数字电路与逻辑设计课件：数字逻辑基础

数字逻辑基础1.1数字逻辑电路概述1.2数制1.3编码1.4有符号数的表示及运算1.1数字逻辑电路概述自然界有各种各样的物理量，按照其变化规律可分为模拟量和数字量两大类。模拟量是指随时间的连续变化其值也连续变化的物理量。表示模拟量的信号称为模拟信号，如声音、电压、电流、压力、速度、温度等是模拟信号。对模拟信号进行放大、滤波、测量和显示等处理工作的电子电路称为模拟电路。数字量在时间上或数值上是离散的物理量，数值的大小和每次的增减都是量化单位的整数倍。表示数字量的信号称为数字信号。处理数字信号的电子电路称为数字电路。1.1数字逻辑电路概述模拟信号波形和数字信号波形分别如图1-1-1(a)和1-1-1(b)所示。图1-1-1模拟信号与数字信号波形一个比较通用的信号处理系统基本结构如图1-1-2所示，其中包括了模拟信号的调理（对模拟信号进行处理）、模/数转换器（将模拟信号量化为数字信号）、数字电路（对数字信号进行处理）、数/模转换器（将数字信号转换为模拟信号）等关键模块。图1-1-2通用的信号处理系统基本结构与模拟信号直接反应自然界中真实的物理量的变化不同，数字信号是通过某种编码间接地反应实际物理量的变化。模拟量用数字0、1的编码表示为数字量（模拟量的数字化）过程如图1-1-3所示。图1-1-3模拟信号的数字化方法tV(t)/V4321000001000000001100000010A...BC00000011VB=3V模拟信号模/数转换器0

数字电路的一般框图如图1-1-4所示，它有n个输入X1，X2，…，Xn和m个输出F1，F2，…，Fm，此外还可能有一个定时信号，即时钟脉冲信号（Clock）。每个输入Xi和输出Fj都是时间和数值上离散的二值信号，可用数字0和1来表示。在数字电路和数字系统中，可以用0和1组成的数码（二进制数码）表示数量的大小，也可以用0和1表示两种不同的逻辑状态。当用0和1表示客观事物的两种对立状态时，它不表示数值，而表示逻辑0和逻辑1，这两种对立的逻辑状态称为二值数字逻辑或简称为数字逻辑。图1-1-4数字电路的一般框图

数字电路的输出与输入之间满足一定的逻辑关系，因而数字电路也称为逻辑电路。数字电路的输入、输出逻辑电平随时间变化的波形称为数字波形。数字波形有两种类型：一种是电位型（或称非归零型），另一种是脉冲型（或称归零型）。在波形图中，一定的时间间隔T称为1位（1bit）或一拍。电位型的数字波形在一拍时间内用高电平表示1，用低电平表示0；脉冲型的数字波形则在一拍时间内以脉冲有无来表示1和0。图1-1-5二进制序列信号的两种数字波形表示图1-1-5所示为01001101100序列信号的电位型和脉冲型两种数字波形表示，其中图1-1-5(a)为电位型的数字波形，图1-1-5(b)是脉冲型的数字波形。通常只有作为时序控制信号使用的时钟是脉冲型，除此之外大多数数字信号都采用电位型表示。1.2数制

1.2.1进位计数制的基本概念

按进位的原则进行计数，称为进位计数制。每一种进位计数制都有一组特定的数码，例如十进制数有10个数码，二进制数只有两个数码，而十六进制数有16个数码。每种进位计数制中允许使用的数码总数称为基数或底数。在任何一种进位计数制中，任何一个数都由整数和小数两部分组成，并且具有两种书写形式：位置记数法和多项式表示法。1.十进制数(Decimal)

①采用10个不同的数码0、1、2、…、9和一个小数点(.)。②多位数中低位和相邻高位之间的进位规则是“逢十进一”。若干个数码并列在一起可以表示一个多位十进制数。例如在625.76数中，小数点左边第一位的5代表个位，它的数值为5，即5×100；小数点左边第二位的2代表十位，它的数值为2×101；左边第三位的6代表百位，它的数值为6×102；小数点右边第一位的值为7×10-1；小数点右边第二位的值为6×10-2。可见，同一数码处于不同的位置，代表的数值是不同的。这里102、101、100、10-1、10-2称为对应位的“权”或“位权”，即十进制数中各位的权是基数10的幂，各位数码所表示的值等于该数码与权的乘积。

