探析中求锐角三角函数值之策略

探析中求锐角三角函数值之策略在九年级数学中，我们学习了直角三角形的边角关系，它是现实世界中应用广泛的关系之一。而锐角三角函数实现了直角三角形边角之间的关系，把这种关系用数量的形式表示了出来。在不利用计算器的情况下，如何求一个锐角的三角函数值呢？一、求特殊锐角三角函数值1、求30˚、45˚、60˚的三角函数值。解题策略：如右图所示，画一个锐角是30˚的直角三角形和一个等腰直角三角形，然后利用取“特殊值”法，根据锐角三角函数定义，写出锐角三角函数值即可。如图=1\*GB3①所示，sin30˚=，cos30˚=，tan30˚=；sin60˚=，cos60˚=，tan60˚=。图=2\*GB3②45˚30˚60˚12图=1\*GB3①如图=2\*GB3②所示，sin45˚图=2\*GB3②45˚30˚60˚12图=1\*GB3①图=3\*GB3图=3\*GB3③30˚15˚2、求22.5˚、67.5˚、15˚、75˚正切值。解题策略：如图=3\*GB3③所示，延长CA至点E，使AE=AB，连接BE。22.5˚图=4\*GB3④45˚22.5˚22.5˚图=4\*GB3④45˚22.5˚如图=4\*GB3④所示，延长CB至点E，使BE=BA，连接AE。则tan22.5˚=-1，tan67.5˚=+1求一般锐角三角函数值1、定义法图=5\*GB3图=5\*GB3⑤如图=5\*GB3⑤所示，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，AB＝5，AC＝4，求∠A的三角函数值。解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90˚，AB＝5，AC＝4。∴BC==3∴sinA=，cosA=，tanA=。2、活“雷锋”法解题策略：活“雷锋”法，即设“参数”法，根据题目条件，设出相关参数，其中所设参数在解题过程中被约分掉，从而求出锐角三角函数值的方法。因“参数”助我们解决了问题，而悄悄地消失了，于是称这个参数为“活雷锋”，为了加深学生的形象记忆，便把设“参数”法叫做活“雷锋”法。a:当已知直角三角形边之间的数量关系时图=6\*GB3⑥如=6\*GB3⑥所示，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若2a＝eq\r(3)b，求∠A的三角函数值。图=6\*GB3⑥解：设b=2k（k≠0）则a=k∵∠C＝90˚∴c==k∴sinA===，cosA===，tanA===b:当已知直角三角形两边（或三边）之比时如图=6\*GB3⑥所示，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，若a∶c＝2∶3，求∠A的三角函数值。解：设a=2m（m≠0），则c=3m∵∠C＝90∴b==∴sinA===，cosA===，tanA===c:当已知直角三角形某一个锐角三角函数值时如图=6\*GB3⑥所示，已知在Rt△ABC中，∠C＝90˚，若tanB＝eq\f(3,5)，求∠A的三角函数值。解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90˚，tanB＝eq\f(3,5)∴tanB==,设b=3t（t≠0），则a=5t∴c==∴sinA===，cosA===，tanA===3、找“替身”法解题策略：当一个锐角的三角函数值不易求出时，常转化为求与它相等角（替身）的三角函数值，使问题得以顺利解决。（1）如图=7\*GB3⑦所示，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE，则tanD的值为(B)A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(\r(2),4)分析：由题目条件可知△ACD≌△AED，则∠D=∠B。由于∠D的三角函数值不易求出，而∠B正好在Rt△BCH中，易求出它的三角函数值，从而求tan∠D转化为求tan∠B，问题被轻松解决。如图=8\*GB3⑧所示，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC＝6，AC＝8，则sin∠ABD的值是(D)AD⌒⌒AC=A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)AD⌒⌒AC=分析：因为AB是⊙O的直径，且CD⊥AB，所以=，则∠ABC=∠ABD，求sin∠ABD转化为求sin∠ABC。因为AB是直径，所以∠ACB=90˚。因为BC＝6，AC＝8，所以AB=10，则sin∠ABC=，问题轻松解决。如图=9\*GB3⑨所示，∠1的正切值等于。分析：tan∠1=tan∠2=如图=10\*GB3⑩所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则tan∠APD的值是。