5.3.2 正方形的性质 同步练习

第5章特殊平行四边形5.3正方形第2课时正方形的性质基础过关全练知识点正方形的性质1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是()A.对角相等 B.对边相等C.对角线互相垂直 D.对角线相等2.若正方形的对角线长为2，则这个正方形的面积为()A.2 B.4 C.2 D.23.下图是甲、乙两张不同的纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则() 甲 乙A.甲、乙都可以 B.甲、乙都不可以C.甲不可以，乙可以 D.甲可以，乙不可以4.如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AB上一点，若EC=5，则ED=.

5.如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上，若CE=35，且∠ECF=45°，则CF的长为.

6.如图，在正方形ABCD中，点E为BC边上任意一点，连结AE，分别过点B、D作AE的垂线，垂足分别为G、F.求证：DF=BG+FG.能力提升全练7.如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为()A.6cm2 B.8cm2 C.16cm2 D.32cm28.如图，P是正方形ABCD内一点，连结PA、PB、PC、PD，若△PAB是等边三角形，则∠DPA的度数是()A.60° B.75° C.80° D.90°9.如图，已知正方形ABCD的对角线长为32，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为()A.122 B.62 C.12 10.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，其中顶点A，B，C的坐标分别为(-1，2)，(1，3)，(2，1)，将正方形OABC绕点O顺时针旋转90°后，点B的坐标为()A.(-1，2) B.(2，3) C.(-3，1) D.(3，-1)[变式]如图所示，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，则点F的坐标为.

11.如图，以正方形ABCD的一边为边向外作等边△ABE，BD与EC交于点F，且DF=EF，则∠AFD等于°.

12.(2022浙江杭州中考节选)如图，在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上(不与点A重合)，点F在边BC上，且AE=2BF，连结EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH.若AB=4，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积.13.如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O.(1)求证：△DAF≌△ABE；(2)写出线段AE、DF的数量关系和位置关系，并说明理由.素养探究全练14.(2022贵州黔东南州中考)阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上.求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形.(1)小明通过探究发现：连结DC，根据已知条件，可以证明DC=AE，∠ADC=120°，从而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形.请你根据小明的思路，写出完整的证明过程.(2)如图2，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上.①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由.②若AE2+AG2=10，试求出正方形ABCD的面积. 图1 图2

第5章特殊平行四边形5.3正方形第2课时正方形的性质答案全解全析基础过关全练1.D正方形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等.2.A正方形是特殊的菱形，可按菱形的面积公式计算.因为正方形的对角线长为2，所以这个正方形的面积为12×2×2=23.A对剪开后的纸片进行拼接，可得下面的图形： 甲 乙所以甲、乙都可以拼成和原来面积相等的正方形，故选A.4.5解析因为正方形ABCD的边长为2，所以AB=BC=AD=2，∠B=∠A=90°，因为EC=5，所以BE=CE2所以AE=AB-BE=1.所以DE=AD5.210解析如图，延长AB至F'，使BF'=DF，连结CF'、EF.∵四边形ABCD为正方形，∴∠D=∠ABC=90°，CD=CB，∵∠CBF'=180°-∠ABC=90°，∴∠D=∠CBF'，在Rt△CDF和Rt△CBF'中，∵CD=BC，∠D=∠CBF'，DF=BF'，∴△CDF≌△CBF'，∴CF=CF'，∠DCF=∠BCF'，∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠FCD=45°，∴∠BCE+∠F'CB=45°，∴∠ECF=∠ECF'=45°，在△ECF和△ECF'中，∵CF=CF'，∠ECF=∠ECF'，CE=CE，∴△ECF≌△ECF'，∴EF=EF'，∵CE=35，BC=6，∴BE=CE2−B设DF=BF'=x，则AF=6-x，EF=EF'=3+x，∵在Rt△AEF中，AF2+AE2=EF2，∴(6-x)2+32=(3+x)2，解得x=2，∴DF=2，∴CF=DF故答案为210.6.证明如图.∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵DF⊥AE，BG⊥AE，∴∠AGB=90°=∠DFA，∵∠BAG+∠DAF=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠BAG=∠ADF，∴△ABG≌△DAF(AAS)，∴BG=AF，AG=DF，∵AG=AF+FG，∴DF=BG+FG.能力提升全练7.BS阴影=12×4×4=8(cm2)8.B∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∵△PAB是等边三角形，∴∠PAB=60°，PA=AB，∴∠DAP=30°，AP=DA，∴∠DPA=180°−30°2=759.C根据折叠的性质，可知阴影部分的周长=正方形的周长.设正方形的边长为x，根据勾股定理得x2+x2=(32)2，解得x=3(舍去x=-3)，所以阴影部分的周长为3×4=12.故选C.10.D如图，将点B绕点O顺时针旋转90°，得到点B'，其坐标为(3，-1).故选D.[变式](-1，5)解析如图，过点E作y轴的垂线，垂足为点A，过点F作FP⊥EA，交EA的延长线于点P，∵四边形OEFG是正方形，∴EF=OE，∠FEO=90°，∵∠FEP+∠PEO=90°，∠PEO+∠AOE=90°，∴∠AOE=∠FEP，∵EF=OE，∠EPF=∠OAE=90°，∴△AOE≌△PEF(AAS)，∴AE=PF，PE=AO，∵点E(2，3)，∴PE=AO=3，PF=AE=2，∴PA=1，∴点F的坐标为(-1，5).11.60解析如图，连结AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC=AB，BD垂直平分AC，∴FA=FC，在△DCF和△DAF中，DC∴△DCF≌△DAF(SSS)，∵三角形ABE是等边三角形，∴AE=AB，∴AE=AD，在△DAF和△EAF中，AD∴△DAF≌△EAF，∴△DCF≌△DAF≌△EAF，∴∠DFC=∠AFD=∠AFE，又∵∠DFC+∠AFD+∠AFE=180°，∴∠DFC=∠AFD=∠AFE=60°.12.解析∵点M是边AB的中点，点E与点M重合，AB=4，∴AE=BE=2，∵AE=2BF，∴BF=1，在Rt△EBF中，EF2=EB2+BF2=22+12=5，∴正方形EFGH的面积=EF2=5.13.解析(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA=AB，∠DAF=∠ABE=90°，∵AF=BE，∴△DAF≌△ABE(SAS).(2)AE=DF，AE⊥DF，理由如下：由(1)得△DAF≌△ABE，∴DF=AE，∠ADF=∠BAE，∵∠DAO+∠BAE=90°，∴∠DAO+∠ADF=90°，∴∠DOA=90°，∴AE⊥DF.素养探究全练14.解析(1)证明：如图，连结DC，∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠DBE=∠E=∠BDE=60°，∴∠ABC-∠ABD=∠DBE-∠ABD，即∠CBD=∠ABE，∴△CBD≌△ABE(SAS)，∴CD=AE，∠BDC=∠E=60°，∴∠ADC=∠BDE+∠BDC=120°，∴△ADC为钝角三角形，∴以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形.(2)①以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形，理由如下：如图，连结CG，∵四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，∴AB=CB，BE=BG，∠ABC=∠BCD=∠EBG=∠BGF=90°，∠EGB=∠GEB=45°，∴∠ABC-∠ABG=∠EBG-∠ABG，即∠CBG=∠ABE，∴△CBG≌△ABE(SAS)，∴CG=AE，∠CGB=∠AEB=45°，∴∠AGC=∠EGB