1.2.2几种常用的数制上式左边称为位置记数法或并列表示法，右边称为多项式表示法或按权展开法。一般，对于任何一个十进制数N，都可以用位置记数法和多项式表示法写为

式中，n代表整数位数，m代表小数位数，ai(-m≤i≤n-1)表示第i位数码，它可以是0、1、2、3、…、9中的任意一个，10i为第i位数码的权值。上述十进制数的表示方法也可以推广到任意进制数。对于一个基数为R(R≥2)的R进制计数制，数N可以写为式中，n代表整数位数，m代表小数位数，ai为第i位数码，它可以是0、1、…、(R-1)个不同数码中的任何一个，Ri为第i位数码的权值。(1-2)2.二进制数

二进制数的进位规则是“逢二进一”，其进位基数R=2，每位数码的取值只能是0或1，每位的权是2的幂。表1-1列出了二进制位数、权和十进制数的对应关系。表1-2-12的幂与十进制值二进制整数位13121110987654321权（十进制表示）212211210292827262524232221204096204810245122561286432168421二进制小数位-1-2-3-4-5-6权（十进制表示）2-12-22-32-42-52-60.50.250.1250.06250.031250.015625任何一个二进制数，根据式(1-2)可表示为例如：

可见，一个数若用二进制数表示要比相应的十进制数的位数长得多，但采用二进制数却有以下优点：①因为它只有0、1两个数码，在数字电路中利用一个具有两个稳定状态且能相互转换的开关器件就可以表示一位二进制数，因此采用二进制数的电路容易实现，且工作稳定可靠。②二进制数的算术运算和十进制数的算术运算规则相似，不同的是二进制数是“逢二进一”和“借一当二”，而不是“逢十进一”和“借一当十”。例如：与十进制数相比，同样大小的数用二进制数表示要比相应的十进制表示所需要的位数长得多，因此，二进制并不便于阅读和书写。为了二进制数书写方便，通常采用八进制和十六进制作为二进制的缩写方式。3.八进制数(Octal)

八进制数的进位规则是“逢八进一”，其基数R=8，采用的数码是0、1、2、3、4、5、6、7，每位的权是8的幂。任何一个八进制数也可以根据式(1-2)表示为例如：式中的下脚注8表示括号中的数是八进制数，也可以用O作为下脚注。4.十六进制数(Hexadecimal)

十六进制数的特点是：①采用的16个数码为0、1、2、…、9、A、B、C、D、E、F。符号A~F分别代表十进制数的10~15。②进位规则是“逢十六进一”，基数R=16，每位的权是16的幂。任何一个十六进制数，也可以根据式(1-2)表示为例如：1.2.3不同进位计数制之间的转换1.二进制数与十进制数之间的转换（1）二进制数转换成十进制数——按权展开法二进制数转换成十进制数时，只要将二进制数按式(1-3)展开，然后将各项数值按十进制数相加，便可得到等值的十进制数。例如：

同理，若将任意进制数转换为十进制数，只需将数(N)R写成按权展开的多项式表示式，并按十进制规则进行运算，便可求得相应的十进制数(N)10。

（2）十进制数转换成二进制数①整数转换——除2取余法。若将十进制整数(N)10转换为二进制整数(N)2，则可以写成上式表明，若将(N)10除以2，则得到的商为余数就是b0。同理，这个商又可以写成显然，若将上式两边再同时除以2，则所得余数是b1。重复上述过程，直到商为0，就可得二进制数的数码b0、b1、…、bn-1。即将Q1除以2，则得到的商为，而得到的余数就是b1。例如，将(75)10转换为二进制数：(75)10=(1001011)2②小数转换——乘2取整法。若将十进制小数(N)10转换为二进制小数(N)2，则可以写成将上式两边同时乘以2，便得到小数部分因此，2(N)10乘积的整数部分就是b-1。若将2(N)10乘积的小数部分F1再乘以2，则有所得乘积的整数部分就是b-2。显然，重复上述过程，便可求出二进制小数的各位数码。

例如，将(0.637)10转换成二进制小数。(0.637)10≈(0.1010)2

可见，小数部分乘2取整的过程，不一定能使最后乘积为0，因此转换值存在误差。通常在二进制小数的精度已达到预定的要求时，运算便可结束。

将一个带有整数和小数的十进制数转换成二进制数时，必须将整数部分和小数部分分别按除2取余法和乘2取整法进行转换，然后再将两者的转换结果合并起来即可。同理，若将十进制数转换成任意R进制数(N)R，则整数部分转换采用除R取余法；小数部分转换采用乘R取整法。例如，将十进制数105.4转换为等值的二进制数的过程如图1-2-1所示。图1-2-1十进制数105.4转换为二进制数的过程

