12"\h\z\u【题型归纳目录】 2【思维导图】 2【知识点梳理】 2【典型例题】 4题型一：等差数列的判断 4题型二：等差数列的通项公式及其应用 7题型三：等差数列的证明 9题型四：等差中项及应用 12题型五：等差数列的实际应用 14题型六：的应用 16题型七：等差数列性质的应用 18题型八：等差数列中对称设项法的应用 20

【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点一、等差数列的定义文字语言形式一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示．知识点诠释：⑴公差一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即公差）；符号语言形式对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差．知识点诠释：定义中要求“同一个常数”，必须与无关．等差中项如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即．知识点诠释：①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数．任意两实数，的等差中项存在且唯一．②三个数，，成等差数列的充要条件是．知识点二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式首相为，公差为的等差数列的通项公式为：，推导过程：（1）归纳法：根据等差数列定义可得：，所以，，，……当n=1时，上式也成立所以归纳得出等差数列的通项公式为：（）．（2）叠加法：根据等差数列定义，有：，，，…把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得，所以．（3）迭代法：所以．知识点诠释：①通项公式由首项和公差完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了．②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量．等差数列通项公式的推广已知等差数列中，第项为，公差为，则．证明：因为，所以所以由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式．可以看成是时的特殊情况．知识点三、等差数列的性质等差数列中，公差为，则①若，且，则，特别地，当时．②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为．③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列．④仍是等差数列．⑤数列（为非零常数）也是等差数列．【方法技巧与总结】等差数列中对称设项法的应用1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为；2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为；3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为．【典型例题】题型一：等差数列的判断【典例11】（2024·高二·全国·专题练习）下列数列是等差数列的是（

）A．，，， B．1，，，C．1，，1，－1 D．0，0，0，0【答案】D【解析】∵，故排除A；∵，故排除B；∵，故排除C，常数列是等差数列，故D正确.故选：D．【典例12】（2024·高三·内蒙古包头·开学考试）“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若数列是等差数列，可设其首项为，公差为，则，则，即数列是以为首项，为公差的等差数列；若数列是等差数列，取，则，符合要求，但数列不为等差数列，故“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充分不必要条件.故选：A,【方法技巧与总结】对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差．【变式11】（2024·高二·海南·期中）下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A，不为常数，故A错误，对于B，为常数，故B正确，对于C,不为常数，故C错误，对于D，不为常数，故D错误，故选：B【变式12】（2024·高二·山东菏泽·期中）从1，2，3，…，9这9个数字中任取3个不同的数字，使它们成等差数列，则这样的等差数列共有（

