立方根重难点题型专训（六大题型）（原卷版+解析）

专题15立方根重难点题型专训（六大题型）

旨【题型目录】

题型一立方根的概念理解

题型二求一个数的立方根

题型三已知一个数的立方根，求这个数

题型四与立方根有关的规律计算

题型五立方根的实际应用

题型六平方根与立方根的综合应用

【知识梳理】

知识点一：立方根

1,定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果x'=a,那么

x叫做a的立方根.记作：妫.

2.正数的立方根是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根.

3.求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数.

注意：符号姐中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一

个立方根.

总结：

平方根立方根

被开方数非负数任意实数

符号表示±4a\[a

一个正数有两个平方根,且互为相反一个正数有一个正的立方根；

数；一个负数有一个负的立方根；

性质

零的平方根为零；零的立方根是零；

负数没有平方根；

(Va)2=a(a>0)(V^)3=a

重要结论/TII\a(a-0)=a

-a(a<0)\j-a=-\[a

A【经典例题一立方根的概念理解】

1.（2023•江苏南京•九年级专题练习）一般地，如果无■=.（"为正整数，且">1）,那么尤叫做。的"次方

根，下列结论中正确的是（）

A.16的4次方根是2

B.32的5次方根是±2

C.当"为奇数时，2的〃次方根随w的增大而减小

D.当〃为偶数时，2的〃次方根有〃个

2.（2022秋・江苏•八年级专题练习）若妫=2.89,痂=28.9,则b等于（）

A.1000000B.1000C.10D.10000

3.（2022秋•八年级单元测试）以下几种说法：①正数、负数和零统称为有理数；②近似数L70所表示的准

确数。的范围是L695,,。<1.705；③J话的平方根是±4；④立方根是它本身的数是。和1；其中正确的说法

有：—.（请填写序号）

4.（2023春•江苏南通•七年级南通市通州区育才中学校考阶段练习）已知近五hl.038,如工。2.237,

%五4.820，则4-0.112x.

5.（2022秋・江苏盐城•八年级统考期末）已知：一个正数。的两个不同平方根分别是x+5和4尤-15.

（1）求x的值；

（2）求｝4+1的立方根.

【经典例题二求一个数的立方根】

1.（2023春・江苏南通•七年级南通市新桥中学校联考阶段练习）一个正数b的平方根为。+1和2〃-7,则

9a+》的立方根是（）

A.2B.3C.9D.±3

2.（2021秋•江苏•八年级专题练习）如果加=36,n3=-64,岳=5，那么根+〃一%的值有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

3.（2023秋・江苏•八年级专题练习）若如.3760=0.7160,^3.670=1.542,。一0.003670=

4.（2023秋・江苏•八年级专题练习）已知实数。、6满足卜+13|+0+14）2=0,则a+b的立方根是

5.（2023春・江苏南通•七年级校考阶段练习）已知：|x-l|=3,/=25,且孙＜0,求尤+y的立方根.

【经典例题三已知一个数的立方根，求这个数】

1.（2023春・江苏南通•七年级如皋市实验初中校考阶段练习）若/=16,指=2,则a+b的值为（）

A.12B.4C.12或-4D.12或4

2.（2022秋.江苏.八年级专题练习）若。的算术平方根为17.25,6的立方根为-8.69；尤的平方根为±1.725,

y的立方根为86.9,贝！J()

A.x=-^—a,y=-1000Z?B.x=-^—a,y=\QQb

100100

C.x=\QQa,y=-^—aD.x=--—a,y--100b

1001000

3.(2022秋・江苏•八年级专题练习)已知/-6。+=-9,且加=-1,贝13。-2人+c的算术平方根是

4.（2022秋.江苏•八年级专题练习）a是碗的整数部分，b的立方根为-2,则a+b的值为

5.（2022秋•八年级单元测试）已知某正数的平方根是2〃-7和。+4,6-12的立方根为-2.

（1）求这个正数的立方根；

⑵求a+b的平方根.