2.二进制数与八进制数、十六进制数之间的相互转换八进制数和十六进制数的基数分别为8=23，16=24，所以三位二进制数恰好相当一位八进制数，四位二进制数相当一位十六进制数，它们之间的相互转换是很方便的。二进制数转换成八进制数的方法是从小数点开始，分别向左、向右，将二进制数按每三位一组分组(不足三位的补0)，然后写出每一组等值的八进制数。例如，求(01101111010.1011)2的等值八进制数：例如，求(01101111010.1011)2的等值八进制数：二进制001101111010

.101100八进制1572.54所以(01101111010.1011)2=(1572.54)8

二进制数转换成十六进制数的方法和二进制数与八进制数的转换相似，从小数点开始分别向左、向右将二进制数按每四位一组分组(不足四位补0)，然后写出每一组等值的十六进制数。例如，将(1101101011.101)转换为十六进制数：001101101011.101036B.A所以(1101101011.101)2=(36B.A)16

八进制数、十六进制数转换为二进制数的方法可以采用与前面相反的步骤，即只要按原来顺序将每一位八进制数(或十六进制数)用相应的三位(或四位)二进制数代替即可。例如，分别求出(375.46)8、(678.A5)16的等值二进制数：八进制375.46十六进制678.A5二进制011111101.100110二进制011001111000.10100101所以(375.46)8=(011111101.100110)2,(678.A5)16=(011001111000.10100101)21.3编码在数字系统中，任何数据和信息都是用若干位“0”和“1”按照一定的规则组成的二进制码来表示的。当用不同的数码表示不同的事物或事物的不同状态时，这些数码已不再具有数量大小的含义了，习惯上把这些数码称为代码（Code）。n位二进制数码可以组成2n种不同的代码，代表2n种不同的信息或数据。因此，用若干位二进制数码按一定规律排列起来表示给定信息的过程称为编码。下面介绍数字系统中常用的编码及其特性。1.3编码1.3.1二—十进制编码(BCD码)二—十进制编码就是把每种十进制数码用二进制数的形式表示，因为十进制数有10个数符（0~9），用二进制数来表示该10个数符至少需要4位二进制码元，故二—十进制编码即是用四位二进制码的10种组合来表示十进制数的10个数符0~9，简称BCD码（BinaryCodedDecimal）。由于四位二进制码元可以有16种组合，当用这些组合表示十进制数的10个数符0~9时，有六种组合可以不用。由16种组合中选用10种组合，有表1-3-1几种常用的BCD码编码方式十进制数有权BCD码无权BCD码8421码5421码2421码余3码BCDGray码000000000000000110010100010001000101000110200100010001001010111300110011001101100101401000100010001110100501011000101110001100601101001110010011101701111010110110101111810001011111010111110910011100111111001010

1.8421BCD码

8421BCD码是最基本和最常用的BCD码，它和四位自然二进制码相似，各位的权值为8、4、2、1，故称为有权BCD码。和四位自然二进制码不同的是，它只选用了四位二进制码中前10组代码，即用0000~1001分别代表它所对应的十进制数，余下的六组代码不用。例如，十进制数258可以用8421BCD码表示为(001001011000)84212.5421BCD码和2421BCD码

5421BCD码和2421BCD码均属于有权BCD码，它们从高位到低位的权值分别为5、4、2、1和2、4、2、1。这两种BCD码的编码方案不是唯一的。例如，5421BCD码中的数码5既可以用“1000”表示，也可以用“0101”表示；2421BCD码中的数码6既可以用“1100”表示，也可以用“0110”表示。表1-3-1中只列出了一种常用的编码方式。表1-3-1所示的2421BCD码的10组数码中，0和9的代码、1和8的代码、2和7的的代码、3和6的代码、4和5的代码均互为反码（即代码每一位0和1的状态正好相反）。因此，表1-3-1中所列的2421BCD码具有对9互补的特点，它是一种对9的自补代码（即只要对某一组代码各位取反就可以得到9的补码），这在运算电路中使用比较方便。3.余3码余3码是8421BCD码的每个码组加3(0011)形成的。余3码也具有对9互补的特点，即它也是一种9的自补码，所以也常用于BCD码的运算电路中。用BCD码可以方便地表示多位十进制数，其转换方法是每一位十进制数码用一组BCD码替代，例如：(639.7)10=(011000111001.0111)8421BCD