）A．16个 B．24个 C．32个 D．48个【答案】C【解析】当公差时，数列有1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；，5，6，7；6，7，8；7，8，9共7个；当公差时，数列有1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9共5个；当公差时，数列有1，4，7，；2，5，8；3，6，9共3个；当公差时，数列有1，5，9共1个，同理，当时，有7个，当时，有5个，当时，有3个，当时，有1个，故共有．故选：C．【变式13】（2024·高二·浙江·期中）对于数列，设甲：为等差数列，乙：，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】充分性：若是等差数列，则．必要性：若，则，两式相减得，即，所以是等差数列．所以甲是乙的充要条件.故选：C．【变式14】（2024·高二·重庆·学业考试）下列数列中等差数列的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于A，，相邻两项的差为常数，是等差数列；对于B，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；对于C，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；对于D，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；故选：A题型二：等差数列的通项公式及其应用【典例21】（2024·高二·江苏苏州·期中）数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则.【答案】116【解析】与的所有公共项由小到大构成一个新的数列为，故为首项为2，公差为6的等差数列，所以，所以.故答案为：116【典例22】（2024·高二·甘肃兰州·期中）若数列中，，且，则其通项公式.【答案】【解析】因为数列中，，且，即，所以数列是以3为首项，以5为公差的等差数列，则其通项公式.故答案为：.【方法技巧与总结】等差数列通项公式的求法与应用技巧（1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．（2）等差数列的通项公式中共含有四个参数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．（3）通项公式可变形为，可把看作自变量为的一次函数．【变式21】（2024·高二·全国·专题练习）在等差数列，，，，…每相邻的两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列.(1)求新数列的通项公式；(2)28是新数列的项吗？若是，是第几项？【解析】（1）原数列的公差，所以新数列的公差，所以新数列的通项公式为.（2）是.设28是新数列的第项，令，解得，所以28是新数列中的项，且是第45项.【变式22】（2024·高二·全国·专题练习）已知无穷等差数列的首项，公差，依次取出序号为被4除余3的项组成数列．(1)求和；(2)求的通项公式；(3)中的第110项是中的第几项？【解析】（1）因为，，所以，因为数列中序号能被4除余3的项依次是第3项，第7项，第11项，…，所以，；（2）设中的第项是的第项，即，则（），所以，所以的通项公式为（）；（3）因为，设它是中的第项，则，则，所以是中的第439项．【变式23】（2024·高二·全国·课后作业）已知数列满足，且.(1)求数列的通项公式；(2)对于，将数列中落在区间内的项的个数记为，求数列的通项公式.【解析】（1）当时，为等差数列，设公差为..（2）由（1）得，，，，，…，，.题型三：等差数列的证明【典例31】（2024·高二·河南漯河·期末）已知数列满足：，.若，求证：为等差数列.【解析】因为，所以，即，，又，所以是以为首项，为公差的等差数列；【典例32】（2024·高二·全国·课后作业）已知数列满足，证明：数列为等差数列．【解析】由，得，所以，所以数列是以为公差的等差数列．【方法技巧与总结】证明等差数列的方法（1）定义法或数列是等差数列．（2）等差中项法数列为等差数列．（3）通项公式法数列{an}的通项公式形如（，为常数）数列为等差数列．【变式31】（2024·高二·全国·课后作业）已知正项数列满足，且．(1)判断数列是否为等差数列，并说明理由；(2)求数列的通项公式．【解析】（1）由正项数列满足，可得，即，即，又由，可得，故数列是首项为，公差为2的等差数列．（2）由（1）可得．所以，将以上式子累加，可得，可得，所以．【变式32】（2024·高二·全国·课堂例题）已知函数，数列的通项由（且）确定．(1)求证：是等差数列；(2)当时，求．【解析】（1）因为，可得，即，所以是以公差为的等差数列．（2）由（1）知的公差为，又因为，即，可得，所以．【变式33】（2024·高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，证明：是等差数列.【解析】因为，所以，所以，即所以是以为首项，为公差的等差数列.【变式34】（2024·高二·全国·课前预习）已知各项均为正数的数列的首项，是数列的前项和，且满足．求证：是等差数列；【解析】由已知可得，.因为，所以，即.又，所以数列是以2为首项，为公差的等差数列．【变式35】（2024·高二·全国·课前预习）设数列的前n项和为，已知，，．证明：数列是等差数列；【解析】数列的前n项和为，因为，所以，即所以（为常数），所以数列是等差数列．题型四：等差中项及应用【典例41】（2024·高二·甘肃兰州·期中）已知三个数19，，31是等差数列，则.【答案】5【解析】因为三个数19，，31成等差数列，所以.故答案为：5【典例42】（2024·高二·上海松江·阶段练习）已知构成等差数列，则实数的值为.【答案】32/【解析】因为构成等差数列，所以，解得.故答案为：.【变式41】（2024·高二·上海·期末）等差数列中，，则.【答案】2【解析】因为为等差数列，则，所以.故答案为：2.【方法技巧与总结】若a，A，b成等差数列，则；反之，由也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项．【变式42】（2024·高二·上海·课后作业）已知数列满足（n为正整数），且，则．【答案】/【解析】因为数列满足，故为等差数列，则，故，故答案为：【变式43】（2024·高二·上海·课前预习）等差数列的前三项依次为，，，则x的值为．【答案】【解析】等差数列的前三项依次为，，，，则.故答案为：.【变式44】（2024·高二·上海·期末）若函数的四个零点从小到大恰好构成等差数列，则.【答案】/【解析】，若，无解，舍去，若，此时，此时，只有两个零点，舍去，若，，若，则，故，若，则，故，其中，因为四个零点从小到大恰好构成等差数列，所以，故，故，解得.故答案为：【变式45】（2024·高二·贵州铜仁·阶段练习）已知，.若a，b，c成等差数列，则.【答案】6【解析】因为，b，成等差数列，所以，解得.故答案为：6【变式46】（2024·高二·广西南宁·期中）若关于的方程和（，且）的四个根组成首项为的等差数列，则的值为.【答案】【解析】设方程的根是，方程的根是，∴，，四个根排成等差数列，不妨设为，则，于是，，，因此，，∴，．故答案为：．题型五：等差数列的实际应用【典例51】（2024·高二·陕西汉中·期中）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（