今【经典例题四与立方根有关的规律计算】

【例4】（2022春•七年级课时练习）已知为M.710,不再利用其他工具，根据规律能求出近似值的是（）

A.胸B.0^5C.^/500D.W-0.005

产【变式训练】

1.（2023春•山东荷泽•八年级校考阶段练习）已知瘁？拉1.738,^525»8.067,则V-0.000525x（）

A.-17.38B.-0.01738C.-806.7D.-0.08067

2.（2023春•黑龙江齐齐哈尔•七年级校考阶段练习）观察下列各式：

用字母〃表示出一般规律是.为不小于2的整数）

3.（2023春•广西南宁•七年级统考期中）阅读理解，观察下列式子:

①^/1+^1=1+（-1）=0；

②A/8+A/—8=2+（—2）=0；

③步+V^=3+（_3）=0；

@^/64+^C64=4+（M）=0；

根据上述等式反映的规律，回答如下问题：

（1）【观察与发现工根据以上式子反映的规律，请再写出一个类似的等式：

（2）【分析与归纳工根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有

理数a,b,若一，则扬+蛎=0；反之也成立.

（3）【拓展与应用工根据上述归纳的真命题，解答下列问题：若耗W与衣的值互为相反数，且

出B+而不=0，求标+y的值.

【经典例题五立方根的实际应用】

1.（2022秋・江苏•八年级专题练习）将一个体积为216立方米的正方体木块锯成8个同样大的正方体木块,

表面积变成原来的（）

A.1倍B.2倍C.3倍D.8倍

2.（2023秋•全国•八年级专题练习）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体,

看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数.若每个小立方块的体积为

216cm3,则该几何体的最大高度是（）

12cmC.18cmD.24cm

3.（2022秋•山西大同•八年级统考期中）若用该正方形纸片制作一个体积为125cm3的无盖正方体，则该正

方体所用纸片的面积为

4.（2023春・全国•七年级专题练习）我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319,希

望求它的立方根.

解答：：103<59319<1003,第59319是两位整数;

•..整数59319的末位上的数字是9,而整数。至9的立方中，只有9,=729的末位数字是9,...病杀的末

位数字是9；

又；划去59319的后面三位319得到59,而3c轲<4,

*9319的十位数字是3；

/.*9319=39；

【应用】3（2x-I）3+59049=0,其中x是整数则x的值为

5.（2022秋・浙江•七年级期中）如图1,这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为216cm3.

-4-3-2-10I

图I图2

（1）这个魔方的棱长为cm.

（2）图1的侧面有一个正方形ABC。，求这个正方形的面积和边长.

（3）将正方形ABC。放置在数轴上，如图2所示，点A与数2表示的点重合，则。在数轴上表示的数为

41经典例题六平方根与立方根的综合应用】

1.（2022春•广东佛山•九年级校考阶段练习）下列说法正确的是（）

A.4的算术平方根是2B.0.16的平方根是0.4

C.。没有立方根D.1的立方根是±1

2.（2023秋・全国•八年级专题练习）若a是J话的平方根，b是洞的立方根，则a+b的值是（）

A.4B.4或0C.6或2D.6

3.（2023春•四川自贡•七年级统考期末）己知2a+b的算术平方根是2,a+3b的立方根是-2,则6的值

是.

4.（2023秋•全国•八年级专题练习）已知。、b、c在数轴上的位置如图，化简：

V?—\a+b\+yl(c—a+b)2—\b—c\+^/b^=

ab0c

5.（2023秋・全国•八年级专题练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据:

70.0324J0.324^/3245/324J3240J32400

0.180.5691.85.691856.9180

（1）你发现的规律是被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大」

（2）已知百。1.732（精确到0.001）,并用上述规律直接写出各式的值：疝而土_，V300«_;

(3)已知710404=102,石=10.2,6=1020,贝ijx=_,y=_.

（4）类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据折=1.442,直接说出师和胸丽的近似

值吗？

1/1重难点训练】

1.（2023春・山东荷泽•八年级校考阶段练习）已知状石al.738,^525»8.067,则S0.000525n（）

A.-17.38B.-0.01738C.-806.7D.-0.08067

2.（2023春・江苏南通•七年级校考阶段练习）某个数值转换器的原理如图所示：若开始输入x的值是1,第1

次输出的结果是4,第2次输出的结果是2,依次继续下去，则第2020次输出的结果的算术平方根的立方根

是（）

A.V2B.4C.2D.蚯

3.（2023春•河北邢台•七年级校考阶段练习）有这样一道题目：“己知在斤,求x的值.”甲、乙二

人的说法如下，则下列判断正确的是（）

甲：x的值是1；

乙：甲考虑的不全面，X还有另一个值

A.甲说的对，x的值就是1B.乙说的对，x的另一个值是2

C.乙说的对，x的另一个值是-1D.两人都不对，x应有3个不同值

4.（2022春・浙江金华•七年级统考期末）有一个计算器，计算0时只能显示1.4X42X3S6237十三位（包

括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（）

A.B.W（72-1）C.SOaD.拒-1

5.（2023秋・全国•八年级专题练习）若的砺3=0.7160,^3.670=1.542,歹-0.003670=.

