2024-2025学年高中数学课下能力提升十一分层抽样新人教A版必修3

PAGE1-课下实力提升(十一)一、题组对点训练对点练一分层抽样的概念1．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习爱好与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采纳的抽样方法是()A．抽签法 B．随机数法C．系统抽样法 D．分层抽样法解析：选D由于是调查男、女学生在学习爱好与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法．2．下列问题中，最适合用分层抽样方法抽样的是()A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取看法，要留下32名听众进行座谈B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查C．某乡农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，凹地4000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量D．从50个零件中抽取5个做质量检验解析：选CA的总体容量较大，宜采纳系统抽样方法；B的总体容量较小，用简洁随机抽样法比较便利；C总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，宜采纳分层抽样方法；D与B类似．3．(2024·全国卷Ⅲ)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司打算进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简洁随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．解析：因为客户数量大，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，所以最合适的抽样方法是分层抽样．答案：分层抽样4．某班有40名男生，20名女生，已知男女身高有明显不同，现欲调查平均身高，打算抽取eq\f(1,30)，采纳分层抽样方法，抽取男生1名，女生1名，你认为这种做法是否妥当？假如让你来调查，你打算怎样做？解：这种做法不妥当．缘由：取样比例数eq\f(1,30)过小，很难精确反映总体状况，况且男、女身高差异较大，抽取人数相同，也不合理．考虑到本题的状况，可以采纳分层抽样，可抽取eq\f(1,5).男生抽取40×eq\f(1,5)＝8(名)，女生抽取20×eq\f(1,5)＝4(名)，各自用抽签法或随机数法抽取组成样本．对点练二分层抽样设计5．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人．现采纳分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的各职称的人数分别为()A．5,10,15 B．3,9,18C．3,10,17 D．5,9,16解析：选B高级、中级、初级职称的人数所占的比例分别为eq\f(15,150)＝10%，eq\f(45,150)＝30%，eq\f(90,150)＝60%，则所抽取的高级、中级、初级职称的人数分别为10%×30＝3,30%×30＝9,60%×30＝18.6．某单位有27位老年人，54位中年人，81位青年人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则从老年人、中年人、青年人中分别应抽取的人数是()A．7,11,18 B．6,12,18C．6,13,17 D．7,14,21解析：选D法一：因为该单位的总人数为27＋54＋81＝162，样本容量为42，所以抽样比为eq\f(42,162)＝eq\f(7,27).所以从老年人中抽取的人数为27×eq\f(7,27)＝7；从中年人中抽取的人数为54×eq\f(7,27)＝14；从青年人中抽取的人数为81×eq\f(7,27)＝21.法二：因为该单位中老年人、中年人、青年人的人数比为27∶54∶81＝1∶2∶3，样本容量为42，所以老年人应抽取的人数为42×eq\f(1,6)＝7；中年人应抽取的人数为42×eq\f(1,3)＝14；青年人应抽取的人数为42×eq\f(1,2)＝21.7．某市化工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如下表：第一车间其次车间第三车间女工173100y男工177xz已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到其次车间男工的可能性是0.15.(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？解：(1)由eq\f(x,1000)＝0.15，得x＝150.(2)∵第一车间的工人数是173＋177＝350，其次车间的工人数是100＋150＝250，∴第三车间的工人数是1000－350－250＝400.设应从第三车间抽取m名工人，则由eq\f(m,400)＝eq\f(50,1000)，得m＝20.∴应在第三车间抽取20名工人．8．某单位有技师18人，技术员12人，工程师6人，须要从这些人中抽取一个容量为n的样本，假如采纳系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；假如样本容量增加1，则在采纳系统抽样时，须要在总体中剔除1个个体，求样本容量n.解：因为采纳系统抽样和分层抽样时不用剔除个体，所以n是36的约数，且eq\f(36,n)是6的约数，即n又是6的倍数，n＝6,12,18或36，又n＋1是35的约数，故n只能是4,6,34，综合得n＝6，即样本容量为6.对点练三抽样方法的综合应用9．为了考察某校的教学水平，抽查了该学校高三年级部分学生的本年度考试成果．为了全面地反映实际状况，实行以下三种考察方式(已知该校高三年级共有14个教学班，并且每个班内的学生都已经按随机方式编好了学号，假定该校每班人数都相同)．①从全年级14个班中随意抽取一个班，再从该班中随意抽取14人，考察他们的学习成果；②每个班都抽取1人，共计14人，考察这14个学生的成果；③把该校高三年级的学生按成果分成优秀，良好，一般三个级别，从中抽取100名学生进行考查(已知若按成果分，该校高三学生中优秀学生有105名，良好学生有420名，一般学生有175名)．