）A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺【答案】D【解析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，所以春分当日日影长为.故选：D【典例52】（2024·河南郑州·模拟预测）在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为（

）A．9.5尺 B．10.5尺 C．11.5尺 D．12.5尺【答案】D【解析】由题意得：为等差数列，公差为d，则，，则，解得：，则，故春分的日影长为12.5尺.故选：D【方法技巧与总结】（1）解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．（2）能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题，是数学建模的核心素养的体现．【变式51】（2024·高二·江苏苏州·期末）单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和．例如，，……，现已知可以表示成4个单分数的和，记，其中，，是以101为首项的等差数列，则的值为（

）A．505 B．404 C．303 D．202【答案】A【解析】根据题中拆分后分数的特征以及分出结果中含，对分母增大倍数进行拆分，即得结果.依题意，拆分后的分数，分子都是1，分母依次变大，又中含，故可分解如下：，又，，是以101为首项的等差数列，故.故.故选：A.【变式52】（2024·高三·辽宁·期末）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（

）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】D【解析】由题意得：能被3除余2的数为2，5，8，11……，故，，被5除余3的数为3，8，13……，故，，被7除余1的数为1，8，15……，故，，由，，，故，，令，解得：，因为，所以，故此数列的项数为20.故选：D【变式53】（2024·高三·江苏淮安·阶段练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（

）A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年【答案】A【解析】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于，余数为0，故100年后天干为壬，由于，余数为4，故100年后地支为午，综上：100年后的2122年为壬午年.故选：A【变式54】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（

）A．72万元 B．96万元 C．120万元 D．144万元【答案】C【解析】设等差数列的公差为，由题意可知，五年累计总投入资金为：，因为，所以，当且仅当时取等号，故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元，故选：C.题型六：的应用【典例61】（2024·高二·全国·课后作业）设，，，是等差数列的项，且．求证：．【解析】证明：设等差数列的公差为d，则，，因为，故，故.【典例62】（2024·全国·高二课时练习）在等差数列中：（1）已知，求首项与公差d；（2）已知，求．【解析】（1）由题意得，解得（2）设等差数的公差为，则由题意得，所以【方法技巧与总结】灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令，即变为，可以减少记忆负担．【变式61】（2024·全国·高二单元测试）（1）在等差数列中，已知，，求首项与公差d；（2）已知数列为等差数列，，，求．【解析】（1）等差数列的公差为，∵，，则解得，∴这个等差数列的首项，公差．（2）设等差数列的首项为，公差为d，则由题意得解得，故．【变式62】（2024·全国·高三专题练习）在等差数列中，已知求及．【解析】因为数列是等差数列，故可得；又因为．故；．题型七：等差数列性质的应用【典例71】（2024·高二·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由等差数列的性质知，所以，解得，所以，故选：A【典例72】（2024·高二·重庆渝中·期中）已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设等差数列公差为d，由题意：，故，即，解得；故等差数列的公差为，通项公式为；故选：A.【方法技巧与总结】等差数列运算的两种常用思路（1）基本量法：根据已知条件，列出关于，的方程（组），确定，，然后求其他量．（2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若，且，则．【变式71】（2024·高二·吉林长春·期中）已知等差数列满足，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，解得，故选：D.【变式72】（2024·高二·福建漳州·阶段练习）等差数列中，，求（

）A．36 B．15 C．18 D．30【答案】A【解析】由可得，可得，，故选：A【变式73】（2024·高三·辽宁·期中）公差不为的等差数列满足，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】由题可知，，则，所以，所以，当且仅当且时，即时等号成立，所以的最小值为.故选：C.【变式74】（2024·高二·广西南宁·期中）在等差数列中，若，则的值为（

）A．10 B．20 C．30 D．40【答案】D【解析】由题设，所以.故选：D【变式75】（2024·高二·全国·课后作业）设数列，都是等差数列，且，，，那么数列的第37项为（

）A．0 B．37 C．100 D．【答案】C【解析】因为，都是等差数列，所以也是等差数列．又因为，，所以数列的公差为0，即数列为常数列．所以的第37项为100.故选：C．【变式76】（2024·高二·四川自贡·期中）在等差数列中，若，则的值为（

）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】C【解析】由题意.故选：C.题型八：等差数列中对称设项法的应用【典例81】（2024·高二·山西运城·开学考试）（1）三个数成等差数列，其和为，前两项之积为后一项的倍，求这三个数.（2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为，首末两