6.（2023春•四川广元•七年级校联考期中）已知按照一定规律排成的一列实数：-1,血,狗，-2,5

浜，-币,唬，5-师，…，则按此规律可推得这一列数中的第2023个数是.

7.（2023春・福建厦门•七年级统考期末）在一次出国访问途中，我国著名数学家华罗庚看到邻座乘客在阅读

一道智力题：一个数是59319,希望求解它的立方根.华罗庚脱口而出：39.邻座的乘客十分震惊，询问

其奥妙.华罗庚是这样得出答案的：

(1)由1()3=1000,1003=1000000,确定立方根是2位数.

(2)由59319的个位数是9,确定其立方根的个位数是9.

(3)划去59319后面三位数319,得到数59,而33=27,43=64,可以确定十位数是3.因此可以得到59319

立方根为39.

请你仿照以上的方法，计算耐药=.

8.(2021春.北京.七年级期中)我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性.若。(aNO)不

是某个有理数的平方，则方程无在有理数范围内无解；若b不是某个有理数的立方，则方程无3=6在有

理数范围无解.而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处.根据你对实数的理解，

选出正确命题的序号.

①f=3在实数范围内有解；②尤期。一5=0在实数范围内的解不止一个；③f+尤”=5在实数范围内有解，

解介于1和2之间；④对于任意的20),恒有人2弘.

9.(2023春・湖北咸宁•七年级统考期中)观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：

Vo.ooo1=0.01,^/o^=o.1,VI=1,Vioo=io,Vioooo=ioo,

(1)归纳：已知数。的小数点的移动与它的算术平方根标的小数点移动间有何规律？

(2)@已知0«1.414,V20«4.47,贝U屈'=；

②已知21.918,孤合191.8,则。=；

(3)根据上述探究方法，尝试解决问题：已知孤，20.23,赤。2023,用含"的代数式表示

10.(2023春・辽宁大连•七年级统考期末)据说.我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上

邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319,希望求它的立方根.华罗庚脱口而出：39.乘客

十分惊讶，忙问计算的奥秘.你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：

(1)由103=1000,10()3=1000000,可以确定-59319是______位数.由59319的个位上的数是9,可以确定

459319的个位上的数字是,如果划去59319后面的三位319得到数59,而3?=27,43=64,由此

可以确定、59319的十位上的数字是；

(2)已知32768,-274625都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根.

专题15立方根重难点题型专训（六大题型）

旨【题型目录】

题型一立方根的概念理解

题型二求一个数的立方根

题型三已知一个数的立方根，求这个数

题型四与立方根有关的规律计算

题型五立方根的实际应用

题型六平方根与立方根的综合应用

【知识梳理】

知识点一：立方根

1,定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果x'=a,那么

x叫做a的立方根.记作：妫.

2.正数的立方根是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根.

3.求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数.

注意：符号始中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一

个立方根.

总结：

平方根立方根

被开方数非负数任意实数

符号表示±4a

一个正数有两个平方根,且互为相反一个正数有一个正的立方根；

数；一个负数有一个负的立方根；

性质

零的平方根为零；零的立方根是零；

负数没有平方根；

(«)2=a(a>0)(八)3=a

重要结论=a

[-a(a<0)飞-a=-\[a

【经典例题一立方根的概念理解】

1.（2023•江苏南京•九年级专题练习）一般地，如果尤（"为正整数，且〃>1）,那么尤叫做。的〃次方

根，下列结论中正确的是（）

A.16的4次方根是2

B.32的5次方根是±2

C.当“为奇数时，2的w次方根随w的增大而减小

D.当“为偶数时，2的〃次方根有〃个

【答案】C

【分析】根据新定义的意义计算判断即可.

【详解】解：；16的4次方根是±2,

•'.A选项的结论不正确；

：32的5次方根是2,

•''B选项的结论不正确；

•••当”为奇数时，2的〃次方根随〃的增大而减小，

/•C选项的结论正确；

•••当〃为偶数时，2的“次方根有2个，

••.D选项的结论不正确.

故选：C.

【点睛】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义的意义是解题的关键.