=(100101111100.1010)余3码1.3.2可靠性编码1.Gray码(格雷码)Gray码最基本的特性是任何相邻的两组代码中，仅有一位数码不同，即具有相邻性，因此又称单位距离码。此外，Gray码的首尾两个码组也有相邻性，因此又称循环码。

Gray码的编码方案有多种，典型的Gray码如表1-3-2所示。从表中看出，这种代码除了具有单位距离码的特点外，还有一个特点就是具有反射特性，即按表中所示的对称轴为界，除最高位互补反射外，其余低位数沿对称轴镜像对称。利用这一反射特性可以方便地构成位数不同的Gray码。表1-3-2典型的四位Gray码Gray码的单位距离特性有很重要的意义。假如两个相邻的十进制数13和14，相应的二进制码为1101和1110。在用二进制数作加1计数时，如果从13变14，二进制码的最低两位都要改变，但实际上两位改变不可能完全同时发生，若最低位先置0，然后次低位再置1，则中间会出现1101—1100—1110，即出现暂短的误码1100，而Gray码因只有一位变化，因而杜绝了出现这种错误的可能。

BCDGray码是一种具有单位距离特性的BCD码，其编码方案也很多，表1-3-1中仅列出了一种，它与典型的四位Gray码的3~12相同，从而保证了从最大数9返回到0时，也应具有单位距离特性。

2.奇偶校验码奇偶校验码是一种能够检测出信息在传输中产生奇数个码元同时出错的代码，它由信息位和一位奇偶检验位两部分组成。信息位是位数不限的任何一种二进制代码。检验位仅有一位，它可以放在信息位的前面，也可以放在信息位的后面。其编码方式有两种：（1）使得一组代码中信息位和检验位中“1”的个数之和为奇数，称为奇检验；（2）使得一组代码中信息位和检验位中“1”的个数之和为偶数，称为偶检验。

2.奇偶校验码表1-3-3给出了8421BCD码的奇偶校验码。奇偶校验码常用于代码的传送过程中，接收端对接收到的奇偶校验码进行检测时，只需检查各码组中“1”的个数是奇数还是偶数，就可以判断代码是否出错。若与发送端的奇偶性一致，则可以认为接收到的代码正确，否则，接收到的一定是错误代码。奇偶校验码只能检查出奇数个码元出错，但不能确定是哪一位出错。因此，它没有纠错能力。但由于它编码简单，设备量少，而且在传输中通常一位码元出错的概率最大，因此该编码被广泛采用。表1-3-38421BCD码的奇偶校验码十进制数8421BCD奇校验8421BCD偶校验信息位校验位信息位校验位00000100000100010000112001000010130011100110401000010015010110101060110101100701110011118100001000191001110010

在数字系统和计算机中，需要编码的信息除了数字外，还有字符和各种专用符号。用二进制代码表示字母和符号的编码方式有多种形式。目前广泛采用的是ASCII码（AmericanStandardCodeforInformationInterchange，美国信息交换标准代码），是由美国国家标准化协会制定的一种代码，已被国际标准化组织（ISO）选定作为一种国际通用的字符代码。其编码表如表1-3-4所示。ASCII码采用七位二进制数编码，因此可以表示128个字符。从表中可见，数字0~9，相应用0110000~0111001来表示，B8通常用作奇偶检验位，但在机器中表示时，常使其为0，因此0~9的ASCII码为十六进制数30H~39H，大写字母A~Z的ASCII码为十六进制数41H~5AH等。表1-3-4中各种控制命令码的含义如表1-3-5所示。1.3.3字符代码表1-3-4ASCII码