依据上面的叙述，试回答下列问题：(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？(2)上面三种抽取方式各自采纳何种抽取样本的方法？(3)试分别写出上面三种抽取方法各自抽取样本的步骤．解：(1)这三种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成果，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成果．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的14名学生本年度的考试成果，样本容量为14；其次种抽取方式中样本为所抽取的14名学生本年度的考试成果，样本容量为14；第三种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本年度的考试成果，样本容量为100.(2)上面三种抽取方式中，第一种方式采纳的方法是简洁随机抽样法；其次种方式采纳的方法是系统抽样法和简洁随机抽样法；第三种方式采纳的方法是分层抽样法和简洁随机抽样法．(3)第一种方式抽样的步骤如下：第一步：在这14个班中用抽签法随意抽取一个班；其次步：从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取14名学生，考察其考试成果．其次种方式抽样的步骤如下：第一步：在第一个班中，用简洁随机抽样法随意抽取某一学生，记其学号为x；其次步：在其余的13个班中，选取学号为x＋50k(1≤k≤12，k∈Z)的学生，共计14人．第三种方式抽样的步骤如下：第一步：分层，因为若按成果分，其中优秀生共105人，良好生共420人，一般生共175人，所以在抽取样本中，应当把全体学生分成三个层次；其次步：确定各个层次抽取的人数，因为样本容量与总体数的比为100∶700＝1∶7，所以在每个层抽取的个体数依次为eq\f(105,7)，eq\f(420,7)，eq\f(175,7)，即15,60,25；第三步：按层分别抽取，在优秀生中用简洁随机抽样法抽取15人，在良好生中用简洁随机抽样法抽取60人，在一般生中用简洁随机抽样法抽取25人．第四步：将所抽取的个体组合在一起构成样本．二、综合过关训练1．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简洁随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1、p2、p3，则()A．p1＝p2<p3 B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3解析：选D依据抽样方法的概念可知，简洁随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方法，每个个体被抽到的概率都是eq\f(n,N)，故p1＝p2＝p3，故选D.2．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡，发役三百七十八人，欲以算数多少出之，问各几何？”意思是：北乡有8758人，西乡有7236人，南乡有8356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，问从各乡征集多少人？在上述问题中，需从西乡征集的人数是()A．102 B．112C．130 D．136解析：选B因为北乡有8758人，西乡有7236人，南乡有8356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，故需从西乡征集的人数是378×eq\f(7236,8758＋7236＋8356)≈112.3．某中学有中学生3500人，初中生1500人．为了了解学生的学习状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从中学生中抽取70人，则n为()A．100 B．150C．200 D．250解析：选A样本抽取比例为eq\f(70,3500)＝eq\f(1,50)，该校总人数为1500＋3500＝5000，则eq\f(n,5000)＝eq\f(1,50)，故n＝100，选A.4．《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共须要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出________钱(结果保留整数)．解析：因为依照钱的多少按比例出钱，所以丙应当出的钱为eq\f(180,560＋350＋180)×100＝eq\f(180,1090)×100≈17.答案：175．山东某中学针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参与这两个社团的学生共有800人，依据要求每人只能参与一个社团，各年级参与社团的人数状况如下表：高一年级高二年级高三年级泥塑abc剪纸xyz其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的eq\f(3,5)，为了了解学生对两个社团活动的满足程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人．解析：因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的eq\f(3,5)，故“剪纸”社团的人数占总人数的eq\f(2,5)，所以抽取的50人的样本中，“剪纸”社团中的人数为50×eq\f(2,5)＝20.又“剪纸”社团中高二年级人数比例为eq\f(y,x＋y＋z)＝eq\f(3,2＋3＋5)＝eq\f(3,10)，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20×eq\f(3,10)＝6.答案：66．为了对某课题进行探讨探讨，用分层抽样的方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成探讨小组，有关数据见下表(单位：人)高校相关人数抽取人数Ax1B36yC543(1)求x，y；(2)若从高校B相关的人中选2人进行专题发言，应采纳什么抽样方法，请写出合理的抽样过程．