2.（2022秋・江苏•八年级专题练习）若妫=2.89,标=28.9,则b等于（）

A.1000000B.1000C.10D.10000

【答案】B

【分析】根据立方根得出。=2.893,"=28.93=2.893x103,即可求出6的值.

【详解】：指=2.89,府=28.9,

.*.a=2.893,aZ?=28.93=2.893xl03,

."=103=1000,

故选：B.

【点睛】本题考查了对立方根定义的应用，解此题的关键是能关键立方根定义得出等式。=2.893,"=28.93

=2.893x103,难度适中.

3.（2022秋•八年级单元测试）以下几种说法：①正数、负数和零统称为有理数；②近似数L70所表示的准

确数。的范围是1.695,,。＜1.705；③石的平方根是:t4；④立方根是它本身的数是0和1；其中正确的说法

有：—.（请填写序号）

【答案】②

【分析】根据有理数、近似数字、平方根、立方根等概念即可判断.

【详解】解：①正有理数、负有理数和零统称为有理数，故原说法错误；

②根据四舍五入可知，近似数L70所表示的准确数。的范围是1.695,,。＜1.705,说法正确；

③J话=4的平方根是±2,原说法错误；

④立方根是它本身的数是。和士1,原说法错误；

故答案为：②.

【点睛】本题考查学生对概念的理解，解题的关键是正确理解有理数、近似数字、平方根、立方根等概念，

本题属于基础题型.

4.（2023春・江苏南通•七年级南通市通州区育才中学校考阶段练习）已知肛方1038,班15=2.237,

^112»4.820-则W-0.1122.

【答案】-0.482

【分析】根据被开方数小数点移3位，开立方后的结果向同方向移一位进行计算.

【详解】解：：%五24.820,

被开方数小数点向左移3位，开立方后的结果小数点向左移一位，

丁一0.1122-0.482.

故答案为：。482

【点睛】此题主要考查了立方根，关键是掌握小数点的移动规律.被开方数小数点移3位，开立方后的结

果小数点向同方向移一位，

5.（2022秋•江苏盐城•八年级统考期末）已知：一个正数。的两个不同平方根分别是x+5和4尤-15.

（1）求x的值；

（2）求1a+1的立方根.

【答案】（1）x=2；（2）2

【分析】（1）根据正数a的两个平方根互为相反数列式求出x的值即可；

（2）把（1）中求出的。的值代入ga+l,然后再求立方根即可.

【详解】解：（1）,•一个正数。的两个平方根分别是x+5和4x-15,

（x+5）+（4x-15）=0,

5x-10=0,解得x=2；

（2）由（1）得x=2,

.\a=（2+5）2=49.

L+1=^X49+1=7+1=8,

77

1L

,a+l的立方根是：般=2.

【点睛】本题主要考查了平方根的性质、立方根的性质等知识点，一个正数的两个平方根互为相反数；一

个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

,41经典例题二求一个数的立方根】

1.（2023春・江苏南通•七年级南通市新桥中学校联考阶段练习）一个正数b的平方根为。+1和24-7,则

9a+》的立方根是（）

A.2B.3C.9D.±3

【答案】B

【分析】先根据一个正数的两个平方根互为相反数求得。，进而求得6,然后代入代数式9a+6,最后求立

方根即可.

【详解】解：：一个正数6的平方根为。+1和2a-7

a+l+2a-7=0,解得。=2

.•"=（0+1）2=9

/.9a+〃=27

9。+b的立方根是3.

故选B.

【点睛】本题主要考查了平方根和立方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数求得。成为解答本题的

关键.

2.（2021秋・江苏•八年级专题练习）如果加=36,"3=_64,岳=5,那么根的值有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】根据平方根、立方根和算术平方根的定义得出m,n,x的值，再代入计算可得答案.

【详解】m2—36,n3=—64，=5，

.=6或-6,n=-4,x=5或-5.

当"z=6,〃=-4,x=5时，〃z+〃-x=6-4—5=-3；

当机=6,n=—4,x=—5时，m+n—x=6—4+5=1•

当〃?=-6,n=-4,x=5时，m+n—x=-6-4-5=-15；

当加=-6,n=—4,x=—5时，ZZZ+M—x=—6—4+5=—5.

故选C.

【点睛】此题主要考查了平方根的定义，算术平方根的定义及立方根的定义，比较简单.

3.（2023秋・江苏•八年级专题练习）若疯药^=0.7160,歹3.670=1.542,V-0.003670=.