表1-3-5ASCII码中控制码的含义代

码含

义代

码含

义NULNull空白，无效DC1DeviceControl1设备控制1SOHStartofHeading标题开始DC2DeviceControl2设备控制2STXStartofText正文开始DC3DeviceControl3设备控制3ETXEndofText文本结束DC4DeviceControl4设备控制4EOTEndofTransmission传输结束NAKNegativeAcknowledge没有应答ENQEnquiry询问SYNSynchronousIdle同步空闲ACKAcknowledge应答ETBEndofTransmissionBlock信息块传输结束BELBell报警CANCancel取消BSBackspace退格EMEndofMedium媒体结束HTHorizontalTab横向制表SUBSubstitute代替，置换LFLineFeed换行ESCEscape换码，退出VTVerticalTab垂直制表FSFileSeparator文件分隔FFFormFeed换页GSGroupSeparator组分隔CRCarriageReturn回车RSRecordSeparator记录分隔SOShiftOut移出USUnitSeparator单元分隔SIShiftIn移入SPSpace空格DLEDateLinkEscape数据传输换码DELDelete删除在数字系统中，需要处理的不仅有正数，还有负数。为了表示带符号的二进制数，在定点整数运算的情况下，通常以代码的最高位作为符号位，用0表示正，用1表示负，其余各位为数值位。因此，n位有符号数的最左侧位代表了它的符号，而其余的n-1位代表了它的大小。在无符号数中，所有的位都代表了数的大小，因此在定义数的大小时，所有n位都是有意义的。1.4有符号数的表示及运算最高位（MostSignificantBit，MSB）就是无符号整数的最左侧的位bn-1，如图1-4-1（a）所示。在有符号数中，有n-1个有意义的位，最左侧位代表了它的符号，而数值的最高位是bn-2，如图1-4-1（b）所示。代码的位数n称为字长，它的数值称为真值。1.4有符号数的表示及运算（a）无符号数

（b）有符号数图1-4-1二进制系统中整数的表示格式在我们熟悉的十进制表示法中，正数和负数的数值是用相同的方法来表示的，而用专门的正负号来区分数的正负，这种方式可称为数的“符号-数值”表示法。该方法同样适用于二进制，只是分别用符号位为“0”或者为“1”来表示数的正、负，称为二进制数的原码表示法。由于与用符号-数值表示法的十进制数十分相似，因此这种表示法很容易理解。1.原码二进制数的原码表示方法是：符号位+数值位。例如，真值分别为+76和-76，若用8位字长的原码来表示，则可写为N=+76D=+1001100B[N]原=01001100N=-76D=－1001100B[N]原=110011002.反码反码的符号位表示法与原码相同，即符号位为“0”表示正数，“1”表示负数。与原码不同的是数值部分。反码的表示方法是：正数的反码与其原码相同，即符号位加数值位；负数的反码是符号位为“1”，数值位是原码的数值按位取反。例如，真值分别为+58和-58，若用8位字长的反码来表示，则可写为[+58]原=00111010[+58]反=00111010[-58]原=10111010[-58]反=110001013.补码字长为n的整数N的补码定义如下：

由于2n-1与与n位全为1的二进制数等值，而2n表2n-1多1，所以求一个数的补码可以用以下简便方法：（1）正数和0的补码与原码相同。

（2）负数的补码是将其原码的符号位保持不变，对数值位逐位求反，然后在最低位加1，简称“求反加1”。表1-4-1列出了在三种不同的有符号数表示法下，四位有符号二进制数的所有16中组合的解释。表1-4-1四位有符号二进制数的表示b3b2b1b0原码反码补码b3b2b1b0原码反码补码0111＋7＋7＋71000－0－7－80110＋6＋6＋61001－1－6－70101＋5＋5＋51010－2－5－60100＋4＋4＋41011－3－4－50011＋3＋3＋31100－4－3－40010＋2＋2＋21101－5－2－30001＋1＋1＋11110－6－1－20000＋0＋0＋01111－7－0－13.补码此外，应注意以下几点：（1）n位字长的二进制原码、反码、补码所表示的十进制数值范围是：原码：－(2n-1-1)～＋(2n-1-1)反码：－(2n-1-1)～＋(2n-1-1)

补码：－2n-1

～

＋(2n-1-1)（不含－0）3.补码例如，4位字长的原码、反码其数值表示范围均为－7～＋7，而补码的范围则是－8～＋7；＋0的原码、反码、补码均为0000，－0只有原码（1000）和反码（1111），而没有补码；－8只有补码（1000），而没有原码和反码。（2）如果已知一个数的补码，则可以用{[X]补}补=[X]原求其原码和真值。

若n位二进制数B=bn-1bn-2…b1b0是用补码表示法表示的有符号数，则可以用下面的方法来计算其真值：[B]真值

=(－bn-1×2n-1)+bn-2×2n-2+…+b1×21+b0×203.补码例1-4-1已知十进制数＋7和－6，试分