分析：连接AF、BF,易判断出△AFB为直角三角形，且∠APD=∠ABF，所以tan∠APD=tan∠ABF=2图=7\*GB3⑦图=8\*GB3⑧图=9\*GB3⑨图=10\*GB3⑩4、构造法解题策略：将所求锐角放入构造的直角三角形中，从而求出它的三角函数值的方法叫做构造法。构造直角三角形常用方法有“作垂直”、利用勾股定理逆定理判断、直径所对的圆周角是直角等等。=1\*GB2⑴、如右图所示，已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，P是AB延长线上一点，BP＝2，求cosP的值。解：过点O作OC⊥AB于点C∵OC⊥AB于点C∴AC=BC=AB=4∵PB=2∴PC=PB+BC=6在Rt△OAC中，∠ACO=90˚∴OC==3在Rt△PCO中，∠PCO=90˚∴PO==3∴cosP===2\*GB2⑵、如图11所示，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为(D)B.C.D.分析：把∠C放入Rt△AHC中，因为AH=1，CH=4，所以AC=，cosC==3\*GB2⑶、如图12所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为((B)A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(10),10)D.eq\f(2\r(5),5)分析：连接CH，易判断△AHC是直角三角形，∠AHC=90˚。因为AC=，CH=，所以sinA===4\*GB2⑷、如图13所示，已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC＝4，则sinB的值为。分析：作直径AE，连接CE。因为AE是直径，所以∠ACE=90˚，CE==2，sinB=sinE=图11图12图1319解直角三角形应用常考基本型“AAS”型如图，已知∠ABC=α，∠ACD=β，AB=m，则BC=m∙cosα+m【分析】过点A作AD⊥BC于点D,解Rt△ABD，易求出AD和BD；再解Rt△ADC，易求出CD,那么BC=BD+CD即可解决问题。【解答】过点A作AD⊥BC于点D在Rt△ABD中，cosα=BDAB，sinα=AD则BD=m∙cosα，AD=m∙sinα。在Rt△ADC中，tanβ=ADCD则CD=m∙sinαtanβ，BC=BD+CD=m∙问题1：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，求AB的长．“ASA”型如图，已知∠ABC=α，∠ACD=β，BC=n，则AD=n【分析】本题利用BD+CD=n这个等量关系，设AD=x，列出关于x的方程即可解决。【解答】过点A作AD⊥BC于点D,设AD=x。在Rt△ABD中，tanα=ADBD，则BD=x在Rt△ADC中，tanβ=ADCD，则CD=x∵BD+CD=n∴xtanα+x∴x=n∙问题2：如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、60°，此时热气球C处的高度为CD，点A、D、B在同一直线上，AB=100米，求高度CD。母子型类型1：如图，已知∠ABC=α，∠ACD=β，AD=m，则BC=m(tanβ−tanα)【分析】解Rt△ABD，易求出BD；再解Rt△ADC，易求出CD,那么BC=BD-CD即可解决问题。【解答】在Rt△ABD中，tanα=ADBD，则BD=在Rt△ADC中，tanβ=ADCD，则CD=mtanβ∴BC=BD-CD=mtanα=m(tanβ−tanα)问题3：校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载。某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道m上确定点D，使CD与m垂直，测得CD的长等于21米，在m上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：=1.73，=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．类型2：如图，已知∠ABC=α，∠ACD=β，BC=n，则AD=n【分析】本题利用BD-CD=n这个等量关系，设AD=x，列出关于x的方程即可解决。【解答】过点A作AD⊥BC于点D,设AD=x。在Rt△ABD中，tanα=ADBD，则BD=x在Rt△ADC中，tanβ=ADCD，则CD=xtanβ∵BD-CD=n∴xtanα-x∴x=n问题4：如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为。问题5：如图，某校教