【答案】-0.1542

【分析】利用立方根定义判断即可，^=a-

【详解】解：7^03760=0.7160.43.670=1.542,

•••4-0.003670

--V0.003670

=-#3.670x10-3

=Y/3.670x肛尹

=-1.542x0.1

=-0.1542

故答案为-0.1542.

【点睛】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键.

4.（2023秋・江苏•八年级专题练习）已知实数。、6满足卜+13|+侬+14）2=0,则的立方根是.

【答案】-3

【分析】根据绝对值、偶次累的非负性求出。、b的值，进而求出a+b的值，再根据立方根的定义进行计算

即可.

【详解】解：•斗+13|+伍+14)2=0,|6?+13|>O,(Z?+14)2>0,

•**tz+13=0,Z?+14=0,

「•a=-13,b=—14,

/.a+/?=(-13)+(-14)=-27,

/.a+b的立方根是亚工7=-3.

故答案为：-3.

【点睛】本题考查绝对值、偶次幕的非负性以及立方根，理解绝对值、偶次累的非负性是解决问题的关键.

5.(2023春・江苏南通•七年级校考阶段练习)已知：|%-1|=3,;/=25,且w<0,求x+>的立方根.

【答案】-1或将.

［分析］根据绝对值的化简及平方根的性质得到xT=±3,y=±5,利用冲<。得到尤=4,y=-5或x=-2,y=5,

再求出x+y即可得到立方根.

【详解】解：归一1|=3,丁=25,

/.%—1=+3,y=±5,

••%=4x——2,

,孙<0,

,x=4,y=-5或x=-2,y=5,

二.X+y=4—5=—1,或％+y=—2+5=3,

.♦.尤+y的立方根是一i或我.

【点睛】此题考查了立方根的定义，平方根的定义，绝对值的化简，有理数乘法法则，熟记各知识点并综

合应用是解题的关键.

41经典例题三已知一个数的立方根，求这个数】

1.(2023春•江苏南通•七年级如皋市实验初中校考阶段练习)若序=16,蛎=2,则a+b的值为()

A.12B.4C.12或-4D.12或4

【答案】D

【分析】根据平方根和立方根的意义求出“6即可.

【详解】解：；。2=16,

4=±4,

,/i/b=2,

b=8,

a+b=4+8或-4+8,

即a+b=12或4.

故选：D.

【点睛】本题考查了平方根和立方根以及有理数加法,解题关键是明确平方根和立方根的意义,准确求出a、

b的值，注意：一个正数的平方根有两个.

2.（2022秋.江苏•八年级专题练习）若。的算术平方根为17.25,6的立方根为-8.69；x的平方根为±1.725,

y的立方根为86.9,贝！J()

x=-^—a,y=\QQb

A.x=----u,y=-1000Z?B.

100100

C.x=100ay=-^—aD.

9x=---a,y=-100b

1001000

【答案】A

【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出服反小y的值，再找出关系即可.

【详解】解：：a的算术平方根为17.25,6的立方根为-8.69,

a=297.5625,b=-656.234909.

Vx的平方根为±1.725,y的立方根为86.9,

.X2.975625,y=656234.909,

x=----a,y——10006.

100

故选：A.

【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用.解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立

方根的定义.

3.（2022秋•江苏•八年级专题练习）已知力-6a+5工=-9,且五=-1,则3a-26+c的算术平方根是.

【答案】2

【分析】先对已知等式进行变形，再利用偶次方和算术平方根的非负性求出a、b的值，然后利用立方根求

出c的值，最后代入求值，计算算术平方根即可得.

【详解】a2—6a+yJb-2=-9,

a?—6a+9+Jb—2=0

（a-3）2+V*-2=0,

fa—3=0[a=3

则7n，解得八、，

也一29=0[b=2

由%'=-1得：c=—1,

贝I]3a-%+C的算术平方根是肥a-2b+c=73X3-2X2+（-1）=4=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了偶次方和算术平方根的非负性、算术平方根与立方根、完全平方公式，熟练掌握算术

平方根与立方根的性质是解题关键.

4.（2022秋.江苏•八年级专题练习）a是M的整数部分，b的立方根为-2,则a+b的值为.

【答案】-5

【详解】V32<10<42,

二回的整数部分a=3,

Vb的立方根为-2,

.*.b=-8,

a+b=-8+3=-5.

故答案是：-5.

