微专题24椭圆中与面积有关的取值范围问题

微专题24椭圆中与面积有关的取值范围问题范围问题类似于函数的值域，解析几何中几何量的范围问题，需要选择合适的变量构建出可解出范围的函数，是高中数学的传统难点．解决椭圆中的面积取值范围问题，关键在于找到构建面积的合理路径，设法简化表达式，将问题转化为常见的函数模型，从而求出取值范围.例题：如图，已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－1，0)，左准线方程为x＝－2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若A，B两点满足OA⊥OB(O为坐标原点)，求△AOB面积的取值范围．变式1在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：eq\f(x2,2)＋y2＝1，点A是椭圆上异于长轴端点的任一点，F为椭圆的右焦点，直线AF与椭圆交于B点，直线AO与椭圆交于C点，求△ABC面积的最大值．变式2设椭圆E：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1，P为椭圆C：eq\f(x2,4)＋y2＝1上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.(1)求eq\f(OQ,OP)的值；(2)求△ABQ面积的最大值．

串讲1如图，已知椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1，设A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线x＝2eq\r(2)上一动点(不在x轴上)，直线A1S交椭圆C于点M，直线A2S交椭圆于点N，设S1，S2分别为△A1SA2，△MSN的面积，求eq\f(S1,S2)的最大值．串讲2已知点A(0，－2)，椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为eq\f(2\r(3),3)，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．(2018·广西初赛改编)已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋y2＝1，设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点P，Q，且直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

(2018·南通泰州一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，两条准线之间的距离为4eq\r(2).(1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2＋y2＝eq\f(8,9)上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．答案：(1)eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1；(2)y＝x＋2y＋2＝0，x－2y＋2＝0.解析：(1)设椭圆的焦距为2c，由题意得，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(2a2,c)＝4eq\r(2)，2分解得a＝2，c＝eq\r(2)，所以b＝eq\r(2)，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.4分(2)解法1：因为S△AOB＝2S△AOM，所以AB＝2AM，所以点M为AB的中点.6分因为椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1，所以A(－2，0)．设M(x0，y0)，则B(2x0＋2，2y0)，所以x02＋y02＝eq\f(8,9)，①eq\f(（2x0＋2）2,4)＋eq\f(（2y0）2,2)＝1，②10分由①②，得9x02－18x0－16＝0，解得x0＝－eq\f(2,3)或x0＝eq\f(8,3)(舍去)．把x0＝－eq\f(2,3)代入①，得y0＝±eq\f(2,3)，12分所以kAB＝±eq\f(1,2)，因此，直线AB的方程为y＝±eq\f(1,2)(x＋2)，即x＋2y＋2＝0，x－2y＋2＝0.14分解法2：因为S△AOB＝2S△AOM，所以AB＝2AM，所以点M为AB的中点.6分设直线AB的方程为y＝k(x＋2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，,y＝k（x＋2），))得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，所以(x＋2)[(1＋2k2)x＋4k2－2]＝0，解得xB＝eq\f(2－4k2,1＋2k2)，8分所以xM＝eq\f(xB＋（－2）,2)＝eq\f(－4k2,1＋2k2)，10分yM＝k(xM＋2)＝eq\f(2k,1＋2k2)，代入x2＋y2＝eq\f(8,9)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－4k2,1＋2k2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k,1＋2k2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,