5.（2022秋•八年级单元测试）已知某正数的平方根是2〃-7和。+4,6-12的立方根为-2.

（1）求这个正数的立方根；

⑵求的平方根.

【答案】（1）病

(2)±75

【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，6-12的立方根为-2,即可得方程，解方程即可求得;

（2）根据（1）可求得a+8的值，再根据平方根的求法，即可求得.

【详解】（1）由题意得：2a-7+a+4=0,

解得：a=l,

贝U2a-7=-5,

,这个正数为25,

.••这个正数的立方根为您；

（2）由题意得：b—12=—8,

解得：b=4,

a+b=5,

的平方根为土行.

【点睛】本题主要考查了平方根，立方根，算术平方根的应用，解题的关键是熟练掌握平方根，立方根,

算术平方根的计算方法.

41经典例题四与立方根有关的规律计算】

【例4】（2022春•七年级课时练习）已知必■句.710,不再利用其他工具，根据规律能求出近似值的是（）

A.胸B.^05C.^500D.^/-0.005

【答案】D

【分析】当被开立方数的小数点每移动三位，那么其立方根的小数点也相应的移动一位.由此即可得出答

案.

【详解】A.狗=瘁记，由题意不能得出其近似值；

B.%5*10-，由题意不能得出其近似值；

C.^500=^/5x100,由题意不能得出其近似值；

D.必须=7/5x10-3,-1.710x10-三—0.1710.

故选D.

【点睛】本题考查了立方根的知识，并考查了学生的转化思想，需要利用已知数据来表示未知数据；也要

掌握：当被开方数的小数点每移动三位，那么其立方根的小数点也相应的移动一位.

■【变式训练】

1.（2023春・山东荷泽•八年级校考阶段练习）已知好X。1.738,^525»8.067,则朗-0.000525x（）

A.-17.38B.-0.01738C.-806.7D.-0.08067

【答案】D

【分析】根据-0.000525=-525x0.000001,贝1|方-0.000525=§-525x0.000001=x^0.000001,结合已知条件,

即可得出答案.

【详解】解：^525=8.067,

0-525=-8.067,

贝！）W-0O00525=4-525x0.000001=7-525x加000001=-8.067x0.01=-0.08067.

故选：D.

【点睛】此题考查了立方根的性质，结合题意观察小数点的移动规律，发现被开方数的小数点移动3位,

其立方根就相应移动1位.

2.（2023春•黑龙江齐齐哈尔•七年级校考阶段练习）观察下列各式:

用字母〃表示出一般规律是."为不小于2的整数）

【答案】密"为不小于2的整数）

【分析】分析被开方数的变换规律即可求得

【详解】解：1、观察4个等式左边根号内分数的特点：

①整数部分与分数部分的分子相等，即2=2,3=3,4=4,5=5,

②整数部分与分数部分的分母有下列关系：7=23-1,26=33-1,63=43-1,124=53-1,

2、观察四个等式右边的立方根前的倍数正好是等式左边被开方数的整数部分，立方根里的分数正好是左边

被开方数的分数部分，所以其中的规律可以表示为=j（〃为不小于2的整数）

V〃一1

故答案为：f^/居（〃为不小于2的整数）.

【点睛】本题考查了立方根的规律探究，分析被开方数的变换规律是解题关键.

3.（2023春・广西南宁•七年级统考期中）阅读理解，观察下列式子:

①Vi+\/zT=i+(-i)=o；

②^/8+^8=2+(-2)=0；

(3)^27+^27=3+(-3)=0；

@^64+^64=4+(M)=0；

根据上述等式反映的规律，回答如下问题：

(1)【观察与发现】：根据以上式子反映的规律，请再写出一个类似的等式：

(2)【分析与归纳】：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有

理数a,b,若一，则加'+蚯=0；反之也成立.

(3)【拓展与应用】：根据上述归纳的真命题，解答下列问题：若疗I与衣的值互为相反数，且

阴B+犷石=0，求3%+y的值.

【答案】(1)*石+汇丽=5+(-5)=0(答案不唯一)

(2)a+b=0(或a,6互为相反数)

(3)9

【分析】(1)根据以上式子反映的规律写出符合题意的一个式子即可；

(2)观察规律若a+b=0,则W+探=0；

(3)按照规律计算出x和y的值，再计算3x+y的值即可.

【详解】(1)解：皿+^^=5+(-5)=0,

故答案为：V125+^125=5+(-5)=0(答案不唯一)；

(2)解：根据等式①，②，③，④所反映的规律，

若a+b=0,则y/a+孤=0,

故答案为：a+b^0(或a,%互为相反数)；

(3)解：疟1与苏的值互为相反数，

/.X—1+2%=0,

1

3

^/3-2j；+3/7+5=0,

3—2y+y+5=0,

y=8,

3x+^y=3x—+8=9.

【点睛】本题主要考查了立方根性质的应用，观察并总结规律是解题的关键.

41经典例题五立方根的实际应用】

1.（2022秋・江苏•八年级专题练习）将一个体积为216立方米的正方体木块锯成8个同样大的正方体木块,

表面积变成原来的（）

A.1倍B.2倍C.3倍D.8倍

【答案】B

【分析】根据8块小正方体的体积之和等于大的正方体的体积，可设小正方体的棱长为x米，列方程为8x3

=216,求解方程得出棱长x的值,再求小正方体的表面积即可

【详解】解:设小正方体的棱长为x米，根据题意得

8x3=216

两边同时除以8,得

x3=27

开立方，得

x=3

所以小正方体的表面积为

6*32=54平方米

8个小正方体的表面积为

8x54=432平方米

大立方体的棱长为两？=6米

则表面积为6x6x6=216平方米

因为432+216=2,所以

锯成8个同样大的正方体木块，表面积变成原来的2倍

故选B

【点睛】此题考查立方根，解题关键在于掌握运算法则

2.（2023秋•全国•八年级专题练习）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体,

看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数.若每个小立方块的体积为

216cm3,则该几何体的最大高度是（）

12cmC.18cmD.24cm

【答案】D

【分析】由每个小立方体的体积为216cm3,得到小立方体的棱长=B%=6cm,再由三视图可知，最高处

有四个小立方体，则该几何体的最大高度是4x6=24cm.

【详解】解：：每个小立方体的体积为216cm3,

.,.小立方体的棱长=^/216=6cm，

由三视图可知，最高处有四个小立方体，

/•该几何体的最大高度是4x6=24cm,

故选D.

【点睛】本题主要考查了立方根和三视图，解题的关键在于能够正确求出小立方体的棱长.

3.（2022秋•山西大同•八年级统考期中）若用该正方形纸片制作一个体积为125cm3的无盖正方体，则该正

方体所用纸片的面积为.

【答案】125cm2

【分析】根据体积求得正方体的边长，然后求出所用面积即五个正方形的面积.

【详解】解：因为无盖正方体的体积是125cm3,所以边长为5cm,

所用面积为：5x5x5=125cm2.

故答案为：125cm2.

【点睛】本题考查的是正方体的边长与面积的关系，求一个数的立方根、面积的求法，解题的关键是要了

解它们之间的关系.

4.(2023春・全国•七年级专题练习)我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319,希

望求它的立方根.

解答：,；103<59319<IO。？，^59319是两位整数;

:整数59319的末位上的数字是9,而整数0至9的立方中，只有93=729的末位数字是9,#59319的末

位数字是9；

又：划去59319的后面三位319得到59,而3〈啊<4,

二#59319的十位数字是3；

•e•#59319=39；

【应用】3(2x-l)3+59049=0,其中x是整数则尤的值为.

【答案】-13

【分析】先运用学到的方法，进行估算，再解一元一次方程即可.

【详解】：3(2x-l)3+59049=0,

/.(21)3=-19683,

V103<19683<1003,

二班9683是两位整数；

•.•整数19683的末位上的数字是3,而整数0至9的立方中，只有73=343的末位数字是3,

/.%9683的末位数字是7；

又•••划去19683的后面三位683得到19,

而2V病<3,

"19683的十位数字是2；

,019683=27；

2x-l=-27,

解得x=-13,

故答案为：-13.

【点睛】本题考查了立方根的估算，一元一次方程的解法，熟练掌握估算方法，灵活解方程是解题的关键.

5.(2022秋・浙江•七年级期中)如图1,这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为216cm3.

图1图2

(1)这个魔方的棱长为cm.

(2)图1的侧面有一个正方形ABC。，求这个正方形的面积和边长.

(3)将正方形A8CZ)放置在数轴上，如图2所示，点A与数2表示的点重合，则O在数轴上表示的数为

【答案】(1)6

(2)面积是18cm2,边长是3，5cm

(3)2-3应

【分析】(1)魔方是个正方体，正方体的体积等于棱长的三次方，再利用立方根的含义求解即可;

(2)这个正方形ABCO的边长是小立方体一个面的对角线的长度，利用勾股定理求解即可；

(3)由AO=3&，把A往左边平移3亚个单位即可得到。点表示的数.

【详解】(1)解：解：设魔方的棱长为acm,

根据题意得216,

•»a=6,

故答案为6.

(2)设小正方体的棱长为6cm,

根据题意得8户=216，

:.b=3

.••所以根据勾股定理得AZ)2=32+32=18,

:•AD=30，正方形的面积为18,

答：这个正方形的面积是18cm2,边长是30cm.

（3）由（2）知，AD=372,

•.•点A对应的数是2,

.♦•把A往左边平移3五个单位长度可得点D对应的数是2-3垃.

【点睛】本题考查了正方体的体积、实数与数轴之间的关系和勾股定理，二次根式的化简，正方体的体积=

棱长的立方.实数与数轴上的点是一一对应的关系，数轴上的点的左右移动后对应的数的表示.

K【经典例题六平方根与立方根的综合应用】

1.（2022春・广东佛山.九年级校考阶段练习）下列说法正确的是（）

A.4的算术平方根是2B.0.16的平方根是0.4

C.0没有立方根D.1的立方根是±1

【答案】A

【分析】根据平方根和立方根的定义判断即可.

【详解】的算术平方根是2,

正确，符合题意；

V0.16的平方根是±0.4,

错误，不符合题意；

V0的立方根是0,

.••C错误，不符合题意；

VI的立方根是1,

错误，不符合题意；

故选A.

【点睛】本题考查了平方根即如果一个数的平方等于。，称这个数为。的平方根，立方根如果一个数的立方

等于。，称这个数为。的立方根，熟练掌握定义是解题的关键.

2.（2023秋•全国•八年级专题练习）若a是J话的平方根，b是闹的立方根，则a+b的值是（）

A.4B.4或0C.6或2D.6

【答案】C

【分析】由a是J话的平方根可得a=±2,由b是病的立方根可得b=4,由此即可求得a+b的值.

【详解】Ya是J话的平方根，

/.a=±2,

：b是闹的立方根，

；.b=4,

a+b=2+4=6或a+b=-2+4=2.

故选C.

【点睛】本题考查了平方根及立方根的定义，根据平方根及立方根的定义求得a=±2、b=4是解决问题的关

键.

3.（2023春•四川自贡•七年级统考期末）已知2a+人的算术平方根是2,。+36的立方根是-2,贝勃-6的值

是.

【答案】8

【分析】利用算术平方根、立方根的定义求出。、。的值，代入a-6进行计算即可.

【详解】解：2a+b的算术平方根是2,。+36的立方根是-2,

2。+6=2?=4,a+3b=（—2）=—8,

解得：a=4,b=—4,

6=4—（T）=4+4=8,

故答案为：8.

【点睛】本题考查了算术平方根、立方根的定义，熟练掌握算术平方根、立方根的定义是解题的关键.

4.（2023秋•全国•八年级专题练习）已知。、b、c在数轴上的位置如图，化简：

V?—\a+b\+-J（c—a+Z?）2—\b-c\+y/b^=-

_____________II_________I____________________]>

ab0c

【答案】4b—a

【分析】先根据数轴的性质可得a<b<0<c,从而可得。+人<0,6-c<0,c-a+6>0,再计算算术平方根与

立方根、化简绝对值，然后计算整式的加减即可得.

【详解】解：由数轴可知，a<b<0<c,

:.a+b<G,b-a>0,b-c<0f

c—a+b>G,

J（c一〃+】）2_0_4+

=-a—[—(a+6)]+(c_a+6)_(c—b)+b

=—a+a+Z?+c—a+b—c+Z?+Z?

=4b—a,

故答案为：4b—a.

【点睛】本题考查了数轴、算术平方根与立方根、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题

关键.

5.(2023秋•全国•八年级专题练习)爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据：

J0.0324A/0.324A/324A/3247324A/3240V32400

0.180.5691.85.691856.9180

(1)你发现的规律是被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大」

⑵已知671.732(精确到0.001),并用上述规律直接写出各式的值：＜03V300»_;

(3)已知V10404=102,7%=10.2,77=1020,贝Ux=_,y=_.

(4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据我。1.442,直接说出师和师丽的近似

值吗？

【答案】⑴10倍

(2)0.1732；17.32

(3)104.